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1、2 0 2 1 年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第 I 卷（选择题，共 4 0 分）一、选择题（1 1 0 小题，每小题4分，共 4 0 分.项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一1 设心V)I n(1 +bx),、-：-=2,则 b=()X21-2A.c22 .当 X-*0 时，ta n xA.低阶无穷小量 B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量 D.高阶无穷小量3 .设函数/tr)满足独*=1，则，(D =()A.2 B.1C.1 D.-14 .设 尸 x+e T 贝!dy|=()A.e ldx B.e dxC.(l+e-1)d D.(1 e-l)dx5
2、.曲 线 尸 x I n x 在点(&e)处法线的斜率为()1A.-2 B.1C.-D.26.J(cos x)d x=()A.s in x+C B.cos x+CC.-s in x+C D.cos x+C7.J*1(x cos x+l)dx=3()A.-2 B.1C.1 D.28.厂 g d x=()9.设 z=/+a rc ta n x,则/=()dyA-5/+T+7 B.击C.5y D.5y+arctan xa,10.设 z=e 3 则当=（）dxdyA.e ，B.e”，C.-2 j 一 D.2e2x-y第 n 卷（非选择题,共 iio 分）二、填空题（11 20小题，每小题4 分，共 4
3、0分）,3%+1“2叶 3 二 12.JiiSo3/Z+52n+4/?+513.设函数，切e=与1厂，则/（才）的间断点为x=.2x14.设 7=舵 ,则/=.15.设 尸 y（x）是由方程y+e=x 所确定的隐函数，则 _/=.16.曲线y=的铅直渐近线方程为.X一乙17.f xexdx=.e 119-f TT7d=-J 02 0.过坐标原点且与平面3 x-7 y+5 z-12=0平行的平面方程为.三、解答题（21 28题，共 70分.解答应写出推理、演算步骤）2 1.（本题满分8 分）2sxci x设函数f(x)=在 x=l 处连续，求 a一 x,xWl2 2.（本题满分8 分）设 y=，
4、求 Ay.23.（本题满分8分）,cos 立,计算 f-r-dx.7 x24.（本题满分8分）求 曲 线 尸2系一6岁的凹、凸的区间及拐点.25.（本题满分8分）设 z=ln（x+/）,求 dz|26.（本题满分10分）求微分方程y-3?+2尸2的通解.2 7.（本题满分10分）计算JJ x y d*d y x=0,尸x和/+=1在第一象限所围成的闭区域.D2 8.（本题满分10分）将了=/+|展开成x的慕级数.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换的知识点.【应试指导】当 x-0 时，In(l+6x)6x,故=独&与=b=2.2.【答案】I)【考情点拨】
5、本题考查了高阶无穷小量的知识点.2 2【应试指导】JJjif)=乩 训 :=孙x=，故 当 L。时，tan f为x的高阶无穷小量.3.【答案】A【考情点拨】本题考查了函数的导数的知识点.【应试指导】f (D=则-=231-2(xl)-=2-4.【答案】D【考情点拨】本题考查了函数的微分的知识点.【应试指导】dy=(x+e dx=(le d x,因此 d y|g =(1e 9|X=1 dx(1ef)Ax.5.【答案】B【考情点拨】本题考查了曲线的法线的知识点.【应试指导】y=(x In x)=ln x+x*-=ln x+1,因此曲线在点(e,e)处切线x的斜率为v I-d n x+1)I ,=e
6、=2,故其法线的斜率为一 .6.【答案】B【考情点拨】本题考查了不定积分的基本性质的知识点.【应试指导】f(cos x)Ax S d(cos x)=cos x+C.7.【答案】D【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.1【应试指导】p(x cos x+l)dx=/!_ x cos xdx+dx=f1 dx=x=2.J iJ i J i 8.【答案】A【考情点拨】本题考查了广义积分的计算的知识点.应 试 指 导 广。A dx=%-3+1=-0 E .J x 3+1 1 2/29.【答案】C【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应 试 指 导 瑶=(力，=5/10.【答案】C【考情
7、点拨】本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点.【应试指导】%=小-2=2/=,曾=2e2 (-1)=-2e.二、填空题11.【答案】I【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算的知识点.r由、弁用a，1 .3x+l_+1 _1【应试指导】/+2*+3-0+0+3 一。【答案】5【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算法则的知识点.2 3+【应试指导】Uo 27+4+5=U0-45=2,2+-+n n13.【答案】0(考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点.【应试指导】函数在x=0处无定义，故其间断点为x=0.14.【答案】(x+l)e【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点.【应试指导】y=(x
8、e?=e*+xe*=(1+x)e.15.【答案】击【考情点拨】本题考查了隐函数的求导的知识点.【应试指导】方程两边对x求导，得V+e y=1,即y.1十e16.【答案】x=2【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点.【应试指导】当L2时，期 占=8,故x=2为曲线的铅直渐近线.17.【答案】ex+C【考情点拨】本题考查了不定积分的第一换元积分法的知识点.【应试指导】f xexdx=-f 2xexdx=f exd(x)ex+C.18.【答案】tan x【考情点拨】本题考查了变上限定积分的性质的知识点.【应试指导】t(f t a n =tan x.JI19.【答案】【考情点拨】本题考查了定积
9、分的知识点.【应试指导】p d r=a rc t a n xJ 0JIT2 0.【答案】3 x7 y+5 z=0【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点.【应试指导】已知所求平面与3 x7 y+5 z-1 2 =0平行，则其法向量为（3,7,5）,故所求方程为 3（才 一0）+（7）（y 0）+5 （z0）=0,即 3 x7 y+5 x=0.三、解答题2 1.X口 乎+fx=%Li i+（2 a x+才）=2 a+，卢 旷 f(x)lim()=1.由于/（x）在 x=l 处连续，所以声旷才）=山 旷 f（x），即 2 a+才=1.解 得a=-1.2 2.V1 I n xd y=/d x2 3.令
10、 t=yx,则 x=dx=2tdt.x2t c os t,dx=f-;-d tt=2 f c os tdt=2 s in yfx+C.2 4.yl=6 f 1 2 x,y=1 2 1 2.由 y”=1 2 x1 2 =0 得 x=l.当 KI时，y”l时，y,f 0,因此在区间（1,+8）曲线是凹的；当 x=l 时，p=-4,点（1,4）为曲线的拐点.dz 1 dz 2y2 5.c ；2，c -i 2，ox x 十 y oy x十 y1 2y于是 dz=.2 dx+-.d y,x-vy x-v y因此 d z|（i,i）=|dx+dy.2 6 .原方程对应的齐次方程的特征方程为了 3 r+2=0,特征根为力=1,调=2.故原方程对应的齐次方程的通解为y=G e、+G e%为原方程的特解，所以原方程的通解为y=G ev+G e2 v+l.J l J T2 7 .在极坐标系中，可表示为亍 W 万，0=u _(8 +X 8 _)/:1=OO.9 I=1 一0 E 7y u A/-0 7 UIS-=IZ z I1 T f fZW K J (e u s)p e UIST-J=XvZpi 0 U JS SO O/