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1、海淀区2022-2023学年第二学期期中练习高三数学2023.04数本试卷共4页，150分。考试时长12 0分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在诫卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回6一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合/=x|i v x 3),5=(0,1,2),则4M(A)2 (B)0,1)(C)1,2 (D)0,1,2)(2)若 a+2 i=i(b +i)(a,b ER),其中 i 是虚数单位，则 a +b =(A)-1(B)1(C)-3(D)3(3)在等差数列(4 中，。2 =1,0 4=5,则J =
2、(A)9 (B)11(C)13(D)15(4)已知抛物线/=4*的焦点为尸，点尸在该抛物线上，且P的横坐标为4,贝 打 尸 尸|=(A)2 (B)3(C)4(D)5(5)若(*_1)4 =+机与圆O：d+/=4交于4,3两点，且&408为等边三角形，则m的值为(A)士&(B)y/3(C)2 (D)/6(7)在 A B C中，Z C=9 0。，乙2 =30。，乙加C的平分线交8 c于点。.若 近=2荏+於(A,e R),则幺=(A)y (B)y (C)2 (D)3高 三 年 级(数 学)笫1页(共4页)(9)已知等比数列的公比为小且肝1，记*4(4=1,2,3,)，则 工 0 且 q l”是。(
3、勾为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)刘老师沿着某公园的环形跑遒(周长大于1 k m)按逆时针方向跑步,他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1 k m,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了 11 k m.恰好回到起点,前5 k m 的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为(A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 2 5分。(11)不等式忙L 0 的解集为_-x +2(12)已知双曲线(7：马-m=1 的渐近线方程为y=岳，则 C的离心率为_.a b(13)已知函
4、数/(x)=s i n(x +p)(0wp 2 兀).若f(x)在区间 p n 上单调递减，则少的一个取值可以为.f(x-a +l)(x +l),x l,(14)设函数f(x)=J l g x-a,x&l.当 a=0 时，/(/(I)=;若/1(x)恰有2 个零点,则 a的取值范围是(15)在 A B C 中，4 4 a=9 0。，4 c=3 C =2,。是边4 c的中点，E 是边加上的动点(不与4,3重合)，过点E 作 4 C的平行线交5 C于点尸，将B E尸沿E F 折起，点 3 折起后的位置记为点尸，得到四棱锥P-4 C F E,如图所示.给出下列四个结论:4。/平面P F；a P H
5、c 不可能为等腰三角形；存在点E,P,使得P D_ L屋；当 四 棱 锥 化 的 体 积 最 大 时，A E=y/2其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.高 三 年 级(数 学)第 2页(共 4 页)三、解答题共6小摩，共B 5分。解答应写出文字说明（16）（本小画13分）如图，直 三 模 柱 忿C-4 BQ中./f c =B C=l是441的中点（I）证明：CQ坪 面 BCD；（D）求 直 筑 与 平 面BCQ所成角的正弦值.（7）（本小题14分）叫=2 /f C i j&c,在 4B C 中.6s i n 2 4=s/Sa s i n B,(I)求4 A演算步也或证明过程。（11
6、）若4 两 的 面 积 为 3 0，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知使 存 在 且 唯 一 确 定，求。的值.条件：sM C=乎；条件：上手；条件：c0sC=率，注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得o分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜疏菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户,分别记为4 组和8 组，这 20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：98 7 5 344 75 960假设用频率估计概率，且各户
7、网购生鲜蔬菜的情况互不影响（I）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（H）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1 户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的数学期望E（X）；（皿）从 4 组和8 组中分别随机抽取2 户家庭，记为4 组中抽取的两户家庭二月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，5 为组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于2。的户数，比较方差）与 O（5）的大小,（结论不要求证明）高三年级（数学）第 3 页（共 4 页）已知南画E:y +(19)(本 小 题14分)g=l (a 60)的左
8、、右顶点分别为4,4，上、下顶点分别为以，空，bI2叼=2,四边形4曷48)的周长为4遍.(I)求椭圆E的方程；(K)设斜率为大的直致/与x轴交于点尸，与椭圆E交于不同的两点M,N,点 灯 关 于y轴的对称点为“、直 线 W与 轴交于点。,若A O P。的面积为2,求Z的值.(2 0)(本 小 题15分)已知函数/(乂)=*7.(I)当。=1时，求曲线、=/(x)在 点(0,7(0)处的切线方程；(H)求/)的单调区间；(m )若存在修，电G -1,1,使得/(匹)/七)A 9,求4的取值范围.(2 1)(本 小 题15分)已知数列%.给出两个性质：对 于 a中任意两项6,aj(iNj),在&
9、中都存在一项ak,使 得，=/；对 于(a中任意连续三项 an,an+i,an+2,均 有(a-an+l-an+2)(an-an+l-an+2)=0.(I)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由：(1)有穷数列回：afl=2-,(n =l,2,3);(ii)无穷数列(端：乩=方一15=1,2,3,).(D )若有穷数列 而满足性质和性质，且各项互不相等，求项数m的最大值；(H I)若数列满足性质和性质，且 为0,的-1，的=2,求 的 通 项 公 式.南 三 年 级(数 学)第4页(共4页)海淀区20222023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案
10、ABCDCDBABB二、填空题(11)(-C O,-2)|J(1,4 =(1,-1,1),BC=(0,-1,2),C D =(1,0,1).设平面8CQ的一个法向量为 =(x,y,z),则f I/,BD=0,即，x y +z =0,。，、-y+2 z=o.I l i I令z=l,贝U y =2,x=,得“=(1,2,1).设直线CO与平面BCQ所成角为夕CD-n r则 s in 6 =|c o s|=q；=,I。咖3所以直线CD与平面8c力所成角的正弦值为广.1T(1 7)(本小题14分)解：(I )由 b s in 2 4 x/Ja s in 3 及正弦定理，得s in 8 s in 2 A
11、 =、万s in A s in 8.由倍角公式得 2 s in B s in A c o s A =.s in A s in B.在 A A B C 中，s in A x 0,s in B x 0,得 c o s A -.271因 为&(0,_),271所以A =_.6(I I )记 A B C的面积为SABC.选条件：由(I )知A 2 ,又由题知S _ 3 A_ 6 A A B C -，可得“b c s i n A得 be=1 .又由条件，即2 一 四，解得。=3 6,c -4 .c 4由余弦定理，得高三数学参考答案第2页（共7页）=+c2 一 2 bccosA,2 7 +1 6 _ 2x
12、3 J7x4x,2=7所以=J7.选条件：又由条件,B P c o s C =产 以及Ce（O,兀），可得s in C =V.7 7所以 s in 8 =s in（A 4-Q=s in A c o s C +c o s A s in C=L +国亚=返2 7 2 7 147 1由（I）知 A二一，6又 由 题 知%P C =3万，可 得 以8 c bcsinA.得be=1 2 出.由正弦定理得“：6：c =s in A:s in B:s in C =7:3.T:4 J7.可 设=7 k,b=3 后 k,c=4麻.由b e=12招,得 k 味，得 q=-Jl.（18）（本小题14分）解（I ）设
13、该户网购生鲜蔬菜次数超过2 0次为事件C,在A组10户中超过2 0次的有3户，由样本频率估计总体概率，则P（O=1.10（I I）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过207 7次概率为二，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为/一1010X的取值范围为 0,1,2.p（x=o）=（i-l）x（i-2_）=i L，10 10 100P（x =l）=x（l-Z_）+（l 一）x 2_ =*，10 10 10 10 50P（X=2）=2X2_=2L.10 10 10021 29 21E（X）=0 x +l x _+2 x _ =1 .
14、100 50 100高三数学参考答案 第3页（共7页）(Il l)。)=。4).1 9.（本 小 题 14分）解（I ）依题意可得:产2|4la2+P=4.；6.解得|/a=6|=1.椭圆E的方程为二+y 2=l.5-（II）依题意，可设直线/方程为y =丘+机（左 m。0）,M（X I,y）,N。2,%）联立方程4亍+=1y=kx+m.得(5/+1 )炉 +1Okmx+5m2-5=0.=(10km)2-4 (5)+1)(5牛 2-5)=100-20m2+20 0,即5标 一 1.10 km 5m2 5国+2=一 赤 p 2=济了在直线/方程y =履+初 中，令 y =0,得 工=-上，得尸（
15、-。0）.k k依题意得M 1（-x,y）,得 直 线 方 程 为 y=*M（x +x）+y .1 ;1 1w+玉令x =0,得 以=再)2 +。)”Q X +X-I 2所以 O P。的面积为S =1|X|-iy 1=1|M 为+九 2M2PQ 21 2k x1+x2X y2+=再(5 +晒+/(H +加)=2A X|X2+mx+x2)=2 h鎏N 炽=.1 5k即s,o=g|篙卜2,解 得 =经检验符合题意.所以的值为i.4高三数学参考答案第4页（共7页）(2 0)(本小题15分)解：（I）当=1 时，/（x）=e-x.则 4 0）=1.求导得r(x)=e*-1,得 广(0)=0.所以曲线y
16、 =/(x)在(0J(0)处的切线方程为y=.(I I)求导得/(x)=e x-1.当a 4 0时，尸(工)0时，令/(x)=(R-解 得4-Eaf(x)与f(x)的变化情况如下：由上表可知，/(X)的减区间为(-8,-吧)，增区间为(-吧,+00).aaX/In。、（一-）aIn aazIn a、（一 一,”）a广 0+/（x）极小值/综上，当“4 0时，/(x)的减区间为(-a),+00),无增区间；当4 0时，/(X)的减区间为(-00,-吧)，增区间为(二二+00).a a(III)将/(x)在区间-1,1 上的最大值记为/(X)0 m，最小值记为/(.r)m in.由题意，若改使得|
17、f(x)巨3成 立,即f(x)回W3或卜(x)m m 4-3.当 时，f(x)=ea x-x-x-.所以若太使得|f(x)|2 3成立，只需f(X)m 43.由(II)可知f(x)在区间-1,1上单调或先减后增，故/(x)a为f(T)与f(l)中的较大者,所以只需当了(-1)23或1)2 3即可满足题意.即/(_ 1)=1+1 2 3或/(1)=6。-123.解得a 4-In 2 或 a 2 In 4.综上所述，”的取值范围是(-8,-l n 2l n 4,+8).高三数学参考答案第5页(共7页)(21)(本小题15分)解(I )(i )不满足.令i =/=3,4勺=16不是数列 4 中的项.
18、(ii)满足.对于任意也也 引)，bpj=(2 i-1)(2j-1)=2(2 y+由于24，一/+121，故令人=2U一，一/+1即可.(I I )(1)对于有穷数列 4 记其非零项中，绝对值最大的一项为为,绝对值最小的一项为4.故令i =/=p 时，存在一项|a|=|a a=a 2.k i j P又4是数列 4 非零项中绝对值最大的，所以|与但2,即0L7 n q q q又 14a l 4“区 1,所以数列所有非零项的绝对值均为i.又数列 凡 的各项均不相等，所以其至多有0,-1共3项.所 以 0,。2 0,。力 0,且|。/|勾+2 0 4 时，a a _a a 0,即|a a|.n n+
19、1 计2 n 2 n 什2 n当 a 0 v a 时，a a-1 _a a.nZH-1 rn-2 W 2 什1 n又4 0 -1 生，故 性 质(*)得证.(2)考虑a,a ,a 三项，有a =a -a 或=a-_a.I 2 3 3 12 3 1,2若a =a-a y则。=a +a 1,此时令i =/=l ,有小 ，由性质(*)知不存在女使得3 12 13 2 I|a0，且。=a2 a 一Na 一）（a-_a）_a=:,5 3 2 4 3 2 2 2 3 4 3 2Q所以令i=j =l时，a2 a.1 4 5由性质（*）知，只有2=a或2=。.1113当 二%时，a=j2,a2=2（7I-ay
20、）=2 j2 -4,此时令i=2,j=l,。21=4-4忘，但a一_。=2 5-5,BP|a a ,由性质（*）知不存在使得a=a a.4 2 2 3 4 2 1 k 2 I所以2=a，即。=1,从而。=一2.I 1 I 2L唱，是奇数，（3）经验证，数列 4 :“满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列.2：,是偶数假设4是第一个不满足上述通项公式的项，.v4.当 s=2f+lj2 2 时，只能为 a=a-a =2-（-2）=3-2,-1.2r+l 2/-1 2 f令i=2-l,j=3,则 也=2，.但 2f -2.2z 2i-2 5 2 r-l 万n l1则 a-_a a-1 z_ a-1_ a）、=_5 a-_a=-1_ 19-2 -2l a,由性质（*）,不存在上 使得aa=a.i j 2 t 2 f+2 i j k故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列 七 的通项公式为用=|I 2 2 ，正是可奇获数-2之是偶数.高三数学参考答案第7页（共7页）