《2022-2023学年苏教版必修第一册集合的概念与表示复习讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年苏教版必修第一册集合的概念与表示复习讲义.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专 题 1.1集 合 的 概 念 与 表 示 一、考 情 分 析 二、考 点 梳 理【知 识 点 一、集 合 的 概 念】1.集 合 与 元 素 一 般 地，我 们 把 统 称 为 元 素，用 小 写 拉 丁 字 母 a,仇 c,表 示.把 组 成 的 总 体 叫 做 集 合，用 大 写 拉 丁 字 母 表 示.说 明：组 成 集 合 的 元 素 可 以 是 数、点、图 形、多 项 式，也 可 以 是 人 或 物 等.2.元 素 与 集 合 的 关 系 如 果 a 是 集 合 A 的 元 素，就 说。属 于 集 合 A,记 作；如 果。不 是 集 合 A 中 的 元 素，就 说 a 不 属 于
2、 集 合 A,记 作.注 意：a e A 与 a A 取 决 于 元 素。是 否 是 集 合 A 中 的 元 素.根 据 集 合 中 元 素 的 确 定 性 可 知，对 任 何 元 素。与 集 合 A,a e A 与 a 史 A 这 两 种 情 况 中 必 有 一 种 且 只 有 一 种 成 立.3.集 合 中 元 素 的 特 征（1）：集 合 中 的 元 素 是 否 属 于 这 个 集 合 是 确 定 的，即 任 何 对 象 都 能 明 确 它 是 或 不 是 某 个 集 合 的 元 素，两 者 必 居 其 一.这 是 判 断 一 组 对 象 是 否 构 成 集 合 的 标 准.（2）:给
3、定 集 合 的 元 素 是 互 不 相 同 的.即 对 于 一 个 给 定 的 集 合，它 的 任 何 两 个 元 素 都 是 不 同 的.（3）：集 合 中 各 元 素 间 无 先 后 排 列 的 要 求，没 有 一 定 的 顺 序 关 系.4.集 合 相 等只 要 构 成 两 个 集 合 的 元 素 是 一 样 的，我 们 就 称 这 两 个 集 合 是 相 等 的.【知 识 点 二、常 用 的 数 集 及 其 记 法】1.全 体 _ _ 组 成 的 集 合 称 为 非 负 整 数 集（或 自 然 数 集），记 作 2.所 有 _ _ 组 成 的 集 合 称 为 正 整 数 集，记 作 N
4、*或 N+；3.全 体 _ _ 组 成 的 集 合 称 为 整 数 集，记 作 Z；4.全 体 _ _ 组 成 的 集 合 称 为 有 理 数 集，记 作 Q；5.全 体 _ _ 组 成 的 集 合 称 为 实 数 集，记 作 R.易 错 点：N 为 非 负 整 数 集（即 自 然 数 集），包 括 0,而 N*表 示 正 整 数 集，不 包 括 0,注 意 区 分.【知 识 点 三、集 合 的 表 示 方 法】1.列 举 法 把 集 合 的 元 素 出 来，并 用 花 括 号“”括 起 来 表 示 集 合 的 方 法 叫 做 列 举 法.注 意：（1）用 列 举 法 表 示 的 集 合，集
5、合 中 的 元 素 之 间 用“，”隔 开，另 外，集 合 中 的 元 素 必 须 满 足 确 定 性、互 异 性、无 序 性.（2）“”含 有“所 有”的 含 义，因 此 用 R表 示 所 有 实 数 是 错 误 的，应 是 R.2.描 述 法 用 集 合 所 含 元 素 的 表 示 集 合 的 方 法 称 为 描 述 法.具 体 方 法 是：在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 一 般 符 号 及 取 值（或 变 化）范 围，再 画 一 条 竖 线，在 竖 线 后 写 出 这 个 集 合 中 元 素 所 具 有 的.说 明：用 描 述 法 表 示 集 合 应
6、写 清 楚 该 集 合 中 的 代 表 元 素，即 代 表 元 素 是 数、有 序 实 数 对、集 合，还 是 其 他 形 式.3.Venn图 的 概 念 我 们 经 常 用 平 面 上 的 内 部 代 表 集 合，这 种 图 称 为 Venn图.说 明：（1）表 示 集 合 的 Venn图 的 边 界 是 封 闭 曲 线，它 可 以 是 圆、矩 形、椭 圆，也 可 以 是 其 他 封 闭 曲 线.（2）Venn图 表 示 集 合 时，能 够 直 观 地 表 示 集 合 间 的 关 系，但 集 合 元 素 的 公 共 特 征 不 明 显.三、题 型 突 破 重 难 点 1 集 合 的 概 念
7、判 断 指 定 的 对 象 的 全 体 能 否 构 成 集 合，关 键 在 于 能 否 找 到 一 个 明 确 的 标 准，使 得 对 于 任 何 一 个 对 象，都 能 确 定 它 是 否 是 给 定 集 合 中 的 元 素.注 意：构 成 集 合 的 元 素 除 常 见 的 数、式、点 等 数 学 对 象 外，还 可 以 是 其 他 任 意 确 定 的 对 象.【名 师 点 睛】集 合 中 元 素 的 三 个 特 性：（1）确 定 性：集 合 中 的 元 素 是 确 定 的，即 任 何 一 个 对 象 都 必 须 明 确 它 是 或 不 是 某 个 集 合 的 元 素，两 者 必 居 其
8、一.（2）互 异 性：集 合 中 的 元 素 必 须 是 互 异 的，就 是 说，对 于 一 个 给 定 的 集 合，它 的 任 意 两 个 元 素 都 是 不 同 的.（3）无 序 性：集 合 中 元 素 的 排 列 无 先 后 顺 序，任 意 调 换 集 合 中 元 素 的 位 置，集 合 不 变.判 断 指 定 的 对 象 能 不 能 组 成 集 合，关 键 是 看 作 为 集 合 的 元 素 是 否 具 有 确 定 性，也 就 是 能 否 找 到 一 个 明 确 的 标 准.例 1.（1）（2020江 苏 高 一 课 时 练 习）能 够 组 成 集 合 的 是（）A.与 2 非 常 数
9、 接 近 的 全 体 实 数 B.很 著 名 的 科 学 家 的 全 体 C.某 教 室 内 的 全 体 桌 子 D.与 无 理 数 相 差 很 小 的 数【答 案】C【分 析】由 集 合 中 元 素 的 特 征：确 定 性、互 异 性、无 序 性，进 行 判 断 即 可【详 解】解：A.与 2 非 常 接 近 的 数 不 确 定，.不 能 构 成 集 合；B.很 著 名，怎 么 算 很 著 名，不 确 定，不 能 构 成 集 合；C.某 教 室 内 的 桌 子 是 确 定 的，.可 构 成 集 合；D.相 差 很 小，怎 么 算 相 差 很 小 是 不 确 定 的，丁 不 能 构 成 集 合
10、.故 选：C.（2）.（2020江 苏 高 一 课 时 练 习）下 列 判 断 正 确 的 个 数 为（）（1）所 有 的 等 腰 三 角 形 构 成 一 个 集 合；（2）倒 数 等 于 它 自 身 的 实 数 构 成 一 个 集 合；（3）质 数 的 全 体 构 成 一 个 集 合；（4）由 2,3,4,3,6,2构 成 含 有 6 个 元 素 的 集 合.A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【分 析】利 用 集 合 的 定 义 和 特 点 逐 一 判 断 即 可.【详 解】在（1）中，所 有 的 等 腰 三 角 形 构 成 一 个 集 合，故（1）正 确；在（2）中，若 则 c?2
11、=i,。=1,构 成 的 集 合 为 1,-1,故（2）正 确；a在（3）中，质 数 的 全 体 构 成 一 个 集 合，任 何 一 个 质 数 都 在 此 集 合 中，不 是 质 数 的 都 不 在，故（3）正 确：在（4）中，集 合 中 的 元 素 具 有 互 异 性，构 成 的 集 合 为 2,3,4,6）,含 4 个 元 素，故（4）错 误.故 选：C【变 式 训 练 1-1】、（2021江 苏 高 一 单 元 测 试）下 列 判 断 正 确 的 个 数 为（）（1）所 有 的 等 腰 三 角 形 构 成 一 个 集 合；（2）倒 数 等 于 它 自 身 的 实 数 构 成 一 个 集
12、 合；（3）质 数 的 全 体 构 成 一 个 集 合；（4）由 2,3,4,3,6,2 构 成 含 有 6 个 元 素 的 集 合.A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【分 析】利 用 集 合 的 定 义 和 特 点 逐 一 判 断 即 可.【详 解】在（1）中，所 有 的 等 腰 三 角 形 构 成 一 个 集 合，故（1）正 确；在 中，若=,则。2=1,。=1,构 成 的 集 合 为 1,-1,故 正 确：在（3）中，质 数 的 全 体 构 成 一 个 集 合，任 何 一 个 质 数 都 在 此 集 合 中，不 是 质 数 的 都 不 在，故（3）正 确；在（4）中，集 合 中
13、的 元 素 具 有 互 异 性，构 成 的 集 合 为 2,3,4,6,含 4 个 元 素，故（4）错 误.故 选：C【变 式 训 练 1-2】、（多 选 题）（2020山 东 高 一 期 中）下 列 每 组 对 象，能 构 成 集 合 的 是（）A.中 国 各 地 最 美 的 乡 村 B.直 角 坐 标 系 中 横、纵 坐 标 相 等 的 点 C.一 切 很 大 的 数 D.清 华 大 学 2020年 入 学 的 全 体 学 生【答 案】BD【分 析】根 据 集 合 中 的 元 素 具 有 确 定 性 逐 个 判 断 即 可【详 解】解：对 于 A,最 美 标 准 不 明 确，不 具 有 确
14、 定 性，所 以 不 能 构 成 集 合；对 于 B,直 角 坐 标 系 中 横、纵 坐 标 相 等 的 点 就 在 一、三 象 限 的 平 分 线 上，是 确 定 的，所 以 可 以 构 成 集 合；对 于 C,一 切 很 大 的 数 不 具 有 确 定 性，所 以 不 能 构 成 集 合；对 于 D,清 华 大 学 2020年 入 学 的 全 体 学 生 是 确 定 的，能 构 成 集 合，故 选：BD重 难 点 2 元 素 与 集 合 的 关 系 元 素 与 集 合 之 间 有 且 仅 有“属 于（e）”和“不 属 于（史）”两 种 关 系，且 两 者 必 居 其 判 断 一 个 对 象
15、 是 否 为 集 合 中 的 元 素，关 键 是 看 这 个 对 象 是 否 具 有 集 合 中 元 素 的 特 征.若 集 合 是 用 描 述 法 表 示 的，则 集 合 中 的 元 素 一 定 满 足 集 合 中 元 素 的 共 同 特 征，可 据 此 列 方 程（组）或 不 等 式（组）求 解 参 数；若 a w A,且 集 合 A 是 用 列 举 法 表 示 的，则 a 一 定 等 于 集 合 4 的 其 中 一 个 元 素，由 此 可 列 方 程（组）求 解.常 用 数 集 的 记 法 集 合 自 然 数 集 正 整 数 集 整 数 集 有 理 数 集 实 数 集 符 号 N N*(
16、或 N-)Z Q R例 2.（1）（2020 上 海 高 一 专 题 练 习）用 符 号 组 或 填 空（1）N,/5 N,V16 N（2）Q、n Q（3）1 2-6+/2+6 _ xx=a+A a e Q,b e Q【答 案】e g e e g e【分 析】（1）是 自 然 数，石 不 是 自 然 数，疝=4 是 自 然 数，分 别 可 得 元 素 与 集 合 的 关 系；（2）是 有 理 数，万 不 是 有 理 数，分 别 可 得 元 素 与 集 合 的 关 系；（3）亚 二 片+拒 二 可 化 简 为 x=a+的 形 式，可 得 元 素 与 集 合 的 关 系.【详 解】（1）是 自 然
17、 数，则 O w N；石 不 是 自 然 数，则 逐 任 N；标=4 是 自 然 数，则 J I Z e N；（2）是 有 理 数，则-g e。；不 是 有 理 数，则 万 史 Q；=*G-l+6+l)=#=0+x l ex|x=a+遍 Q)故 答 案 为：（1）,右，J（2）e,任；（3）e.（2）.（多 选 题）（2020江 苏 盐 城 中 学）下 列 表 述 正 确 的 是（)2 2A.-e Z B.O eN C.-3任 Z D.-e g7 7【答 案】BD【分 析】根 据 常 见 数 集 的 符 号 表 示 逐 一 判 断 即 可.【详 解】Z 表 示 整 数 集，故 A 不 正 确、
18、C不 正 确；N 表 示 自 然 数 集，故 B正 确；Q表 示 有 理 数 集，故 D正 确.故 选：BD【变 式 训 练 2-1】、（2021肃 宁 县 第 一 中 学 高 二 月 考）下 面 有 四 个 语 句：集 合 N*中 最 小 的 数 是 0;-a&J,则 aGN;b G N,则 a+b的 最 小 值 是 2;x?+l=2x的 解 集 中 含 有 两 个 元 素.其 中 说 法 正 确 的 个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】A【分 析】根 据 题 意 依 次 判 断 即 可.【详 解】因 为 N*是 不 含。的 自 然 数，所 以 错 误；取。=&，则-五 数
19、，y/2研，所 以 错 误；对 于，当 a=b=O时，a+b取 得 最 小 值 是 0,而 不 是 2,所 以 错 误；对 于，解 集 中 只 含 有 元 素 1,故 错 误.故 选：A 变 式 训 练 2-2】、（2020江 苏 高 一 月 考）已 知 集 合 A 含 有 两 个 元 素。-3和 勿-1,若-3 A,则 实 数 的 值 可 以 为（）A.B.C.2 D.-1【答 案】AD【分 析】根 据 题 意 分 类 讨 论 元 素 的 值，注 意 检 验 集 合 元 素 的 互 异 性.【详 解】因 为 集 合 A 含 有 两 个 元 素。-3和 2a-l,且-3eA.所 以 当。-3=
20、-3,即 a=0时，集 合 A 元 素 为 T-3,符 合 题 意;当 2-1=-3,即”=-1时，集 合 A 元 素 为-4,-3,符 合 题 意.故 实 数”的 值 可 以 为 0,7.故 选:AD重 难 点 3 集 合 的 表 示 方 法 对 于 元 素 较 少 的 集 合 宜 采 用 列 举 法 表 示，用 列 举 法 表 示 集 合 时，要 求 元 素 不 重 复、不 遗 漏、不 计 次 序；对 于 元 素 较 多 的 集 合 宜 采 用 描 述 法 表 示.但 是 对 于 有 些 元 素 较 多 的 集 合，如 果 其 中 的 元 素 具 有 规 律 性,那 么 也 可 以 用 列
21、 举 法 表 示,常 用 省 略 号 表 示 多 个 元 素.但 要 注 意 不 要 忽 略 集 合 中 元 素 的 代 表 形 式.例 3.（1）（2021 上 海 高 一 专 题 练 习）用 描 述 法 表 示 下 列 集 合：（1）0,2,4,6,8；（2）3,9,27,81,.；（3）|f于 l“3 5 于 7 1卜（4）被 5 除 余 2 的 所 有 整 数 的 全 体 构 成 的 集 合；（5）如 图 中 阴 影 部 分 的 点（含 边 界）的 集 合.【答 案】（1）XWN|0女 10,且 x 是 偶 数;（2）x|x=3，n W；（3）卜 I x=卷 注,e M；3（4）x|x
22、=5 n+2,n e Z；（5）（x,y）|,一 gSySl 且 xy20.【分 析】（1）集 合 表 示 不 大 于 8 的 非 负 偶 数，（2）集 合 为 3 的 次 幕，n 从 1 开 始 的 整 数，（3）集 合 的 分 子 为 奇 数，可 表 示 为 2n-1,分 母 为 偶 数，可 以 表 示 为 2,（4）根 据 被 除 数=商 乂 除 数+余 数，（5）图 中 阴 影 部 分 的 点（含 边 界）的 集 合 是 一 个 无 限 集，把 横 坐 标 与 纵 坐 标 的 范 围 用 不 等 式 表 示 出 来 即 可，【详 解】（1）观 察 看 出 集 合 为 不 大 于 8 的
23、 非 负 偶 数，所 以 用 描 述 法 表 示 为 xW N|0女 1 0,且 x 是 偶 数;（2）集 合 为 3 的。次 嘉，n 从 1 开 始 的 整 数，则 用 描 述 法 表 示 为 x|x=3，cWN*；（3）该 集 合 的 分 子 为 奇 数，可 表 示 为 2“-1,分 母 为 偶 数，可 以 表 示 为 2,且 n 为 自 然 数,所 以 集 合 用 描 述 法 表 示 为 卜|x=甯（4）根 据 被 除 数=商、除 数+余 数，则 x=5n+2,所 以 集 合 用 描 述 法 表 示 为 x|x=5 n+2,nGZ；(5)图 中 阴 影 部 分 的 点(含 边 界)的 集
24、 合 是 一 个 无 限 集，把 横 坐 标 与 纵 坐 标 的 范 围 用 不 等 式 表 示 出 来 即 可，同 时 注 意 象 限，则 用 描 述 法 可 表 示 为(x,y)-l x J,一；勺”1且 xy20.(2).(2021 上 海 高 一 专 题 练 习)用 列 举 法 表 示 下 列 集 合：(1)方 程 x2=2 x的 所 有 实 数 解 组 成 的 集 合；(2)直 线 y=2 x+l与 y 轴 的 交 点 所 组 成 的 集 合；(3)由 所 有 正 整 数 构 成 的 集 合.【答 案】(1)0,2；(2)(0,1)；(3)1,2,3,.【分 析】(1)解 方 程 X
25、2=2 X,用 列 举 法 表 示 集 合 即 可；(2)将 x=0 代 入 y=2 x+l,即 可 得 出 交 点，根 据 点 集 的 定 义 得 出 结 果：(3)用 列 举 法 依 次 写 出 即 可.【详 解】(1)方 程 x2=2 x的 解 是 x=0 或 x=2,所 以 方 程 的 解 组 成 的 集 合 为 0,2.(2)将 x=0 代 入 y=2 x+l,得 y=l,即 交 点 是(0,1),故 交 点 组 成 的 集 合 是(0,1).(3)正 整 数 有 1,2,3,所 求 集 合 为 1,2,3,.【变 式 训 练 3-1】、(2020 运 城 市 景 胜 中 学 高 一
26、 开 学 考 试)根 据 要 求 写 出 下 列 集 合.(1)已 知-5 4，-5-5=0,用 列 举 法 表 示 集 合 x|1 与-.=0.(2)已 知 集 合 A=含 S N I X C N),用 列 举 法 表 示 集 合 A.(3)已 知 方 程 组,八，分 别 用 描 述 法、列 举 法 表 示 该 集 合.(4)已 知 集 合 8=(x,y)|2x+y-5=0,x G N,y G N,用 列 举 法 表 示 该 集 合.(5)用 适 当 的 方 法 表 示 坐 标 平 面 内 坐 标 轴 上 的 点 集.【答 案】(1)2；(2)2,4,8,16；(3)(x,y)x=l,y=2
27、,(1,2)；(4)(0,5),(1,3),(2,1)；(5)(x,y)|xy=0.【分 析】分 别 求 出 各 集 合 的 元 素 或 元 素 特 点，即 可 表 示 出.【详 解】(1)5 G|x|x2 o r 5=o1,5)-a x(-5)-5=0,解 得 a=-4,.X2-4 X+4=0 的 解 为 x=2,用 列 举 法 表 示 集 合 刈*2-。=0 为 2；(2)-川,则 8-可 取 的 值 有 1,2,4,8,16,X 的 可 能 值 有 7,6,4,0,-8,8-工/.x=7,6,4,0,-=2,4,8,16,8-xA=2,4,8,16；(3)方 程 组 的 解 为 2 x+
28、y-4=0 y=2，用 描 述 法 表 示 该 集 合 为(x,y)|x=l,y=2,列 举 法 表 示 该 集 合 为(1,2)；(4)当 x=0 时，y=5；当 x=l 时，丁=3；当 x=2时，y=1,用 列 举 法 表 示 该 集 合 为(),5),(1,3),(2,1)；(5)坐 标 轴 上 的 点 满 足 x=0或 y=0,即 W=(),则 该 集 合 可 表 示 为(x y)W=o.【点 睛】本 题 考 查 集 合 的 表 示 方 法，属 于 基 础 题.【变 式 训 练 3-2】、(2020 利 辛 县 阚 瞳 金 石 中 学 高 一 期 中)把 集 合 A=x e N 1 3
29、 V x 7 用 列 举 法 表 示 出 来.【答 案】4,5,6【分 析】根 据 x 为 自 然 数 及 x 的 范 围，即 可 列 出 x 的 所 有 取 值，即 可 得 答 案.【详 解】因 为 x e N 且 3 c x 7,所 以 X的 所 有 取 值 为 4,5,6,故 答 案 为：4,5,6【变 式 训 练 3-3】、(2020 全 国 高 一 课 时 练 习)用 适 当 的 方 法 表 示 下 列 集 合：(1)大 于 2 且 小 于 5 的 有 理 数 组 成 的 集 合.(2)2 4的 正 因 数 组 成 的 集 合.（3）自 然 数 的 平 方 组 成 的 集 合.（4）
30、由 0,1,2这 三 个 数 字 抽 出 一 部 分 或 全 部 数 字（没 有 重 复）所 组 成 的 自 然 数 组 成 的 集 合.【答 案】（1）答 案 见 解 析；（2）答 案 见 解 析；（3）答 案 见 解 析；（4）答 案 见 解 析.【分 析】（1）集 合 有 无 限 个 元 素，利 用 描 述 法 求 解；（2）集 合 中 元 素 较 少，利 用 列 举 法 求 解；（3）集 合 有 无 限 个 元 素，利 用 描 述 法 求 解；（4）集 合 中 元 素 较 少，利 用 列 举 法 求 解；【详 解】（1）用 描 述 法 表 示 为 x|2x5且 XWQ.（2）用 列 举
31、 法 表 示 为 1,2,3,4,6,8,12,24）.（3）用 描 述 法 表 示 为 x|x=r）2,nSA/）.（4）用 列 举 法 表 示 为 0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201.重 难 点 4 集 合 相 等 从 集 合 相 等 的 概 念 入 手，寻 找 两 个 集 合 中 元 素 之 间 的 关 系，看 一 个 集 合 中 的 元 素 与 另 一 集 合 中 的 哪 个 元 素 相 等，一 般 需 要 分 类 讨 论，在 求 出 参 数 值 后，要 注 意 检 验 是 否 满 足 集 合 中 元 素 的 互 异 性 及 是 否 使 有 关 的 代
32、数 式 有 意 义。例 4.（2020 江 西 会 昌 县 第 五 中 学 高 一 月 考）设 4 人 e R,集 合 l,a+8 a=o，3,则 b-a等 于（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答 案】D【分 析】根 据 集 合 相 等，得 到 集 合 中 的 元 素 相 同，依 次 得 到“力 的 值.【详 解】两 个 集 合 相 等，则 集 合 中 的 元 素 相 同，a*0,所 以。+匕=0,贝=那 么 6=1,和 a=1,a所 以 b-a=2.故 选：D【变 式 训 练 4-1】、（2020江 苏 苏 州 星 海 实 验 中 学）已 知 集 合 4=1,2,集 合 3=身，若 A
33、=B,则，=（）bA.y B.2 C.或 2 D.或 2【答 案】D【分 析】由 两 集 合 相 等 可 得 结 合 B 中 元 素，结 合 集 合 中 元 素 的 无 序 性，分 两 种 情 况 进 行 讨 论，从 而 可 选 出 正 确 答 案.【详 解】解：因 为 4=8,所 以 B 中 元 素 为 1,2，当。=1时 人=2,此 时 f=!，b 2当=2 时）=1,此 时：=2,b故 选：D.【变 式 训 练 4-2】、（2021全 国 高 一 专 题 练 习）若 a,b w R,集 合 l,a+a=0,3/1.求：a+b;产+产.【答 案】0；(2)2;【分 析】根 据 1，+6，。
34、=。，,，匕)可 得 出 a+b=0,由 得。=-，即 2=-1,根 据 元 素 的 互 异 性 可 得。=1,万=1,代 入 皿 2+6刈 9计 算 即 可.a【详 解】根 据 元 素 的 互 异 性，得。+方=0或。=0,若 a=0,则 2 无 意 义，故+Z?=0；a 由 得。=-弧 即 2=-1,据 元 素 的 互 异 性 可 得：=-=-1,&=1,a a.”2022+59=(_1)2期+产 19=2【点 睛】本 题 考 查 集 合 中 元 素 的 互 异 性，属 于 基 础 题.重 难 点 5 与 集 合 中 的 元 素 个 数 有 关 问 题 的(1)确 定 集 合 的 元 素
35、是 什 么，即 集 合 是 数 集、点 集 还 是 其 他 类 型 的 集 合.(2)看 这 些 元 素 满 足 什 么 限 制 条 件.(3)根 据 限 制 条 件 求 参 数 的 值 或 确 定 集 合 中 元 素 的 个 数，要 注 意 检 验 集 合 是 否 满 足 元 素 的 互 异 性.例 5.(1)(2019 南 昌 市 第 十 八 中 学)如 果 集 合 人=卜|加+4 x+l=0 中 只 有 一 个 元 素，则。的 值 是()A.0 B.4 C.0 或 4 D.不 能 确 定【答 案】C【分 析】利 用。=0与 a W 0,结 合 集 合 元 素 个 数，求 解 即 可.【详
36、 解】解：当 4=0时，集 合 A=X|OX2+4 X+1=0=-；,只 有 一 个 元 素，满 足 题 意；当。工 0时，集 合 A=x|ax：2+4x+i=o 中 只 有 一 个 元 素，可 得 A=42-4a=0,解 得 a=4.则。的 值 是 0 或 4.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 集 合 中 元 素 的 个 数 问 题 及 方 程 的 解 集 有 且 仅 有 一 个 元 素 的 判 断，属 于 基 础 题.(2).(多 选 题)(2020江 苏 省 通 州 高 级 中 学 高 一 月 考)集 合 4=卜,/+2+1=0 中 有 且 仅 有 一 个 元 素，则 实 数 a
37、 的 值 为()A.1 B.-1 C.0 D.2【答 案】AC【分 析】分。=0,和。工 0两 种 情 况 讨 论，可 得 a=0,或。=1.【详 解】当。=0时，可 得 4=-；,符 合 题 意；当 aw O时，因 为 方 程 欠+2尤+1=0 有 唯 一 解，所 以=4-4“=(V=l.故 选：AC.【点 睛】此 题 的 关 键 是。是 否 为 零 决 定 方 程 是 一 次 方 程 还 是 二 次 方 程，影 响 到 根 的 个 数.【变 式 训 练 5-1】、.（2021上 海 高 一 专 题 练 习）己 知 集 合 4=仅|。*2-3*-4=0,xR.（1）当 A 中 有 且 只 有
38、 一 个 元 素 时，求。的 值，并 求 此 元 素；（2）当 A 中 有 两 个 元 素 时，求 a 满 足 的 条 件；（3）当 A 中 至 少 有 一 个 元 素 时，求。满 足 的 条 件.,9 9【答 案】（1）答 案 见 解 析；（2）。一 二 且“0；（3）a-.16 16【分 析】（1）分 a=0和”0 两 种 情 况 讨 论 即 可，（2）由 A 中 有 两 个 元 素 可 知 方 程 为 二 次 方 程，且 判 别 式 大 于 零，从 而 可 求 出“的 范 围，（3）A 中 至 少 有 一 个 元 素 包 括（1）、（2）的 情 况，所 以。的 范 围 是（1）（2）所
39、求 的“的 范 围 的 并 集【详 解】解：（1）当 a=0时，方 程-3x-4=0的 根 为 x=-故 4=-.当 时，由 Z=（-3）2-4cr（-4）=0,得。=一 弓，此 时 方 程 的 两 个 相 等 的 根 为 X1=X2=-；.16 34综 上，当 a=0时，集 合 A 中 的 元 素 为 一；g Q当。=一；7 时，集 合 A 中 的 元 素 为 一 不 16 3（2）集 合 A 中 有 两 个 元 素，即 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根.f a 工 0,，以 1A=9+16a 0,解 得。一 9搭 且。町（3）集 合 A 中 有 一 个 元 素 或 两 个 元 素
40、.当 集 合 A 中 有 两 个 元 素 时，9由（2）得。一；7 且 8 0；169当 集 合 A 中 有 一 个 元 素 时，由（1）得 a=0或。=-7.综 上，当 人 中 至 少 有 一 个 元 素 时，。满 足 的 条 件 是 应 一 19.16【变 式 训 练 5-2】、（2021全 国 高 一 专 题 练 习）已 知 集 合 A=x辰 2+2x+l=0,a e R.（1）若 A 中 只 有 一 个 元 素，求。的 值；（2）若 A 中 至 少 有 一 个 元 素，求。的 取 值 范 围；（3）若 A 中 至 多 有 一 个 元 素，求。的 取 值 范 围.【答 案】（1）a=0或
41、 a=l；（2）a 0得 a 1时 原 方 程 无 实 数 解，结 合（1）知 当 a=0或 a W l时 A 中 至 多 有 一 个 元 素.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 解 题 的 关 键 是 理 解 集 合 中 的 元 素 与 方 程 的 根 之 间 的 关 系.四、定 时 训 练（30分 钟）1.（2021江 苏 高 一 专 题 练 习）能 够 组 成 集 合 的 是（）A.与 2 非 常 数 接 近 的 全 体 实 数 B.很 著 名 的 科 学 家 的 全 体 C.某 教 室 内 的 全 体 桌 子 D.与 无 理 数 兀 相 差 很 小 的 数【答 案】C【分 析】由 集
42、 合 中 元 素 的 特 征：确 定 性、互 异 性、无 序 性，进 行 判 断 即 可【详 解】解：A.与 2 非 常 接 近 的 数 不 确 定，二 不 能 构 成 集 合；B.很 著 名，怎 么 算 很 著 名，不 确 定，不 能 构 成 集 合；C.某 教 室 内 的 桌 子 是 确 定 的，.可 构 成 集 合；D.相 差 很 小，怎 么 算 相 差 很 小 是 不 确 定 的，不 能 构 成 集 合.故 选：C.2.（2021江 苏 高 一 课 时 练 习）已 知 集 合 人=1,2,B=xx=a-b,a e A,b e A,则 集 合 8 中 元 素 个 数 为（）A.B.2 C
43、.D.4【答 案】C【分 析】由 集 合 B 的 描 述 知 a e 1,2、b e l,2,可 求 出 x=a-b,即 得 集 合 B 的 元 素 个 数.【详 解】解：由 题 意 知：。1,2,此 L2,3=Mv=a-8,a e A,b G A=0,-l,l,集 合 8 中 元 素 个 数 为 3.故 选：C.3.（2021江 苏 高 一 专 题 练 习）设 集 合 A=-1,0,1,2,B=1,2,C=xx=a b,a e A,b e B,则 集 合 C 中 元 素 的 个 数 为（）A.B.C.D.【答 案】B【分 析】分 别 在 集 合 A，8 中 取。力，由 此 可 求 得 x 所
44、 有 可 能 的 取 值，进 而 得 到 结 果.【详 解】当 a=T,6=1 时，ab=-1；当 a=-l,b=2 时，ab=-2；当 a=0,6=1 或 2时，ab-0；当。=1,6=1 时，ab=l；当。=1,分=2或。=2,匕=1 时，ab=2；当 a=2,6=2时，ab=4；C=-2,-1,0,1,2,4,故 C 中 元 素 的 个 数 为 个.故 选：B.4.（2020扬 州 中 学 教 育 集 团 树 人 学 校）已 知 集 合 4=-2,202+5a,12,且-3 e A,则。等 于（）3 2 3A.-1 B.C.D.或 一 12 3 2【答 案】B【分 析】转 化 条 件 为
45、 a-2=-3或 2/+5a=-3,验 证 集 合 元 素 的 互 异 性 即 可 得 解.【详 解】因 为 集 合 A=a-2,2/+54,12,且 一 3 e 4,所 以 当。-2=-3即 a=T 时，A=-3,-3,12,不 满 足 集 合 中 元 素 的 互 异 性；当 2/+5。=-3时，解 得=一|或 a=-l（舍），此 时 A=-g,-3,1 2 1,满 足 题 意；3综 上，a=-.故 选：B.5.（2021江 苏 海 安 高 级 中 学 高 一 期 中）已 知 集 合 用=月/-3+。0,且 则 实 数。的 取 值 范 围 是:【答 案】0【分 析】根 据 题 意，分 析 可
46、 得 若 3 e M,贝 U有 32-3x3+a 0,解 不 等 式 即 可 求 得。的 取 值 范 围.【详 解】由 于 M=x|x2-3x+a0,且 3 e M,所 以 32-3x3+a0,即。0.故 答 案 为：06.（2021江 苏 高 一 课 时 练 习）用 描 述 法 表 示 下 列 集 合，并 思 考 能 否 用 列 举 法 表 示 该 集 合（1）所 有 能 被 3 整 除 的 自 然 数（2）不 等 式 产+2%-30的 解 集（3）#+2x 3=0 的 解 集【答 案】答 案 见 解 析.【分 析】根 据 集 合 的 表 示 法 求 解.【详 解】（1）x|x=3,eN,集
47、 合 中 元 素 个 数 无 穷，不 能 用 列 举 法 表 示；（2）X2+2X-30,即（X-1）（X+3）0,-3 X 1,集 合 为 X|-3 X 1,集 合 中 元 素 有 无 数 个，不 能 用 列 举 法 表 示；（3）集 合 可 表 示 为 x|f+2x-3=0,列 举 法 表 示 为-3,1.7.（2021江 苏 高 一 课 时 练 习）已 知 集 合 A 有 三 个 元 素：a-3,2a-l,a2+l,集 合 B 也 有 三 个 元 素：，x.（1）若-3 e A,求。的 值；（2）若 工%8,求 实 数 x 的 值；【答 案】（1）a=0或 1；（2）x=1.【分 析】（
48、1）根 据 元 素 的 确 定 性 和 互 异 性 可 得”-3=-3或 24-1=-3,即 可 求 解；（2）根 据 元 素 的 确 定 性 列 方 程，再 检 验 互 异 性 即 可 求 解.【详 解】（1）由-3eA 且“2+1 2 1,所 以 6?+1片 _3当 a 3=3时，可 得。=0,此 时 A=-3,-1,1符 合 题 意,当 2 1=3时，可 得。=一 1,此 时 A=-4,-3,2符 合 题 意，所 以 4=0或 一 1,(2)若 则 犬 2=0 或 x?=l 或 f=x,解 得：x=0 或 x=l 或 x=-l,由 元 素 互 异 性 可 得：XH0且 x w l,所 以 x=l