广东省潮阳区2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案解析.pdf

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1、潮 阳 区 2022-2023学 年 度 第 一 学 期 高 二 级 教 学 监 测 试 卷 数 学 本 试 题 满 分 150分，考 试 用 时 120分 钟 注 意 事 项：L 答 卷 前，务 必 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 在 答 题 卡 指 定 位 置 填 写 自 己 的 学 校、姓 名 和 考 生 号.2.选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上.不 按 要 求 填 涂 的，答 案 无

2、效.3.非 选 择 题 必 须 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上，请 注 意 每 题 答 题 空 间，预 先 合 理 安 排；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 的 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液.不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无 效.一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 命 题 乙 3X

3、+1 5,则 命 题 0 的 否 定 为()A.3xe(l,+oo),3x+l5 B.3xe(-oo,l,3x+l5C.Vxe(l,+oo),3x+l 5 D.Vxe(-oo,l,3x+l 5,所 以 命 题，的 否 定 为：V X G(1,+O O),3X+15.2.直 线 y=G x+l 的 倾 斜 角 为()A.60 B.-60 C.30 D.-30【答 案】A【分 析】利 用 直 线 斜 率 和 倾 斜 角 的 关 系 求 解.【详 解】解：设 直 线=屈+1的 倾 斜 角 为 a,因 为 直 线 y=G x+1的 斜 率 为 G,所 以 tan a=V3,又 0 a 18()所 以

4、a=60 3.已 知 i为 虚 数 单 位，复 数 z满 足(l-i)z=i,则 z+-2的 值 为()【答 案】C【分 析】利 用 复 数 的 除 法 运 算 求 出 复 数 z,再 利 用 复 数 模 的 定 义 计 算 作 答.4.某 公 司 10位 员 工 的 月 工 资(单 位：元)为 玉，巧，玉 0,其 均 值 和 方 差 分 别 为 无 和$2,若 从 下 月 起 每 位 员 工 的 月 工 资 增 加 100元，则 这 10位 员 工 下 月 工 资 的 均 值 和 方 差 分 别 为 A.x,s2+1002 B.x+l(X).s2+1002C.J,?D.x+l()0,.y2【

5、答 案】D【详 解】试 题 分 析：均 值 为 丝 匕 二 _-=1 7 0 0；方 差 为 5+1 0 0）-（再-】00+归+100）-（上+100）卜.+应+100）-6 广 1001=r+（x-x;r+.+lx-xls r=/5.如 图，在 直 三 棱 柱 A B C-A A G 中，若 C4=a，丽=5,cG=d，则（）A.a+0-cC.-abc【答 案】BB-a+b-cD.d-b+C【分 析】结 合 向 量 的 加 法 和 减 法 运 算 直 接 化 简 即 可.【详 解】由 题 意 可 得 A力=4 耳+4 Q=A B+C,C=C B C A CC=6 a c=a+B C.6.在

6、 新 冠 肺 炎 疫 情 防 控 期 间，某 超 市 开 通 网 上 销 售 业 务，每 天 能 完 成 1200份 订 单 的 配 货，由 于 订 单 量 大 幅 增 加，导 致 订 单 积 压.为 解 决 困 难，许 多 志 愿 者 踊 跃 报 名 参 加 配 货 工 作.已 知 该 超 市 某 日 积 压 500份 订 单 未 配 货，预 计 第 二 天 的 新 订 单 超 过 1600份 的 概 率 为 0.0 5,志 愿 者 每 人 每 天 能 完 成 5 0份 订 单 的 配 货，为 使 第 二 天 完 成 积 压 订 单 及 当 日 订 单 的 配 货 的 概 率 不 小 于 0

7、.9 5,则 至 少 需 要 志 愿 者（）A.42 名 B.32 名 C.24 名 D.18 名【答 案】D【分 析】只 要 第 二 天 能 把 原 有 积 压 500份 和 第 二 天 新 订 单（按 1600份 计 算）消 化 掉，就 能 满 足 题 意.【详 解】由 于“第 二 天 的 新 订 单 超 过 1600份 的 概 率 为 0.05”，即“第 二 天 的 新 订 单 量 小 于 或 等 于 1600份 的 概 率 为 0.95”，所 以 只 要 第 二 天 能 把 原 有 积 压 500份 和 第 二 天 新 订 单（按 1600份 计 算）消 化 掉，就 能 满 足 题,一

8、 忌：第 二 天 完 成 积 压 订 单 及 当 日 订 单 的 配 货 的 概 率 不 小 于 0.9 5,第 二 天 新 增 积 压 订 单 数 为 1 6 0 0-1 2 0 0=4 0 0,两 天 共 积 压 500+4 0 0=900 份，因 为 箸=1 8,故 至 少 需 要 志 愿 者 1 8名.7.已 知 正 项 等 比 数 列 为 满 足 log24+log2a2+.+log2a2022=2022,则 10g2+生 022）的 最 小 值 为（）A.1 B.2 C.1011 D.2022【答 案】B【分 析】先 根 据 等 比 中 的 性 质 和 对 数 的 性 质 求 出

9、1。8 2（4+。2022）的 值，再 利 用 基 本 不 等 式 即 可 求 出 其 最 小 值.【详 解】l O g i+lOg2a2+.+122022=lOg2。2022）=2022所 以 q 4 峻=22侬,又 数 列，是 正 项 等 比 数 列，所 以 4|2022=a 2 a 2021=3a2020=.=0101101012=2-=4所 以 log,（a,+。2022）之 1og2（2 J W 2 0 2 2）=1og24=28.已 知 P,Q 是 椭 圆 3/+6 y 2=i 上 满 足 N P O Q=9 0 的 两 个 动 点（。为 坐 标 原 点），则【答 案】B【分 析】

10、令 P(x”X),Q(x2,y2),由 题 设 可 得 改=x w+x%=0、3x：+6y：=l、3 4+6=1,进 而 可 得 不；=匕 等，进 而 化 简 品 T+患=一+六“即 可 得 结 果.【详 解】令(X，X),。(工 2，%)，则 如=(%，X)，OQ(x2,y2),由 Z.POQ=90,故=办+y%=，则,%=-XB?,而 3x：+6y：=l,3x；+6y；=l,则 才=lz2i,6 6所 以 y；另=3(x；+x；)+9x：E=看,故 X：+=27片,36 3 1 1 1 6 6 _ 12+18(片+考)I OP|2|OQ X12+y,考+y；l+3x；l+3%2 1+3(x

11、,2+x1)+9()29(l-9x况)i-9XfX2.二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，至 少 有 两 项 符 合 题 目 要 求，全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2分，有 选 错 的 得 0 分.9.下 列 各 式 比 较 大 小，正 确 的 是()A 1.72 51.73C.1.7-30,93J D(2)-4(3)3-【答 案】BC【分 析】A、B 选 项 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 进 行 比 较；C 选 项 利 用 中 间 值 1比 大 小；D 选 项 利 用 指

12、 数 函 数 和 基 函 数 的 单 调 性 比 较.【详 解】解：对 于 选 项 A：二 函 数 y=1.7在 R 上 单 调 递 增，且 2.53,.,.1.72 51.73,故 选 项 A 错 误，对 于 选 项 B：2 4 函 数 y=2在 R 上 单 调 递 增，且 一 一,(g)3=24 2 T，故 选 项 B 正 确，对 于 选 项 C：V1.7O-31.7O=1,00.93 0.931,故 选 项 C 正 确，2 3 2对 于 选 项 D：,函 数=()”在 R 上 单 调 递 减，且|，22 3又 函 数 y=在(0,+8)上 单 调 递 增，且 二，x 3 4 令 手.弓

13、I(|)2=4 x 的 焦 点 为 凡 其 准 线/与 x 轴 交 于 点 P,过 C 上 一 点 M 作/的 垂 线，垂 足 为 Q，若 四 边 形 M Q P F 为 矩 形，则()A.准 线 I的 方 程 为 x=-l B.矩 形 M Q P F 为 正 方 形 C.点 M 的 坐 标 为(1,2)D.点 M 到 原 点。的 距 离 为 遥【答 案】ABD 分 析】各 选 项 根 据 抛 物 线 的 定 义 和 性 质 可 以 得 出 结 论.【详 解】由 抛 物 线 C：/=4 万，得 其 准 线/的 方 程 为 x=l,A 正 确；由 抛 物 线 的 定 义 可 知 又 因 为 四

14、边 形 M Q P k 为 矩 形，所 以 四 边 形 M Q P F 为 正 方 形，B 正 确；所 以|MQ|=|M尸|=p=2,点”的 坐 标 为(1,2),所 以 阿。|=有,c 错 误，D 正 确.11.正 方 体 A 3 C Q-A q G A 中，E 为 C C,中 点，下 列 说 法 正 确 的 是()A.直 线 4 c 与 面 A 3。夹 角 的 余 弦 值 为 逆 3B.直 线 A A 与 直 线 4 G 夹 角 为 45C.面 A 8 E 截 正 方 体 A B C D-A B C Q 所 得 截 面 图 形 为 等 腰 梯 形 D.若 面 B Q E 与 面 所 成 锐

15、 二 面 角 的 平 面 角 大 小 为 夕，则 tang=J5【答 案】AC【分 析】以 为 坐 标 原 点，建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，由 异 面 直 线 所 成 角、线 面 角、二 面 角 的 向 量 计 算 公 式 可 判 断 A,B,D；求 出 面 A B E截 正 方 体 ABCO A耳 G R 所 得 截 面 图 形 可 判 断 C.【详 解】对 于 A,以。为 坐 标 原 点，建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 的 边 长 为 2,所 以 A(2,0,2),C(0,2,0),5(2,2,0),2x+2z=0

16、2 x+2 y=。令 A】设 7=(x,y,z)JL面,所 以 4。=(2,2,2),Z)A=(2,0,2),。月=(2,2,0),=0n D B=0所 以=。,1,一 1),设 直 线 A。与 面 4 8。所 成 角 为 4，所 以 磊|=;=3 所 以 直 线 4 C 与 面 A 3。夹 角 的 余 弦 值 为 迪，故 A正 确；3对 于 B,C.(0,2,2),D,(0,0,2),4(2,0,0),则 独=(-2,0,2),=(-2,2,0),设 直 线 与 直 线 A G 夹 角 为 a，所 以 c o sa=k o s A，A G=厂 4 厂=：,1 1 函|阿 2 7 2.2 7

17、2 27 1 TT=0,-，直 线 4 R 与 直 线 A G 夹 角 为 故 B不 正 确;X对 于 C,取 G 2 的 中 点 为“，连 接“A H E,易 证 得：AB/HE,所 以 A B,H,四 点 共 面，所 以 面 A 8 E 截 正 方 体 A3CD A 4 G A 所 得 截 面 为 四 边 形 A B,H,E,因 为=J A D：+D M=J4+2=V6,BE=J B C2+CE2=44+2=瓜,所 以 同 川=忸 用，AB/HE,所 以 面 A 6 E 截 正 方 体 A B C D A G A 所 得 截 面 图 形 为 等 腰 梯 形，故 C 正 确；对 于 D,B,

18、（2,2,2）,D,（0,0,2）,（0,2,1）,5（2,2,0）,设 用=（%,*，4）_1面 片。,所 以 4=（一 2,-2,0）,D,E=（O,2,-l）,所 以 m2y B.DJ,=01nl DE=0-2x-2yt=02y Z=0f 令=i,y=1，Z=-2,所 以 肛=(1,1,2),设 的 2z)，面 BO石，所 以。月 二(2,2,0),DE=(0,2,l),所 以 叫 D_B=0=2X2+2y2=0nt,DE=0 2-y2+z2 0令 x=l,y=-l,z=2,所 以 芍=(1,-1,2)设 面 B R E 与 面 B D E 所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 大 小

19、 为 仇 所 以 COS 0=COS班，加 21=2 _ 6-36&0,-，:.sin 8=则 tan（9=2j5，tan6=-4=2 日 1 tan 2解 得：tan=或 tan7=一(舍 去),2 2 2故 D 不 正 确.12.已 知 函 数/(x)=Asinx+)4 0,口 0,刨 g 1的 部 分 图 像 如 图 所 示，下 列 说 法 I 2)A./(尤)的 图 像 关 于 点 一：0 对 称 I 3/57rB.“X)的 图 像 关 于 直 线=一 言 对 称 C.将 函 数 y=2sin j2x-+的 图 像 向 左 平 移 g 个 单 位 长 度 得 到 函 数/(x)的 图

20、像 2D.若 方 程/(x)=m 在-,0 上 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，则 加 的 取 值 范 围 是 卜 2,-g【答 案】BD【分 析】根 据 图 像 周 期 性 求 出 口,代 入 特 殊 点 求 得 到 x)=2sin(2x+V，对 四 个 选项 一 一 验 证，对 于 A、B,代 入 验 证 即 可；对 于 C,利 用 平 移 左 加 右 减 的 规 律 即 可 求 得 平 移 后 的 函 数，化 简 进 行 比 较；对 于 D,先 判 断 出 单 调 性，求 出 最 值，根 据 函 数 值 的 正 负 进 行 判 断.【详 解】由 题 图 可 得 A=2,=故 0=

21、2,4 w 3 12所 以/(x)=2sin(2x+e),又/1)=2sin(2x1+Q=2,即 5苗(己+夕=1,所 以 四+3=四+2而，Z e Z,又|同，所 以 8=四，所 以/(x)=2sinbx+g6 2 2 3 1 3,对 于 A：当=一 1 时，/(x)=一 百，故 A 错 误；57r对 于 B：当=一 时，/(x)=-2,故 B 正 确；对 于 C：将 函 数 y=2sin(2x-2)的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数,7T/兀-=2$皿 2工+石 的 图 像，故 C 中 说 法 错 误;，一,兀 八，c 兀 2兀 兀 71对 于 D：当 尤 一

22、不,0 时，2x+e,则 当 21+大 n2,即 7 C 5 7 c 7 C 7 E TC 57t 5,一 W 时，/(x)单 调 递 减；当，即 工 一 7y，时，/(，)单 乙 J L 乙 J 4 J J L 乙 调 递 增，因 为 2sin(一 百，2sin 一 5=-2,2sin=G,所 以 方 程/(x)=机 在 一,0 上 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 时，?的 取 值 范 围 是 故 选：BD.三、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.13.已 知 函 数“X)的 对 应 关 系 如 下 表，则/(7)=.【答 案】25X 0 1 2 3 4

23、5 6 7 8 9 1()11/(X)-3-2-1 0 1 3 5 10 15 20 25 30【分 析】首 先 从 表 中 找 到 x=7,求/(7)的 值，同 理 再 求/(7)的 值.【详 解】从 表 中 找 到 x=7,得 7)=10,所 以/7)=10)=25,故 答 案 为：25.14.设 等 差 数 列 为 的 前 项 和 为 S“，若 S q=7 2,则 4+4+%=.【答 案】24【分 析】根 据 等 差 数 列 的 性 质 与 前 项 和 公 式 计 算.【详 解】,是 等 差 数 列，59=93；佝)=9%=7 2,。5=8，a2+a4+O g=at+d+at+3d+at

24、+Sd=3(q+44)=3a5=24.故 答 案 为：24.15.已 知，鸟 分 别 是 双 曲 线 E 的 左、右 焦 点，过 耳 的 直 线 与 双 曲 线 E 的 左 支 交 于 4 8 两 点,若 忸 闾:AB:|伍|=5:12:13,则 双 曲 线 E 的 离 心 率 为 _.【答 案】叵#/月 3 3【分 析】设 忸 居|=5t 则|AB|=12f,|A6|=1 3 f,由 勾 股 定 理 得 ABJL%,由 双 曲 线 的 定 义 求 得，。关 系，再 由 双 曲 线 的 定 义 求 得 忸 H|,然 后 由 勾 股 定 理 求 得 c 与，的 关 系，计 算 可 得 离 心 率

25、.【详 解】由 题 意 可 设 忸 居|=5f(L 0),则|AB|=12f,|A闾=1 3 f,由 勾 股 定 理 明 显 有 ABBF2,又 由 双 曲 线 定 义 可 知 忸 以+|伍|-|A B|=4a=6 f,所 以 2a=3/又 月|A用=忸 图 忸 制=2a=3 t即|4 6|=|4用 3t=10r,|防|=怛 用 3r=2r所 以 2c=怩 周=忸 用 2=J 4 r2+25产=晒 t 3 t=2a所 以 离 心 率 e=&=叵.2a 3故 答 案 为：叵.316.有 一 塔 形 几 何 体 由 若 干 个 正 方 体 构 成，构 成 方 式 如 图 所 示，上 层 正 方 体

26、 下 底 面 的 四 个 顶点 是 下 层 正 方 体 上 底 面 各 边 的 中 点.已 知 最 底 层 正 方 体 的 棱 长 为 2,且 该 塔 形 的 表 面 积(含 最 底 层 正 方 体 的 底 面 面 积)超 过 39,则 该 塔 形 中 正 方 体 的 个 数 至 少 是【答 案】6【分 析】分 析 各 正 方 体 的 边 长，利 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】底 层 正 方 体 的 表 面 积 为 24,1第 2层 正 方 体 的 棱 长 为 2乂 苧=V2，每 个 面 的 面 积 为 4xa=2,第 3层 正 方 体 的 棱 长 为

27、2x,每 个 面 的 面 积 为 4x 1(万 丫 T第 层 正 方 体 的 棱 长 为 2x 注 2 7n-1,每 个 面 的 面 积 为 4x2则 该 几 何 体 为 层，则 它 的 表 面 积 为 24+4x4x-+4xf-+.+4x2.40(g)39,解 得(g)1.该 塔 形 中 正 方 体 的 个 数 至 少 是 6.故 答 案 为：6四、解 答 题：本 题 共 6小 题，第 17题 满 分 10分，其 它 5个 小 题 满 分 均 为 12分,共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知 圆。：炉+(卜 _1)2=4,直 线/:

28、/nr-y+l(1)求 证：任 意 m e R,直 线/与 圆 C 总 有 两 个 不 同 的 交 点；(2)当 加=2 时，求 直 线/被 圆 C 截 得 的 弦 长.【答 案】(1)证 明 见 解 析 延 5【分 析】(1)求 含 参 直 线/所 恒 过 的 定 点，定 点 在 圆 的 内 部，直 线/与 圆 C 总 有 两 个 不 同 的 交 点;(2)求 圆 心 到 直 线 的 距 离，根 据 勾 股 定 理 求 半 弦 长，再 求 出 弦 长.【小 问 1详 解】直 线/:皿-y+l-，=O 恒 过 定 点 41,1),又 好+(1 1=14,所 以 点 A(l,l)在 圆。：/+(

29、),一 1)2=4的 内 部，所 以 直 线/与 圆。总 有 两 个 不 同 的 交 点.【小 问 2 详 解】由 题 设，/:2x-y-l=0,又 圆 C 的 圆 心 为(0,1),半 径 为，=2,所 以(0,1)到 直 线/的 距 离 d|2xQ-l-l|_ 2后 _ 5所 以 弦 长 为 2,产/2=2即 直 线/被 圆。截 得 弦 长 延.518.已 知 数 列%是 等 差 数 列，S“是 等 比 数 列 5 的 前 项 和，=白=16,3=12.(1)求 数 列 6,a 的 通 项 公 式;(2)求 5“的 最 大 值 和 最 小 值.【答 案】(1)=3/7-2,2=16(-g)

30、T；(2)最 大 值 16,最 小 值 8【分 析】(1)根 据 给 定 的 条 件，求 出 等 差 数 列 6,的 首 项 及 公 差，等 比 数 列 仇 公 比 求 解 作 答.(2)由(1)可 得；)”,再 分 为 奇 数 与 偶 数 时，结 合 S,的 单 调 性 求 解 即 可.【小 问 1详 解】设 等 比 数 列 也 的 公 比 为 4,因 4=16,S3=12,则 16 U6 q 蛤 42鱼，解 得 g=即 有”=1 6(g)T设 等 差 数 列 m 的 公 差 为 d,因 4=1 6,%=差，则，+5d=16 q+d=4 解 得 4=1，即=1+3(-1)=3 2,所 以 数

31、 列%，a 的 通 项 公 式 分 别 为%=3-2,=1 6.（-【小 问 2 详 解】32 1由(1)知，s=-=i-(-)n当=2Z l,%e N*时，Sz,=y 1+（-）,此 时 数 列 S,是 递 减 的，恒 有 S“E=1 6,32此 时 Sw 为 正 方 形，旦 尸 分 别 为 A。，B C的 中 点，以。E 为 折 痕 把 OFC折 起.使 点 C 到 达 点 P 的 位 置，且 P F L B F.P（2）求 O P与 平 面 A 8F。所 成 角 的 余 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）B.4【分 析】（1）先 证 明 平 面 P E F,再 由 面 面

32、 垂 直 的 判 定 定 理 得 结 论；（2）作 P H _L E F,垂 足 为 H,得 P”_L平 面 A B F D，以 H 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 一 孙 z,由 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 得 线 线 垂 直，求 得 图 形 中 的 线 段 长 得 出 P 点坐 标，然 后 用 空 间 向 量 法 求 线 面 角.【小 问 1详 解】由 已 知 可 得，B F L P F,BF A.EF,又 尸 门 石 尸 二 尸，P F,E F u平 面 PEF,所 以 平 面 P E F,又 B F u 平 面 A B F Q，所 以

33、 平 面 P EF 平 面 A B F D；【小 问 2 详 解】作 P H 上 E F,垂 足 为 又 平 面 PEF J_平 面 A B E D，平 面 尸 石 户 门 平 面=,P H u 平 面 P E F,所 以 PH _L平 面 A B F D，以 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系-孙 z,不 妨 设|8户|=1，因 为 D E H B F,平 面 P E E,所 以 D E I 平 面 PE/，PE u 平 面 PEF,所 以 D E J.P E,又 D P=2,DE=l,所 以 PE=J 5,又 P F=1,EF=2,故 PE J.P尸

34、.可 得 P”=立,E H=，2 2则(0,0,0),P(0,0,),0(-1,-,0).则。P=1，；，*，2 2 1 1)易 知 平 面 A B F D 的 一 个 法 向 量 为=(0,0,1)，所 以 cos(落 户)n-DP一 肺 网 0+0+2f _/3F 4 设 O P 与 平 面 ABF。所 成 角 为。，贝!lsin8=cos,DP=,cos 6=巫，即 D P 与 平 面 A B F D 所 成 角 的 余 弦 值 为 叵 4 420.设 A 8 C 的 内 角 A,B,C 所 对 边 的 长 分 别 是 a,h,c,且 A=23,bc.(1)证 明：a2=b2+bc；（2

35、）若。是 B C 边 上 的 中 点，且 A）=0 c，求 cosA的 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）3【分 析】（1）利 用 二 倍 角 正 弦 公 式 和 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 将 A=2 3 转 化 为 关 于 a,h,c 的 关 系 式，化 简 整 理 即 可 得 到=6 2+儿；（2）利 用 三 角 形 中 线 的 性 质 和（1）的 结 论 列 出 关 于 a,h,c 的 方 程 组，进 而 得 到 a,h,c之 间 的 关 系，利 用 余 弦 定 理 即 可 求 得 cosA的 值.【小 问 1详 解】A 8 C 中，由 A=2B,可 得 sin A

36、=sin28=2sin8cosB则 a=c o s 5,则 a=2从/巴 士 j_r2 _仔,整 理 得 20+。3一/0 一 尻 2=o2ac即 s c）（c）=0,又 b 手 c,贝 1 2=从+乩【小 问 2 详 解】1北+（缶）2-2（+（岳）2-/1/+3 人 户 0=cos Z A D B+cos Z A D C=-+*-=2 尸-2.巴 岳 2.巴 丘 缶，2 2则 有+3。2一/=0b2+hc解 之 得 ah=3c=2y/3c贝 i j cos A=t2+c2-a22bc9c2+c2-12c2 6 I321.我 市 某 校 为 了 解 高 一 新 生 对 物 理 科 与 历 史

37、 科 方 向 的 选 择 意 向，对 1000名 高 一 新 生 发 放 意 向 选 择 调 查 表，统 计 知，有 600名 学 生 选 择 物 理 科，400名 学 生 选 择 历 史 科.分 别 从 选 择 物 理 科 和 历 史 科 的 学 生 中 随 机 各 抽 取 20名 学 生 的 数 学 成 绩 得 如 下 累 计 表（下 表）：分 数 段 物 理 人 数 历 史 人 数40,50)丁 50,60)-T F60,70)T T F70,80)正 一 正 80,90)正 一 T90,100)正 T频 率 0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.00

38、5.1_11_11040 50 60 70 80 90 100 成 最(I)利 用 表 中 数 据，试 分 析 数 学 成 绩 对 学 生 选 择 物 理 科 或 历 史 科 的 影 响，并 绘 制 选 择 物 理 科 的 学 生 的 数 学 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图(如 图);(2)从 数 学 成 绩 不 低 于 70分 的 选 择 物 理 科 和 历 史 科 的 学 生 中 各 取 一 名 学 生 的 数 学 成 绩，求 选 取 物 理 科 学 生 的 数 学 成 绩 至 少 高 于 选 取 历 史 科 学 生 的 数 学 成 绩 一 个 分 数 段 的 概 率.【答 案】(

39、1)答 案 见 解 析 31(2)80【分 析】(1)从 统 计 表 看 出 选 择 理 科 的 学 生 的 数 学 平 均 成 绩 高 于 选 择 文 科 的 学 生 的 数 学 平 均 成 绩，反 映 了 数 学 成 绩 对 学 生 选 择 文 理 科 有 一 定 的 影 响，然 后 根 据 数 据 绘 制 出 直 方 图 即 可;(2)利 用 互 斥 事 件 的 加 法 公 式，即 可 得 出 结 论.【小 问 1详 解】解：由 表 格 数 据 知，随 着 数 学 成 绩 分 数 的 提 升，选 择 物 理 方 向 学 生 的 占 比 有 明 显 的 提 升.所 以 数 学 成 绩 越

40、好，其 选 择 物 理 科 方 向 的 概 率 越 大.频 率 分 布 直 方 图 如 下:0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005【小 问 2 详 解】解：设“选 取 物 理 科 学 生 的 数 学 成 绩 至 少 高 于 选 取 历 史 科 的 学 生 的 数 学 成 绩 一 个 分 数 段 为 事 件 C选 择 物 理 科 的 学 生 考 分 在 70,80),80,90),90,1(叫 分 别 事 件 A,，选 择 历 史 科 的 学 生 考 分 在 70,80),80,90),90,100的 事 件 分 别 为 与，B2,B.由 表 得 尸(4

41、)=9=、P(A)=H=L,P(g)=2=L,P(8,)=3、16 8 16 4 10 2 V 27 10因 为“选 择 物 理 科 学 生 考 分 在 何 分 数 段”与 选 择 历 史 科 的 学 生 考 分 在 何 分 数 段 相 互 独 立，4，4，4,B,B2,层 也 明 显 互 斥 所 以 P(C)=2(4 4+4 月+A,S2)=P(A2B1)+P(A3BI)+P(A3B2)=尸(4)尸(4)+尸(4)尸(4)+尸(4)尸(%)3 1 I 1 1 3 31=-X-1-X-1-X-=-8 2 4 2 4 10 802X222.已 知 椭 圆 E:、+a1,(。0)的 左、右 焦 点

42、 分 别 为 耳，瑞，焦 距 与 短 轴 长 均 为 4.(1)求 E 的 方 程;(2)设 任 意 过 工 的 直 线 为/交 E 于 M,N,分 别 作 E 在 点 M,N 上 的 两 条 切 线，并 记 它 们 的 交 点 为 P,过 耳 作 平 行 于/的 直 线 分 别 交 尸 M,P N 于 A,B,求 纪 的 取 值 范 围.OP【答 案】(1)工+匕=18 4（2）（0,1【分 析】（1）根 据 焦 距 和 短 轴 的 公 式 求 解 即 可；（2）设/的 方 程 为 x=ty+2,M（X”X）,N（X2，%），联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程，根 据 椭 圆 的 切 线

43、 方 程，联 立 可 得 P（4,-2。，设 M N的 中 点 为 0（,为），根 据 韦 达 定 理 可 得 2 H，再 结 合 三 角 形 与 椭 圆 的 性 质 可 得 R，。，。，尸 四 点 共 线，从 而 化 简（产+2 r+2）OA+OB=2 O Q 再 根 据 的 横 坐 标 关 系，结 合 参 数 的 范 围 求 解 即 可 OP OP【小 问 1详 解】由 题 意，2doi-廿=4,2b=4,解 得 从=4,/=8,故 椭 圆（_+彳 _=1【小 问 2详 解】由 题 意，鸟（2,0）,显 然/的 斜 率 不 为 0,故 设/的 方 程 为 x=ty+2,M（和 y）,N（X

44、 2，%），-F 1/，4r 4则 8 4，即（厂+2）y+4 f y-4=0,故 y+必=一-跖=一/十？联 立 x=ty+2过 M,N 的 切 线 方 程 纪+里=18 4生+丝=1I 8 4玉%x+2yy2 y=8%x2ylx+2yly2y=Syl相 减 可 得（5%-%乂 卜=8（%-乂），即 山+2）%-（）2+2）乂=8（%一 凶），化 简 可 得.代 入 管+乎=1可 得 尸 亍 产-人 故 P（4,3）.设 N 的 中 点 为 Q（x。,%）,则。=一 段，迎=悬+2=号，故 0（号 怒）因 为 J 0*+2k（）p=-于 故%=限,所 以 O,Q,P三 点 共 线.又 片 作 平 行 于/的 直 线 分 别 交 PM,PN于 A,B,易 得 P M N PAB,取 A 3中 点 R,根 据 三 角 形 的 性 质 有 R,O,Q,P四 点 共 线，结 合 椭 圆 的 对 称 性 有|0 3+0|2|0 町 2|0。|_ 2 _ 2OP OP OP Xp 产+2 1,当 且 仅 当 r=0时取 等 号.故 四 皿 0