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1、2021-2022学年广东省广州市高二上学期期末联考数学试题一、单选题=J x e -2x+,1 61|2 彳，八 1.已 知 集 合I 2 j,8 =冲-4 x+,=，若 骨fl 8,则Z U B=（）A.1,2,3 B.1,2,3,4 C.0,1,2 D.0,1,2,3【答案】D【分析】根据题意，解不等式求出集合“=2 ,由1 4口8,得 进 而 求 出机=3,从而可求出集合8 =1，3 ,最后根据并集的运算即可得出答案.J =J xe7 V-2x+1 1 6 1【详解】解：由题可知，2 J ,-2V+1 1 6 ,“而 2 ,即 2 T 2+2 4,解得：-2 x0）的焦点F作斜率大于。
2、的直线/交抛物线于A,8两网=点（A 在8的上方），且/与准线交于点C,若 而=4 旃，则忸日5 5A.3 B.2 C.3 D.2【答案】A【分析】【详解】分别过 1 作准线的垂线，垂足分别为也N,设忸尸|=|/尸|=乙 5 2 V|_|B F|_AM y _ 1 AF _ y _5则，回=西=西1+,+4 广广网丁 5,故选人.8.设数列 J的前”项 和 为 当 e N*时，*,n+2,4M成等差数列，若*=2 0 2 0,且/3,则的最大值为（）A.6 3 B.6 4 c.6 5 D.6 6【答案】A【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出几和几，进而得出结果.【详解】解：由（
3、，n +万，的成等差数列，可得，+%=2 +1,6*则4+出=3,%+4=7,牝+%=1 1,.可得数列“中，每隔两项求和是首项为3,公差为4的等差数列.Skl=3 x 3 1+31x30 x 4 =19 5 3 2 0 2 0则的最大值可能为6 3.由 +=2 +1,“m N，可得 4+】+%+2 =2 +356 3=aI+（a2+t z3）+（6 z4+a5）4-+（a6 2+a6 3）=aI+5 +9 +-+12 5=4+3 1x 5 +x4=2 0 15 +4因为。|+%=3,q=3-&,%-3,所以 q 0,则S6 3 =2 0 15 +q 2 0 1 5,当且仅当 6=5 时，3
4、=2 0 2 0,符合题意，故的最大值为6 3.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.二、多选题9.下列命题错误的是()A.命题“讥丘口，%-+13%,的否定是“出 g 1,X2+1 3XB.函数“/G)=c s x-s i n 的最小正周期为),，是“q =2”的必要不充分条件C.x?+2 共 在*口，2 时有解=(x +2%”3 L在x e 1,2 时成立D.“平面向量。与区的夹角是钝角”的充分必要条件是“不 3%,的否定是“,6 1,f+i 4 3 x，；B,由函数/(x)=c s -s i n a x 的最小正周期为乃=2；C,令。=2 则
5、可判真假;D,当时，平面向量3 与刃的夹角是钝角或平角.【详解】解：对 A：命题“e R,%2+13%,的否定是“力.，X2+3X,故A错误；/(x)=c o s a x-s i n a r =V c o s|ax+对 B：由函数 I 4 九 则B 正确：对 C：。=2 时,x 2+2 x Na x 在.1,2 上恒成 立,而 G+2 x)1 1 d l i=3 V伽 工=4,故C 错误；对 D,当“。巨 0”时，平面向量。与否的夹角是钝角或平角，.“平面向量。与否的夹角是钝角”的必要不充分条件是石 ”，故 D 错误.故选：ACD.10.正方体的棱长为1,E,F,G分别为8 C,C C、,的中
6、点.贝!1()2 万=71a=2A.直 线 与 直 线 N尸垂直B.直线4G与平面/功 平行9C.平面/E/截正方体所得的截面面积为8 D.点C与点G到平面NEF的距离相等【答案】BC【分析】对于A,利用线线平行，将 马。与月尸的位置关系转换为判断GC与z尸的位置关系;对于B,作出辅助线：取4G的中点N,连接N、G N ,然后利用面面平行判断;对于C,把截面/E k补形为四边形 E F A,由等腰梯形计算其面积判断;对于D,利用反证法判断.【详解】对于A,因为功 C C,若则从图中可以看出,C。与月F相交，但不垂直，所以A错误；对于B,如图所示，取4G的中点N,连接4、GN,则有GN），4N/
7、1E,.C NC A、N=N,所 口/八%.平面4 G 2|平面/EF又4G/5 AD、=6,h=3历 A _3/2 等腰的高一，梯形 Q R 的高为5 二 丁A FFD-E F +JD1）X-=-X（+41）X=-，梯 形 肛 的 面 积 为 2 2 2 2 4 8,故选项C 正确；对于D,假设与G 到平面4 M 的距离相等，即平面4跖 将 CG平分，则平面尸必过CG的中点,连接CG交E F 于丹，而 不是CG中点，则假设不成立，故 D 错.故选：BCD7C1 1.已知函数/(%)=cos(x-2)-sin(x+2)44，贝 IJ()A.函数/（X）的图象关于y 轴对称B.2,4 时，函数/
8、的值域为1,72C.函数X）的图象关于点（4,）中心对称D.8 为函数X）的周期【答案】ABD【分析】对于A 选项，通过诱导公式化简的到“x）=/（-x）,函数为偶函数，故 A 正确;/（x）=V2sin对于B,将函数化简为7T 冗-X-4 4e兀77T 3乃，求值域即可；对于 C,代入数据3 和 5 得到八3）+5）#0,故选项错误；对于D,【详解】f(x+8)=sincos兀f M,根据周期性的定义得到选项正确.T C 71f(x)=cos(x-2)-sin(x+2)=4 47Tcos71 兀 X-4 2-sin冗 714 24.71sin-x471-cos-X4满足/（x）=/（-x）,
9、函数/（X）是偶函数，图像关于y 轴对称，故 A 正确;n X Gxe2,4时，4715sin-x 04r/、.兀 冗/(x)=s i n x-c o s x =4 47 1 3不7T故函数/（x）的值域为工0,所以B正确:7*(3)=s i n-乃-c o s-=V 2 5)=吟4 4一 43/+/(5)/所以c错误;f(x +8)=s i n x 1 -c o s x j =f(x)14 J V 4；,8 是函数/(X)的周期，所以D正确;故选：A B D.1 2.已知函数x）=l n（e-+l）-x,则（/（l n 2）=l*A.2C./（X）在（0,+8）上单调递增）B.x）是奇函数D
10、./（X）的最小值为历2【答案】A C D/（l n 2）=l n-【分析】代入可得 2,即可判断A：根据奇偶函数的定义即可判断B；根据复合函数的单调性即可判断C；结合选项B、C即可判断D./(I n 2)=I n (e2l n 2+1)-I n 2=l n-【详解】A：V 7 2,故A正确：f(x)=I n (e2x+1)-x =I n (e2i+1)-I n ex=I n (e*+e x)B：e,所 以 小 x)=M(e、+e T),所以/(r)=/。)，所以“*)为偶函数，故 B项错误:C：x 0 时，V =e+e 7 在（0,+司上单调递增，因此V =I n （e、+e-）在（0,+句
11、 上单调递增，故 c项正确；D：由于/（x）在（8）上单调递增，又/（x）为偶函数，所以/G）在（一双。）上单调递减，所以/G）的最小值为/（）=也 2,故 D正确.故选：A C D.三、填空题1 3.曲线V =s i n x +2c o s x-l 在点（2,1处的切线方程为【答案】2 x+y-万=0【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.y=c o s x-2s i n x j =-2【详解】曲 线 尸 9+2 -1 在点 2()处的切线方程为 I 2人 即 2x +y-%=0.故答案为：2x +yr=014.已 知 直 线/加+y-3=0 与圆(x-+(y -2)2=
12、4 交于4 8 两点，过A B分别做/的垂线与x轴交于C,D两点，若|/8|=4,则|C|=.【答案】4及【解析】先求出圆心和半径，由于半径为2,弦|/8|=4,所以可知直线/:机 x +y-3=0 过圆心，从而得机+2-3=0,求出力=1,得到直线方程且倾斜角为135,进而可求出|8|【详解】圆 T)、3 -2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,|幽=4,.直线/：mx+尸 3=0 过圆心（1,2）,.”7 +2-3=0,.加=1,.直线/:+丁-3=0,倾斜角为 35。，过A,B分别做/的垂线与x轴交于CQ两点，CD=-=4y/2 1 s i n 45&T故答案为：4/2【点睛】此题考查
13、直线与圆的位置关系，考查两直线的位置关系，考查转化思想和计算能力，属于基础题(3-t z)x +a-l,x l1 5.已知函数 4J ,若/(x)在 R上是增函数，则实数。的取值范围是.【答案】时【解析】根据函数八用人幻在R上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数/（X）在R上是增函数,y=l o g.x-ax+一所以y=0 _a）x +q-l在区间（f o,l）上是增函数且.（4）在区间口,+8）上也是增函数,对 于 函 数 尸（3-如+”1在（f，l）上是增函数,则3-。0=。3；y=l o g x2-ax+,x e l,+a )
14、对于函数 1 4 J(1)当“04a 2 5 a 2a ,6 ）右支上一点，耳，鸟为双曲线的左、右焦点，点。为线段尸片上一点，/耳尸鸟的角平分线与线段招。交于点“，且满足 =4 3 幽=P M-P D +-PF,贝伊周,若。为线段尸”的中点且4 6=60。，则双曲线C的离心率为.3【答案】4 V 7【分析】过M 作M N/尸片，交W 于点N,作M GH PF、,交 阴 于 点 G,由向量共线定理可得1 居1;再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值.【详解】解：过 用 作M N/P F2交 咫 于 点 N,作MG PF 交P B 于点G,_.4-3 .D M D
15、 N 3P M =-P D +-PF,=7由 7 7 2,得 M F2 N P 4PD DM _ 3由角平分线定理网 M闾a；这=色因为。为尸耳的中点，所以94由双曲线的定义，附 卜 陶=2。,所以尸耳=6。，PF?=4a,F、F=2c“3 6/+1 66 41?A DZ7?COS 600=-在片心中，由余弦定理 2x6ax4“所以e =4.3【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.五、解答题1 8.比知数列也 满 足:2%=0,%=8（1）求数列“的通项公式；（2）设“见数列也 的前项和为兀若2 1 机-2 0 2
16、 1 对 w e N*恒成立.求正整数用的最大值.【答案】（1）%=2；（2）2 0 2 1.【分析】（1）求出公比和首项即可.T=2 +2（2）利用错位相减法，求出一 一 亍，再作差求出 乙 递增，即可求解.【详解】（1）因为数列 J 满足：，用-2%=0 吗=8,所以“川=2 勺,设 4 的公比为g,可得0 =2,又。3=8,即4a l=8,解得q=2,所以%=2；112 3 n/=尹+m+下+尹-(1-)_ 2 2 n卜 J_n_ _-2T=矛 一 尸 2上面两式相减可得j_+x+2+22+2)+7；,=2-化简可 不，T,+1_*=2 _ _ 2 +=g 0因为向 2向 2 21T-2
17、 x tn 2021所以V/递增，4 最小，且为2 所以 2解得m 2022,则机的最大值为2021.19.2020年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一 6 3人、高二42 人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动.（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中
18、的高二、高三学生中抽取2 人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以 10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前 10天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可
19、）.2【答案】（1）6,4,2：（2）5.（3）答案见解析.【分析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；(3)可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.1 2 _ 2【详解】解：(I)报名的学生共有1 2 6 人，抽取的比例为近一万，2 2 26 3 x =6 42 x =4 2 1 x =2所以高一抽取 2 1 人，高二抽取 2 1 人，高三抽取 2 1 人.(2)记高二四个学生为1,2,3,4,高三两个学生为5,6,抽出两人表示为(x,y),则抽出两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1
20、,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 1 5 个基本事件，其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6个基本事件.记抽出两人都是高二学生为事件A,则 1 5 5 ,2所以高二学生都在同一组的概率是M .(3)法一：(数字特征)前1 0 天的平均值为2 3.5,后 1 0 天的平均值为2 0.5,因为 2 0.5 b 0）-2 1.已知椭圆C：/b2 的长轴长为6,离心率为3,长轴的左，右顶点分别为4 B.(1)求椭圆0的
21、方程；(2)已知过点(尸3)的直线/交椭圆C于 、N两个不同的点，直线A M,ZN分别交y轴于点S、T,记 示=4 万。，DT=/JDO(。为坐标原点)，当直线/的倾斜角。为锐角时，求+的取值范围.x2/-1-=1【答案】(1)9 5【分析】(1)根据椭圆的长轴和离心率，可求得片，进而得椭圆方程；(2)先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、7的坐标，再 根 据 丽=又丽，击=而 确定“的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.(1)由题意可得：2a=6c 2 何=9e=3 /=5 ，2a 3x y2-,c2 4 -1-=1I 0
22、 b +C解得：【一4,所以椭圆C的方程：9 5(2)当直线/的倾斜角。为锐角时，设N G 2 J 2),设直线/：i-3，G 0),y=kx-3x x2 y2-H -=1 7 n由 1 9 5 得(5 +9/废2-5 4 日+3 6 =0,2从而 =(5 4 a)2 _ 4 x 3 6 x(5 +9 F)0,又上 0,得 3,54k 3 6X.4-x2=,X X2=所以-9k2+5 2 9k2+5,y =-(x +3)又 直 线 的 方 程 是：*+3 ,令x =0,解得 演+3,所以点S为I%+3 人y =(x+3)1 ，居直线N的方程是：超+3 ,同理点T 为I 4 +3人所以方=0,2
23、2i_I*+3+3,DT=0,+3,5 d =(O,3)因为OS=4 0 0,0 7 =。,所以玉+3+3=34,-+3=3X2+3“上+上+2=+2=所以 X|+3 9 +3%+3 x2+32kxR+3(上 一 1)(%+X2)-1 8 2x,x2+3(X +X2)+936“7 54k2k z 一 +3(上 一 1)一z一9k2+5 9 k2+5-18k+兆+3x“2+554k9百5+9C 10+2=-x9 左 2+2%+I+210(左+1),10 1-x-+2=-x-+29 9 +1)2 9 A +1-I,.7】+(隆4 20综上，所以 +的范围是922.设二次函数/（、）=以 2+取+1
24、 5 ）若 心是函数/G O的两个零点a -1因为所以解得I ，所以。1,即 的取值范围为(L+0 0).解：存在两实数*/2 +2 ,使得|/(再)-/(力 2 0 2 1 成立,则在区间”2,，+2 匕 有/(X L -/()“/2 0 2 1 成立，b.设 即)=/G)而函数/(x)对称轴为/=一五心h b 当 +_ 2 a 即la 时，/(X)在-2 +2 上单调减，/。濡 一 /(X)mi n =-2)-f(t+2)=-8 3-4b9Lh(t)=-Sat-4b A(-2)=1 6。此时 2a；/b r b、，bt W-/+2-2 f e 4 a,1 6 a)此时 4 ac b b b 当 la 即2 a la 时，-XL=f(t+2)-/(-2)=+2)+b22a 4 a,h(t)=2a(t+2)+圻 e (4 a,1 6 a)此时 4。；-+2 当 2 a 即 2a 时，/(X)max-/(，,=fit+2)-f(t-2)=Sat+4b,A(Z)=Sat+4b h(-+2)=1 6 此时 2 a;,b-Sat-4h,t 一 一 22aJ _ 2 a(，-2)+)2 _ A _ 2 /-心 4 a，2a-()=1,h一 r 2(/+2)+Z?f,一 1 -所以只需4。*2 0 2 1,即 4所以实数的取值范围2 0 2 1 、丁收）