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1、新课标全国卷I文科数学分类汇编9.解析几何(含解析)一、选择题2 2 0 2 3,5已知尸是双曲线C:匕=1 的右焦点，P是。上一点，且 P f与x轴垂直，点 A的坐标3是(1,3),则A A P/的 面 积 为()【解法】选 D.由。2=/+/=4得。=2,所以尸(2,0),将 x =2 代入/一 三=1,得丁=3,所以1 3P F =3,又A的坐标是(1,3),故 A 尸尸的面积为一x 3x(2 1)=,选 D.2 22 2【2 0 2 3,1 2 设 A、2是椭圆C：上+二=1 长轴的两个端点，若 C上存在点M 满足/A M B=1 2 0。，则机3 m的取值范围是()A.(0 9,+c
2、 o)B.(0,V 3 i.9,+oo)C.(0,1 4,+8)D.(0,73 .4,+oo)【解法】选 A.解法一：设 E、尸是椭圆C短轴的两个端点，易知当点用是椭圆C短轴的端点时N V W B 最大，依题意只需使 N A E B N 1 2 0.1 .当 0v m t a n6 0 =6),解得/n l,故0 3 时，如图 2,t a n t a n6 0 =A/3,解得加2 9.2 b 3综上可知，加的取值范围是(0,1 U 9,E)，故选A.解法二：设石、尸是椭圆C短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆。短 轴 的 端 点 时 最 大，依题意只需使N A E B 之1 2 0 .,、1 p
3、A.J7P 11 .当0mv 3 时，如图 1,c os(E 4,E f/i)c osl 2 0=2 一，即国1 网n,-2一带入向量坐标，解得机 3 时，如图 2,c os IEA,。，心。)的 离 心 率 为 李，则 c的 渐 近 线 方 程 为().A.y=-4B.y=x3C.y=-x2D.y=x解析：选Ce二 且，=且，即 =/=/+分，4 =,.2=L2 a 2 a-4 矿 4。2b1 双曲线的渐近线方程为y=x,.渐近线方程为y=x.故选C.a 22023,81O为坐标原点，F为抛物线C：产=4/的焦点，P为C上一点,若PF=4也，则的面积为（）.A.2 B.272 C.2百 D.
4、4答案：C解析：利用|用=%+行=4上，可得xp=3五，.yp=2.,.SAP0F=；|O/7Hyp|=2G.故选C.2 2【2023,4】4.设 耳、F2是椭圆E：f r +方（a b 0）的左、右焦点，P为直线x=半上一点,/巴耳P=N心P6=30。，|F2PHF,F21=2c,ZPF2Q=60,F2PQ=30,|g Q|=c,又I凡。1=四 一。，所 以 细 c=c,解得c=a，因此e=3,故选择C.-2 2 4 a 4因为|A3|=4 百，所以|A 例2=Q|卜|y=4）,2 =4 8,从而 丁 二 口，所以 16 a?=12,a2=4,a=2,因此C的实轴长为2。=4,故选择C.一%
5、2 V2【2023,4 椭圆-1-=1的离心率为（）16 8 _3B-Jc旦3 D.22 2、ry I r)【解析】选 D.因为二+匕=1中，“2=1 6,=8,所以,2=储 一 从=8,所以6 =丝=注.1 6 8 。4 2【2 0 2 3,9】已知直线/过抛物线的焦点，且与。的对称轴垂直，/与C交于A,8两点，|A B|=1 2,P 为C的准线上一点，则 445尸的面积为().A.1 8 B.2 4 C.36 D.4 8【解析】不妨设抛物线的标准方程为y 2=2 p x(p 0),由于/垂直于对称轴且过焦点，故直线/的方程为X.代 入 y2=2 p x 得 y=p,则 A =2，又|阴=1
6、 2,故 =6,所以抛物线的准线方程为x =3,故=g x 6 x l 2 =36 .故选 C.二、填空题【2 0 2 3,1 5 设直线y =x+2 a 与圆。:无 2 +,2-2一2 =0相交于4,3 两点，若|A B|=2G，则圆C的面积为.解析：4 兀.由题意直线即为x y +2a=0,圆的标准方程为/+(),一。?=/+2,所以圆心到直线的距离dV22 杉+2=2 5故，+2=/=4,所以5 =7 1，=4 兀.故填4 7 r.【20 23,16】已知产是双曲线C:f 一 匕=1 的右焦点，P是 C左支上一点，A(0,6V6),当 A A P F 周长最8小时，该 三 角 形 的 面
7、 积 为.解：1 2娓.a=l,=8,=c=3,.,.F(3,0).设双曲线的的左焦点为尸,由双曲线定义知|P R=2+|P Q|,.A4 P 尸的周长为|以|+|P F|+H Q=|秒 M+|A尸 I+I P Q I+2,由于依川是定值，只要|B 4|+|P Q|最小，即4,P,Q 共线,/A(),6 倔，Fi(-3,0),直线AFi的方程为-3 676=1联立 8 x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+6y/6 y-9 6=0,解得 y=26 或 y=8 6 (舍去)，此时 SAAPZ S-SAPFFI=3X(6/6 25/6)=12A/6 .三、解答题20 23,20】设 A,8为曲线
8、C：y =二 上 两 点，A 与 3的横坐标之和为4.4(1)求直线A B的斜率;（2）设 M为曲线C上一点，C在 M处的切线与直线A 8平行，且求直线A 8的方程.解析：第一问：【解 法 1】设 A（M，M）,8（X 2，y 2），A B直线的斜率为k,又因为A,B都在曲线C上，所以2/A/4_ V 2/为=芍/4-得乃-x=登=5 三 购 为由已知条件为+电=4所以，逗二21=1即直线A B 的斜率k=l.电-司【解法2】设 4和,）,8（林 乃）,A B 直线的方程为y=k x+b,所以口=匕+匕y=x2/4整理得：工 2 一4 Ax-4 8 =0,.f +巧=4 A,且为+工2=4所以
9、k=1第二问：设 （而,无）所以为=/2/4 又,=：工所以&=；而=1,.而=2,%=1所以 M（2,1）,M A =（x 2,y l）,M 8 =（电 一 2,为一。，且人 _L 5 M ,AMBM=0即为吃-2 al+）+凶乃-（M +乃）+5 =0，设 A B直线的方程为y =x+Z?，y=x+by=x2/4化间得 V _ 以 _ 4 b=o，所以=-4 仇+y2=4+2b,yYy2=b2由得/_ 7力 _7 =o 所以b=7 或者b=-l（舍去）所以A B直线的方程为y=x+720 23,20 在直角坐标系x Q y 中，直 线/:y =/Q w（）交 y轴于点M，交抛物线C:y2=
10、2 p x（0）于点 P,M 关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（1）求阳；（2）除 H 以外，直线与C是否有其他公共点？请说明理由.3|解析（1）如图，由题意不妨设/0,可知点M,P,N的坐标分别为M（0 ）,Pt2；2 P L,N-,tP )yn y =x?r从而可得直线ON的方程为y =2元，联立方程 t,解得x=X,y=2t.ty 2 =2op xP即点”的坐标为(21,2，从而由三角形相似可知盟=2 =二=2.I P)阿 3 t(2)由于M(0,。，H ,2r ,可得直线M的方程为y f P )3 rP整理得2)p x-2*0 =0,联立方程2t:y -px-2t2=0
11、 ，整 理 得 产9-4 a+4”9=0,y =2p x则/=16产-16 r2=0,从而可知和C只有一个公共点H.【20 23,20 已知 过 点A(0,1)且 斜 率 为 上 的 直 线/与 圆C：(x-2)2+(y-3)2=l交 于MN两点.(I)求2的取值范 围；(I I )O M 0 =12,其 中。为 坐 标 原 点，求解：(I)依 题 可 设 直 线/的 方 程 为y=Ax+l,则 圆 心C(2,3)到 的/距 离解得上女生”V I 7 F 3 3所 以 女的取值范 围 是(土 立，土 亚).3 3(11)将 广 气+1代 入 圆C的 方 程 整 理 得(必+l)f-4 0t+l
12、)x+7=0.设 M(xi,y 1),N(X 2,y2)，则玉+=y+:),所以 O M O N =xX2+yy2=xX2+(kx+)(kx2+l)=(l+k1)xX2+k(x i+X 2)+1=竺 华 山+8 =1 2,解 得 仁1 Z=1,所 以/的 方 程 为 产x+1.k2+l故圆心在 直 线/上，所 以|M N=2.2 02 3,2 1 已知圆M：(x+l)2+/=l,圆 N：。-1)2+9=9,动圆P与圆加外切并且与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)/是与圆尸，圆M都相切的一条直线，/与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|A B|.解：由已知得圆M
13、的圆心为M(1,0),半径n =l;圆N的圆心为ML0),半径？=3.设圆P的圆心为尸(x,y),半径为R(1)因为圆P与圆M 外切并且与圆N内切，所以|P M +|P M=(R+r i)+(r 2-R)=，l +r 2=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为百的椭圆(左顶点2 2除外)，其方程为-+-=1 (x 7 2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于1 P M-|P N|=2 R-2 W 2,所以RW2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(X-2)2+)2=4.若I的倾斜角为9 0,则/与)，轴重合
14、，可得依8|=2 6.若/的倾斜角不为9 0。，由八六R知/不平行于x轴，设/与 x轴的交点为Q,则矍=可求得 Q M|彳(2(4,0),所以可设/:y=k(x+4).由/与圆与相切得女L=i,解 得 土 也.V T7F 4当=走 时，将 y =4lx+近 代 入 土 +匕=1 ,并整理得7 N+8X8=0,解得为.2=二逑，4 4 4 3 7所以 H 8|=J 1 +炉 g X I|=.751 o当k=-时，由图形的对称性可知H B|=.4 7综上，|A B|=或H B|=.7 2 02 3,2 0 设抛物线C：X2=2py(p0)的焦点为F,准线为/,A为 C上一点，已知以F为圆心,以为半
15、径的圆F 交/于 B,。两点。(1)若NBFD=90 ,/X A B。的面积为40,求 p的值及圆F的方程:(2)若 A,B,F 三点在同一直线加上，直线与加平行,求坐标原点到俄，距离的比值。【解析】(1)若NBFD=90 ,则 8 F D为等腰直角三角形，且|BD|=2p,圆 F 的半径/=|E 4|=，又根据抛物线的定义可得点A到准线/的距离d=FA=C p。因为 A 8 D的面积为4 行，所 以;8 )|d=4&,即g-2 p 收 p =40,所以p2=4,由p0,解得p =2。从而抛物线C的方程为f=4y,圆 F的圆心F (0,1),半径尸二|B 41=2 顶,因此圆F的方程为/+(y
16、-1)2 =8 o(2)若 A,B,F 三点在同一直线加上，则 A B 为圆F 的直径，ZA DB=9 0,根据抛物线的定义,得|1=1 E 4 1=g|A51,所以Z A B D=3 0 ,从而直线m的斜率为/或-#当 直 线m的 斜 率 为 且 时，直 线 机 的 方 程 为、=必%+,原点O到 直 线 用 的 距 离3 3 2依题意设直线的方程为y =，x +人，联立+得f 一 竽 四 一2加?=0,x2=2 py因为直线与C只有一个公共点，所以 =亡+8 p =0,从而b=一 。n所以直线的方程为y =x-,原点0到直线的距离d,=l6k3 6因此坐标原点到团，距离的比值为攻=2=3。
17、d2 2巧当直线 2的斜率为-X二时，由图形的对称性可知，坐标原点到加，距离的比值也为3。3 2 02 3,2 0在平面直角坐标系x O y中，曲线y =Y-6%+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆。的方程；(2)若圆C与直线x y +a =0交于A,8两点，且O 4 _ L O 3,求。的值.【解析】(1)曲线y =/6 x+l与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3 +2 7 2,0),(3-2 7 2,0).故可设C 的圆心为(3 ),则有3?+(-1)2 =(2收/+产，解得/=1.则圆C的 半 径 为 杼 而 二 了 =3,所以圆。的方程为(-3)2+(y I p =9.xy+a=0,设A(x”y J,其坐标满足方程组,、2 ,、2(x 3)+(y-l)=9.消去 y，得方程2%2 +（2 a 8）x+2 a+l=0.由已知可得，判别式/=5 6-16。-4 a2 0,因 此 皿 二恪 二 筋）土4a._.2。+1 小从而 入1+工2=4-。，xx2=-.由于Q4 _LO8,可得玉X2+必 必=。.又 Y=%+。，%=W +所以2 X1%2 +a（X+）+。2 =0.由得=1,满 足/0,故。=1.