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1、1绝密启封并使用完毕前2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A=x|2x1，B=x|x3，则 AB=（A）x|2x1（B）x|2x3（C）x|1x1（D）x|1x3（2）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（A）(，1)（B）(，1)（C）(1，+)
2、（D）(1，+)（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）2（B）23（C）53（D）58（4）若 x，y 满足x3，x+y 2，则 x+2y 的最大值为yx，2（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函数1(x)33xxf，则(x)f（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（B）是偶函数，且在 R 上是增函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“m n0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱
3、的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数 m=_.（10）若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则22ab=_.（11）在极坐标系中，点 A 在圆22 cos4 sin40上，点 P 的坐标为(1
4、,0)，则|AP|的最小值为.（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称。若1sin3，则cos()=.3（13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_。记 pi为第 i 名
5、工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是_。三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC 中，A=60，c=37a.（）求 sinC 的值；（）若 a=7,求ABC 的面积.（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB上，PD/平面 MAC,PA=PD=6,AB=4.4(I)求证：M 为 PB 的中点；(II)求二面角 B-PD-A 的大小；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。（17）（
6、本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；5（）从图中 A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E（）；（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题 14 分）已知抛物线 C：y2
7、=2px 过点 P(1,1).过点(0,12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.（19）（本小题 13 分）已知函数 f(x)=excosxx.（）求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数 f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.6（20）（本小题 13 分）设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中 maxx1,x2,xs表示
8、 x1,x2,xs这 s 个数中最大的数（）若 an=n，bn=2n1，求 c1,c2,c3的值，并证明cn是等差数列；（）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时，ncMn；或者存在正整数m，使得 cm,cm+1,cm+2,是等差数列72017 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）答案一、（1）A（2）B（3）C（4）D（5）A（6）A（7）B（8）D二、（9）2（10）1（11）1（12）79（13）1,2,3（答案不唯一）（14）Q1p2三、（15）（共 13 分）解：（）在ABC 中，因为60A，37ca，所以由正弦定理得sin333 3sin7214cAC
9、a.（）因为7a，所以3737c.由余弦定理2222cosabcbcA得222173232bb，解得8b 或5b （舍）.所以ABC 的面积113sin8 36 3222SbcA .（16）（共 14 分）解：（I）设,AC BD交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC 平面PBDME，所以PDME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.（II）取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.8又因为平面PAD 平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP 平面ABCD.因为OE 平面ABCD，所以OPOE.因为ABCD是正方形，所以OEAD.如图建
10、立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，(4,4,0)BD ，(2,0,2)PD .设平面BDP的法向量为(,)x y zn，则00BDPD nn，即440220 xyxz.令1x，则1y，2z.于是(1,1,2)n.平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以1cos,|2n pn pnp.由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3.（III）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC .设直线MC与平面BDP所成角为，则|2 6sin|cos,|9|MCMCMC nnn.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 69.（1
11、7）（共 13 分）解：（）由图知，在服药的 50 名患者中，指标y的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于 60 的概率为150.350.（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.所以的所有可能取值为 0,1,2.921122222222444CC CC121(0),(1),(2)C6C3C6PPP.所以的分布列为012P162316故的期望121()0121636E .（）在这 100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.（18）（共 14 分）解：（）由抛物线 C：2
12、2ypx过点 P（1，1），得12p.所以抛物线 C 的方程为2yx.抛物线 C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x .（）由题意，设直线 l 的方程为12ykx（0k），l 与抛物线 C 的交点为11(,)M x y，22(,)N xy.由212ykxyx，得224(44)10k xkx.则1221kxxk，12214x xk.因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为yx，点 A 的坐标为11(,)x y.直线 ON 的方程为22yyxx，点 B 的坐标为2112(,)y yxx.因为21122112112222y yy yy yx xyxxx122112211()(
13、)222kxxkxxx xx10122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx0，所以211122y yyxx.故 A 为线段 BM 的中点.（19）（共 13 分）解：（）因为()e cosxf xxx，所以()e(cossin)1,(0)0 xfxxxf.又因为(0)1f，所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为1y.（）设()e(cossin)1xh xxx，则()e(cossinsincos)2e sinxxh xxxxxx.当(0,)2x时，()0h x，所以()h x在区间0,2上单调递减.所以对任意(0,2x有()(0)0h xh，即()0f
14、x.所以函数()f x在区间0,2上单调递减.因此()f x在区间0,2上的最大值为(0)1f，最小值为()22f.（20）（共 13 分）解：（）1111 10,cba 21122max2,2max1 2 1,32 21cba ba ，3112233max3,3,3 max1 3 1,33 2,53 32cba ba ba .当3n 时，1111()()()()20kkkkkkkkbnabnabbn aan，所以kkbna关于*k N单调递减.11所以112211max,1nnncba n ba nba nba nn.所以对任意1,1nncn，于是11nncc，所以 nc是等差数列.（）设数
15、列na和 nb的公差分别为12,d d，则12111121(1)(1)()(1)kkbnabkdakd nba ndndk.所以1121211121(1)(),nba nndnddndcba ndnd当时，当时，当10d 时，取正整数21dmd，则当nm时，12ndd，因此11ncba n.此时，12,mmmccc是等差数列.当10d 时，对任意1n，1121121(1)max,0(1)(max,0).ncba nndbanda此时，123,nc c cc是等差数列.当10d 时，当21dnd时，有12ndd.所以1121121112(1)()()ncba nndndbdnddadnnn111212()|.nddadbd对任意正数M，取正整数12112211|max,Mbdadddmdd，故当nm时，ncMn.