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1、几何经典模型：半角模型模型背景_二二一-半角模型是初中非常经典的全等模型，既有入门级的全等三角形证明，也有地狱级难度的相似的证明或者最值问题，其中会涉及到的知识点也可以延伸很多，比如会涉及到倒角倒边的计算、旋转的构造、辅助线的添加、全等相似的证明、辅助圆的引入、最值问题的求解，整个体系庞大而不凌乱，涵盖的基本上都是初中几何重中之重的几何内容，贯穿于八九年级的学习和考试之中，足以说明一切知识总结-半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.(1)产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形.(2)常见形式：图形中，往往出现90。套 45。的情况
2、，或 者 120。套 60。的情况，还有2 a 套 a的情况.求证的结论一般是%+%=或者a=c”.(3)解题方法：通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角，本质上实现了将角的倍分关系转换成了相等关系.旋转移位造全等，翻折分割构全等.典例分析(1 )正方形半角 模 型：90。-45。【例1如图，已知正方形ABCD，点E、尸分别在8C、CD上,且NE4尸=45。.求证：BE+DF=EF.证明：延长EB至G,使BG=DF.先证明/HADF 三 AABG(SAS),推导出 AG=AF,/GAE=/EAF=45,在证明 GAEFAE(SAS),即可证明BE+OF=EF.【例2】如 图，已知正方
3、形ABCD，点E、/分 别 在 8、0 c的延长线上，且Z4F=45。.求 证：BE+EF=DF.A D证 明：在线段。G上截取3E=DG,连接AG.A D易证 AADG三 AA3E(SA5),AE=AG,ZBAE=ZDAG.-.ZEAG=90.ZEAF=ZGAF=45AD-A E =AG,NBAF=NGAF,AF=AFMEF=AAGF:.EF=FG.BE+EF=DF(2)等腰直角三角形半角模型：90。-45。例 1如 图，等腰直角三角形ABC中NBAC=90,/E 4 尸=45,求 证：BE、EF、尸 C 的数量关系.证 明：以 A 为圆心，将他逆时针旋转90。至 A ，连接CH.AE=AH
4、,NBAE=NCAH,AB=AC(SAS):.BE=CH,AB=ZACH:.NBCH=90。连接-.-AEAH,ZEAF-ZHAF=45,A F AF.AAEF=AA/7F(SAS):.EF=FH：.RtACFH中：CF2+CH2=FH2：.BE2+CF2=EF2 例2如 图，等腰直角三角形ABC中4c=90。，ZE4F=45,求 证：BE、EF、FC 的数量关系.证 明：以 A为圆心，A F 顺时针旋转90。至 A H，连接BH.:.AABH=AACF(SAS);.BH=CF,ZABH-ZACF=135：.ZHBE9O连接HE:.AEHAEF(SAS):.EF=FH在/.RtBEH：BE+B
5、H2=EH2BE2+CF2=EF2(3)对角互补、邻边相等四边形半角模型：120。-60【例1】如 图，四边形ABCD中，/4 =NC=90。,ZD =60,BABC,E、尸分别在CD、AD上,且 NBF=60。.求 证：EF=AF+CE.A证 明：以B为圆心，将跳顺时针旋转120。至6，连接CH.ABA=BC,ZABF=ZCBH,BF=BH:.M AFuM CH (SAS):.AF=CH,ZABF=NCBH;ZEBF=60P:./HBE=60P；BF=BH,/FBE=/HBE,BE=BE:./SHBE=AFBE(SAS):.EF=HE.EF=AF+CE【例 2】如 图，四边形ABC。中，ZA
6、=ZC=90,ZD=60,BA=BC,E、尸分别在CD、AD上,且/39=60,求 证：EF=AF-CE.：BA=BC,ZBAH=ZBCE,AH=CE.KSAHwMBCE(SAS)BH=BE,ZABH=NCBEv ZEBF=60,ZCBA=120:.ZABF=60:.EBF=ABF(SAS):.EF=HF：.EF=AF-CE(4 )对角互补、邻边相等四边形半角模型：2a-a 例 I如 图，四边形ABCD中，ZA+ZC=180,BA=BC,E、尸分别在8、AD上,且/仍 尸=,/。区 4.求 证:EF=AF+CE.2证 明：延长D C至,使 AF=CH,连接8H.,;BA=BC,/BAF=/BC
7、H.AF=CH:.ABAF=ABCH(SAS);.BF=BH,ZABF=/CBH./EBF=L/CBA2:,ZHBE=ZFBEBADEH BF=BH，/FBE=/HBE,BE=BE=(SAS):.EF=EH1.EF=AF+CE【例 2】如 图，四边形A 5 co 中，ZBAD+ZC=180,BA=BC,E、尸分别在CZX AD 1.,且 NEBF=L/C BA.求 证：EF=CEAF.2c证 明：在线段C E上截取AF=CH,连接8.BA=BC,乙BCH=NBA尸,CH=AF：.ABCH=ABAF(SAS):.BH=BF,NCBH=ZABFNEBF=LNCBA2：.ZHBE=ZFBE;BH=B
8、F,/HBE=/FBE,BE=BE:.HBE=FBE(SAS)：,EF=HE：.EF=CE-AF(5)正方形半角模型13个结论如 图，已知正方形ABC。，点E、尸分别在BC、CD,且 NE4尸=45.结论 1：BE+DF=EF：证 明：延长EB至 G,使BG=DF.先证明 AADF 三 AABG(SAS),推导出 AGAF,ZGAE=ZEAF45,即可证明8E+F=EF.结论2:EA平分N B E F,用平分ZDFE；证 明：由结论1可 知：=,所以 4 E A=EA,可证E4平分NBEF.同理可证：E4平分N）庄.结论 3：S ABE+S/SW=S0“证 明：由结论 1 可 知：G A E
9、F A E,AADFAABG结论 4：CCEF=2AB；证 明：由结论1 可 知：B E+D F =E F ,因为 GCEF=CE+CF+历，所以 GEF=CE+CF+BE+DF=CD+CB=2AB结论 5：BH=BA；BC证 明：由结论1 可 知：AG4E三,所以 S G AE=，因为GE=EF,所以=.结论 6：BM2+DN2=MN2；证 明：如 图，作 AQJ_AN,A Q=A N ,连接QB、QM.先证明 A A D N =ABQ (S AS),推导出 ZABQ=NATN=45。,QB=DN在证明Q4W=AM4M(SAS),在 R u 中：BM2+QB-=QM2,B P BM2+DN2
10、=MN：结论 7 :A a W E s A A A W s g&v s A/泌4 sAsA/VSAAFE；证 明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似.因为 NMBE=ZNAM=45,NAMN=NBME,所以 MMES/SAMN.同 理，其他结论都可以进行证明.结论 8：EF=/2MN.BE+DF=丘MN,CE=0DN,CF=历BM；证 明：连接AC,因为 ZE4C+ZG4F=45,ADAN+ZCAF=45,所以 NE4C=NDW,因为 ZACE=ADN=45,所以 AAECSA/VVD,所嗤嘴嚏s因为 AAMNAAFE,所嗤嘀EF3所以 EF=血MN,BE+DF=&MN,CE=血DN,同理可证
11、AABA/sA4b,所以 CF=及BM.结论 9：AB2=BN.DM（见图 3）；证 明：因为ADMAABAN,所 以 黑 嗯因为AB=AD,所以 A 82=8N.）M.结 论 10：A、N、E、8 四点共圆；A、M.F、四点共圆；C、尸、N、M,E 四点共圆；证 明：因为结论7 已证所以 Z A N M =N B E M,所以弦4 所对圆周角相等，所以A、N、E、3 四点共圆，同理可证A、M、F、。四点共圆；又因为A、N、E、B 四点共圆，ZABE=90,所以?1为圆的直径，所以 NANE=90。，所以 N F N E =N F C E=90,所以C、F、N、M、E 四点共圆.结 论11：W
12、 IE、AAA/F为等腰直角三角形；证 明：因为A、N、区B四点共圆，ZABE=9 0 ,所以他为圆的直径，所以 ZAVE=90。，因为 Z E A N =45,所以A4NE为等腰直角三角形；同理可证ZWWF为等腰直角三角形.结论 12：CECF=2BEDF；证 明：因为BMEsDFN,由结论 8 可知 CE=6DN,CF=,所以CECF=2BEDF.结 论 13：当BE=D F时，所 取 得 最 小 值，与回取得最小值，取得最大值；证 明：构造A A 尸的外接 圆，圆心为O,连结。区 OF.取E尸的中点，,连结OH、CH.ZE4r=45,：.ZEOF=90,.斯 的中点为“，;.OH=HE=
13、HF,设 OH=HE=HF=x,OA=OE=OF=s2x,CH=x,:.OA+OH+HC=41X+2X AC,；.A、O、H、C四点共线时，0M +O/7+/7。取到最小值，即x取到最小值.此时直线A 垂直平分线段EF,且所=2x取得最小值.：.BE=DF,SAEF=EF*AH=-EF*AB,SgM此时取得最小值，S&C EF=S正方形A5CO 2 s必砂,此时取得最大值真题链接1 （2019莱芜区）如 图，在正方形A B CD中，、尸分别是8 C、上的点，且NE4尸=45。，AE、分 别 交3 D于M、N,连接EN、/，有以下结论：AN=ENRF L当 寸，=2-7 2EC BE+DF=EF
14、存在点E、F,使得NF DF其中正确的个数是（）A.1B.2C.3【解答】解：如图1 ,四边形ABC。是正方形，:./EBM=ZADM=/FDN=ZABD=45。,ZMAN=ZEBM=45。,ZAMN=NBME,AM _ MN-ZAMB=ZEMN,.M M BS NME,.ZAEN=ZABD=45:./NAE=ZAEN=45。,.AAEN是等腰直角三角形，：,AN=EN,故正确；在0班1和ZW/中，AB=AD NA8E=NA拉 尸=90。,AE=AFRtAABE=RtAADF(HL),:.BE=DF,*/BC=CD,:.CE=CF,假设正方形边长为1 ,设CE=x,则BE=l-x ,如图2,连
15、接AC,交EF于O,AE=AF,CE=CF,二.AC是EF的垂直平分线，/.ACJLEF,OE=OF,1 y/2RtACEF中，OC=-EF=x,2 2AE4厂中,ZEAO=ZFAO=22.5=ZBAE=22.5,:.OE=BE,：AE=AE,/.RtAABE=RtAAOE（HL）,：,AO=AB=,AC=y/2=AO 4-OC,.1+旦=0 ,2X=2 y/2,.8 _ _ 1_（2_扬（拉-1）（2+夜）一 夜.C-2-42 2 2,故不正确；如图3,.将A4DF绕点A顺时针旋转90得到M B H，则AF=4 7ZEAF=45=+ZBAE=ZHAE,-ZABE=ZABH=900,.H、B、
16、E三点共线，在AAE和A4EH中，AE=AE45。,/FDN=45。,:.DFFN,故不存在点石、F,使得NFDF,故不正确；ZDAF=ZBAH,故选：5.图12.（2018朝 阳）如 图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点 拉，N分别是边3 c ,C D.的动点（不与点8 ,C ,。重 合）,A M,A N分 别 交 加 于,尸两点，且NM4N=45。，则下列结论：MN=B M+D N；MEFS/BEM；”=立;A/C是等腰三角A M 2形.其中正确的有（）D.4个A.1个B.2个C.3个【解答】解：将绕点A 逆时针旋转90。至 A4ZW，/ZMrAN=ZDAN+ZMAB=45,AMf=A
17、M,BM=D M,/ZMfAN=ZMAN=45,AN=AN,:.AMN=/A M N(SA S),：.MN=N M,:.M N=MD+DN=BM+DN,:.MN=BM+DN；故正确；7 泌 =135。,ZM47V=45。,/.ZM,+ZAFD=80,-ZAFE+ZAFD=S00,:.ZAFE=ZM,NAMB=NM，:.ZAMB=ZAFE,vZ E 4F=ZE8A/=45,/.AAEFABEW,故正确；AE EF An AE BEBE EM EF EM：ZAEB=ZMEF,/.ZEMF=ZABE=45,是等腰直角三角形，；故正确；AM 2AD=CD在A4T)尸 与 尸 中，乙/=45。，DF=D
18、F:.&D F C D FS A S),/.AF=CF,AF=MF,/.FM=FC,.A/力/C是等腰三角形，故正确；故 选：。.3.（2020黑龙江）如 图，正方形A B 8 的边长为。，点 E 在边4 5 上运动（不与点A,8 重合）,Z D A M =45，点 E 在射线A 上，且 AF=B E,Cb 与 AD相交于点G，连接EC、E F、EG .则下列结论：Z W =45。；AAEG的周长为（l+#）a；BE2+DG2EG2；AE4尸 的 面 积 的 最 大 值 是；8当=时，G是线段4）的中点.3其中正确的结论是（）A.B.C.D.【解答】解：如 图1中，在8C上截取3 =3后,连接
19、.；BE=BH,ZEBH=90,:.EH=yf2BE,/AF=yf2BE,：,AF=EH,;/D AM =ZEHB=45。,ZBAD=90,ZFAE=ZEHC=135,BA=BC,BE=BH,:.AE=HC,:.AFAE=AEHC(SAS),；,EF=EC,ZAEF=ZECB,;/EC H +/C EB=90。，.ZAEF+ZCEB=90,.ZFEC=90,:.ZECF=ZEFC=45,故正确，如图2中，延长 4)到 ,使得 DH=BE,贝 IJAC5E 二CD”(5AS),/.ZECB=ZDCH,ZECH=Z.BCD=90,:.ZECG=ZGCH=45,.CG=CG,CE=CH,:.bGCE
20、 三 bGCH(SAS),:.EG=GH,;GH=DG+DH,DH=BE,:.EG=BE+DG,故错误，.AAEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD-i-DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故错误,BE=x,贝IJ A E =Q x ,AF=y/2x,S EF=一 (a x)x x =A?2-|(2x=_ cix H a ci)=(x)Hci,2 222 44228.-G=x,则 EG=x+a,3 3在 RtAAEG 中，则有(x +g a)2=(a-x)2+(|4)2 ,解得x =0 ,2.-.AG=GD,故正确，故 选：o.4.（2020铜仁市）如 图，正 方 形 的
21、边 长 为 4,点 E 在 边 上，BE=1,A D A M =45 ,点尸在射线A 上，且 AF=血，过点尸作A 3 的平行线交8 4 的延长线于点H,C5 与 4）相交于点G，连接EC、E G、EF.下列结论：AECF的面积为口：4 郎 的 周 长 为28；E G2=IX2+BE2;其中正确的是()A.B.C.【解答】解：如图，在正方形 A5c。中，AD/BC,AB=BC=AD=4,ZB=ZBAD=9G,.ZHAD=90,-HF II AD,/.ZW=90,vZH4F=90-ZZ14M=45o,:.ZAFH=ZHAF./AF=/2,：.AH=HF=BE.；.EH=AE+AH=AB-BE+A
22、H=4=BC,:.EHF=ACBE(SAS),:.EF=EC,ZHEF=ZBCE,vZBCE+ZBEC=90,:.HEF+NBEC=90。,/.ZFEC=90,.CEF是等腰直角三角形，在 RtACBE 中,BE=l,BC=4,:.EC2=BE2-BC2=7,.S s=；EFEC=g E C 2=?,故正确；过点厂作a 2,8 C于。，交AD于P,/.ZAPF=90=ZH=AHAD,四边形4 7 7 7是矩形，二.矩形A/PP是正方形，Ap=P F =A H =l,同 理：四边形A3。尸是矩形，.-.PQ=AB=4,BQ=AP=,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC BQ=3,AD/BC ,F P
23、 G F Q C ,.FP PG一FQ=CQ 1.1 一 PG,一 =-5 3.-.PG=|,Q/.AG=AP+PG=-,在RtAEAG中，根据勾股定理得，EG=AG2+AE2=,Q 17.AAEG的周长为 AG+EG +AE=g+g +3=8,故正确；A D=4,DG=A D-AG =,DG2+BE2144 169+1 =25 25G2=(y)2289 169-w 25 25EG2*DG-+BE2,故错误，正确的有，故 选：C.5.（201 7重 庆）如 图，正方形A B C D 中，4）=4 ,点 E是对角线AC上一点，连接D E ,过点E作 防 J _ E D ,交 A B 于点P,连接
24、。尸，交 4 c于点G ,将 A E F G 沿 EF翻 折，得到&E F M,连接。0 ,交 E F 于点N,若点P是 4?边的中点，则 AEW的周长是【解答】解：解法一：如 图1 ,过后作PQLOC,交DC于P,交AB于Q,连 接 的,DC/AB,PQ AB,四边形ABC。是正方形，/.ZACD=45,.APEC是等腰直角三角形，PE=PC,设 PC=x,贝 E =x,PD=4-x ,EQ=4-x ,:.PD=EQ,NDPE=/EQF=90,ZPED=ZEFQ,:.DPE=EQF,:.DE=EF,DE工EF,A)F是等腰直角三角形，易证明,：.DE=BE,：.EF=BE,/EQ FB,，F
25、Q=BQ=；BF,AB=4,歹是AB的中点，:.BF=2,；.FQ=BQ=PE=,:.CE=y/2,PD=4-1=3,RtDAF中，DF=V42 4-22=2/5,DE=EF=M ,如图 2,DCHAB,.CG=DC=DG=4=2AG AF FG 2:.CG=2AG,DG=2FG,.s _ 1 个 _ 2 石.FG=x 2,5-,3 3A C =j 4?+4,=4 0 ,.-.C G =-x 4/2=,3 3.8五 572.EG=-J2=-,3 3连接GM、GN,交EF于H,v Z G F E=45 ,.G”厂是等腰直角三角形，2.:.GH=F H=%=,V 2 31 EH=EF-FH=回 一
26、 叵=,3 3由折叠得：GMEF,MH=GH=3,ZEHM=ZDEF=90,：.DE/HM,/.ADEN/MNH,.DE EN MH NH M EN.j=3,V io NH,EN=3NH,口 Z 2 口 J-.JJ 210/EN+NH=EH=-3:.EN 巫2:.NH=EH-EN=-叵=叵RtAGNH 中，GN=GH1+NH13 2由折叠得：MN=GN,EM=EG,.AMV的周长=EN+MN+E M=+述+述=述生史；2 6 32解法二：如图3,过 G 作 GKJ_A/）于 K,作 GR_LA8于 R,.AC平分 NDW,:.GK=GR,九.KG i二-AF.GR A F 22S-DG-h.d
27、A 4 D G _ 2SGF LGF2变=2,GF同理 SgNF=成=空=3，S：FM MN 其它解法同解法一，可 得：,A E W 的周长=EN+MN+吁哈乎+半=当亚；解法三：如图4,过 七 作 即,叱，EQ 1AD ,.AC是对角线，：.EP=EQ,易证S Q f 和AFPE全 等，:.D E =E F ,DQ =F P,且 AP=EP,设 E P =x，贝lj O Q =4-x=F P =x _ 2 ,解得x =3,所以P R =1 ,A E =32+32=3/2,.DC/AB,:.D G C s G A ,同解法一 得：C G =-x 4/2=,3 3.”8及与5垃.E G =-7
28、2=-,3 3“1 .4 0A G =A C =-,3 3过 G 作G _ L A 8,过 M作,过 M作 M L _ L A ),则易证A G”/二AFKM全 等，4 2：.G H =F K =-,H F =MK=-,3 3.M L =A K =A F +F K =2+-=,D L =A D-MK=4-=,3 3 3 3SPD L =LM,/.ZLDAf=45.D W在正方形对角线0 8上，过 N作,则 N/=/B,设 N I=y,H EP NI-FIE PF P.丁 2 一 y.一 =-,3 1解得y =1.5,所以/7=2 y =0.5,为F P的中点,.N是E F的中点，EN=0.5
29、EF=,2,ABW是等腰直角三角形，且8/=N/=1.5,：.BN=-y/22BK=AB-AK=4-=-3 3BM=-/23MN=BN-BM=*6.-工6.=3四,2 3 6.AEMV的周长=EN+MN+E M=巫+述+逑=逑；2 6 32故答案为：逑普.图4图3图2图16.（2016徐 州）如 图，正方形ABCD的 边 长 为2,氤 E ,f分别在边4 5 ,C D h,若A EBF=45,则A E D F的周长等于【解答】解：.四边形ABC。为正方形，:.AB=BC,ZBAE=ZC=90,把AAB石绕点B顺时针旋转90。可得到ABCG,如 图，/.BG=BE,CG=AE,ZGBE=90,Z
30、BAE=ZC=90,.点G在。的延长线上，,.NEBF=45。,/.ZFBG=Z.EBG-Z.EBF=45,.NFBG=ZFBE,在AFBG和AEB尸中，BF=BF.AD=AF在 AADE 和 AA/E 中，(/A*=NE4=60。，AE=AE:./ADE=AFE(SAS),:.DE=FE.设 C=x,贝 ij8=CF=2x,DE=FE=63x,在 RtACEF 中，ZCT=90,CF=2x,EC=x,EF=y/CF2-EC2=y/3x,:.6-3X=6X,x=3-G ,故答案为：3 -3 .:.D E =6X=3/-3 .8.（2019广 州）如 图，正方形ABCZ）的边长为，点 E 在边4
31、?上运动（不与点A,3 重合）,A D A M =45，点厂在射线4 0 上，且 AF=E,C F与 A）相交于点G，连接EC,E F ,E G ,则下列结论:Z E B =45。；入!的周长为（1 +X-）a；8炉+OG?=反;AE4F的面积的最大值.8其 中 正 确 的 结 论 是 .（填写所有正确结论的序号）XIEB【解答】解：如 图1中，在8 C上 截 取=,连接.BE=BH,NEBH=90。,.E H=y/2 B E，:AF=yiBE,：.A F =EH,ZDAM=ZEHB=45,ZBAD=90,ZFAE=ZEHC=35,：BA=BC,BE=BH ,:.A E =HC,.AFAEwA
32、EHC(SAS),:.E F =EC,ZAEF=AECH,;NECH+/C E B =9Q。,;.ZAEF+NCEB=90。,.ZFEC=90,:.ZECF=ZEFC=45,故 正 确，如 图2中，延长AD到”,使得DH=BE,贝IJAC8E=Aa”(SA S),:E C B =/D C H ,ZECH=ZBCD=90,.-.ZECG=ZGC7/=45,;CG=CG,CE=CH,.,.AG C EvAG C H(SAS),:.EG =GH,：GH=DG+DH,DH=BE,:.EG=BE+DG,故 错 误,/.AAEG 的 周 长=AE+石G+AG=AE+/1/=A D+D +AE=AE+B+A
33、r=/W+A)=26r,故 错 误,设 8E=x,贝iJAE=a x,AF=42x,.S树M tT=2-.(a-x)xx=2 -x22+-aJC=2 -(X2-ax4+-a24-a2)=2 -(X2-a)28+-a2,2=时，A4F的面积的最大值为1/.故正确，2 8故答案为.M图19.（2020常德）如 图1 ,已知四边形ABCD是正方形，将AZME,ADCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时八4与DC重合（A、C都落在G点），若G b=4,EG=6,则G的长为.【解答】解：设正方形ABC。的边长为R ,由翻折可得：DG=DA=DC=x,GF=4,EG=6,:.AE=EG=6,CF=GF
34、=4,:.BE=x-6 ,BF=x-4 ,即=6+4=10,如图 1 所 示：在RtABEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2,.(X-6)2 4-(X-4)2=102,x 2x+36+x2 8x+16=100,.X2-10X-2 4 =0,.(x+2)(x-12)=0,/.x1=-2(舍)，x2=12.:.DG=2.故答案为：12.710.（2018宿 迁）如 图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=4（x 0）的图象与正比例函x数丫=依、y=M A l）的图象分别交于点A、B.若4 4 0 8 =45。，贝114108的面积k是【解答】解：如 图，过3作轴于点。,过A作ACL)，轴于点
35、C:.AOB=/AOBX设点A横坐标为a,贝lj A(a,2)a A在正比例函数y=图象上2,=kaa:.k=2ar7同 理，设点3横坐标为Z?,则2 b*2*7-=C T 2:.ab=2当点A坐标为3,2）时，点B坐标为（2,a）a a:.OC=OD将AAOC绕点。顺时针旋转90。，得至IJAODA，5Lx轴:B D、4共线 NAOB=45。,ZAOAf=90ZBOAf=45 OA=OAf,OB=OB q-?,M O B-4故答案为：211.（2018秋泗阳县期中）已 知：如 图，AABC是等腰直角三角形，N84c=90,NE4F与BC交于 E、尸两点，ZEAF=45,求 证：BE2+CF2
36、=EF2.【解答】证 明：把绕点A顺时针旋转90。，得至IJAA3G.连接EG.贝 IJ44C77 3 A43G./.AG=AF,BG=CF,ZABG=ZACF=45.vZAC=90,ZG4F=90./.ZG4E=ZE4F=45,在AAG和AAFE中，AG=AF=120,Z B =Z A D C =9 0 ,防 分别是 8C,CD上的点，且 NE4F=60。，探究图中线段应；，EF,田之间的数量关系.小 王 同 学 探 究 此 问 题 的 方 法 是 延 长 F D 到 点 G，使D G =B E，连 接 AG,先证明MB E=A A DG,再证明AAF=AAGF,可得出结论，他的结论应是_
37、E R =8E+Z）F _ ；探索延伸：如 图 2,若 在 四 边 形 中，A B=A D ,ZB+ZD=180,E,尸分别是3 c ,CO上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；2结论应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30。的 A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的3 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以60海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F 处，且两舰艇与指挥中心。之间夹角N 反加=70。，试求此时两舰艇之间的距离.能力提高：如
38、 图 4,等腰直角三角形ABC中，Zfi4C=90,A B =A C，点 M,N 在 边 8 C 上，且Z M A N =45 .若 B M=5,C N =1 2,则 MN 的长为【解答】解：问题背景：EF=BE+D F，证明如下：在和AADG中，DG=BE/B =4ADG,AB=AD:.AABE=/ADG(SAS),.AE=AG,ZBAE=ZDAG,v ZEAF=-ZBAD,2.ZGAF=ZDAG-i-ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,:.ZEAF=ZGAF,在和AG4/中，AE=AG ,ZEAF=ZGAF,AF=AFAEF AAGF(SAS),/.EF=FG,:F
39、G=DG+DF=BE+DF,:.EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长包 到点P.使DP=BE.连接AP,如图2,在AA3石和A4QP中,DP=BE 4B=/ADP,AB=AD.ZUBE=AADP（SAS）,:,AE=AP,ZBAE=ZDAP,/ZEAF=-ZBAD ,2.ZPAF=ZDAP+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,:.ZEAF=ZPAF,在AAE和AE4尸 中，AE=APv EAF=ZPAF,4 尸=AF.AAEF=AAPF（SA5）,:.EF=FP,.FP=DP+DF=BE+DF,:.EF=BE+
40、DF；结 论 应 用：如 图3,连 接 斯,延 长A石、所 相 交 于 点C,图3.4 4 0 3 =30。+90。+（90。-70。）=140。,ZOF=70,:.NEOFZAOB,2又：O =OB,/0 4。+/0 5。=（90。-30。）+（70。+50。）=180。，符合探索延伸中的条件，二.结论EF=A E+8E 成 立，即 所=1.5x(50+60)=165 海 里.答：此时两舰艇之间的距离是165海；能力提高：如图4,过点。作 CE_L3C,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连 接 他、EN.:.ZB =ZACB=450.CELBC,/.ZACE=ZB=45.在和AACE中，A
41、B=AC/ZB=ZACE,BM=CE.-.AABM=AACE(SAS).:.AM =AE,4BAM=/C A E .vZBAC=90,ZMAN=45,.N84A/+NC4/V=45。.于 是，由 NR4M=NCA后,得 NM4/V=N4N=45。.在 AM4/V 和 AE47V 中，AM=AE/M AN=ZEAN,AN=ANMAN=AEAN(SAS).:.MN=EN.在 RtAENC中，由勾股定理，得EN?=EC?+N C?.：.MN2=BM2+NC2.;BM=5,CN=2,：.MN2=52+122,:.MN=3.故答案为：13.13（2014绍 兴 X 1 ）如 图 1 ,正方形4 5 8
42、中，点 E，尸分别在边BC,8上,ZAF=45,延长C）到点G,使DG=BE,连接），AG.求 证：EF=FG.(2 )如 图，等腰直角三角形A3C中，ABAC=90,A B=A C，点 M,N 在边BC上,且NMAN=45,若 BM=1 ,CN=3,求 MN 的 长.【解答】(1 )证明：在正方形ABCQ中，ZABE=ZADG,AD=AB,在AA5石和AADG中，AD=AB ZABE=ZADGDG=BE:.B E =ADG(SAS),/.ZBAE=ZDAG,AE=AG,.NE4G=90。,在AE4E和AGA尸中，AE=AG ZEAF=ZE4G=45,AF=AF/.A M =AGAF(SAS)
43、,:.EF=FG；(2 )解：如图，过点C作C E _L8C，垂足为点C，截取C，使CE=BM.连接A E、EN.AB=AC,Z4C=90,ZB=ZACB=45.CEBC,/.ZACE=ZB=45.在AABM和AACE中，AB=AC ZB=ZACEBM=CE:.ABM=ACE(SAS).:.AM=AE,ABAM=ZCAE.-ZBAC=90,ZMAN=45,/.ZR4M+ZQ W =45.于 是，由 N 8 W =NC4E,得 NM47V=N4N=45。.在 AM4N 和 AE4/V 中，AM=AE3C=60,.AD垂直平分 BC,:.BP=PC=-BC=2,2在 RtABMQ 中，ZBMQ=3
44、0,BM=1 ,在 RtAABP 中，ZABP=30,BP=2,AP=tanZABPxBF=x2=,3 3易证 AMQESAAPEQE MQ_ T 3PE-2 4亍3 3 1 9.，e E =-=-x(2-)=-,.-.BE=BQ+QE=,图11 5.（201 9春市中区校级期末）已知四边形A B C。，AB =A D,Z B与/D互 补，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交线段3 c ,8于点E ,F，且/胡 产:工/班。，连接EE ,2试探究：线段BE,D F,所之间的数量关系.（1 ）如 图（1 ）,当/B A D =N B =N D =90P时，B E ,，EF之 间 的数量关系为E
45、F =BE +D F _ .（2）在图（2）的条件下（即不存在N 54 =N B =N ）=90。），线段BE,D F,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由.（3）如图（3）,在腰长为4 的等腰直角三角形A B C 中，A B A C =9 ,D,E均在边8 C上，且 N Z M E =45。，若 8 0 =夜，求 DE的 长.图（1）图（2）图（3）D【解答】解：（1 ）如 图1 ,延长8到G,使DG二BE,连接AG,在正方形 A3CD 中，AB=AD,ABAD=ZABE=ZADG=90,在AA跖 和AADG中,AB=AD ZABE=ZADG,BE=DG:
46、.ABE=ADG(SAS),;.ZBAE=ZDAG,AE=AG,NEAF=LNBAD,2ZEAF=ZBAE+ZDAF=45,/.ZDAG+ZDAF=ZFAG=45,:.ZEAF=ZFAG,在AA/力和AAFG中，AE=AG +NC4E=ZZME=45。,.ZCAP-ZCAE=ZEAP=ZDAE,/AD=AP,AE=AE,.AADEAAPE(SAS),:.DE=EP,vZACE=ZACP=45,:.ZECP=90,/.CP2+EC2=EP2,设。E=x,:.CE=3y/2-x,EP=x,A(V2)2+(3X/2-X)2=X2,解得=侦，3.n c.5 立.DE=-.316.如 图 1 ,在正方形
47、ABC。中，E F 分别是BC,8 上的点，且 N W =45。，探究图中线段BE,E F，立（之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是将A4BE绕 A 点旋转90。使得3 与。重 合，连接AG,由此得到_ B E =Z）G _ ,再证明,可得出结论，他的结论应是拓展延伸：如 图 2,等腰直角三角形ABC中，ZABC=90,AB=B C，点 G,H 在边A C 上,且N G B H=45 ,写出图中线段AG,G H,C H 之间的数量关系并证明.【解答】解：（1 ）结 论：EF=BE+DF.理 由：由旋转的性质可知：DG=BE,ZBAE=ZDAG,AE=AG,vZE4F=45,ZBAD=90
48、,ZFAG=ZDAG-ZDAF=ZBAE+ZDAF=45,:.ZFAG=ZEAF,-AF=AF,:.AAFE=AAFG(SAS),:,EF=FG,FG=DF+DG=DF+BE,:.EF=BE+DF.理 由：将M CH绕点8逆时针旋转90。得到M4M.BA=BC,ZABC=90,:.ZBAC=ZC=45,由旋转的性质可知：BH=BM,ZC=Z4M=45,ZABM=NCBH,/.ZAMG=ZAM+Z C =90,N 8G=45。，:.NGBM=乙铝G+ZABM=匕BG+/CBH=90。一 /HBG=45。,:.AHBG=AMBG,.BG=BG,:.BGH=ABGM(SAS),:.GH=GM,.ZM
49、4G=90,:.AM2+AG2=GM2,.-.GH2=AG2+CH2.17.(2017秋锦江区期末)在AABC中，AB=A C，点 E,F 是边BC所在直线上与点3,C 不重合的两点.(1)如 图 1 ,当N84C=90。，NE4尸=45。时，直接写出线段BE,CF,砂 的 数 量 关 系；(不必证明)(2 )如图2,当Zfi4C=60,ZE4F=30。时，已知3E=3,CF=5,求线段E P 的长度；(3)如图3,当ZB4C=90,NE4/=135。时，请探究线段CE,BF,E尸的数量关系，【解答】解：(1 )结 论：EF2=BE2+CF2.理 由：ZS4C=90,AB=AC,.将AABE绕
50、点A 逆时针旋转90。得 AACG,连接F G，如 图 1 中，图1AG=AE,CG=BE,ZACG=/B ,NE4G=90,二 ZFCG=ZAC8+ZACG=ZACS+NB=90。,FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又,NE4F=45,而/E 4G =90。，.ZG4F=90-45=45,;.ZEAF=NGAF,.A F A F ,AE=AG,:.AAEF=/AGF(SAS),:.EF=FG,EF2=BE2+CF2.(2 )如图 2 中，.ZS4C=60。，AB=AC,将 AASE绕点A 逆时针旋转60得 AACG,连接F G，作G H LB C交BC的延长线于H.图2-.Zfi4C=