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1、绝密本科目考试启用前绝密本科目考试启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，则A（A）0，1B=（B）1，0，1（D）1，0，1，2（C）2，0，1，2（2）在复平面内，复数（A）第一象限（C）第三象限1的共轭复数对应的点位于1i（B）第二象限（D）第四象
2、限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）（C）1276（B）（D）56712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A）32 f（C）1225f（B）322f（D）1227f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（C）3（B）2（D）4（6）设a a，b b均为单位向量，则“a a 3b b 3a a b
3、 b”是“a ab b”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线x my 2 0的距离，当，m变化时，d的最大值为（A）1（C）3（B）2（D）4（8）设集合A(x,y)|x y 1,ax y 4,x ay 2,则（A）对任意实数a，(2,1)A（B）对任意实数a，（2，1）A（C）当且仅当af（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_x2y2x2y2（14）已知椭圆M：221(a b 0)，双曲线N：221若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个
4、abmn交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，1（）求A；（）求AC边上的高7AB=BC=5，AC=AA1=2（）求证：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线FG与
5、平面BCD相交（17）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型电影部数好评率第一类140第二类50第三类300第四类200第五类800第六类510好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢，“k 0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，
6、4，5，6）写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系（18）（本小题13分）设函数f(x)=ax2(4a 1)x 4a 3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行，求a；（）若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围学科*网（19）（本小题 14 分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，QM QO，QN QO，求证：（20）（本小题14分）设n为正整数，集合A=|(t1,t2,tn),tn0,1,k 1,
7、2,n对于集合A中的任意元素11为定值(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn)，记1M（，）=(x1 y1|x1 y1|)(x2 y2|x2 y2|)2(xn yn|xn yn|)（）当n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求M（,）和M（,）的值；（）当n=4 时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数求集合B中元素个数的最大值；学#科网（）给定不小于 2 的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，M（，）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由绝密启用前绝密启用前2018 年普通高等学校招生
8、全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1A2D3B4D5C6C7C8D二、填空题9an 6n 31012112312313y=sinx（不答案不唯一）三、解答题（15）（共 13 分）143 1；214 3，B（，），sinB=1cos2B 7278ab73由正弦定理得=4 3，sinA=sin AsinBsin A27B（，），A（0，），A=223解：（）在ABC中，cosB=（）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=AC边上的高为3 323114 33 3=()272714h3 33 3，h=BCsinC=7，BC
9、142（16）（共 14 分）解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）0，1)，CB=(1，2，0)，CD=(2，设平面BCD的法向量为n n (a，b c)，2a c 0n nCD 0，a 2b 0n nCB 0令a=2，则b=-1，c=-4，平
10、面BCD的法向量n n (2，1，4)，2，0)，又平面CDC1的法向量为EB=(0，n nEB|n n|EB|2121cos n nEB=由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为2121（）平面BCD的法向量为n n (2，F（0，0，2），1，4)，G（0，2，1）2，1)，n nGF 2，n n与GF不垂直，GF=(0，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交（17）（共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200=50故所求概率为50
11、0.0252000（）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为P（AB AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为，P（B）估计为故所求概率估计为+=（）D1D4D2=D5D3D6（18）（共 13 分）解：（）因为f(x)=ax2(4a 1)x 4a 3ex，所以f（x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax（2a+1）x+2e 2xf(1)=(1a)e由题设知f(1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f(1)=3e0所以a的
12、值为 1（）由（）得f（x）=ax（2a+1）x+2e=（ax1）(x2)e 若a2xx11，则当x(，2)时，f(x)0所以f(x)0 在x=2 处取得极小值若a11，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以 2 不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（1，+）2（19）（共 14 分）解：（）因为抛物线y=2px经过点P（1，2），所以 4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）y2 4x由得k2x2(2k 4)x 1 0y kx 122依题意(2k 4)2 4k21 0，解得 k0 或 0k1又P
13、A，PB与 y 轴相交，故直线l不过点（1，-2）从而k-3所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）设A（x1，y1），B（x2，y2）2k 41，x x 1222kky 2直线PA的方程为y2=y 2 1(x 1)x11由（I）知x1 x2 令x=0，得点M的纵坐标为yM同理得点N的纵坐标为yNy1 2kx11 2 2x11x11kx21 2x21由QM=QO，QN=QO得=1 yM，1 yN22k 42x11x21111112x1x2(x1 x2)1k2k=2所以11 yM1 yN(k 1)x1(k 1)x2k 1x1x2k 1k2所以11为定值（20）（共 14
14、分）解：（）因为=（1，1，0），=（0，1，1），所以1M(，)=(1+1|1 1|)+(1+1|1 1|)+(0+0|0 0|)=2，21M(，）=(1+0|1 0|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=12（）设=（x1，x2，x3，x4）B，则M(，）=x1+x2+x3+x4由题意知x1，x2，x3，x40，1，且M(，)为奇数，所以x1，x2，x3，x4中 1 的个数为 1 或 3所以B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组：（
15、1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素，均有M(，）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以集合B中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为 4.（）设Sk=(x1，x2，xn）|(x1，x2，xn）A，xk=1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=(x1，x2，xn）|x1=x2=xn=0，则A=S1S1Sn+1对于Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，经验证，M(，)1.所以Sk（k=1，2，n1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以B中元素的个数不超过n+1.取 ek=(x1，x2，xn）Sk且xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合