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1、2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷试题数：21,总分：01 .（填空题，4 分）行 列 式 曰的值为一.612.（填空题，4 分）若全集 U=1,2,3,集合 A=2,3,贝 U C uA=_ .3 .（填空题，4 分）在长方体A B C D-A i B i C i Di 中，设 荏=日，AD=b,丽 =乙 若用向量a b 表示向量苑7，则福=.4.（填空题，4 分）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了 1 50名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了 4 0 名，从高二年级的学生中抽取了 5 0 名，若高三年级共有学生420名，
2、则该高中共有学生一名.5.（填空题，4 分）已知复数z 满足|z|=l,则|z-2 的最大值为6.（填空题，4 分）设 t R,直 线=（t 为参数）的倾斜角的大小为7 .（填空题，5 分）已知a C -2,-1,I，1,2,3,若暴函数f （x）=x。在区间（-8,0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，则。=_.8 .（填空题，5 分）已知向量6、b,若 同=1,同=2,向 量 在 益 方 向 上 的 投 影 的取值范围为9 .（填空题，5 分）已知等比数列 a n,其前n项和为S”若 a i=l,公比为3,贝 U 271 oo Qn+11 0.（填空题，5 分）设 a,b C R,c 6
3、0,4i r）.若对任意实数x 都有s i n 作 一 =asin（bx+c）,则满足条件的有序实数组（a,b,c）的组数为1 1 .（填空题，5 分）一个袋子中装有大小与质地均相同的m 个红球和n个白球（4 m 2）,定义在区间 0,n 上的函数y=f （x）满足:当 O W xS l 时，f （x）=-x2+2x,且对任意的 x l,n ,都成立 f （x）=f （x-1）+1.若与 n有关的实数k n 使得方程f （x）=k n X 在区间 n-1,n 上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x）=k n X 的实数解的个数为1 3 .（单选题，5 分）若 a、b均为非零实数，则 不
4、 等 式 衿 牌 2 成立的一个充要条件为A.a b 0B.a b 0C.a b 0D.a b 0）与曲线9+9=1（x 0）合成的曲线记作C.设k为实数，斜率为k的直线与C 交于A,B 两点，P 为线段AB 的中点，有下列两个结论：存 在 k,使得点P 的轨迹总落在某个椭圆上；存 在 k,使得点P 的轨迹总落在某条直线上，那 么（）A.均正确B.均错误C.正确，错误D.错误，正确1 7.（问答题，0 分）如图，直角边长为1的等腰直角三角形A B C 及其内部绕B C 边旋转一周,形成一个圆锥.（1）求该圆锥的侧面积S；(2)三角形A B C 绕 B C 逆时针旋转;到A i BC,M为线段A
5、 A i 中点，求 C M与平面A A】B 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)1 8.(问答题，0 分)设 a为常数，函数/0)=1。2誓C(1)若 a=0,求函数y=f (x)的反函数丫=1 (x)；(2)若 a W O,根据a的不同取值，讨论函数y=f (x)的奇偶性，并说明理由.1 9 .(问答题，0 分)某公园要建造如图所示的绿地O A BC,O A、O C 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与 B C 的总长度为1 2 米，且4BAO=NBCO.设4BA O=a (0 a 0,求 a 2,a 3,a 总(2)若对一切正整数n,an+T=an均成立的T的最小值为6,求该
6、数列的前9项之和;(3)在所有的数列 an中，求满足am=-2021的m的最小值.2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析试题数：2 1,总分：01.（填空题，4分）行 列 式（曰 的值为一.【正确答案】：1 22【解析】：根据行列式的定义计算即可.【解答】：解：依题意得，题中的行列式的值等于4x6-2x1=22,故答案为：22.【点评】：本题主要考查行列式的计算，属于基础题.2.（填空题，4 分）若全集 U=1,2,3）,集合 A=2,3 ,贝!ICuA=_.【正确答案】：口 1【解析】：利用补集定义直接求解.【解答】：解：全 集U=1,2,3 ,集 合A=2,3,则 QA=
7、1.故答案为：1.【点评】：本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力,3.（填空题，4分）在长方体ABCD-AiBiCiDi中，设 径=2,AD=b,AA=a、石、3表示向量AC；,则zc；=.【正确答案】：口1+3+【解析】：由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解.是基础题.,若用向量【解答】：解：如图,则 福*=万+玩+鬲=万+而+标=6+3+乙故答案为：d+b+c.【点评】：本题考查空间向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想，是基础题.4.（填空题，4 分）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机
8、抽取了 150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了 4 0 名,从高二年级的学生中抽取了 5 0 名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生一名.【正确答案】：口 1050【解析】：首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数.【解答】：解：依题意可得样本中高三年级抽取了 150-40-50=60名学生，所以该高中共有学生 420+150-1050 名学生.故答案为:1050.【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键.5.（填空题，4 分）已知复数z 满足|z|=l,则|z-2 的最大值为【正确答案】：1 3【解析】：z=a+b
9、 i,贝 Ija2+b2=l,-l a l,-l b l,从而|z-2|=J（a-2/+4=Va2+b2-4a+4-V5-4a,由此能求出结果.【解答】：解：复数z 满足|z|=l,设 2=2+旧,.+=1,.-lal,-lboo Cln+l n-o o 3“7 1 T 81 （1-表）=9故答案为：I.【点评】：本题考查了极限的运算法则、数列的通项公式，前 n 项和公式，属于基础题.10.（填空题，5 分）设 a,bGR,ceO,4n）.若对任意实数x 都有s讥（2%-g）=asinbx+c）,则满足条件的有序实数组（a,b,c）的组数为【正确答案】：18【解析】：由恒成立的等式可确定|a|
10、=l,|b|=2；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论a,b 不同取值时对应的c 的取值，结合c 的范围可得结果.【解答】：解：,对于任意实数x 都有sin(2x-)=asin(b x+c),.y=asin(bx+c)与y=sin(2x-1)的最值和最小正周期相同，.,.|a|=l,|b|=2,即 a=l,b=2,当 a=l,b=2 时，sin(2 x-)=sin(2x+c),AC=-+2kir,(kG Z),又 c0,4 n),.，.c=4 或 c=，则(a,b,c)=(1,2,或(1,2,4;当 a=l,b=2 时，sin(2x-g)=sin(-2x+c),.c=g+(2k+l)IT,(k
11、G Z),又 ceO,又)，.=吐或 c=詈,则(a,b,c)=(1,-2,y )或(1,-2,詈)；当 a=-l,b=2 时，sin(2x-g)=-sin(2x+c)，.,.c=-+(2k+l)n,(k e Z)，又 ceO,4ir),；.c=与或 c=芋，则(a,b,c)=(-1,2,与)或(-1,2 1 -)；当 a=-l,b=-2 时，sin(2x-1)=-sin(-2x+c),c=|+2kir,(k e Z),又 ceO,4TT),；.c=g 或 c=T，则(a,b,c)=(-1,-2,g)或(-1,-2,)；综上所述：满足条件的有序实数组(a,b,c)共有8 组.故答案为：8.【点
12、评】：本题考查三角函数诱导公式，属于中档题，分类讨论是关键.1 1.(填空题，5 分)一个袋子中装有大小与质地均相同的m 个红球和n 个白球(4W m n),现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+nW30的所有有序数对(m,n)为【正确答案】：1(10,15),(6,10)【解析】：利用概率列出关于m,n 的等式，能求出结果.【解答】：解：由题意，取出的两球颜色相同的概率等于两球颜色不同的概率等于1.或iW _ 1 m j_ 277m_ _ 1,cm+n 2 (m+n)(m+n-l)2 4mn=(m+n)(m+n-l)=(m+n)2-(m+n),整理得
13、(n-m)2=m+n,即m+n为平方数，又 44mVn,m+n 2),定义在区间0,n上的函数y=f(x)满足:当 04x l 时，f(x)=-x2+2 x,且对任意的 xl,n ,都成立 f(x)=f(x-1)4-1.若与 n有关的实数kn使得方程f(x)=knX在区间 n-1,n 上有且仅有一个实数解，则关于X的方程f(x)=knX的实数解的个数为【正确答案】：【解析】：数形结合，画出y=f(x)在区间 0,n 上的图象，根据y=knx与 y=f(x)的图象交点分析即可.【解答】：解：由题意，画出y=f(x)在区间 0,1 上的图象，又对任意的 1,n,都成立f(x)=f(x-1)+1.可
14、理解为区间 n-l,n 的图象由区间 n-2,n-1 的图象向右平移一个单位所得，即可画出y=f(x)在区间 0,n 上的图象，如图所示，故若与n有关的实数区使得方程f(x)=knx 在区间 n-1,n 上有且仅有一个实数解，贝 I y=knX与y=f(x)在区间 n-1,n 上的图象相切，且易得y=f(x)的图象在y=x与区间 0,1,1,2,2,3,-n-1,n 上的公切线之间，故丫=端 与y=f(x)在区间 0,1,1,2,2,3,-n-1,n 上均有2 个交点，故关于x 的方程f(x)=knx 的实数解的个数为2(n-1)+l=2 n-l个.故答案为：2n-l.【点评】：本题考查方程的
15、解的个数与函数图的交点，考查数形结合思想的应用，属中档题.1 3.(单选题，5 分)若 a、b 均为非零实数，则不等式2+2 2 2 成立的一个充要条件为a b()A.ab0B.a b 0C.a b 0D.a b 0,a 2 0,所以 b 2+a 2 0,所以 a b 0,由 a b 0,可得：0,-0,所以色+b a a 2 /M=2,当且仅当2 =：,即a=b 时取等号，b 7 a b a b所以不等式-+2成立的一个充要条件为a b 0.a b故选：A.【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.1 4.（单选题，5分）如图，已知P、Q、
16、R分别是正方体A B C D-A i B i C i D i 的棱A B、B C 和 C i D i的中点，由点P、Q、R确定的平面B截该正方体所得截面为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【正确答案】：D【解析】：根据题意，作 RT平行P Q,交 A iD i于点T,取 A A i的中点M,C C i的 S,连接P M、T M、R S、Q S,可得过P Q R 的截面图形.【解答】：解：作 R T 平行P Q,交 A iD i于点T,取 A A i的中点M,CG的S,连接P M、T M、R S、Q S,可得过P Q R 的截面为六边形P Q S R T M.故选：D.【点评】：本题考
17、查了线面、面面的位置关系应用问题，也考查推理与判断能力，是基础题.1 5.（单选题，5 分）记方程：x 2+aix+l=0,方 程 ：x 2+az x+2=0,方 程 ：x2+a3 x+4=0,其中a”az,a.3 是 正 实 数.当ai,a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程有两个不相等的实根的是（）A.方程有实根，且有实根B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根【正确答案】：C【解析】：根据题意用ai,a2 表示出a3,由方程有两个不相等的实根时得出-1 6 0,再找出满足该条件时方程、是否有实根即可.【解答】：解：因为ai，a2,a3 是正实数，且 a
18、i，a2,a3 成等比数列，所以a2 a】a3，即a3=叱;%当方程有两个不相等的实根时，a32-1 6 0,所以（吆解 得 吆 4；当方程有实根，且方程无实根时，i=aC-4 0,化简得 0 ai 8；所以工叱 4.2 a1此时方程（3）的判别式3=a3 1 6 0,方程有两个不相等的实根.故选：C.【点评】：本题主要考查了方程根存在性与判别式之间的关系，以及等比数列的定义和性质应用问题，是中档题.1 6.（单选题，5 分）将曲线3+=1 （x 0）与曲线三+=1（x 0）合成的曲线记作C.设 k 为实数，斜率为k 的直线与C交于A,B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：存 在 k,使
19、得点P的轨迹总落在某个椭圆上；存 在 k,使得点P的轨迹总落在某条直线上，那 么（）A.均正确B.均错误C.正确，错误D.错误，正确【正确答案】：C【解析】：对 分 析k=o,使得点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；对设 A(xi,yi),B(X2,y2),xi x2,P(xo,y ),则 xo=小；?，丫。=红 产，利用点差法化简可得yo=9卷 书2k(x1-x2),故若存在k,使得点P的轨迹总落在某条直线上，则yo=kx。(k0=6 R)为常数，再化简分析推出无解即可.【解答】：解：设 A(xi,yi),B(X2，y?),x i x2,P(x0,y o),则 x 0=,yo=%+2对于 当k=
20、0时,耳+冬=1,噂+q5易得y i=y 2,故两式相减得三乎=0,易16 7得 Xi V0VX2,故 X1=-?X2，所以 Xo=-大 二24 2(壬 丁 婷 _-7-1-T-1，yo=yn 即Xz=&Xo，y2=yo，代 入 篆+/=1,可得16所以9声/+与=1,故存在k=0,使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；故正确;对于 p(xo,y o),则 X o=&|,yo=%；为由题意，若存在k,使得点P的轨迹总落在某条直线上,V 2 V 2 2.,2=1%2%丫2 7-16 9-9畔+71,喘+普0,Xl2 X22 j(71+72)(为 一 2)7 169=0,又上也二k,故 三 与+2 5
21、0 1-冷)=0,即yo=2k(x1-x2)，又X o=/,故若存在k,使得点P的轨迹9(陪 哨9总落在某条直线上,贝9(黑-里I1 I yo=koxo(k o=6 R)为常数，即2k(x1-x2)2ko=9(哈 泊_%笠一的f 2T 22)_ 照+%卜,22(沁0k卜 2fc(x1-x2)2fc(x1-x2)2-为定值，因为分子分母X1，X2次数不同,%1+不(%1+%2)七 比(1-2)2比01一 久2)2上(1-2)故若为定值，则分子恒为0,即2+kok=：+kok=O,此方程无解,16 7即不存在k,使得点P的轨迹总落在某条直线上，故不正确.故选：C.【点评】：本题考查椭圆的几何性质，
22、探求符合条件的曲线是否存在的问题，属中档题.1 7.(问答题，0分)如 图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕B C边旋转一周,形成一个圆锥.(1)求该圆锥的侧面积S；(2)三角形ABC绕BC逆时针旋转三到AiBC,M为线段AAi中点，求CM与平面AAiB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【正确答案】：【解析】：(1)所形成几何体是圆锥，求出圆锥的侧面积即可.(2)NBMC是CM与平面AAiB所成的角，求 出B M,利用反三角函数表示/BMC的值即可.【解答】：解：(1)将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角边BC旋转一周,所形成几何体是底面半径为r=l,母线长为1=注
23、的 圆 锥，所以该圆锥的侧面积为S=nrl=nxlx V2=V2 n.(2)由题意知，CB1平 面ABAi，连 接0 M,贝此BMC是CM与平面AAiB所成的角，因 为AC=A,M为AAi的中点，所 以C M lA A i,所 以BMlAAi,所以 BM=AAi=乎，且 BC=1,所以 tanZBMC=-i-=V2,CM2所以NBMC=arctan V2,即CM与平面AAiB所成角的大小为arctan V2.【点评】：本题考查了旋转体的结构特征与线面角的计算问题，是中档题.18.(问答题，0分)设a为常数，函数/(%)=1。出 察.(1)若a=0,求函数y=f(x)的反函数丫=1 (x)；(2
24、)若a 4 0,根 据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.【正确答案】：【解析】：(1)利用y把 x表示出来即可求得结果；(2)对 a分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论.【解答】：解：(1)由y =Z o g 2 四，得 2=.，于是=六，且y 0 O.X X 1因此，所求反函数为/T(X)=占，X*0.(2)当 a=-l 时，/(x)=/。2 言 ，定义域为(-8,-1)u (1,4-o o)./(-X)=log2=log2=-log2=-/(x),故函数 y=f (x)是奇函数；当a W O 且 a=-l 时，函数y=f (x)的定义域为(-8,-1)u
25、(-a,+o o),函数y=f (x)既不是奇函数，也不是偶函数.【点评】：本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题.19.(问答题，0分)某公园要建造如图所示的绿地O A B C,O A、0 C 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与 BC的总长度为1 2 米，且N B A O=/B C O.设N B A O=a (0 a ).(1)当A B=4,a=时，求 A C 的长；(结果精确到0.1米)(2)当A B=6 时，求 O A B C 面积S的最大值及此时a的值.【正确答案】：【解析】：(1)在4 A B C 中，由余弦定理可得A C 2=A B 2+B C 2-2 A
26、 B B C c o s z A B C 可求 A C；(2)当A B=6 时，S=2 x i 0 B x B A x s i n (-a),计算可求O A B C 面积S的最大值及此时a24的值.【解答】：解：(1)连接 B C,在A A B C 中，A B=4,B C=8,NABC=2TT-=乎，3 3 2 6由余弦定理可得 AC占AB2+BC2-2AB BCCOSNABC=80+32 V 3 ，故 A C=V 8 0 +3 2 V 3 11.6；(2)连接 O B,由题意 A B=B C=6,z A B O=z C B O=i r-a=-a,4 4在A O B C 中，由正弦定理得必=.
27、得 0 B=6 V a s i n a,sina sin 乙BO C于是 S=2 x O B x B A x s i n (-a)=3 6 V 2 s i n a s i n (-a)=3 6 V 2 s i n a (c o s a+s i n a)2 4 4 2 2=3 6 s i n a c o s a+3 6 s i n2a=18 s i n 2 a-18 c o s 2 a 4-18=18 V 2 s i n (2 a-)+18,(0 a 0 ,又 丽=(5,t),同=(+4,y0),即(5,t)=入(X Q+4,Y Q),所以 一,，代入双曲线方程?=1，得 3G-4 7 一 (f
28、 =12,(如 整理得t 2=3 6 入 2-12 0 入+7 5,由t 2 2 0,即 3 6 入 2-12 0 入+7 5 2 0,结合入 0,解得0 0,解得;1 2：.A,L因此 士 2 =3 6/-12 0 4 +7 5,4 e|,4-0 0)；(3)证明：点 F的坐标为(-4.0),当点P 不在x轴上时，过 Q作x轴的垂线，垂足为Q,d(p)=m=坨=_ 5 _,由Q为线段P F 与 r的交点，得点Q的坐标(X Q,yQ)满足方程?1 =1,即 学 一 普=1,于是|Q F|=J(%Q +4)2 +求=J(%Q +4)2 +3 坊 12 =2xQ+1|,又XQV-2,故|Q F|=
29、-2 (X Q+1),于是 n=d(P)(m -|Q P|)=-m+2(xQ+1)=10 4-517n：),故存在常数 m=6、n=10,使得 m d (P)=|PF|+n,当点 P 在 x 轴上时，P(1,0),Q (-2,0),F (-4,0),所以|F P|=5,|F Q|=2,即 依)=黑=9所以6 x d (P)=|PF|+1 0,即上述结论亦成立.【点评】：本题考查了双曲线的性质以及双曲线中的定值问题，属于较难题.2 1.(问答题,0分)已知数列 a n 满足以下两个条件:a 1=l,当 心 2时，|a l|=|a i+l|；若存在某一项 a m W-3,则存在 ke l,2,m-
30、1),使得 a k=a”,+2 (m“且 m e N*).(1)若 a 2 0,求 a?,a 3，a4；(2)若对一切正整数n,a n+T=a n 均成立的T的最小值为6,求该数列的前9项之和；(3)在所有的数列 a n 中，求满足a m=-2 0 2 1的m 的最小值.【正确答案】：【解析】：(1)先根据条件取绝对值可得a n=-a n-i或 a n=a n-i+2,得 a z=a i+2=3,a 3=-3或 a3=5.再根据条件逐个分析是否满足题意即可；(2)根据条件结合周期性得a 5=-a 6=l 或 a s=a 6-2=-3,再逐个分析是否满足条件即可；(3)先根据条件可得b n=-2
31、 n+l (l n 0,得 a z=a i+2=3,于是 a 3=-3 或 a 3=5,当a 3=-3 时，由条件，得 a i=a 3+2=-l,不满足条件，舍去，故 a 3=5.同理可得a 4=7.因此，3 2=3,3 3=5,3 4=7.(2)由题意，a 7=a i=l,由条件，得 a 6=-l,于是 a 5=-a 6=l 或 a s=a 6-2=-3.当a s=l 时，由 条 件 ，得 a 4=-l,此时该数列的前6项为1,-1,1,-1,1,-1,不合题意,舍去；当a$=-3 时，由条件，得 a 4=3 或-5,结合条件，得 a 2，a 3 中必有一项为-1,因为a i=l,所以只有
32、a 2=-l,此时 a 3=l,a 4=3,故数列 a 的前6项为1,-1,1,3,-3,-1,这前6项的和为0.因此，该数列的前9 项之和为1.(3)由a m=-2 0 2 1 及条件，可得-1,-3,-5,，-2 0 1 9,-2 0 2 1 必为数列 a j中的项，记该数列为 b j,有数=-2 n+l (l n 1 0 1 1),以下考虑 b,J 在数列 a,J 中依次是哪些项，不妨令b n=a j,由条件,a j+i=-a j=2 n-l 或 aj+i=a j+2=-2 n+3,均不为 bn+i=-2 n-l；此时 ai+2=-2 n+l 或 2 n+l 或 2 n-3 或-2 n+5,均不为 bn+i=-2 n-l.上述情况中，当 a)+i=2 n-l,a)+2=2 n+l 时，aj+3=-a j+2=-2 n-l=b n+i，结合 a i=l,有 a 3 n-i=bn.由 b io n=-2 O 2 1,得 m=3 x l 0 1 1-l=3 0 3 2 即为所求.【点评】：本题主要考查由数列的递推关系研究数列的性质，属于难题.