《沪科版七年级下册数学-分式考点重难点复习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《沪科版七年级下册数学-分式考点重难点复习.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、分式专题一考点重难点复习分式考点1 分式及最简分式的出考点2 分式有意义条件考点3 分式值为0的条件考点4 分式的基本性质考点5 利用分数的基本性质求值考点6 分式的化简求值【考 点 1分式及最简分式的概念】【方法点拨】AL 分式：形 如 三，A B 是整式，8 中含有字母且8 不等于0 的整式叫做分式.其中A 叫B做分式的分子，8 叫做分式的分母.2.最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.【例 1】下列各式巴心，山，巴 士，-(x-y),&中，分式的个数共有(1 x TC a-b m x)A.2 个B.3 个C.4 个 D.5 个解
2、：由题可得，是分式的有：包 担，空也x a-b1 (x-y),3上，共4个，故选：C.mx【变 式 I】下 列 分 式 怒，反 二,出 最简分式的个数有(x+y a-1)A.4 个 B.3 个C.2 个 D.1个解：用 =之,10 x2 5xa+b2/2a+b9 2 ox-y _x _a+a=a(a+l)=ax+y a2T (a-1)(a+1)a-l故只有 一 衿 方是最简分式.故选：D.a+b【考点2分式有意义条件】【方法点拨】分式有意义的条件：分母不等于0.【例 2】x 取何值时，下列分式有意义:6(X+3)1x1-12解：（1）要使卫2有意义，得 2 x-3#0.解得xw S,2x-3
3、2当x#旦时，*2有意义；2 2x-3（2）要使的+如有意义,得|x|-1 2#0.解得xW12,1x1-12当xW 士 12时，斡 垃 有 意义；1x1-12（3）要 使 坦-有意义，得/+1 W 0.尤为任意实数，罕-有 意义.x?+lx2+l【变式2】若 分 式 立 1+工2有意义，求 x 的取值范围.x+2 x+4解：W.x+3=x+l*x+2 x+4 x+2 x+3.x+2W0 且 x+4W0 且 x+3W0 解得 xW-2、-3、-4.【考点3分式值为0 的条件】【方法点拨】满足分式的值为0 的条件：分子为0 分母不为0.【例 3】如果分式 的 值为0,求 X的值是多少？2x+2解
4、：依题意得：/-1 =0 且 2x+2W0,解得x=l.即分式三二L 的值为0 时，x 的值是1.2x+2【变式3】对于 分 式“+当了=1时，分式的值为零，当x=-2 时，分式无意义，试。一 26+3x求 a、b的值.解：.分 式x+a+b,当=1时，分式的值为零，1+。+/=0且a-2b+3 W0,a-2b+3 x当犬=-2时，分式无意义，a-2b-6=0,l+a+b=O联立可得，a-2b+3卢0,解得，a_2b_6=04a=Tb=4故a的值是2、6的值是-Z.3 3【考点4分式的基本性质】【方法点拨】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.【例
5、4】若A,B为不等于0的整式，则下列各式成立的是（）A.4 =2且（E为整式）B.4 =4把（/为整式）B B.E B B+EC 4 =4（X+1）2 口 A =4，+1）B B.（x+1）2 B B.（x2+1）解:A.E可能为0,故不成立；B.不符合分式性质，故错误：C.（x+1）2 N O,故错误；D./+1 0,故正确.故选：D.【变式4-1】下列各式从左到右变形正确的是（）A 0.2。+b 2a+bA _a+0.2b a+2bc 2B 版+丁 1 8 x +4 y.4 x _3 y3 2n n-a-m m-aD.a+ba2+b21a+b解：4.分式的分子和分母同时乘以1 0,应得2a
6、+10b1 0 a+2b即月不正确,6 X（3 xB*p-16X（-x-y）1 8 x+4 y4 x-3 y,故选项B正确,C.分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C项不合题意,】不能化简，故选项。不正确.故选：B.a2+b2【考点5利用分式的基本性质求值】【例5】若。、人都是正实数，且1一=二 _,求，的值.a b a+b cr-b解：V A-=.一(a-b)(a+b)=2ab,B P a2-Z?2=-2ab,a b ab a+b则 ab=_=-工&2_匕2-2ab 2【变式5】已知实数满足6 3 4 +1=0,求下列各式的值:(1)3+4 的值;a(2)a2+乙；1+7(3)
7、的值;(4)cr+5a+1a2-2a+1的值.解：（1）已知等式变形得：+工=3,则原式=9；a（2）原式=（a+工）2-2=9-2=7；a(3)原式=(2+-)2-2=4 9 -2=4 7；a（4）由a2-3 4+l=0,得至【J j=3 -1,则原式=竺 工 学 1 =8.3 a_l_2a+l【考 点 6分式的化简求值】【例6】先化简，再求值：/r2-0 2x+（x-3-）,其中x =1.x+6 x +9 x +32解：*-9+(x -3 -)X2+6X+9 X+3_(x+3)(x-3)+(x-3)(x+3)-2x(x+3)2 4 x+3_ x-3 J _g-Z x _x-3+12-9-2
8、X _ x2-x-12 _(x+3)(x-4)=(_ 4x+3 +x+3 x+3 x+3 x+3当 x=-1 时，原式=-1 -4=-5.【变式6】（I）先化简：（U_一a+i）“1 4 a +4,并从0,2中选一个合适的数，作a+a+为。的值代入求值.（2）先化简后求值：号.田士达其中。满足 一解：-J-+1)a2-4 a+4 =(_3_a+1 D-a+1 a+1a 2)4 a+1a+1 (a-2)(a-2)-(a+2)(a-2)义 a+1 _ a+2.a+1 (a-2)(a-2)2-a3W -1,#2,x=0,当x=o 时，原式=2=i.2(2)I .2 4 .1 _ a T x(a+2)
9、(a-2)*(a+1)(a-1)a+2 a2-2a+i a2-i a+2(a-1)(a-1)1=(a-2)(+l)=a2-a-2；当/-。=0 时，原式=-2.【考 点 7解分式方程】【方法点拨吩式方程的解法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程)；按解整式方程的步骤求出未知数的值；检验(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).【例 7】解方程：(1)2=(2)+=-x 2 x 2 x+1 1 x x-1解：(1)32(x-2)=-X解得x=7经检验：x=7 是原方程的根，原方程的解是x=7.(2)2(1-x
10、)+5(1+x)=10解得x=l检验：把 x=l代 入 到(x+l)(x-1)中，得：(1+1)X(1-1)=0:.原分式方程无解.【变式7】解分式方程：八、2 4，八 1 1 32(1)-=(2)-+-=-x 1 x 1 x+2 x +2x【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X 的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【答案】解：(1)去分母得：2/2=4,解得：x=l,经检验x=l是增根，分式方程无解;(2)去分母得：x+x+2=32,解得：x=15,经检验x=15是分式方程
11、的解.【考点8分式方程的增根】?1【例 8】小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：+3=.x 2 2 x(1)她把这个数“？”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？解：(I)方程两边同时乘以(x-2)得 5+3(x-2)=-I解得x=0经检验，x=0 是原分式方程的解.(2)设？为m,方程两边同时乘以(x-2)得m+3(x-2)=-1由于x=2 是原分式方程的增根，所以把x=2 代入上面的等式得,+3(2-2)=-1,m-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-
12、1.【变式8-1，为何值时，关于x 的方程二一+一 也=3 会产生增根?x 2 x 4 x+2解：原方程化 为 旦x-2IP X(x+2)(x-2)一 372方程两边同时乘以(x+2)(JC-2)得 2(x+2)+a=3(%-2),整 理 得(*L 1)x+10=0,关于x的方程 2+=工会产生增根，x-2 X2-4 X+2(x+2)(x-2)=0,.x=-2 或 x=2,二当 x=-2 时，(L l)X(-2)+1 0=0,解得 m=6,当 x=2 时，(/n-1)X 2+10=0,解得，”=-4,.m=-4 或 w=6 时，原方程会产生增根.【变式8-2 若关于x的方程土 卫-匚 心=-1
13、无解，求机的值.x 3 3 x解：去分母得：3 -2 x+/n x -2=-x+3,整理得：（/n -1）x=2,当-1=0,即 m=l 时，方程无解；当/-1#0 时，x -3=0,即x=3时，方程无解，此时一2=3,即 tn ,m-1 3所以m 或m=.3【考点9分式方程的应用之行程问题】【例 9】A市到5市的距离约为2 10 h”,小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A市去3市.小刘比小张晚出发1 小时，最后两车同时到达3市，已知小轿车的速度是大货车速度的 1.5 倍.（1）求小轿车和大货车的速度各是多少.（列方程答案）（2）当小刘出发时，求小张离5市还有多远.解：（1）设大货车的速度为
14、x千米/小时，则小轿车的速度为1.5 x 千米/小时，依题意，得：”=解得：x=70,x 1.5x经检验，x=7 0 是原方程的解，且符合题意，.L 5 x=10 5.答：大货车的速度为7 0 千米/小时，小轿车的速度为10 5 千米/小时.（2）2 10-7 0 X1=14 0 （千米）.答：当小刘出发时，小张离8市还有14 0 千米.【变式9】甲、乙两同学的家与学校的距离均为3 2 0 0 米.甲同学先步行2 0 0 米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的工，公交车的速3度是乙骑自行车速度的3 倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早
15、到8分钟.（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？解：（1）设乙骑自行车的速度为切;/而，则公交车的速度是3 x m/加，甲步行速度是23xm/min9由题意得：3 2 0 C L _ 8=2 Q Q+3200-200 解得=2()0.经检验=2 0 0 原方程的解x A 3 x3 x答：乙骑自行车的速度为2 0 0 加/疝”.(2)当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所 以 8 X2 0 0=16 0 0 (/n).答：乙同学离学校还有16 0 0?.【考 点1 0分式方程的应用之工程问题】【例 10 某工程队修建一条12 0 0,”的道路，由于施工过程中
16、采用了新技术，所以工作效率提高了 50%,结果提前4天完成任务.(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)这项工程，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路(1+5 0%)x米，依题意，得：12 0 0 _ 1200=4 解得：x=i 0 0,x (1+5 0%)x经检验，x=1 0 0 是原方程的解，且符合题意.答：这个工程队原计划每天修建道路1 0 0 米.(2)设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y,依题意，得：丝 纳-屋 要 =2,解得：y=0.2=2 0%.1 0 0 1 0 0
17、(1 3)经检验，y=2 0%是原方程的解，且符合题意.答：实际的工作效率比原计划增加2 0%.【变 式 1 0 第 1 9 届亚洲运动会将于2 0 2 2 年 9月 1 0 日至2 5 日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2 0 2 2 年亚运会的主场馆.某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产2 4 0 0 0 个零件，若每天比原计划多生产3 0 个零件，则在规定时间内可以多生产3 0 0 个零件.(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机
18、器人生产流水线每天生产零件的个数比2 0个工人原计划每天生产的零件总数还多2 0%,按此测算，恰好提前两天完成2 4 0 0 0 个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.解：(1)设原计划每天生产的零件x个，由题意得,24000=24000+300,得 =2400,x x+30经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.，规定的天数为24000+2400=10(天).答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天：(2)设原计划安排的工人人数为y人，依题意有5X20X(1+20%)X-+2 4 00 JX (1 0-2)=24000,解得y=480,7经检验，y=480是原方程的根
19、，且符合题意.答：原计划安排的工人人数为480人.【考 点1 1分式方程的应用之利润问题】【例I I】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元.(1)求今年5月份A款汽车每辆售价多少万元；(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，己知B款汽车每辆进价 为7.5万元，每辆售价为10.5万元，A款汽车每辆进价为6万元，若卖出这两款汽车共15辆后，获利不低于39万元，求2款汽车至少卖出多少辆？(1)解：设今年5月份4款汽车每辆售价为
20、x万元，根据题意，得9=80 解得=8.x+1 x经检验，x=8是原方程的解.答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元；(2)解：设B款汽车卖出a辆，根据题意，得。(10.5-7.5)+(1 5-a)X(8-6)2 3 9,解得 a9.答：8款汽车至少卖出9辆.【变 式11】某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 20000元，乙种商品共用了 24000元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为6 0元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量
21、不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于24600元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？解：(1)设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元.根据题意，得，2 0 0 0 2=2 4 0 0 ,解 得 x=40.x x+8经检验，x=4 0 是原方程的解.答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)甲乙两种商品的销售量为0 迎 2=500.40设甲种商品按原销售单价销售。件，则(60-40)a+(60X0.7-40)(500-tz)+(88-48)
22、X 50024600,解得 a220.答：甲种商品按原销售单价至少销售20件.【考 点 1 2 分式方程的应用之方案问题】例 12某电脑公司经销甲种型号电脑，受各方因素影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价900元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售为10万元，今年销售额只有8 万元.(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3400元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于4.8万元且不少于4.7万元的资金购进这两种电脑共15台，则共有几种进货方案？解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价为x
23、 元，则去年同期甲种电脑每台售价为(x+900)元，依题意，得：80000=100000,解得：x=3600,X x+900经检验，x=3600是所列分式方程的解，且符合题意.答：今年三月份甲种电脑每台售价为3600元.(2)设该公司可购进俄台甲种电脑，则可购进(15-机)台乙种电脑，依题意，得：,3400m+3000(15-m)4700(2,.桁为正整数，=5,6,7,该公司共有三种进货方案，方 案 1：购进5 台甲种电脑，10台乙种电脑；方案2：购进6 台甲种电脑，9 台乙种电脑；方案3：购进7 台甲种电脑，8 台乙种电脑.【变 式 12】某校为了改善办公条件，计划从厂家购买4、B 两种型
24、号电脑.已知每台4 种型号电脑价格比每台B 种型号电脑价格多0.1万元，且 用 10万元购买A 种型号电脑的数量与用8 万购买8种型号电脑的数量相同.(1)求 A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？(2)学校预计用不多于9.2 万元的资金购进这两种电脑共2 0 台，其中A种型号电脑至少要购进1 0 台，请问有哪几种购买方案？解：(1)设求A种型号电脑每台价格为x万元，则 8种型号电脑每台价格(x-0.1)万元.根据题意得：也T,解得：x=0.5.x x-0.1经检验：x=0.5 是原方程的解，%-0.1 =0.4答：A、B两种型号电脑每台价格分别是0.5 万元和0.4 万元.(2)设购买A种
25、型号电脑y台，则购买8种型号电脑(2 0-y)台.根据题意得:0.5 J+0.4 (2 0-y)9 9,在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱.17、某超市用50 0 0 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 0 0 0 元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了 5 元，购进干果数量是第一次的1.5倍.（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）如果超市按每千克4 0 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的1 0 0 千克按售价的6 折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？（3）如果这两批干果每千克售价相同，且全部售完后总利淘不低于2
26、5%,那么每千克干果的售价至少是多少元？【分析】（1）设第一次该干果的进货价是每千克x元，则第二次购进干果的进货价是每千克（x+5）元，根据数量=总价+单价，再结合第一次购进干果数量是试销时的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据数量=总价+单价，可求出两次购进干果的数量，再由利润=销售收入-成本，即可求出结论；（3）设每千克干果售价y元，根据利润=销售收入-成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论.【答案】解：（I）设第一次该干果的进货价是每千克x元，则第二次购进干果的进货价是每千克（x+5）元，根据题意得：50 0 0 _X 5=9
27、 0 0 0 _（x x+5解得：x=25经检验，x=2 5 是所列方程的解.答：该种干果的第一次进价是每千克2 5元.（2）第一次购进该干果的数量是50 0 0+2 5=2 0 0 （千克），再次购进该干果的数量是2 0 0 X 1.5=3 0 0 （千克），获得的利润为（2 0 0+3 0 0-1 0 0）X4 0+1 0 0 X 4 0 X 0.6-50 0 0 -9 0 0 0 =4 4 0 0 （元）.答：超市销售这种干果共盈利4 4 0 0 元；（3）设每千克干果售价y元，根据题意得：50 0 v -50 0 0 -9 0 0 0 （50 0 0+9 0 0 0）X 2 5%,解得
28、：y 3 5.答：每千克干果的售价至少是3 5元.1 8、某商家预测某种粽子能够畅销，就用60 0 0 元购进了一批这种粽子，上市后销售非常好，商家又用1 4 0 0 0 元购进第二批这种粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每袋进价多了 5元.（1）该商家两批共购进这种粽子多少袋？（2）由于储存不当，第二批购进的粽子中有1 0%腐坏，不能售卖.该商家将两批粽子按同一价格全部销售完毕后获利不低于8 0 0 0 元，求每袋粽子的售价至少是多少元？【分析】（1）设该商家第次购进这种粽子x袋，则第二次购进2 x 袋，根据单价=总价 数量结合第二次购进的单价比第一次高5元，即可得出关于尤的分式方程，
29、解之经检验后即可得出结论：（2）设每袋粽子的售价是元，根据利润=销售收入-成本结合获利不低于8 0 0 0 元，即可得出关于），的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.【答案】解：（1）设该商家第一次购进这种粽子x袋，则第二次购进2%袋，依题意，得：1 4 0 0 0 _ _ 6 0 0 0 _ 5 12x x解得：x=2 0 0,经检验，1=2 0 0 是所列分式方程的解，且符合题意，.,.X+2A=600.答：该商家两批共购进这种粽子6 0 0 袋.（2）设每袋粽子的售价是y元，依题意,得：2 0 0+2 0 0 X 2 X （1 -1 0%）y -6 0 0 0 -1 4 0
30、0 0 8 0 0 0,解得：代 5 0.答：每袋粽子的售价至少是5 0 元.1 9、为了迎接“五一”小长假的购物高峰.某服装专卖店老板小王准备购进甲、乙两种夏季服装.其中甲种服装每件的成本价比乙种服装的成本价多2 0 元，甲种服装每件的售价为2 4 0 元比乙种服装的售价多8 0 元.小 王 用 4 0 0 0 元购进甲种服装的数量与用32 0 0 元购进乙种服装的数量相同.(1)甲种服装每件的成本是多少元？(2)要使购进的甲、乙两种服装共2 0 0 件的总利润(利润=售 价-进 价)不 少 于 2 1 1 0 0元，且不超过2 1 7 0 0 元，问小王有几种进货方案？【分析】(1)设甲种
31、服装每件的成本是x元，则乙服装成本价为G-2 0)元/件，根据“用4 0 0 0 元购进甲种服装的数量与用32 0 0 元购进乙种服装的数量相同”列分式方程求解即可;(2)设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(2 0 0-?)件,然后根据购进这2 0 0 件服装的费用不少于2 1 1 0 0 元，且不超过2 1 7 0 0 元，列出不等式组答案即可.【答案】解：(1)设甲种服装每件的成本是x元，则乙服装成本价为(x-2 0)元/件，则4 0 0 0 -3 2 0 0 x x-2 0解 得x=1 0 0经检验，x=1 0 0 是原方程的根，且符合题意.答：甲种服装每件的成本是1 0 0 元：(2)设甲种服装购进m件，则乙种服装购进(2 O O-/7)件，则2 1 1 0 0 (2 4 0-1 0 0)m+(1 6 0 -8 0)(2 0 0-m)2 1 7 0 0解之得：8 5 根9 5.因为，是正整数，所以 m 可以取 8 5、8 6、8 7、8 8、8 9、9 0、9 1、9 2、9 3、9 4、9 5.所以进货方案有1 1 种.