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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)第一卷(选 择 题 共4 0分)一、本大题共8小题，每 题5分，共4 0分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.全集U =R,集合A=x|2W xW 3,3=x|x 4 ,那么集合A 等于()A.X|-2 WX4B.x|x W3曲2 4 C.X|-2 WXbcB.b a cC.0abD.b c a3.“函数/(x)(x e R)存在反函数”是“函数/(x)在R上为增函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.假 设 点P到直线x =l的距离比它到点(2,0)的距离小1,那么点
2、P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线x-y +1 2 0,5.假设实数x,y满足=2的两条切线。心 当直线4，乙关于N=%对称时，它们之间的夹角为()A.30 B.4 5 C.60 D.908.如图，动点P在正方体A B C D A gG。的对角线8,上.过 点P作垂直于平面8与3。的直线，与正方体外表相交于例，N .设=M N =y,那么函数y =/(x)的图象大致是)第 二 卷(共 1 1 0 分)二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共 30分.把答案填在题中横线上.9.(a i =2 i,其中i 是虚数单位，那么实数。=.1 0 .向量。与方的夹角为1 2 0 ,且 同
3、=|司=4,那么).(2 +5)的值为1 1 .假 设 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 3 2,那么=,其展开式中的常数项为.(用数字作答)1 2 .如图，函数/(x)的图象是折线段A 8 C,其中A B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0 方(6,4),那么/(/(0)=_ _ _ _ _ _ _ _；l i m八八J_ _ _ _ _ _ _ _.(用数字作答)Ar-0 A XTT 7T1 3.函数/(x)=f c o s x,对于一展彳上的任意斗，有如下条件：为彳2；/.其中能使/(%)/(2)恒成立的条件序1 2 3 4 5 6号 是1 4 .某校数学课外小组在坐标纸上，
4、为学校的一块空地设计植树方案如下：第 Z 棵树种植在点Pk(xk,%)处，其中玉=1,X =1,当人二 2时，T(a)表示非负实数a的整数局部，例如T(2.6)=2,7(0.2)=0.按此方案，第 6棵树种植点的坐标应为 ；第 2 0 2 3 棵树种植点的坐标应为三、解答题：本大题共6 小题，共 80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 5 .(本小题共1 3 分)函数/(x)=si n2 6 y x+J si nt y x si n(ox+712(。0)的最小正周期为兀.(I )求。的值;(II)求函数/(X)在 区 间 0,y 上的取值范围.1 6 .(本小题共1 4分)如图，在
5、三棱锥 P A B C 中，A C =B C =2,Z A C 6 =9 0 ,A P=B P =AB,P C L A C.(I )求证：P C 1 A B；P(II)求二面角3 A P C的大小；/、(III)求点C到平面A P B的距离./1 7 .(本小题共 1 3 分)一一二甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B,C,。四个不同的俞出发莠1每个岗位至少有一名志愿者.(I )求甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率；(II)求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；(III)设随机变量自为这五名志愿者中参加A岗位效劳的人数，求自的分布列.1 8.(本 小 题 共1 3分)函数=求导函数/(x)
6、,并确定/(x)的单调区间.U-1)-1 9.(本 小 题 共1 4分)菱形A B C D的顶点A C在椭圆f+3 y 2 =4上，对角线8。所在直线的斜率为1.(1 )当直线8。过点(0,1)时，求直线AC的方程；(II)当N A B C =6 0时，求菱形A B C。面积的最大值.2 0 .(本小题共1 3分)对于每项均是正整数的数列A q,a2,an,定义变换7；,7；将数列A变换成数列Ty(A)：n 1,a,1,ull.对于每项均是非负整数的数列8：be b2,-,“，定义变换乙，刀将数列8各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项，得到数列(B)；又定义 S(3)=2(伪+2%+mb,)
7、+b；+b+设4是每项均为正整数的有穷数列，令45=4(Z(4)(%=0,1,2,).(I )如果数列4为5,3,2,写出数列A，&；(II)对于每项均是正整数的有穷数列A ,证明S(7；(A)=S(A)；(III)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列为,存在正整数K,当人N K时，S(A,+1)=5(A,).参考答案一、选 择 题（本大题共8 小题，每题5 分，共 40分）1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B二、填 空 题（本大题共6 小题，每题5 分，共 30分）9.-1 1 0.0 1 1.5 1 0 1 2.2 -21 3.1 4.(1,2)(3,4
8、0 2)三、解 答 题（本大题共6 小题，共 80分）1 5 .（共 1 3 分）解:(1 )f(x)=+sin 2(ox=si n 2cox-c os 2cox+-2 2 2 2 222=si n 2a)x-+I 6)因为函数/（x）的最小正周期为兀，且。0,2 7 r所以一二兀，解得。=1.2C D(II)由(I )得/(x)=si n(2 x-e)+；.因为O Wx 生，所以一生W2x 乙 式 乂，所以，W si n（2 x 3 6 6 6 2 I 6）因此0 W si n（2龙一斗六：即/（x）的取值范围为1 6.(共 1 4 分)解法一：(I )取45中点。，连结P D CD.A P
9、 =B P,:.PD1AB.A C B C,:.CDAB.P D C C D =D,.,./，平面2。.P Cu平面PC。，P C Y AB.(II)A C B C,A P =BP,.-.A PC A B PC.又 PC _L A C,P C A.BC.又Z A C 8 =9 0 ,即 A C _ L 3 C,且 A C P C =C,BC_L 平面 PAC.取A P中点E.连结8E,CE.AB=BP,:.B E L A P.EC是BE在平面PAC内的射影，:.C E A P./3。是二面角6-/1 2一。的平面角.在BCE中，NBCE=90,BC=2,BE=AB=y6,2sin ZBEC=B
10、E 3二面角6 A P-C的大小为arcsin业3(III)由 I)知 平面PC。，平面A P 5,平面PCD.过C作C”_L P O,垂足为平面APB平面PCD=PD,.CH_L 平面 AP6.:.C H的长即为点C到平面APB的距离.由 1 I)知P C J_A B,又尸 C_L A C,且 AB AC=A,.PC_L 平面 ABC.C D u 平面 ABC,:.P C C D.在 RtzPCZ）中，CD-A B =y2,PD=B p B =2 2：.PC=yJPD2-C D2=2.,3 _ PC-CD _ 26PD 3.点C到平面APB的距离为.31 7.（共 13 分）A3 1解：（I
11、）记甲、乙两人同时参加A岗 位 效 劳 为 事 件 那 么P（E 3 =p?=即甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率是40A 1(I I)记甲、乙两人同时参加同一岗位效劳为事件E,那么P(E)=TF=,父 1 0.-9所以，甲、乙两人不在同一岗位效劳的概率是P(E)=l-P(E)=j .(I l l)随机变量J可能取的值为1,2.事 件“自=2”是指有两人同时参加A岗位效劳,那么P(g =2)=与 与=.所以p(g =i)=i p(g =2)=q,4的分布列是5 4-413P34_ 1 _41 8.1 共 1 3 分)2(%1)(2 x/)2(x 1)(I)-2 x-(/-1)(尤1)3令/(x
12、)=0,得x =Z?1.当b11,即61,即人2时，/(%)的变化情况如下表:Xy,l)(1,。-1)b-(人一1,+8)fM+0所以，当人 0,解得一一3 3设4。两点坐标分别为（3,芦），（2，%），3 3 n2-4那么+%=三，百 工2=y =-X j+，y2=-x2+n所 以 乂+%=/所以AC的中点坐标为（，：）由四边形AB8为菱形可知，点（子 在 直 线y=x+l上,n 3 所 以,=汇+1,解得=一2.所以直线4 c的方程为y=-x-2,即x+y+2 =0.4 4（I I）因为四边形A B C。为菱形，且N A B C =6 0 ,所以|4?|=忸6=|。|.所以菱形A 8 C
13、D的面积S=由 m 可得 k e f =(M/)2 +(弘=一3 ：+1 6 ,所以当=0时，菱形A 8 C。的面积取得最大值4百.2 0.（共 1 3 分）（I ）解：4）：5,3,2,工（4卜3,4,2,1,A =4（A ）：4,3,2,1；7；（A）：4,3,2,l,0 ,4 =（7；（4）卜4,3,2,1.（I I）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为q,a2,an,那么（A）为，a-1,a2-1,。一1,从而 S(7 (A)=2n+2(4-1)+3(/T)+(+1)3 -7+n+(q-1)+(%1)+(a“-1).又 S(A)2(6!|+2 a2 +4)+a；+a；+a；，所以 S(
14、7；(A)-S(A)=-n(n+l)+n2+n=0,故 S(7；(A)=S(A).(I l l)证明：设A是每项均为非负整数的数列q,a2,an.当存在1 W i /W，使得4 W 4时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B,那么 S(B)-S(A)=2呵 +那 厂 也 -)=2 -/)(%-卬 W 0.当存在使得。用=4”+2 =a.=O时，假设记数列，a2,a,.为C ,那么 S(C)=S(A).所以 S(n(A)W S(A).从而对于任意给定的数列A，由A*=4(7；(A J)(Z=O,1,2,)可知S(A*+I)WS(T;(4).又 由(I I)可知S(I(4)=S(AJ,所以s(A+i)W s(&).即对于Ae N,要么有S(A w)=S(4),要么有S(a)WS(4)l.因为S(4)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有5(4)=5(4“1)=5(4+2)=.即存在正整数K,当人2K时，S(A z)=S(4).