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1、2022-2023学 年 秋 学 期 高 三 年 级 第 一 次 月 度 检 测 试 卷 数 学 学 科 试 卷 一、单 项 选 择 题(本 大 题 共 8 小 题，每 题 5 分，共 4 0分)1.已 知 集 合 4=1,2,3,8=40,xez,则 4 7 8=()A.1.2 B.0,1,2,3 C.1,2,3 D.(0,1,2)【答 案】C【解 析】【分 析】化 简 集 合 B,利 用 并 集 概 念 及 运 算 即 可 得 到 结 果.【详 解】由 题 意 可 得：8=x|1 4 0,x e z=l,2又 4=1,2,3AJB=1,2,3故 选:C2.已 知 复 数 z的 共 挽 复
2、数 彳=2 1 1,则 复 数 z在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于()3-1A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【丁 农】D【解 析】【分 析】由 复 数 的 运 算 法 则 计 算 后 根 据 共 挽 复 数 概 念 得 z,再 由 几 何 意 义 得 对 应 点 坐 标，从 而 得 结 论.2+i(2+i)(3+i)5+5i 1 1.1 1【详 解】幺=-=丁+；】，故 2=L-上 在 复 平 面 内 对 应 的 点 3-1(3-i)(3+i)10 2 2 2 2为 位 于 第 四 象 限.故 选：D.3.某 圆 锥 体 枳 为 1,用
3、一 个 平 行 于 圆 锥 底 面 的 平 面 截 该 圆 锥 得 到 个 圆 台，若 网 台 上 底 面 和 下 底 面 半 径 之 比 为:，则 该 圆 台 体 积 为（）A.-B.-C.j D.8 4 2 2【：一】A【解 析】【分 析】设 小 锥 体 的 底 面 半 径 为，大 锥 体 的 底 面 半 径 为 2,，小 锥 体 的 高 为 6,大 锥 体 的 高 为 为 2，通 过 表 示 大 网 锥 和 小 圆 锥 体 积，作 差 可 得 圆 台 体 积.【详 解】设 小 锥 体 的 底 面 半 径 为，大 锥 体 的 底 面 半 径 为 2 r,小 锥 体 的 高 为，大 锥 体
4、的 高 为 为 2，则 大 圆 锥 的 体 积 即 为 1 万（2 r）2 lh=1,整 理 得 1 万 八/=,，3 3 8即 小 圆 锥 的 体 积 为 481 7所 以 该 园 台 体 积 为 1一-=8 8故 选：A.4.埃 拉 托 斯 特 尼 是 古 希 腊 亚 历 山 大 时 期 著 名 的 地 理 学 家，他 城 出 名 的 工 作 是 计 算 了 地 球（大 圆）的 周 长.如 图，在 赛 伊 尼，夏 至 那 天 中 午 的 太 阳 几 乎 正 在 天 顶 方 向（这 是 从 日 光 直 射 进 该 处 一 井 内 而 得 到 证 明 的）.同 时 在 亚 历 山 大 城（该
5、处 与 赛 伊 尼 几 乎 在 同 一 子 午 线 上），其 天 顶 方 向 与 太 阳 光 线 的 夹 角 测 得 为 7.2.因 太 阳 距 离 地 球 很 远，故 可 把 太 阳 光 线 看 成 是 平 行 的.埃 拉 托 斯 特 尼 从 商 队 那 里 知 道 两 个 城 市 间 的 实 际 距 离 大 概 是 5000斯 塔 蒂 亚，按 埃 及 的 长 度 算，1斯 塔 蒂 亚 等 于 157.5米，则 埃 拉 托 斯 特 尼 所 测 得 地 球 的 周 长 约 为（）亚 历 山 大 城 41200千 米 D.42192 千 米 1 B【解 析】【分 析】由 题 意 可 将 赛 伊
6、尼 和 非 历 山 大 城 之 间 的 距 离 看 作 圆 心 角 为 7.2的 扇 形 的 弧 长，由 此 可 计 算 地 球 半 径，进 而 求 得 地 球 周 长.【详 解】由 题 意 可 知，赛 伊 尼 和 亚 历 山 大 城 之 间 的 距 离 可 看 作 圆 心 角 为 7.2的 扇 形 的 弧 长,7 2设 地 球 半 径 为 r,则 5000 x157.5=上 兀-八 1801 on地 球 周 长 为 2=2x5000 x157.5x=39375000（米）=39375（千 米），7.2故 选：B.5.已 知 等 比 数 列“的 前”项 和 为 S，若 S=4,$6=12,则
7、用=A.32 B.28 C.48 D.60答 案 D6.在 三 梭 锥 P-48C中，A/IB C是 边 长 为 2的 正 三 角 形，PA=PB=PC,E,尸 分 别 是 4，/1B的 中 点，且 C E L E/L 则 三 棱 锥 P-48c外 接 球 的 表 面 积 为（）A.6冗 B.12”C.24乃 D.36”【答 案】A【分 析】取/JC中 点。，连 接 也、80,根 据 线 面 垂 宜 的 判 定 定 理，可 证，CJ.平 面 以 过，即 可 得 P8J-/C,结 合 题 意，根 据 线 面 垂 直 的 判 定 及 性 质 定 理，可 证 同 理 P3J.PC,将 尸-亚 补 成
8、 一 个 正 方 体,根 据 条 件，求 得 正 方 体 边 长，根 据 正 方 体 体 对 角 线 为 外 接 球 直 径，即 可 求 得 外 接 球 半 径 r,即 可 得 答 案.【详 解】取 4 C中 点。，连 接 P 0、B Q,如 图 所 示 因 为 我=PC,0 为/C 中 点,所 以 F Q L/C,又 A/8 C 是 正 三 角 形,所 以 801./1C,又 户。0 8 0=。，PQ,8Q u 平 面 8PQ,所 以 4C J.平 面 BPQ,乂 P8 u 平 面 BPQ,所 以 尸 8 1/C,因 为 E,尸 分 别 是 4,4 8的 中 点 所 以 E F 为 A P
9、4 8 1 1位 线，所 以 EF/PB又 因 为 E F _ L C E,所 以 P 8 _ L C E,且 CECMC=C,AC,C E u 平 面 P/1C所 以 户 8 _L平 面 PAC,所 以 PBJ.PH,同，PS 1 PC.则 R4,PB,PC两 两 垂 克 如 图 将 尸-3 C 补 成 一 个 正 方 体,如 图 所 示,由 题 意 得：AB=AC=BC=2,则 P，=PB=PC=e，又 正 方 体 的 体 对 角 线 为 外 接 球 的 直 径，所 以 外 接 球 半 径=匝 y+g2+曲?=旦,2 2所 以 S=4/rr2=6 万，故 选：A.【点 睛】解 题 的 关
10、键 是 熟 练 掌 握 线 面 垂 直 的 判 定、性 质 定 理，并 灵 活 应 用，对 于 侧 楂 两 两 垂 宜 的 三 棱 锥，外 接 球 即 为 所 在 正 方 体 的 外 接 球，考 杳 空 间 想 象 能 力，属 中 档 题.7.如 图，在 矩 形 48CZ）中，AC,8。相 交 于 点 O,BFA.AC,DH L AC,AELBD,CG1 BD,B E BO 则 丽=（）2C.与 加 察 更 B.士 正 B1+匕 反 而 2 10D.土 虫 拓+正 前 2 5【；*案】D【解 析】【分 析】利 用 平 面 向 盘 的 线 性 运 算 和 平 面 向 城 基 本 定 理 即 可
11、求 解.【详 解】解：砺=叵 1 方。，显 然 BE=DG,BO=OD=BD,B F=BA+AF=BA+A d=B A+(B d-B A)=B A+-B d，2 2 2 2，丽=泊+立 方 6，2 5故 选：D.8.设。二 e。0 2-1，力=2(e-1),c=sin().01+tan0.01,则()A.abc B.a c bC.c a b D.b c a【答 案】A【解 析】【详 解】因 为 一 6=6。2 261+1=卜 3 1)2 0,所 以。6.设/(x)=2(ex-l)-s in x-tanx,则/(x)=2ex-c o s x-,cos x令 A g(/x)=/(x),则 ntl
12、g(x、)=、2erc+sm x-2-s-i厂 n A；.C O S X山(八 兀 一 八 2sinx 2sin 6 8 G当 x e 0,丁 卜 忖，2cx 2,s in v o,-=-7-o,所 以 当 T。总 时，/(x)/(0)=0,所 以/(x)在 x w(o*)上 单 调 递 增，从 而/(x)/(0)=0,因 此 0 01)。即 6 c.综 上 可 得 6 c.故 选：A二、多 项 选 择 题(共 4 小 题，每 题 5 分，全 部 选 对 得 5 分，部 分 选 对 得 2 分，共 2 0分）9.设 更 数 ZI=v/5+i,z2=x+yi(x,y e R),4名 对 应 的
13、向 量 分 别 为 OZ；,QZ；(。为 坐 标 原 点)，则()A.I Z|=2B.若 0Z；QZ；,则 G x+y=OC.若 0Z；J_OZ；,则 Z R=O D.若 匕+z p G，则|z 2 i|的 最 大 值 为 3后【答 案】ADI 解 析】【分 析】对 A，根 据 模 长 公 式 求 解 即 可：对 B,根 据 向 量 平 行 的 坐 标 公 式 求 解 即 可：对 C,根 据 向 量 垂 直 的 坐 标 公 式 求 解 x，的 关 系，再 求 解 Z R即 可；对 D,根 据 复 数 的 几 何 意 义 数 形 结 合 求 解 即 可 10.已 知 函 数/(x)=2sin(0
14、 x+?(0 O),则 下 列 说 法 正 确 的 是()A.若 函 数/(x)的 最 小 正 周 期 为 万，则 其 图 象 关 于 直 线 x=；对 称 OC.若 函 数/(X)在 区 间(0,小 上 单 调 递 增，则 0 的 最 大 值 为 2D.若 函 数/(x)在 0、2司 有 且 仅 有 5 个 零 点，则。的 取 值 范 围 是 好(年【答 案】ACD【解 析】【分 析】根 据 最 小 正 周 期 可 以 计 算 出 0,便 可 求 出 对 称 轴 和 对 称 点，可 判 断 A、B选 项：根 据 正 弦 型 函 数 的 单 调 性 可 以 推 出。的 值，可 判 断 C选 项
15、：根 据 零 点 情 况 可 以 求 出。的 取 值 范 围，可 判 断 D 选 项.【详 解】A选 项：./(x)的 最 小 正 周 期 为 万C sin（2-*+q）=及 sing=及，故 A 正 确：B选 项：/（、）的 最 小 正 周 期 为 期./W=V 2 s in 2.+=V2sin|=x/2 0,故 B 错 误；C 侬 u.项 15r；：八 0 x 一 K/.一 K ox+7 t 7 t。+J T8 4 4 8 4又 函 数/（X）在（）,*）上 单 调 递 增 n n,汽:,0+W 8 4 2:.a）2t故 C正 确；D 选 项：.e x 0,2 n O）X+G,2tw+4
16、L 4 4又/（x）在 0,2句 有 且 仅 有 5个 零 点，则 5 4 2 9+6耳.：4切 勺，故 D 正 确.4 8 8故 选：ACD11.如 图，在 三 棱 锥 力-8 C 0中，48JL平 面 8C。,8cl.cD,B JLX C,E为 垂 足 点，F 为 BD中 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.若 4 c 的 长 为 定 值，则 该 三 楂 锥 内 切 球 的 半 径 也 为 定 值 B.若/。的 长 为 定 值，则 该 二 棱 锥 外 接 球 的 半 径 也 为 定 值 C.若 8。的 长 为 定 值，则 尸 的 长 也 为 定 值 D.若 CO的 长 为 定 值
17、，则 前.C力 的 值 也 为 定 值【答 案】BCD【解 析】I 分 析】对 于 A,将 三 楂 锥 补 形 成 长 方 体，易 知 该 三 棱 锥 的 外 接 球 即 为 长 方 体 的 外 接 球，为 外 接 球 的 直 径，即 可 判 断；对 于 B,假 设 内 切 球 的 球 心 为。，通 过 图 形 特 征 假 设 两 种 情 况，保 持/C的 长 样，求 出 各 自 情 况 的 内 切 球 的 半 径 即 可 判 断；对 于 C 和 D,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 进 行 向 量 的 坐 标 运 算，即 可 判 断【详 解】解：对 于 A.将 三 棱 锥 补 形 成 长
18、方 体，易 知 该 三 极 锥 的 外 接 球 即 为 长 方 体 的 外 接 球，所 以 为 外 接 球 的 直 径 2&,所 以 该 三 极 锥 外 接 球 的 半 径 也 为 定 值，故 正 确；对 于 B.因 为 4 6 1.平 面 BCD,CD,BD u 平 面 BCD,所 以 ZB _ L CD,AB BD,因 为 8C _ L CD,B C c 4 8=4 3C,4 8 u 平 面 ABC,所 以 8 _ L 平 面，/C,因 为，C u 平 面,48C,所 以 C O _ L/C,假 设 内 切 球 的 球 心 为 O,第 一 种 情 况 不 妨 假 设 4C=5,AB=3、B
19、C=4,CD=4,8。=4及，此 时 内 切 球 的 半 径 为 不 根 据/I e=O-MC+O-ABD+K）-BCU 即 3*S.BCO x AB=x r+S,。xz；+5x5,48 xr+*S*aca x（x 4 x 4 x 3=i x 3 x 4 x/j+-x 3 x 4 7 2 xz;+x 5 x 4 x+y x 4 x 4 x/,解 得 a=上 箸；第 二 种 情 况 不 妨 假 设 力 C=5/8=3,BC=4,CD=3,BD=5,此 时 内 切 球 的 半 径 为,根 据 A-HCD=ABC+%-.他）+匕）-心）+O-BCD 即 J X S*BCD X 4B=X SABC X
20、 弓+5 x SAABD X&+5 X S“CD G+*SABCD X 弓,x4x3x3=-x 3 x 4 x n+x3x5xr,+x5 x3x+-x4 x3xn2 2 2 2 2 2 2 2 2解 得 4=2(,综 上 所 述，当/C 的 长 为 定 值，三 棱 锥 内 切 球 的 半 径 不 为 定 值，故 错 误;对 于 C 和 D,以 C 点 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示，假 设=2c,8 c=2b,CD=2a,则 忸。|=+(2”=2 V 7+F,C(0,0,0)M(0,242c),B(0,2b,0),D(2a,0,0),尸(。4,0),则 B=(0
21、,2b,2c),因 为 E在 XC 上，所 以 设 E(),-2 b,h 2 c),则 布=(O,(0 l)3,h 2 c)因 为 8 E 1 4 C,所 以 所 以 豆 瓦 5 j=(A _ l)(%y+M 2 c)2=0,解 得 b+/所 以 的,羔 高 一(b(c2-/2)乃 2 1 一/所 以 a,4 _，CD=20,0),b+c b+c/则 府 卜 卜+笔 察 彳-晶=彳 号|到，EF CD=2a所 以 当 8。的 长 为 定 值 时，E F的 长 也 为 定 值：当 C。的 长 为 定 值，则 前.函 的 值 也 为 定 值,故 C,D 正 确，故 选：BCD12.设“e V,正
22、项 数 列 区 满 足&e(0,l),.qX,“-x/n x,=l,下 列 说 法 正 确 的 有()A.A 为 上 中 的 最 小 项B.4 为 卜,中 的 最 大 项 C.存 在 w“O J),使 得 如 2,三 成 等 差 数 列 D.存 在 占 e(0.1),e N,，使 得 x“,x,“2成 等 差 数 列【答 案】AB【解 析】【分 析】由=1可 得 当“=+lnx,，故 构 造/(x)=L+l n x,利 用 导 数 求 其 单 调 性，Xn X不 难 发 现 巧 是 最 小 的 项；在 构 造 g(*)=/(x)-x=g+l n x-x,为 了 比 较 4 之 后 每 一 项
23、与 前 一 项 的 关 系，发 现 演 是 最 大 的 项，易 得 B C D选 项 的 对 与 错【详 解】解：由 毛 鹏“一 玉/乙=1 可 得%.产 一+lnx”Xn令/(x)=-+In x,f x)=r-*=5-x x X X当 x.l/(x)0,/(幻 递 增：当 XV 1 J(X)V O,/(X)递 减 且/(I)=l+ln l=/(x).J Xi w(0,1),.,=/()1,勺=/(电)1,L二 芭 是 最 小 的 项:所 以 A 正 确 令 g(x)=/(J V)-X=+ln x-x,x.JX，,、1 1 i 12+工 1g(x)=-r+-1=-2 0，X X X g(N)在
24、 区 间 内 递 减，g(x1,0,.,.X.-x2 0 即.q x2；xA-x3 0 即&.所 以，综 上 所 述，是 最 大 的 项，所 以 B 正 确，由 于 王 是 最 小 的 项，%是 最 大 的 项，则 不 可 能 使 得 芭,与 小 3成 等 差 数 列，故 C 错 误；由 C 知，阳 户 2肉 不 成 等 差 数 列，当？2 时,因 为 所 以 g(x“+Jg(x“)，则 一 一 ln/一 怎,XnX f-x Q.y,所 以 不 存 在*x“.i，5.2成 等 差 数 列，故 D 错 误 故 选：AB三、填 空 题 13.过 点(1,2)作 直 线 3x+4歹-25 二 0 的
25、 垂 线，则 垂 线 方 程 为.答 案：y=-x+-3 34 114.已 知 a+2力=1(a,6 0)则-+；的 最 小 值 为 a+b b【答 案】9【解 析】【分 析】4 1根 据 a+2b=l,利 用 V 的 代 换，将，7+:转 化 为 a+b b-7+7=+/(Q+6+6)=5+-I-利 用 基 本 不 等 式 求 解.a+b h a+b b)a+b b【详 解】因 为 a+2b=l,所 以 a+b+6=1,LU I、I 4 I(4 1Y,-4b a+b _ _/4b a+b.所 以-+=-+(a+b+6)=5+-+-2 5+2J-=9,a+b b(a+b b)a+b b N a
26、+b b当 且 仅 当=坐，即 a=!时，取 等 号.a+b h 3 3所 以 一 4二+；I的 最 小 值 为 9.a+h b故 答 案 为：915.将 函 数 y=3sin(2x+J)的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 长 度，则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的 4 6对 称 轴 的 方 程 是.c 7t 7t.7、7兀 k,7 T.7、2 x.卜 k兀(k G Z)x-1-(k w Z)12 2 24 2当=-1时 x=一 把.24故 答 案 为：x=2416.已 知 x)是 定 义 域 为 R 的 函 数，/。-2)为 奇 函 数，/(2%-1)为 偶 函
27、数，则 1 6/(n=.?；-0【解 析】【分 析】依 题 意 可 得/(X)关 于 直 线 x=-l对 称、关 于 点(-2,0)时 称 且 时 周 期 为 4 的 周 期 函 数，再 求 出/。)+/(3)=0、/(2)+/(4)=0,即 可 得 解.【详 解】解：因 为/(2x-l)为 偶 函 数，所 以/(-2x-l)=/(2x-l),所 以/(-x-l)=/(x-l),ap/(-x-2)=/(x),则/(x)关 于 直 线 X=-1 对 称，因 为/(x-2)为 奇 函 数，所 以/(x-2)=-/(-x-2),所 以/(x)的 图 象 关 于 点(-2,0)对 称，所 以/(x-2
28、)=-/(-x-2)=-/(x),则/(x-4)=-/(x-2)=/(x),所 以/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，由/(x-2)=_/(-x_2)=_/(4-x-2)=-/(2-x),即=,所 以/(x)为 奇 函 数，又/(X)是 定 义 域 为 R 的 函 数，所 以/(o)=o，在/(x-2)=-/(x)中，令 x=-l,所 以/(-3)=-/(-1)=.1)=-3),所 以/0)+/(3)=0，在 x-2)=/(-x)中，令 x=-2,所 以/(-4)=/(2)=-/(4),所 以/(2)+/(4)=0,所 以/+/(2)+/(3)+/(4)=0,16所 以 Z/=/(
29、)+4/+/(2)+3)+/(4)=0./=0故 答 案 为：017.(本 题 满 分 1 0分)已 知 直 线(l-a)x+(l+)N+3a-3=0(aeR).(1)求 证；直 线 经 过 定 点，并 求 出 定 点 P：(2)经 过 点 P 有 一 条 直 线/，它 夹 在 两 条 直 线 4：2x-y-2=O与/2：x+y+3=O 之 间 的 线 段 恰 被 P 平 分，求 直 线/的 方 程.17.(1)证 明：将 直 线/的 方 程 改 写 为(-x+y+3”+(x+j-3)=0,令-x+y+3=0,且 x+y-3=0,两 式 联 立，解 得 x=3,N=0,所 以 直 线 过 定
30、点 尸(3,0).(2)设 直 线/夹 在 直 线 4,右 之 间 的 部 分 是 且 被 尸(3,0)平 分，设 点 X,B 的 坐 标 分 别 是(公,yj,(x2,yj,则 有 为+3=6,必+必=0，又 8 两 点 分 别 在 直 线 总 上，所 以 2为 一 必-2=0,电+必+3=0,由 以 上 四 个 式 子 解 得 X,*,M=与，所 以 直 线 4 8 的 方 程 为 8x-y-24=o.1 8.(本 题 满 分 1 2分)已 知 向 ift=,h=(s in x,c o s x)f(x)=a b.（1）若/（e）=o,求 2 cos2-s in/7-12V s in(e+的
31、 值;当 x w O/时，求 函 数/*）的 值 域.18、(1)因 为 4=(1,6),b=(sinx,cos.r)所 以/(.r)=-=sin x-V3 cosx 因 为/=。，所 以 sin。一 百 cos0=O，所 以 tan0=.2 分 所 以 2 8 s t-s i n-l cosO-sin。&s in|e+：_ 1-tan，_ 百 _ _2+GsinO+cos0-tan/9+1-+6 分(2)/(.V)=sinx-/3cosx=2sin x-y j,.8 分 因 为 x e 0,/r,所 以 4一 枭-p y当 刀 一（=一（，即 x=0时，/（x）取 最 小 值 一 百;当 耳
32、 嗫 即 X哼 时，制 取 最 大 值 2.所 以 当 x w 0 时，函 数/（x）的 值 域 为-6,2.12分 1 9.（本 题 满 分 1 2分）在 A4S C中，角 4 8,C 的 对 边 分 别 为 a,6,c,且 a-b co sC=JJcsin8.求 8；（2）若 a=2,且 为 锐 角 三 角 形，求 A/l8 c的 面 积 S的 取 值 范 围.19.(1)解：a-b c o s C=V 5 c s in 8,ill 正 弦 定 理 可 得：sin A=V3sin C sin 8+sin 8cosc,又;sin A=sin(8+C)=sin 8 cos C+cos A si
33、n C,*.V3sinCsin 8+sin BcosC=sin B cosC+cos B sin C，即:G sin Csin B=sin C cos B.：B,C e(0,)smC#0,；.tanB金,即 8=3 6B=-6(2)解：A A B C 为 锐 角 三 角 形,所 以 O v C v,解 得 0-C tan y=V5,士 r 哈 咨 2tanC 2的 面 积 S 的 取 值 范 围 为 2 0 已 知 数 列/满 足,=1,%=；,3+(-1)K(,-2a+2(-1)-1=0”N，.(1)令 2=的,1，判 断 是 否 为 等 差 数 列，并 求 数 列 a 的 通 项 公 式;
34、(2)记 数 列%的 前 2 n 项 和 为 求解:因 为 3+(-1)肛*2-2a,+2(-1)-1=0,所 以 3+(-I)3-1+2(-1产-1J=0,即 的 i=2,又 2=出“，所 以 4“一”=2,所 以 4 以 1为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列。所 以 a=2-1。(2)当 n 为 偶 数 时，1一 2可 得 q=a以=1 为 首 项，L 为 公 比 的 等 比 数 列,2 2当 n 为 奇 数 时，可 得 出”.%1T=2,所 以 七 2 以 4=1 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列，所 以 1凡=(q+%+*)+(%+4+,+生)=2+”环 21
35、 如 图，在 三 棱 台 A B C-4 B C 中，底 面 A4 8 c 是 等 腰 三 角 形，且 B C=8,AB=A C=5,0 为 B C 的 中 点.侧 面 B C C E 为 等 腰 梯 形，且 B G=C C、=4,M为 4 G 的 中 点.(I)证 明：平 面 A B C L 平 面 A O M；记 二 面 角 A-B C-B,的 大 小 为。，当 时，求 直 线 BB、与 平 面 A C,C 所 成 角 的 正 弦 的 最 大 值.c,l解 答】(1)证 明：&4 B C 是 等 腰 三 角 形，O 为 B C 的 中 点，：.BC1AO,侧 面 BCCB为 等 腰 梯 形
36、,M 为 BC的 中 点,:.BCLMO.：MOOAO=O,MO,A O c m AOM,平 面 XOM,：ABC,平 面/IBC_L平 面/a w.(2)解：在 平 面 HOM内，作 ON J。4 平 面 4BCJ平 面 平 面/8C C 平 面 ONu平 面/fOW,.ONI平 面 ABC.以 08,OA,ON分 别 为 x 轴、y 轴，z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.,：MOA.BC,AOLBC.乙 4。”为 二 面 角 A-BC-B的 平 面 角，即 乙 4。M=9,：.A(0,3,0),B(4,0,0).C(-4,0,0),M(0,2愿 cos。，2V3
37、sin0),Ci(-2 1 2V3cos0.2A/sinQ)B(2.2V3cos0(iVSsinfl).设 平 面 4/C C 的 法 向 量 为：=(x,y,z),其 中 以=(4,3,0),西=(2,2%cos。,2V3sin6),.CA-n=0 i(4x+3y=0CC1n=0，l|J(2x+2V3cos0 y+273sin 0-z=0，则 可 取 W=(-3,4,3-妒 co：8),V 3 sin 8设 直 线 881与 平 面/小 G C 所 成 的 角 为 a,r3则 sina=|cos o，sinB 6 2 s in 8/./(0)在 三，三)上 单 调 递 增，6 2-V9)6-
38、2V 3,43,l!U；4 cs e.e-273.V 3 sin,(-4Te)26 0,12.sintJ：,(sin a)的 卷 直 线 B8i平 面 AAiCtC所 成 角 的 正 弦 的 最 大 值 为 522.（本 题 满 分 12分）已 知 函 数 Jx)=xnx-x-a,a e R(1)当 时，求 函 数 在(1,/(I)处 的 切 线 方 程；(2)若 函 数/(X)有 两 个 零 点 小 修(再 X2)求 a 的 取 值 范 围；求 证：x,+x2 a 4-3.22、解：(1)当=1 时，/(x)=xlnx-x-1,fXx)=In.v,/z(l)=0,/(1)=-2函 数 在(1
39、,7(1)处 的 切 线 方 程 为 y=-2.2 分(2)函 数/(x)有 两 个 零 点 占,占.区 七)，/(x)=lnx=O，得 到 x 二 l当 x w(O,l)/a)o所 以 函 数/(x)极 小 值 为/(I)=-1a-1.3分 若 a N O 时，当 0 xvl 时，/(x)=xlnx-x-Q0函 数 不 可 能 有 两 个 零 点.-.-la0.4 分 下 面 验 证 存 在 两 个 零 点 当 0 x-x-2-/x-a=0/(Ji二-1)2)0,/(l)x(lnx-l)-a 0,/(I)0,/(x)增，所 以 函 数 存 在 唯 一 零 点；.7 分 综 上-1 a a,(x l)又 0 M vl V/，所 以 卜 工 2 lnx2=三 上 且 代 入 整 理 为：再 2-(+3)电 一 Q 0同 理：xj(。+3)X1 0；即 一%-+(。+3)X1+a 0两 式 相 加：x-t xj(a+3)(x?工 i)。所 以 芭+工 2。+3，命 题 得 证。.12分