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1、延庆区2022-2023学年第一学期期末试卷高一数学第 I 卷(选择题)一、选择题：共 10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1,已知集合4=小+1可，集 合 人 小1期，则().A.4 a B B.6 04=%,O =x k l,B=x|N z 2=x|x22或xW-2,所以A不是8的子集，故A错误；du A=H x 1 或 2 ,故 C 错误；A c 8 =x|xN 2,故 D正确；故选：D2.若复数z满足(l+3i)z =2+4 i,则z的虚部为().1 .1 .1 7A.1 B.1 C.D.5 5 5 5【答案】C【解析】【分析】化简方
2、程求出复数Z的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.【详解】因为(l+3i)z =2+4i,一、_ 2+4i (2+4i)(l-3i)14-2i 7 1 .所以 +3i (l+3i)(l-3i)10-1一不，所以复数z的虚部为-：，故选：C.3.已知抛物线的焦点是尸(-2,0),则抛物线的标准方程是().A.y2-4x B.y2-4x C.y2-8x D.y2=-8x【答案】D【解析】【分析】根据焦点坐标，确定开口方向和P，即可求抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是尸(一2,0),所以开口向左，设抛物线方程为y 2=2x(p 0),又一言=一2,则。=4,所以抛物线方程为丁=_8葭故选：D
3、4.已知耳(0,-2),玛(0,2),动点尸满足归耳|一归周=2,则 动 点 尸 的 轨 迹 方 程 为().22A.=B.=13 3v2r2C.x2-=l(x0)D.y2 =l(y 0)【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义，分析可得P的轨迹是以耳、工 为焦点的双曲线，结合题意可得c=2,a=l,计算出力的值，将其代入双曲线的方程即可得答案.【详解】根 据 题 意,耳(0,-2),6(0,2),则 忻 图=4,动点P满足|尸6 1 T p闾=2,其中2 c忻 周，则P的轨迹是以耳、弱 为焦点的双曲线的上半支，其中 c=2,2。=2,即 a=1,则=/=3，所以双曲线的方程为：y2-y =
4、l(y0)故选：D.5.与圆G：/+y2=l和。2：/+丁 一 8x+12=O都外切的圆的圆心在().A,一个椭圆上 B.一条双曲线上C.一条抛物线上 D,双曲线的一支上【答案】D【解析】【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.【详 解】由 圆G：V+y2=l可 知，圆 心G（0,0）,半 径r=1，圆。2：/+2-8x+12=0 化 为标准方程（x-4）2 +y 2=4,圆 心。2（4,0）,半 径 火=2因此圆心距|GG|=4R+=3,所以两圆相离；设与两圆都外切的圆的圆心
5、为C，半 径 为 飞则 满 足|CCj =K +r,|CC2|=Ri+R,所 闵CG|CG|=Rf =1,即 圆 心C的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距 离，根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，即圆心在双曲线的一支上.故选：D.6.“直 线/和 曲 线C只有一个交点”是“/与C相 切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答 案】D【解 析】【分 析】可以通过举例说明充分性与必要性是否成立.【详 解】解：若 直 线/与 曲 线。只有一个交点，直 线/与 曲 线。不一定相 切，比如当直线/与双曲线的渐近线平行时，直线/
6、与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反 之，若 直 线/与 曲 线C相 切，直 线/与 曲 线C也不一定只有一个交点.故“直 线I与 曲 线C只有一个交点”是“直 线I与 曲 线C相 切”的既不充分也不必要条件.故选：D.2 27.若 双 曲 线 的 方 程 为 工-工=1，则它的离心率与渐近线 方 程 分 别 为（）.9 1 65 4A.-,y=x3 -35 0 3B.,y =?x4-45 0 3C.,y-?x3 45 4D.,y=x4-3【答 案】C【解 析】【分 析】根据双曲线方程得到“，b,c,然后求离心率和渐近线方程即可.【详 解】根据双曲线方程可得a =3,b=4,C=V 9 T
7、T 6=5,所以离心率e =g,渐近3线方程为y=?士尤4故选：C.8.已知抛物线y=4x和点A（5,3）,尸是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，贝“酬+归 丹的最小值是（）.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义得到归目=|尸即，将|叩+|尸4|的最小值转化为|阳+|刚 的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当B，P，A三点共线时归河+归川最小，最后求最小值即可.如图，B为点尸在准线上的投影，根据抛物线的定义可得|P q=归 耳，所以冲|+陷的最小值即|到+|%的最小值，根据两点之间线段最短可得，当B,P,A三点共线时|P B|+|P 4|最小，所以最小值为5
8、+1 =6.故选：B.9.过抛物线2=4 x的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A,B两点，己知A（4,4）,则线段A 8的中点到抛物线准线的距离是（）.2 5 2 5 1 0A.B.C.3 D.8 4 3【答案】A【解析】【分析】求得所在直线的方程并与抛物线联立，利用根与系数的关系求得线段A 3的中点的横坐标，即可求解【详解】由题意得，抛物线的焦点为厂（1,0）,n,4-0 4则 kAB=kAF=-7?=，4 -1 J4所以直线A B的方程为y 0=(x l),即4 x-3 y-4 =0,所以A B所在直线的方程为飘-3 y -4 =0,4 x-3 y 4 =0由2 ；得4元2-1 7元+4
9、=0，y=x1 7由根与系数的关系可知5+4=1，所以线段A B的中点的横坐标为丛土罩=,2 81 7 2 5所以线段A 3的中点到抛物线准线的距离是+1 =,O O故选：A1 0.已知点尸在抛物线d=6 y上，且4(0,2),则|P A|的最小值为().A.2 B.6 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设P(x,y)(y W 0),利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可【详解】设尸(x,y)(W 0),则有府=-6,又4(0,-2),所以|尸4|=必-0/+(、+2)，=Jx2+y2+4y+4=y/y2-2y+4=J(y _l J+3,(y 0)因为yo,所以(y l p+3
10、2 4,所以|P A|=J(y _l)2+3 N 2,当且仅 当 尸。时取等，所以|附|的最小值为2,故选：A第n卷(非选择题)二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.1 1 .函数y =l g(3/+2 x 1)的定义域为.【答案】（一8,T）U（；,+8）【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0,得出不等式，解得可得出函数的定义域，注意函数的定义域需用集合或区间表示.【详解】要使对数函数有意义，则需真数大于0,即需使3/+2X-10,解得-1或x,，3所以函数定义域为（-8,-1）口（；,+8）,故答案为：（-.12.双曲线的一个焦点坐标是（-2,0）,且双曲线经过点（2,0）,则双曲
11、线的实轴长为.标准方程为.2 2【答案】.26 .乙-匕=12 2【解析】，2【分 析】设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为0-2=1（。0力0）,将 点 的 坐 标 代 入，再根据a ba*2+b2=4即可求解.【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是（2,0）,2 2所 以 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为2=1（。0力0）,又因为双曲线经过点（2,夜），则 有.一1=1,又因为4+从=4，所以/=2或/=8,因为/+庐=4,所以/=2,廿=2,2 2双曲线方程为土-乙=1,2 2所以双曲线的实轴长为2“=2夜；标准方程为二 一v乙2=1，2 22 2故答案为：2/5；=1 -2 21
12、3.函数y =2x5,-l x 0值域为_【答案】0#H 0 Wyl【解析】【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可2 r I【详解】当TWxWO时，),=户 在 1,0上单调递减,所以O W y W l；当0 x W l时,在(0,1上单调递减,所以2x -l x 0所以函数y =B -3 0 则 s i n C=，a=.【答案】.立 .3+叵4 2【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.【详解】根 据 正 弦 定 理 得 芭-=一，解得s i n C =3，s i n C s i n 3 00 4根据余弦定理得=a 2+c2 2 a cco s 3 0。，代入可得4
13、=/+3 2&*立4，解得2。=过 二 叵 或三叵(舍去).2 2故答案为：立；过 巫.4 22 215.已知双曲线三一点=1(a 0/0)的左右焦点分别为耳(-c,0),f；(c,0)(c 0),P是双曲线上的一点，给出下列四个结论：归 国 的最小值为。一。；若直线/的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线/与双曲线只有一个公共点；点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为4；C若过目的直线与双曲线的左支相交于A,B两点，如果|4 6|+忸K|=2|A 5,那么AB2a.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 为.【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义图象以及性质逐一分析即可求解【详解】对于：
14、因为耳（一。,0）,P是双曲线上的一点，要想|尸用最小，则P必在双曲线的左支上且为作顶点时最小，所以归 国 的最小值为c。，故正确；对于：当直线/为双曲线的渐近线时，直线/与双曲线没有公共点；当直线/为双曲线的渐近线平行时，直线/与双曲线有一个公共点；综上可知：直线/的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线/与双曲线最多有一个公共点；故错误；对于：设尸（%,几），双曲线的两条渐近线为乐土ay=0,可得P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为年 一 研|J 2+研 _ 烂-|一 丝2故正确；7 7 7 b2+a2 c2对于：由双曲线的定义可知：|4闾一|做|=勿,忸周一忸耳|=2a,两式相加得|A周
15、+忸 目-（|前|+忸 娟）=4a,AF2+BF2-AB4a,y.AF2+BF2=2AB,所以21A5|-|AB|=4 a,即园=4。,故错误；故答案为：三、解 答 题：共6小 题，共85分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，证明过程成演算步骤.16.根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点A(2,1),且过点8(-2,2)：(2)过点C(0,0)和点。(0,2),半径为2；(3)(1,2),3,4)为直径的两个端点：(4)圆心在直线/:2 x+3 y-8=0上，且过点P(l,0)和点Q(3,2).【答案】(1)(x 2 y+(y +l)2=2 5(2)(尤_扃+(.丫 1)2=4或(x
16、 +6+(y-l)2 =4；(3)(x-2)2+(y-3)2=2(4)(x-l)2+(y-2)2=4【解析】【分析】(1)r =|A B|,利用两点间额距离公式即可求解；(2)设圆的标准方程为(x a)2+(y /7)2=4,利用待定系数法求解即可；(3)族的中点坐标为(2,3),即圆心为(2,3),由此再求半径即可求解；(4)设圆的标准方程为一 匕=/，利用待定系数法求解即可;【小 问1详解】由题意可得r=AB=(2 +2)2+(1 2)2 =5,所以圆的标准方程为(x2 +(y+1=2 5；【小问2详解】设圆的标准方程为(x a)2+(y b)2 =4,因为圆过点C(0,0)和点。(0,2
17、),所以（0-4+（0-4 =4（0-）2+（2-b）2=4a=百 t a-一百解得 或 h=1 b=所以圆的标准方程为(X-百+(y-l)2=4或(x+百+(1)2=4；【小问3详解】因为所的中点坐标为(2,3),即圆心为(2,3),半径r =J（l-3+（2 4）2 =近,所以圆的标准方程为（x 2）2+（y 3）2=2；【小问4详解】设圆的标准方程为（工一才+（-4=r2,2。+3b 8=0 nci -i由题意可得（1-4+（0-犷=产，解得7=2,（3-）2+（2-/?）2=r2）=2所以圆的标准方程为（x 咪+（），2）2=417.如图，已知点 A（2,l）,j,-j,圆 C:%2+
18、y2=4.（1）求过点A的圆的切线方程；（2）设过点A,B的直线交圆C于。，E两点，求 线 段 的 长:（3）求经过圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方程.【答案】（1）3x+4y 10=0或尤=2；（2）|DE|=V14;（3）3x-6y-5=0.【解析】【分析】（1）考虑斜率存在与不存在求解，利 用=r求解即可；（2）由点到直线的距离结合勾股定理求解即可；（3）利用垂直与点斜式求解即可【小 问1详解】当斜率不存在时，过点A（2）的直线为x=2,此时与圆。：/+、2=4相切，符合题意；当斜率存在时，可设过点A（2,l）的切线方程为y-1=k（x-2）,即 kx-y+l-2k=0 ,|1一
19、2用 3由/=2 ,解得k=，VF+i 4此时切线方程为一：x_ y +l _ 2 x1 _：）=0,即3x+4y-O=0；综上可知：过点A的圆的切线方程为3x+4y-1 0=0或=2；【小问2详解】1+2因为=T-1，2 3所以直线A 8方程为y-l =x-2即x-y-l =0,又圆心到直线A B的距离为d=-t =也，V 1 +1 2所以|目=2=2J；=JT?；【小问3详解】圆C内一点8且被圆截得弦长最短的直线必与OB垂直，0+-因为 k g =-p =-2 ,0 3所以圆C内一点B且 被 圆 截 得 弦 长 最 短 的 直 线 的 方=即 3x-6y-5=0.1 8.如图，在棱长为4的
20、正方体ABC。一 A A G2中，点 是B C的中点.（1）求征：A用平面C Q Q 6；（2）求证：AB,A,M；（3）求二面角B-A M-G的大小【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）4【解析】【分析】（1）利用面面平行证明线面平行，即转化为证明平面48月4平面CDRG；（2）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即先证明AB1，平面A8M,即可证明线线垂直；（3）首先建立空间直角坐标系，再求两个平面AM G利4 8 M的法向量，转化成法向量的余弦值求二面角.【小 问1详解】因为 AB/CD,A 5.平面。R G，C D u 平面 CARG，所 以 平 面8 R G，同理8 4平面8
21、 Q G，且A B?BBi B,AB,BB z 平面所以平面ABB A 平面C D D ,u平面ABB,A,所 以 平 面CDAG；【小问2详解】因为 8C _L 8g,B C 1 A B,且=AB,8耳 u平面 ABgA,所以B C 1平面u平面,所以A用，又因为 B 5。=5,4氏3。|为x，%z轴的方向，建立空间直角坐标系，A（4,0,4）,加（2,4,0）,C,（0,4,4）,A（4,0,0）,fi,（4,4,4）,AM=（-2,4,-4）,M C、=（-2,0,4）,设 平 面 的 法 向 量 为 加=（x,y,z）,A.M-m =-2x+4 y -4z =0/2，所以a=J 5，又
22、）=y/a2 c2=1，丫2所以椭圆。的标准方程为二+丁 句；2【小问2详解】X2 2 _+y =1由 J 2 得 9/+8 氏 +2 病 一 2 =0,y=2x+m设 4（百,b）,3（孙 必），由题意可知：A=M m2-4 x 9（2 w2-2）=-8 w2+72 0,解得-3 m 3,所以根的取值范围是（一 3,3）；【小问3 详解】I /八 r k c 即 2/w2-2由（2）可知：%+工2=一-XX2 =-，I=J1 +）2 J（X|+,一4%也=逐卜*_ 8 m-8二闻等 2 2 =闻-9+7 2由（2）可知一3 “3,所以一 8 /+72 4 7 2，所以|A B|4 坐x j
23、五=2普，当且仅当加=0时取等，所以忆明的 最 大 值 司 亘；2 0.已知椭圆C的焦点在x 轴上，焦距为2 起，离 心 率 为 等，过点尸（3,0）的直线/与椭圆 C交于A,B（不重合）两点，坐标原点为0（0,0）.（1）求椭圆C 标准方程；（2）若线段A3 的中点的横坐标为1，求直线/的方程；（3）若点。在以线段A8为直径的圆上，求直线/的方程.2 2【答案】（1）+=14 2（2）x 2 y 3=0 或+2 y 3=0；,、V 2 3 贰 V 2 3（3）x=-2 丁 +3 或+二-y +3;【解析】【分析】（1）由 题 意 建 立 仇c的关系，求解即可；（2）设直线/的方程为x=（y
24、+3,4（石,%）,8（天,%），联立直线与椭圆，利用根与系数的关系结合已知求解即可；（3）由已知有0 4 0 8 =不 与+%=，结 合（2）即可求解【小 问1详解】由题意可得：2 c =2夜c 5/2/2 ,X2 y 2所以椭圆c的标准方程二+L=1 ；4 2【小问2详解】设直线/的方程为x=/+3,4（5,1）,3（工2，%），由，2 2龙上-1-4 2x=ty+31 得(r+2)/+6 +5 =0,则 =36/一4 x5(*+2)=1 6/一4 0 0,即 尸 g ,5中皿不又线段A 3的中点的横坐标为1，-fit所以 +x2=2,一6产又 玉+=电+3+?2+3=，(弘+%)+6 =
25、/7 +6,-6产所以三、+6 =2,即产=4，r+2解得f =2,所以直线/的方程为x=2 y +3或x=-2 y +3,即 x 2 y-3=0或x+2 y _3=0；【小问3详解】因为点。在 以 线 段 为 直 径 的 圆 上，所以+=0，由(2)可知:S/2 _1 Q*2?产x1x2=(OJ1+3)(y2+3)=Z2yly2+3z(j1+y J +9=-y+-T+9=-+9,I I乙 I I乙 I I乙一13产 5所以OAO5=M%+y%=+9+=0,即T r+2 3 =0，也即/=生，解得.=叵，4 2所以直线/的方程为=半/+3或=一 吁/+3;21.对非空数集X,y定义X与y的和集
26、X+y=x+H x e X,y e y .对任意有限集A,记IH为集合A中元素的个数.(1)若集合X=0,1,2,y=1,3,5,7,9 ,写出集合X+X与X+y；(2)若集合X=x,X2，L，/眨 满足芭%2 L x1012,且|X+X|2 0 2 4,求|x+x|.【答案】X+X=0,1,2,3,4；X+y =l,2,3,4,5,6,7,8,9,10,U)(2)|X+X|=2()23【解析】【分析】(1)利用定义求解即可；(2)由题意先说明|X+X,2 0 2 3,再结合|X+X|2 0 2 4,即可求解【小 问1详解】因为X=0,1,2,丫 =1,3,5,7,9,所以 X+X=0,1,2
27、,34,X+y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11；【小问2详解】因为王 工2 L 演02 所以西+X 演 +%2 演 +X3 L%+X|Q|2 X +X|02 -3+X 02 L%012+“1012 所以集合X+X中至少包含2023个元素,所以|X+X|N2023,又由题意因+乂上2024,所以 2023 4|X+X k 2024,又|X+X|为整数，所以|X+X|=2023；【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.