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1、精品学习资源2021 年一般高等学校招生全国统一考试数学理北京卷本试卷共 4 页， 150 分；考试时长 120 分钟；考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回；第一部分 挑选题共 40 分一、挑选题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分；在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；欢迎下载精品学习资源1已知集合 A1,0,1， Bx |1x1 ，就 AB欢迎下载精品学习资源A 0B 1,0C 0,1D1,0,1欢迎下载精品学习资源2在复平面内，复数22i对应的点位于欢迎下载精品学习资源A 第一象限B 其次象限C第三象限D第四象限3“”是“曲线
2、ysin 2 x过坐标原点”的A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如下图的程序框图，输出的S 值为开头2欢迎下载精品学习资源A 1B C 13D 213610987i=0 ， S=1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5函数 fx的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲S21S欢迎下载精品学习资源2S1x线 ye 关于 y 轴对称，就fx欢迎下载精品学习资源A ex 1C e x 1x2y2B ex 1D e x 1i=i+1否i2欢迎下载精品学习资源6假设双曲线a2b21的离心率为3 ，就其渐近线方程为是欢迎下载精品学习资源A yC y2 x
3、B y2x1 xD y2 x22输出 S终止欢迎下载精品学习资源7直线 l 过抛物线C : x4 y 的焦点且与 y 轴垂直，就 l 与 C欢迎下载精品学习资源2所围成的图形的面积等于欢迎下载精品学习资源4A 3B 2C 83162D3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8设关于 x， y 的不等式组2xyx my m100表示的平面区域内存在点0P x0, y0，满意欢迎下载精品学习资源x02 y02 ，求得 m 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源A , 4 3B , 13C,2 3D,5 3欢迎下载精品学习资源其次部分 非挑选题共 110 分二、填空题共6 小题，每题 5 分，共 30
4、分； 9 在 极 坐 标 系 中 ， 点 2,到 直 线sin2 的 距 离 等 于B6 欢迎下载精品学习资源 10 假 设 等比 数列an满 足a2a420 ，a3a540 ， 就 公比OD欢迎下载精品学习资源Aq ；前 n 项和 Sn P11如图， AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， PB 与圆 O相交于 D假设 PA3 ， PD : DB9 :16 ，就 PD ；bAB c12将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，a每人至少 1 张假如分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是D1C1113向量a， b， c 在正方形网格中的位置如下图
5、假设A1B c=a+b， R，就 P14如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A1B1C1D 1 中， E 为DC BC 的中点，点 P 在线段 D 1E 上点 P 到直线 CC1 的距离的E最小值为AB欢迎下载精品学习资源三、解答题共6 小题，共 80 分；解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程；15本小题共 13 分欢迎下载精品学习资源在 ABC 中， a3 ， b26 ， B2A 欢迎下载精品学习资源求 cos A 的值；求 c 的值16本小题共 13 分以下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于20
6、0 表示空气重度污染某人随机挑选3 月 1 日至 3 月 13日中的某一天到达该市，并停留2 天空气污染指数欢迎下载精品学习资源250200150100865025012日14357220160217160121158867937日期欢迎下载精品学习资源日3日 4日5日 6日7日8日9日 10日 11日12日13日 14日欢迎下载精品学习资源求此人到达当日空气重度污染的概率；设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；由图判定从哪天开头连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明欢迎下载精品学习资源17本小题总分值 14 分欢迎下载精品学习资源如图，在三棱柱ABCA1
7、 B1 C1 中，AA1C1C 是边长为4 的正方形，平面ABC 平面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源AA1C1C ， AB3 ， BC5 A1B1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求证：AA1 平面 ABC ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求证二面角A1BC1C1B1 的余弦值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：在线段BC1 上存在点 D ，使得AD A1 B ，并求AB欢迎下载精品学习资源BD BC1的值欢迎下载精品学习资源C18本小题共 13 分欢迎下载精品学习资源设 L 为曲线C : yln x x在点 1,0 处的切线欢迎下载精品学习资源求 L 的
8、方程；证明：除切点1,0 之外，曲线 C 在直线 L 的下方欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源19本小题共 14 分2已知 A， B，C 是椭圆 W : x4y21上的三个点， O 是坐标原点欢迎下载精品学习资源当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；当点 B 不是 W 的顶点时，判定四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由20本小题共 13 分欢迎下载精品学习资源已知 an是由非负整数组成的无穷数列设数列前n 项的最大值为An ，第 n 项之后各欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源项 an1 ， an2 ，的最小值记为Bn ， dnAnBn 欢迎下
9、载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设an为 2， 1， 4，3， 2， 1， 4，3，是一个周期为4 的数列即对任意nN * ，欢迎下载精品学习资源an 4an ，写出 d1 、 d2 、 d3 、 d 4 的值；欢迎下载精品学习资源设 d 是非负整数证明：dndn1,2,3,的充分必要条件是an是公差为 d 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源等差数列；证明：假设a12 ， dn1 n1,2,3,，就 an的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项欢迎下载精品学习资源为 1欢迎下载精品学习资源2021 年一般高等学校招生全国统一考试数学理北京卷 参考答案一、挑选题共 8 小题，每题 5
10、分，共 40 分1B2D 3A4C5D6B7 C8C二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分欢迎下载精品学习资源911022n 1211 94525欢迎下载精品学习资源1296134145三、解答题共 6 小题，共 80 分15共 13 分欢迎下载精品学习资源解：由于 a3 ， b26 ， B2A ，欢迎下载精品学习资源所以在 ABC 中由正弦定理得326sin Asin 2A欢迎下载精品学习资源2sin所以Acos A26故 cos A6 欢迎下载精品学习资源sin A33欢迎下载精品学习资源由知cos A63，所以sin A1cos2 A3 3欢迎下载精品学习资源又由于B2A ，
11、所以cos B21 欢迎下载精品学习资源2cosA123欢迎下载精品学习资源所以 sin B1cos B22在 ABC 中 sin C3sinAB欢迎下载精品学习资源sin A cos B53cos A sin B欢迎下载精品学习资源所以 c9asin C5 sin A欢迎下载精品学习资源16共 13 分解： 设 Ai 表示大事“此人于3 月 i 日到达该市” i=1 ， 2， 13欢迎下载精品学习资源依据题意，P Ai1，且 AiAjij .13欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 B 为大事“此人到达当日空气重度污染”，就BA5A8 .欢迎下载精品学习资源2所以 P BP A5A8.
12、 13由题意可知， X 的全部可能取值为0，1， 2，且欢迎下载精品学习资源P X1PA3A6A7A11欢迎下载精品学习资源4PA3PA6PA7PA11,13欢迎下载精品学习资源P X2PA1A2A12A13欢迎下载精品学习资源4PA1P A2P A12PA13,13欢迎下载精品学习资源P X11P X1PX25 .13欢迎下载精品学习资源所以 X 的分布列为：012544131313X P欢迎下载精品学习资源故 X 的期望 EX05142412 .欢迎下载精品学习资源13131313从 3 月 5 日开头连续三天的空气质量指数方差最大17共 14 分欢迎下载精品学习资源解：由于AA1C 1C
13、是正方形 ，所以AA1 AC 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 平面ABC平面AA1C 1C，且 AA 1 垂直于这两个平面的交线AC，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 AA1 平面 ABC z A1B1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由知AA1 AC， AA1 AB C1欢迎下载精品学习资源由题知 AB=3， BC=5， AC=4，所以 AB AC 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系Axyz ，就欢迎下载精品学习资源B 0,3,0， A1 0,0,4， B1 0,3,4， C1 4,0,4ADB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设平面A1 BC1 的
14、法向量为n x, y, z，就y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nA1B0,nA1C10.C3y4 z0,即4x0.x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 z=3，就 x=0，y=4，所以 n =0,4,3同理可得平面BB1C1 的法向量为 m =3,4,0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 cosn, mn m16 . 由题知二面角nm25A1BC1B1 为锐角，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以二面角ABCB 的余弦值为 16 .欢迎下载精品学习资源11125欢迎下载精品学习资源设点 Dx, y, z是直线 BC1 上一点，且BDBC1 .欢迎下载精品学习
15、资源所以 x, y3, z4,3,4解得 x4, y33 , z4 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 AD4 ,33,4. 由AD A1B0 ，即 9250 ， 得9 25欢迎下载精品学习资源由于 90,125，所以在线段 BC1 上存在点 D，使得AD A1 B 欢迎下载精品学习资源此时18共 13 分BD9 .BC125欢迎下载精品学习资源解：设 fxln x ，就 f x1ln x2所以f 11 所以 L 的方程为 yx1 欢迎下载精品学习资源令xg xx1xfx，就除切点之外，曲线C 在直线 L 的下方等价于欢迎下载精品学习资源gx 0x0， xx21 gx 满意 g1l
16、n x1 =0 ，且欢迎下载精品学习资源gx1fx =22x欢迎下载精品学习资源当 0 x 1 时，x10，ln x0，所以gx 0，故 gx 单调递减；欢迎下载精品学习资源当 x 1 时，x210，ln x0，所以gx 0，故 g x单调递减欢迎下载精品学习资源所以 g x g1 =0x0， x1 .欢迎下载精品学习资源所以除切点之外，曲线C 在直线 L 的下方19共 14 分欢迎下载精品学习资源2解：椭圆 W : x4y21 的右顶点 B 的坐标为 2， 0欢迎下载精品学习资源由于四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分欢迎下载精品学习资源所以可设 A1，m，代入椭圆方
17、程得1m2431 ，即 m2 .欢迎下载精品学习资源所以菱形 OABC 的面积是 1OBAC122 m3.欢迎下载精品学习资源22假设四边形OABC 为菱形由于点 B 不是 W 的顶点，且直线 AC 不过原点，所以可设AC 的方程为欢迎下载精品学习资源ykxm k0, m0 . 由x24 y 24,2ykxm.消去 y 并整理得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2214kx8kmx4m40. 设A x1, y1， Cx2 , y2，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x24km, y1y2kx1x2mm.欢迎下载精品学习资源214 k222214k欢迎下载精品学习资源4kmm欢
18、迎下载精品学习资源所以 AC 的中点为 M14k 2,2.14k欢迎下载精品学习资源1由于 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线OB 的斜率为.4k欢迎下载精品学习资源由于 k11 ，所以 AC 与 OB 不垂直4k欢迎下载精品学习资源所以 OABC 不是菱形，与假设冲突所以当点 B 不是 W 的顶点时，判定四边形OABC 不行能是菱形20共 13 分欢迎下载精品学习资源解： d1d21 ， d 3d 43 欢迎下载精品学习资源充分性由于an是公差为 d 的等差数列，且 d 0，所以a1a2an.欢迎下载精品学习资源因此 Anan ， Bnan 1 ， dnanan 1dn1,2,3,欢迎
19、下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源必要性由于 dnd0 n1,2,3,，所以 AnBndn Bn .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于anAn ， an1 Bn ，所以an an +1 .于是，An =an ， Bn =an 1 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此 an 1anBnAndnd ，即an是公差为 d 的等差数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于a12 ， dn1 ，所以A1 =a12 ， B1A1d11 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故对任意 n 1， an B1=1假设 ann2不存在大于 2 的项欢迎下载精品学习资源设 m 为满意 am 2 的最小正整数，就 m2 ，并且对任意 1 k m， ak2又由于 a12 ，所以 Am-1 =2，且 Am=am 2欢迎下载精品学习资源于是 BmAmdm21=1，Bm 1minam ,Bm2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 dm 1Am 1Bm 1220 ，与dm 11 冲突欢迎下载精品学习资源所以对于任意n 1，an2=a 1，所以 An=2 欢迎下载精品学习资源故 BnAndn211.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此对于任意正整数n，存在 m 满意 mn，且 am1 ，即数列an有无欢迎下载精品学习资源穷多项为 1欢迎下载