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1、青岛市2023年高三年级第一次适应性检测数学试题2023.03本试卷共6 页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：-11.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位出上，井济加考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答妈K,匕，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,已知全集。
2、=1 ,4=|3 丫 7 ,3 =灯|工2|4 ,则下图中阴影部分表示的集合为A,%|-2 x 3 B.x|-2 x 0,6 0)的左、右焦点分别为片，鸟,I I线与C的a b左、右两支分别交于4,B两 点,若四边形4万8行为矩形,则C的离心率为A.史 巴 B.3 C.V3+I D.7 5 +127 .某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8.没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为A.0.34 B.0.37 C.0.4 2 D 0.4 38 .已知函数/(x
3、)=x 3-g s i n x,若。6(0,旨)，a=/(cos6y,a0),b =/(s i n 产。)，b c B.b a c C.a c b D.c a b数 学 试 题 第 2 页 共 6 页二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在(2x-)8的展开式中，下列说法正确的是xA.常数项是L20 B .第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为25 6 D.各项的系数之和为25 6IB.下列说法正确的是A若直线a不平行于平面a,a u a,则a内不存在与a平行的直线B
4、若一个平而a内两条不平行的直线都平行于另一个 平 面 夕.则。夕C；设/,1，为 直 线,】，在平面a内,则是“/_ L i且/J 力”的充要条件D.若平面a _ L平而a_ 平 面 尸J_平而 分,则 平 面a与平面/?所成的二面角和平而必与平面A所成的二面角相等或互补1 1 .1 9 7 9年，李政道网士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一地桃子,怎么也不能分成5等 份.只好先去唯 觉.准备第二天再分.夜里1只联门前偷爬起来.先吃伸1个桃 子.然后将其分成5第份，：收起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后,也将佻子分成5等份，敬起自己的一份睡觉去了；以后的
5、3只猴子都先后照此 理 问圾初至少有多少个桃子？股后至少利下多少个桃子？下列说法正确的是A.若第只猴子分得“个 桃 子(不含吃的),则5 0 =4“_|一1(=2,3,4,5)B.若第只猴子连吃带分共得到明 个 桃 子.则 a j (/=1,2,3,4,5)为等比数列C.若最初有3个桃子，则第5只猴子分得25 6个 桃 子(不含吃的)D.若最初有上个佻子,则+4必为5$的倍数1 2.”知/.8是平而直角坐标系x O y中 的 两 点.若 厉=20 5(/1 e R),0 A 0 B=rz(r 0),则称B是A关于圆V+必=r2的对称点.下而说法正确的是A.点。J)关于圆x、/=4的对称点是(2
6、 .-2)B.圆X2+_/=4上的任意一点A关于回x2+y2=4的对称点就是“自身C.Six2+(y-b)2=b2(b 0)上不同于原点0的点M关于画x1+y=1的对称点N的凯D.若定点K不在回。：,/+/=4上,其关于圆。的对称点为。,A为圆C上任意一点，则!为定值敢学iO S笫3页 共6页三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共 20分。13,已知。(0,0),4(1,2知 5(3,-1),若 向 量.况,且 蔡 与 办 的 夹 角 为 钝 L,写出一个满足 条 件 的 面 的 坐 标 为-14.已知O 为坐标原点，在抛物线必=2 p x(p 0)上存在两点,尸，使得OEQ是边长为4
7、 的正三用形，则 P=.15.湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形4 8 8 区域建一处湿地公园,已知 3 4 3=9 0。,ZDBA=45,ABAC=30,NDBC=60。.=2上秫，则C O=_ 千米./2SJAB16.设函数/O)是定义在整数集Z 上的函数，且满足/(0)=1./(1)=0,对任意的x,y e Z 扪阴/(x +y)+f(x-y)=2/(x)/。),则/(3)=:/(12+22+-+20232)/(12)+/(22)+-+/(20232)=(本小题第一空2分，笫二空3分)四、解答题：本题共 4 啕共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演
8、算步骤。17.(0 分)已知函数/(x)=2aos2 ox+sin 2a)x(0).V),.q姑/(x)的两个相邻极值点,且满&xi-x2|=K.(I)求函数/(x)图象的对称轴方程;(2)若/(a)=；,求sin2a.18.(12 分)已知等差数列 勺 的前项和为S”.公差d 工0,邑，工+4 成等差数列，的,%,6成等比数列.求 9;(2)记数列 的前项和为。，2 4-。=等，证明数列依-为等比数列,并求色 的通项公式.数 学 试 的 第 4 页6 页1 9.（1 2 分）如图，在R t尸48中，_ 1 _ 4 5,且2/=4,4 8 =2,将42/8绕直角边处 旋转空3到尸/C处，得到圆
9、锥的一部分，点。是底面圆弧8 c (不含端点)上的一个动点，(1 )是否存在点。，使得8 C _ L P D?若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由;(2)当四棱锥。一/8 OC体积最大时，求平面尸8与 平 面 夹 角 的 余 弦 色.2 0.(1 2 分)今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就，某学校为了解学生对航天知识的知晓情况,在全校学生中开展了航天知炽测试(泗分10 0分)，随机抽取了 10 0名学生的测试成绩,按照 6 0,7 0).7 0,8 0),8 0 ,9 0),9 0 ,10 0 分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(I)根据频率分布直
10、方图、估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩.用P(X=Z)表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在 9 0,10 0 上的概率，求 P(X =k)取必大值时对应的k的值；(3)从测试成绩在 9 0,10 0 的同学中再次选拔进入笈赛的选手.一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试,至少答对3道题者才可以进入夏费.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道.乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立,记甲、乙两人中进入亚赛的人数为专、求J的分布列及期望.数 学 试 即 第5页 共6页21.(12 分)已知。为坐标原点，椭圆的
11、左，右焦点分别为耳，居，力为椭a a圆C的上顶点，:鸟为等腰直角三角形，其面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线/交椭圆C于两点，点%在过原点且与/平行的直线上，记直线皿尸，W Q的斜率分别为勺，4 2,必 的 面 积 为S.从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立.s=；%为原点0，!-注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2 2.12分)已知函数 f (x)=Inx,圆C:x2+(y-b)2=2.(1)若6 =1,写出曲线y=/(x)与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；(2)若曲线y=/(x)与圆。恰有三条公切线.(i )求6的取值范围;(i )证明：曲线。:
12、己 *2 =1上存在点T(，)(jo,o),对任意刀0,f(fnx)=/(x)+n-l-b.数 学 试 题 第 6 页 共 6 页青岛市2023年高三年级第一次适应性检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。1-8：A C BB DCCA二.多项选择题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 20分。9.AC 10.AB 11.ABD 12.BCD三、填空题：本题共4 个小题，每小题5学，共 20分。13（-1,-2）答案不唯一；1 4.三；15.2 档;16.0,四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.（本
13、小题满分10分）解：（1 ）由题意得/（x）=2cos2 双+sin2on;=l+cos2双+sin23=、匿 sin（2 似+5+1.2 分42兀因为T=2兀，所以2 8 7 1.3分TJI所以/a）=/s i n a+-）+14令尤+_ =%兀+_ 得，x=E+_ （攵 EZ）4 2 4T T所以函数/（X）图象的对称轴方程为x=E+_（&wZ）.5分41 7 1 ，2.（2）由/（a）=J4sin（a+好 -6分3 4 32 4 4所以sinc+cosa=，所以（sina+cosap=_|H+sin2 g _3 9 9所以sin 2a=-5_ 10 分918.（本小as满分12分）解：（
14、1）因为S,S4,Ss+4成等差数列，为，4,小 成等比数列所以 12s3=S2+S5+4.所 以a =a a 2分I 4 2 812（4。1 +64）=（2a,+4）+（5。|+10d）+4+d=4所 以 i +d）（；，7d）,整理得=/I I I I I 1因为d w o，解 得：a1=d=2.5分-n（n-l）-2 八所以 S =2 +-x2=+.6 分数学评分标准 第1页（共8页）(2)由(1)得2匕-T =+2，2b-T =土+3，.7 分 (+1)用 向(+1)(+2)所以两式相减得：2。-2 +T-T =+2 +3.8分n +1 rH-1 n n(z n+八1)(/+11)x(
15、z+2)整理得：2b-b _ 2 _ 1n(n+1)(+1)(+2)所以 2b -1 =bn+l-n(n+1)(+1)(+2)即久讨一工=2(“一上).1 0分争1 Sn因为=_,b-=1。0 1 2 1 U2所以 是以1为首项，2为公比的等比数列.1 1分所以b-=2 T，所以8=1 +2一.1 2分“几(+1)“n(n 4-1)1 9.（本小题满分12分）7T解：（1）当。为圆弧3 C的中点，即NCAO=_时，BC L PD.1分3证明如下：因为。为 圆 弧 的 中 点，7 1 一所以NCAD=NBAO=_，即A。为N C A B的平分线3因为A C=A B，所以A D为等腰 C A B的
16、高线，即A。，B C.2分因为 P A 1 AB,P A A C,A B Q A C =A,AB,A C u 平面 A B D C所以P A 1平面A BDC，所以P A _ L B C.3分因为P A n A O =A，所以面P A D所以BCLPO.4分(2)由(1)得，P A为四棱锥P-A BDC的 高 因为P A =4，所 以，当底面积SA B D C取最大值时，四棱锥P-A 3。体积最大.5分设，则(0,)-1 3.1 3 _ ./2万 、S=S+S =x 2x 2x sin a+x 2x 2x sin()AB D C A C A D MiAD?2 3cc27r 7 T=2 sin
17、a+sin(a)=2 3 而l(a+)_3 V 6因为ae (0,255a+无.(2,当3 6 6 6T T JI所 以 图，sin(a+)1,5 取最大值2行T T AB D C U数学评分标准 第2页（共8页）j r .所 以，当四棱锥P A 3。体积最大时，N C A O =N 8 A O=_37分过A在平面ABO C内作直线A E _ L A B，交圆弧BC于点E，由 题，A E,A B,A P两两垂直，以A为原点，分别以A E,A B,A P所在直线为龙轴，y鼬，z釉建立如图所示空间直角坐标系，.8分则 A(0,0,0),P(0,0,4),8(0,2,0),3,1,0),3,-1,0
18、)因为 P O =(万,1,4),=(0,2,0),D B =(-,1,O).设平面P C D的法向量为=(X ,y ,z )1 1 1则也吗0，即 卜g+y-4 Z|=0,(nCD=O 1 1 2y =0令 Z =、B，得 =(4,0,育.1 0 分9分设平面P B D的法向隼为加晅变二。,产=(x2,y2,z2)+y-4z =02 2I m-D B-0 I T 3元2 +%=。令z?=-=m-n 1 9所以平面P C D与平面P B D夹角的余弦值为L L .1 2分1 920.（本 镯满分12分）解：（1）因为前2个矩形面积之和为（0.0 1+0.0 3）x 1 0 =0.4 0.5，则
19、中位数在(80,90)内，设为？，则(旭一 80)x 0.0 4=0.5 0.4=0.1 ,解得?=82.5，即中位数为82.5.t.1 （2）因为成绩在 90,1 0 0 的频率为亍，所以概率为$，1k 1 j t 4 1 0_A则 X 5(1 0,-)-所以 P(X =k)=Go(?(?，.A 1 A 4 m*P(X=k)Cl 0(-)(-)115k所以=-5_ 5-=1 +.尸(X=Z D KT/l g/4、U T 4k3分5分6分当 I V 攵2 时，P(X=k)P(X=k T)，P(X =0)P(X =1)P(X =2)；当 Z N 3 时，P(X =%)P(X =3)，所以A =2
20、时，P(X=k)取到最大值.7分数学评分标准 第 3页（共 8页）(3)甲讲人复赛的概率P =C 4c2 +4=3,乙进入复赛的概率P =3 3 =1，C：5 2 c：53 1故 甲、乙两人进入复赛的概率分别为一，一 .8分5 5 2 4 8由题意可得：狗可能取值为0,1,2，则 有：P(勺O)=(l P)(l P)=勺 二 二1 2 5 5 253 4 2 1 1 4 3 1 3P(1)P(1-P)+(1-P)P=_ x _+_ x _=_，尸(J=2)=P P =_x_=_1 2 12 5 5 5 5 25 12 5 5 25所以华勺分布列为：4012P8251 4253258 1 4 3
21、 4-所以E(J =0 x _+l x _+2x _=_25 25 25 51 1分12分21.（本小题满分12分）解：（1）记I 居尸21=2 c，由题意知：|AF,|=|4 B 1=a，2 c=五 a.1 分1 ,一所以5皿但二万 一=1 解得a=拒.2分所以b=l,c=l.3分所以椭圆C的标准方程为：y+y2=i.4分（2）（i ）选为条件：设p（x”y）。（，力）当直线/的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，1 2则由女女 =_，可得左=j，1 2 2 1 T产 Y 2 J 2此时直线WP的方程为丁=方%，联 立 万+=1，解得尸（1弓）、笃一所以S=J.6分2当直线/
22、的斜率存耳时，设直线，的方程为：=丘+r，则攵2 _必 丁2=一1 2*2_，即X X +2 y y =02 1 2 1 2幺 2 2 2 2将 =履 +，代入一+y =1 得：(1+2%)x+4 t o+2 r -2 =04kt 2r-2所以-再1 +X-7 =-l-+-2-k2=.-.l.+.2.k2.7分数学评分标准 第4页（共8页）t2-2k2所以 K y2=（3+。（以2 +。=&九2 +kt（x l+x2）+t2-2产一 2 产 2/所以-+2 =（），即1+2小=2产 .8分1+2）12 1+2攵 2_ _ _/1 O L.2 _ .2口0=f l=g.J（演+引 452=浦.中
23、-1 +2公.分因为点。到直线/的距离d=yjl+k21|r|,_ _ _ _ /I +2k-t H所以s=_-=-2产.而mi=A2 V i T F 1+2%2综 上，结论成立.1 2分（i i ）选为条件：设P（X，M），。（，%），当直线/的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，&1 0则由 S=v,_,可得S=_x-2y-x-y=v ,T 2 1 1 又+y：=1，解得，Q（i,一弓），所以 k&=-.6 分当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：y=kx+t f22 2将 丁 =米 +，代 入 万+y 2 =l得：（1+2 Z）x +4ktx+2t-2 =04kt 2t
24、2-2所以无I+%2=-.2/1 元2=.2，.1十乙K 1 I乙KI P Q|=J l+左，I%1 -x21=J l+F J（X +w）2 -4%巧=A J +1 2 1+2，,1.8 分1 +2k因为点。到直线/的距离d=J l+公1|r|,_ _ _ _ /I +2k-t所以S L=T”.2 J 1+k?1+2 K+2%-t1+2 i t2sT即1+2/=2产.1 0分）?f2-2k2因为 y y2=（何+。（2 +。=左 也+kt（x,+%2）+r =-y1十乙Kyy _ _t2-2k2 _ i 产 _ i所以女他=3=2产-2 2产=2 2淤-2 21 21+2女 2综 上，结论成立
25、.1 2分数学评分标准 第5页（共8页）（iii）选 为 条 件：设P（M，y J，。（毛,），W。，为）当直线/的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，则。区,y），w（o,为），所以s-2 y=X.y=2 1 1 1 1 2，又可+，=i，解得P（l,），2（1,-7 2）所以攵攵=（M 一为）（一切一 o）=v1 2 12 1二2 一1一=一1，所 以 人=0/30 2 2 022所以W（0,0）为坐标原点，满足题意.6分当直线/的斜率存在时，设W（x。，左X。），直线/的方程为：+f，x2将y=带 入 一+2 =i得：（1+2攵2）+4匕 +2/一2=024kt 2 产
26、2所以+一定,中2=病、.1十乙K 1十乙K7分I PQ i=VTTF 占-i=T iT F 7 a,+x2)2-4x,x2=2j2-T iT F 望8 分1 +Zk点W到直线/的距离dIdTT?所以s=5 kAe.V l+2fe2-f2-1 +21、-=、,”1.J l+2/7 2-1 +2/-即 1+2/=2.10分二2因为切y2=(5+/)(京2+t)=k 2Kx2+k t6 +x2)+t2=-1+2公、c 2ty+y=kx+t+kx+t=k(x+x)+2/=12 2 1 2 1+2 公则由左左二(%-5乂%_ 蛆)_=1 ,nn/-x )(x-x )+2(y-kx Xy-k x )=0
27、1 2 7-X )(X-X )2 即 I I 0 2 0 I 0 2 0V 1 0 2 0得：x x -x (x+x)+x2+2yy-2kx(y+y)+2Z:2x 2=01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0即（1+2公）2/2一（4公一4/2+2）=0，因为i+2 d=2产，4公一4+2=0所以工。=0即卬（0,0）综上所述，卬满足条件.12分数学评分标准 第6页（共8页）22.(本小满分12分)解：(1)曲线y =/W与圆C一条公切线的方程为y =x-1.3分(2)(i)设曲线y=/(x)与圆C公切线/的方程为 =依+加(显 然，存在),1 1 1因为/与曲线y =/(x)相 切，
28、II/()=_，所以切点为(_,ln _)，x k kI:y-n =k(x-9，所以/:y =-1-l n Z，即加=-l-ln Zk k因为/与圆C相 切,所 以*一 =、，2，即(b加)2 2攵2 2 =0J 1+k2所以 S +l +ln&)2-2氏2一2 =0令g(x)=3+1+ln x)2 -2f-2?x 0 ,2(Z?+1+In x)2(Z?+1 +In x)-2 X2 则 g。)=-4 x =-X X、-1 (l-2 x)(l+2 x).=(Z?+1 4-In x)-2A2，贝ij 力(x)=_-4%=5 分x x易证明：In x W x-l.6分当8 1时，因为g)在(0,；)
29、上单调递增，在(；,+oo)上单调递减；所以g)W%(；)，因为/x b u 8 +l ln Z。,(e a)=2(e)2 0 ,2 2/J(2/?)=+1 +ln(2 M-8b23b-8b2/?+l+ln/?=2/?所以g(x)在(0,a)上单调递减，在 上 单 调 递 增，在(夕,+8)上单调递减；7分因为g(a)=4 2 20，又因为g(e-加 )=4加 2(e-昉-)2-20，H g(3b)h+l +ln(3 Z?)2-1 8/?2-2 1 6 ZJ2-1 8/J2-20，所以存在x e (a,/3),x 部,3b)，使得g(x)=g(x )=g(x )=01 2 3 1 2 3所以当
30、人 1时，曲线y =/(x)与圆。恰有三条公切线.8分数学评分标准 第7页(共8页)当0ln2 ；H l 时，因为/z(l)0,恤3)0,/J(1)=0+1)2-4O；所以存在aw(e,i 1 个 ；“，使得/i(a)=()=()2 2所以g(x)在(0,。)上单调递减，在(。,0上单调递增，在(尸,物)上单调递减；m g()=4a4-2 c r-2 0，H g矽=4-2/-2 W 0，所以g(x)不可能存在三个零点，所以当始2-1。41时，曲线y=/(x)与圆C不可能有三条公切线.9分2当人1-(ii)函数g(x)=3 +l+Inx)2及 2的零点，即方程l8+l+ln x b ,2/+2的 解，_ 2即曲线y=g +l+lnx|和曲线y=：2?+2(；一/=0 0)交点的横坐标，结合图象，显然存在了(加,)，使得匕+1 +1 1 1机=成立所以/(机x)=f(x)+lnm=/(x)+-l b对任意x 0恒成立.12分数学评分标准 第 8页(共 8页)