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1、2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设 1口 心=b,则 lim sinfQ)sina=().x-a x a x-*a 3C a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I 1 4-rr I(2)函数心)=二 的第二类间断点的个数为(e 1)(j?2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f cos/(/)+/(Olldr 是奇函数J 0(E)c
2、os/(i)+/(Od 是偶函数J 0(C)cos/(/)+y(t)d/是奇函数J 0(D)cos 是偶函数J 0(D)bcos/(a).(D)4(4)设幕级数2)的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a 2,a 3,a,为矩阵A的列向量 组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=1a 1+2a 2+3a 3,其中 kx,k2,k.为任意常数(B)X=1a 1+k2a2+k3a4,其中 k,k
3、2,k3 为任意常数(C)X=bS+展as+匕。4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=kia2 k2a3+怂。4,其中 ki,k2k3 为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as 为A的属于特征I1 值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-1 0的可逆矩阵卩为().o 0 1(A)(a j a 3,a 2,a 3)(B)(a+ct2，a2，a 3)(C)(a 1+a 3,a3,a2)(D)(a T+a 2 a 3,a 2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P()=P(C)=,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，4 12则A,
4、B,C中恰有一个事件发生的概率为().3 2 1 5(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X 丫)5 5(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设 z=arctanRy+sin(z+了),贝0 dz|(0,)=_.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,1)处的切线方程为_.(H)设某厂家生产某产品的产量为2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量 2,则
5、该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。=卜，夕)|1J，则D绕夕轴旋转所成的旋转体的体积为_.a 0-1 1(13)行列式0 a 1-1-1 1 a 01-1 0 a(14)设随机变量X的概率分布为PX=R=寺仏=1,2,3,)，Y表示X被3除的余数，则2E(Y)=_.三、解答题(1523小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)已知为常数9若(1)e 与-在7?fOO 时是等价无穷小9求(16)(本题满分10分)求函数f(8,y)=jc3+8y3 xy的极值.(17)(本题满分10分)设函数 y=心)满足 y，+2y，+5y=0,且/(0)=
6、1,/z(0)=-1.(I)求/(jc)的表达式；f-l-oo g(H)设 a”=|.f(z)dz，求 A a”.J”s 1(18)(本题满分10分)设 D=(jc,y)，连续函数 f(工，y)满足 fCsc y x2+zjJ/Xz,_y)(lzdy，求,y)cLzdj/.D D(19)(本题满分10分)设函数fG)在区间0,2上具有连续导数,/(0)=于=0,M=max|fjc)|，证明:工0,2(I)存在W C(0,2),使得(U)若对任意的7 e(0,2),|十(工)I 则M=0.(20)(本题满分11分)设二次型/(j：1，工2)=4工口2+4云 经正交变换(1)=Q)化为二次型g()
7、i，夕2)=ay+4夕1夕2 其中 a b.(I)求a 的值；(H)求正交矩阵Q.(21)(本题满分11分)设A为2阶矩阵,P=(a,Aa)，其中a是非零向量且不是A的特征向量.(I)证明：P为可逆矩阵；(H)若A2a+Aa-6a=0,求P lAP,并判断A是否相似于对角矩阵.(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域D=(工，夕)|0 V夕V_芒上服从均匀分布，令_(1,XY0,_ 1,X+Y0,1=(0,X-YW0,2 _(0,X+Yt与 PTs-t|T 5,其中 s 0,t 0；(D)任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为丿2,，几，若加已知，求0 的最大似然估计值丄