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1、学习必备 欢迎下载 数学解析几何经典例题 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线x22y211 的焦点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(0,1)，(0，1)C(3，0)，(3，0)D(0，3)，(0，3)解析：c2a2b221，c 3.焦点为(3，0)，(3，0)，选 C.答案：C 2“a1”是“直线 xy0 和直线 xay0 互相垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当 a1 时，直线 xy0 与直线 xy0 垂直成立；当直线 xy0 与直线 xay0
2、垂直时，a1.所以“a1”是“直线 xy0 与直线 xay0 互相垂直”的充要条件 答案：C 3(2010 福建卷)以抛物线 y24x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0 Cx2y2x0 Dx2y22x0 解析：抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为 r12021，所以圆的方程为(x1)2y21，即 x2y22x0，故选 D.答案：D 4方程 mx2y21 所表示的所有可能的曲线是()A椭圆、双曲线、圆 B椭圆、双曲线、抛物线 C两条直线、椭圆、圆、双曲线 D两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析：当
3、m1 时，方程为 x2y21，表示圆；当 m0 且 m1 时，方程表示椭圆；当 m0 时，方程表示两条直线 答案：C 5直线 2xy20 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转2所得的直线方程是()Ax2y40 Bx2y40 Cx2y40 Dx2y40 解析：由题意知所求直线与直线 2xy20 垂直 又 2xy20 与 y 轴交点为(0，2)故所求直线方程为 y212(x0)，即 x2y40.答案：D 6直线 x2y30 与圆 C：(x2)2(y3)29 交于 E、F 两点，则ECF 的面积为()A.32 B.34 C2 5 D.3 55 学习必备 欢迎下载 解析：圆心(2，3)到 EF 的距离 d|
4、263|5 5.又|EF|2954，S ECF124 52 5.答案：C 7若点 P(2,0)到双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为()A.2 B.3 C2 2 D2 3 解析：由于双曲线渐近线方程为 bx ay0，故点 P 到直线的距离 d2ba2b2 2ab，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率 e1ba2 2.答案：A 8过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x2)2y29 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线 l的方程是()Ax1 By1 Cxy10 Dx2y30 解析：由条件知 M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与 M 点的连线垂直，设圆心为 O
5、，则 O(2,0)，kOM20122.直线l 的斜率 k12，l 的方程为 y212(x1)，即 x2y30.答案：D 9已知 ab0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2y2b21 和x2a2y2b21 的离心率，则 lg e1lg e2的值()A大于 0 且小于 1 B大于 1 C小于 0 D等于 0 解析：由题意，得 e1a2b2a，e2a2b2a(ab0)，e1e2a4b4a21b4a41，lg e1lg e2lg(e1e2)lga4b4a20.答案：C 10已知 A(3,8)和 B(2,2)，在 x 轴上有一点 M，使得|AM|BM|为最短，那么点 M 的坐标为()A(1,0)B(1,0
6、)C.225，0 D.0，225 解析：点 B(2,2)关于 x 轴的对称点为 B(2，2)，连接 AB，易求得直线 AB的件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载 方程为 2xy20，它与 x 轴交点 M(1,0)即为所求 答案：B 11已知椭圆x216y291 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上若 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为()A.95 B3 C.9 77 D.94 解析
7、：设椭圆短轴的一个端点为 M.由于 a4，b3，c 7b.F1MF20)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AFFB，BA BC48，则抛物线的方程为()Ay28x By24x Cy216x Dy24 2x 解析：由AFFB及|AF|AC|知 在 Rt ACB 中，CBF30，|DF|p2p2p，AC2p，BC2 3p，BA BC4p 2 3p cos 30 48，p2.抛物线方程为 y24x.答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13若抛物线 y
8、22px 的焦点与双曲线 x2y231 的右焦点重合，则 p 的值为_ 解析：双曲线 x2y231 的右焦点为(2,0)，由题意，p22，p4.件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载 答案：4 14两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于 P、Q 两点，若点 P 坐标为(1,2)，则点 Q 的坐标为_ 解析：两圆的圆心分别为(1,1)，(2，2)，两圆连心线的方程为yx.两圆的连心线垂直平分公共弦，P(1,2)
9、，Q 关于直线 yx 对称，Q(2，1)答案：(2，1)15设 M 是椭圆x24y231 上的动点，A1和 A2分别是椭圆的左、右顶点，则MA1 MA2的最小值等于_ 解析：设 M(x0，y0)，则MA1(2x0，y0)，MA2(2x0，y0)MA1 MA2x20y204 x20334x20414x201，显然当 x00 时，MA1 MA2取最小值为1.答案：1 16已知双曲线x216y291 的左、右焦点为 F1、F2，P 是双曲线右支上一点，且 PF1的中点在 y 轴上，则PF1F2的面积为_ 解析：如图，设 PF1的中点为 M，则 MO PF2，故 PF2F190.a4，b3，c5，|F
10、1F2|10，|PF1|8|PF2|.由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 得(8|PF2|)2|PF2|2100，|PF2|94，S PF1F212|F1F2|PF2|454.答案：454 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)双曲线的两条渐近线方程为 xy0 和 xy0，直线 2xy30 与双曲线交于 A，B 两点，若|AB|5，求此双曲线的方程 解析：双曲线渐近线为x y0，双曲线为等轴双曲线 件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可
11、能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载 设双曲线方程为 x2y2m(m0)，直线与双曲线的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2xy30，x2y2m，得 3x212xm90，则 x1x24，x1x2m93.又|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(2x13)(2x23)2(x1x2)24(x1x2)2 5(x1x2)2 5(x1x2)24x1x2，(5)25424m93，解得 m94.故双曲线的方程为 x2y294.18(12 分)已知圆 C 的方程为(xm)2(ym4)22.(1)求圆心 C 的轨迹方程；(2)当|OC
12、|最小时，求圆 C 的一般方程(O 为坐标原点)解析：(1)设 C(x，y)，则 xm，y4m.消去 m，得 y4x，圆心 C 的轨迹方程为 xy40.(2)当|OC|最小时，OC 与直线 xy40 垂直，直线 OC 的方程为 xy0.由 xy40，xy0，得 xy2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，m2.圆 C 的方程为(x2)2(y2)22.其一般方程为 x2y24x4y60.19(12 分)(盐城市三星级高中 20XX 届第一次联考)已知圆 C1的方程为(x2)2(y1)2203，椭圆 C2的方程为x2a2y2b21(ab0)，且 C2的离心率为22，如果 C1、C2相交于 A
13、、B两点，且线段 AB恰好为 C1的直径，求直线 AB的方程和椭圆 C2的方程 解析：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)A、B 在椭圆上，b2x21a2y21a2b2，b2x22a2y22a2b2.b2(x2x1)(x2x1)a2(y2y1)(y2y1)0.又线段 AB 的中点是圆的圆心(2,1)，件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载 x2x14，y2y12，kABb2 x2x1a2 y2y12b2a2，椭圆的离心率为22，
14、b2a21e212，kAB2b2a21，直线 AB的方程为 y11(x2)，即 xy30.由(x2)2(y1)2203和 xy30 得 A2103，1103.代入椭圆方程得：a216，b28，椭圆方程为：x216y281.20(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e.(1)若半焦距 c2 2，且23、e、43成等比数列，求椭圆 C 的方程；(2)在(1)的条件下，直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，P 是直线 l 与椭圆 C 的一个交点，且 M P MN，求 的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：1e2
15、.【解析方法代码 108001121】解析：(1)e22343，e2 23，a3，b1，椭圆 C 的方程为x29y21.(2)设 P(x，y)，则 y2 23x3x29y21，解得 P2 2，13.M9 24，0，N(0,3)，M P MN，19.(3)证明：M、N 的坐标分别为 Mae，0，N(0，a)，由 yexax2a2y2b21，解得 xcyb2a(其中 ca2b2)，件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载 Pc，b2a.
16、由 M P MN得cae，b2aae，a，aec aeb2aa，1e2.21(12 分)设椭圆 C：x2a2y221(a0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆 C 上的一点，且AF2 F1F20，坐标原点 O 到直线 AF1的距离为13|OF1|.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点，过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(1，0)，交 y 轴于点 M，若MQ2QP，求直线 l 的方程 解析：(1)由题设知 F1(a22，0)，F2(a22，0)，由于AF2 F1F20，则有AF2 F1F2，所以点 A的坐标为a22，2a，故 AF1所在直线方程为 yxaa22
17、1a，所以坐标原点 O 到直线 AF1的距离为a22a21(a 2)，又|OF1|a22，所以a22a2113a22，解得 a2(a 2)，所求椭圆的方程为x24y221.(2)由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x1)，则有 M(0，k)，设 Q(x1，y1)，由于 MQ2QP，(x1，y1k)2(1x1，y1)，解得 x123，y1k3.又 Q 在椭圆 C 上，得2324k3221，解得 k 4，故直线 l 的方程为 y4(x1)或 y4(x1)，即 4xy40 或 4xy40.22(14 分)已知椭圆y2a2x2b21 的一个焦点为 F(0,2 2)，与两坐标轴正半
18、轴分别交于 A，B 两点(如图)，向量 AB与向量 m(1，2)共线(1)求椭圆的方程；件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直学习必备 欢迎下载(2)若斜率为 k 的直线过点 C(0,2)，且与椭圆交于 P，Q 两点，求POC 与QOC 面积之比的取值范围【解析方法代码 108001122】解析：(1)y216x281.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且 x10.PQ 方程为 ykx2，代入椭圆方程并消去 y，得(2k2)x24kx120，x1x24k2k2，x1x2122k2.设S QOCS POC|x2|x1|x2x1，结合得(1)x14k2k2，x21122k2.消去 x1得 1 23412k234，解不等式 1 234，得13 3.POC 与 QOC 面积之比的取值范围为13，3.件充要条件既不充分也不必要条件解析当时直线与直线垂直成立当直线标原点的圆的半径为所以圆的方程为即故选答案方程所表示的所有可能圆当时方程表示两条直线答案直线绕它与轴的交点逆时针旋转所得的直