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1、2022-2023学年广西钦州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1.一个笼子里有3 只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同,则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）3 4 2 3A.5 B.5 C.3 D.4【答案】A【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】设3 只白兔为，牝，。3,2 只灰兔为4 也，则所有基本事件为：（%）,（%，%）,（4,4）,（%也）,（出，。3）,（生，4）,（“2 也）,（。3,4）,（%也），鱼 也），共有1 0个，其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：（1）,（
2、1 2）,（2 1）,（2 2）,（。3,4）,（。3 也），共 6 个，色=3所以所求事件的概率为：历=心故选：A2,已 知 集 合 人 机 嘀 x 2 ,人件七1 ,则 如（。*）=（）A.0,1 6）B（3,8）c.0,3 D.。+8）【答案】A【解析】化简集合A,B,根据补集、交集运算即可求解.【详解】因为4 =机1 呜、2 =（1,1 6）,3=冲-1 卜（9 J ,所以C&8 =（3,+8）,n（Q5）=（3,1 6）故选：A-eG3.当一个非空数集G满足：如果“，b e G ,则”+b,a-b,a b&G t且6 x 0 时，b 时，我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法：是任
3、何数域的元素；自若数域G有非零元素，则2 01 9 e G；0集合尸=x|x =2 丸 e Z 是一个数域.有理数集是一个数域.其中正确的选项是()A.B.c,D,【答案】A【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.【详解】对于 ，当且 eG时，a-bsG所以 是任何数域的元素，正确；对于，当时，且a，eG时，由数域定义知6 ,所 以 1+1=2 e G,1+2=3 wG 1+2 01 8=2 01 9 G,故选项正确；a _ 1对于，当。=2,6 =4 时，7 5 任 6,故选项错误；GQ对于，如果“，bQ,贝 I J 贝+a-b,MeQ,且6 x 0 时，h，所以有理数集是一个数域.故选
4、：A4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设xeR,用卜表示不超过x的最大整数，则、=同 称为高斯函数，例如：卜6 5=-1,L 5 T 已知函数,f(x)=-x-3 x +4(l x 4)则函数=/(喇 的值域为()A.(I B.HOI c.一 2，D,0-1 2【答案】B【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.上解】/3=9-3X+4(”XW 4)【详解】2,由/(X)=；(X_ 3)V(1W4)所以 2 2,所以函数在O 单调递减，在O ,)单调递增，所 以 )=3)=-；，3又/(1)=2/(4)=0,所 以 尸。(切 的值域为故选：B.
5、5,定义集合运算：”z I z Z U-l),*”设8 =0,2 ,则 集 合 中 的所有元素之和为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】根据定义，逐个分析 J的取值情况，由此得到z的取值情况，从而集合力必 可确定，则集合中所有元素的和可求.【详解】当x =T/=O时，z =(-l)-x(O-l)=-l ；当x =-l,y =2 时，z =(-l)x(2-l)=l ；当 x =l,y =O 时，z =?x(O-l)=-l ；当 x =Ly =2 时，z =f x(2 _ l)=l ；所以48=T,1 ,所以48中所有元素之和为0,故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解小8的
6、运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.6.若直角坐标平面内的两点尸、。满足条件：P、都在函数y=/a)的图象上；、。关于原点对称，则称点对 P、0是函数y=x)的一对“友好点对”(点对俨、与、刃 看作同一._ j 2J(x 0),则此函数的，友好点对，有()A.4对 B.3对 C.2对 D.1对【答案】C/(x)=F；)【分析】由题意，设点尸(X J),则。的坐标为Qx，-y),结合 l x -2 x(x 0),转化为此函数的“友好点对”的个数即方程-2-Wx在x 0时的解的个数，从而作图解答【详解】解：由题意，设点尸(X/),则。的坐标为(-x，-V),小)=爪。)因为【X -2
7、 x(x 0),所以此函数的“友好点对”的个数即方程-2一*=/-2 x在x 0时的解的个数，作 产-2-、与y =/_ 2的图像如图所示，故选：c【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题小)=产。7,德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 axe。被称为狄利克雷函数，其中R为实数集,0 为有理数集，以下命题正确的个数是下面给出关于狄利克雷函数.危)的五个结论：对于任意的x e R,都有加x)=1;函数7(x)偶函数；函数)的值域是 0,1 ;若 770 且 7 为有理数，则;(x+7)=/a)对 任 意 的 恒 成 立；在7(x)图象上存在不同的三个点4
8、 8,C,使得A/B C 为等边角形.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D/(x)=【解析】分 x e Q，XWCR。两种情况从内到外，利用。求 值 判 断 分 工 葭，*品。两种情况，利用奇偶性定义判断.当xeQ 时，/(x)=l；当x e C&Q 时，/G)=判断 名Y _v*-II y _ 分 x e Q,X CCR。两种情况，利 用 周 期 函 数 的 定 义 判 断.取 3 一 一 3/_*,(),8(0,1 俘,0判断.【详解】当 xeQ时，(尤)=1,则/(/(x)=/0)=l ；当xeg。时，x)=0,则(/G)=/(o)=i,所以对于任意的在 凡 都 有 派)尸 1;故正
9、确.当 x w Q 时，-x e Q,/(-X)=1=/(X)；当 x e。时，-xwCQ,/(-x)=0 =/(x),所以函数八x)偶函数;故正确.当 xwQ时，当xe/。时，/(x)=0,所以函数加)的值域是 0,1 ；故正确.当 xwQ时，因为7 翔 且 7为有理数，所以7 +收。，则加+7=1=)；当时，因为珍0且 T 为有理数，所以T+x e。，贝 i./(x+：O=0=/(x),所以对任意的在7?恒成立;故正确.(A、(A、6 n G A-,0 ,B(0 C ,0 2 /3取 3 2 3,I J )构 成 以 3为边长的等边三角形，故正确.故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问
10、题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.、J o g j X x 。8.设函数 x-+2 x-2,x 0)若/=1,则 A.3 B.3 C.-3 或 1 D.3 或 1【答案】B【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解./Xx)J 3,。【详解】由题意，函数 V+2 x-2,x 0(且/5)=1,当空 0 时，即晦丫=1,解得x =3；当时，即f+2 x-2 =l,解得x =-3或x =l (舍去)，综上可知。的值为3,故选B.【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着
11、重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某林场有树苗30 0 0 0 棵，其中松树苗40 0 0 棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为1 5 0 的样本，则样本中松树苗的数量为()A.30 B.2 5 C.2 0 D.1 5【答案】C1 5 0 1【详解】抽取比例为30 0 0。一丽,J-x 4 0 0 0 =2 02 0 0抽取数量为2 0,故选C.c =l n 1 0.已知 a =In 2,b=1,3,则（）A.a c b B.c a bQ c b a D.a b【答案】B【分析】借用0,1进行比较大小，简单判断即可.2c c =In In i =0【详解】因为 l
12、n 2 2 =1,3,所以故选：B、J2x+1J（X）=j-1 1.函数 2%一彳一1的定义域是（）A.B.Tc.3一5旦2 D x x 2S_【答案】D【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.j 2 x +l 0【详解】由函数解析式，知：1 2-x-l二 ,1x 解之得：2且x w l,故选：D【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域,属于简单题.1 2.设集合M=3，b g 3a ，N=a,b ,若A/n N =0 ,则A/UN=A,3,0 B.0，叫C 0,0,2 D.3,0,1 2【答案】B【详解】因为 c N =。,且易知”(),所以6=
13、0,砥汹=，所以斫1.所以“3,0,N=,0 ,所以 A/UN=3,0,1.故选 B.【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数。0,所以对于集合N 中的元素就没有必要分a=0和b=0两种情况进行讨论，所以首先可以根据 c N =0和交集的概念求出6 的值，再求出的值，最后求出 U N,这样大大提高了解题效率.二、填空题13.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.8 6,抽到二等品或三等品的概率为0.3 5,则抽到二等品的概率为.21【答案】0.21#100【分析】设抽到一等品
14、，二等品，三等品的事件分别为4 8，C,利用互斥事件加法列出方程组即可求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件/,B,CP(4)+P(B)=0.86,P(8)+尸(C)=0.35则 p(/)+P(8)+P(C)=l,则 P(8)=0.21故答案为：0.2114.某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三 关.现有一位_ 1 _ 1参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为5，3,则该参加者有资格闯第三关的概率为2【答案】3【分析】根据参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率求出参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率，即可求出该参加者有资格闯第三关的概率
15、.【详解】解：由题意，1 1参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为万，3,参加游戏者单独闯第一、第二关都失败的概率为:闯关游戏前两关至少过一关才有资格闯第三关,1 =一 该参加者有资格闯第三关的概率为：3 32故答案为：3.1 5 .若点PG?）在函数/（x）=l g“x的图像上，点在/（X）的反函数图像上，则m=【答案】-2【分析】根据已知条件求出原函数，在求出对应的反函数，将点代入表达式中求出参数即可.【详解】因为点尸（4 2）在函数/（x）=b g x 的图像上，所以2 =l o g.4,计算得2=4,又。且所以。=2,所以 x）=l o g/,所以“外的反函数为=2、，又 因 为
16、 点（M 在y =2图像上，-=2m所以4 ,得?=-2,故答案为：-2.1 6 .光线通过一块玻璃，强度损失1 0%,那么至少遇过 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来以下.（l g 3 =0.4 7 7,l g 2 =0.3）【答案】1 6【分析】经过第块玻璃板后其光线的强度变为原来的1 5求解即可JU【详解】由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的（,1 01 Y 1 ,9,1-l g 5 一喧万 l g 2-l ,由 I 1 0；5 Si o 5,可得 2 1 g 3-l 2 1 g 3-l 2 1 g 3-l .所以取 1 6.故答案为：1 6三、解答题1 7 .如图，已知 8
17、C,8 =C =5,8 C =8,点尸从8点沿直线2 c运动到C 点，过尸作8C 的垂线/,记直线/左侧部分的多边形为C,设8 P =x,。的面积为S(x),C 的周长为X).(1)求S()和x)的解析式;F(x)=(2)记 刈，求尸(x)的最大值.(3,-X2(0X4)S(x)=3&-X2+6X-12(4X8)【答案】(1)1 83x(0 x 4)%)=31 x +6(4 x 8)(2)6-2MB=x【解析】作“B C 的高4),当0 x 4 时，根据“6。M3产，计算得到 4与33PM=x(8-x)4,；从而计算S(x)和 (x)；当4 x 4 8 时根据 O CP C,计算得到 4,AM
18、=5 (8 x)八.4,从而计算S 3)和(、)；(2)根 据(1)的结果分别计算 1 44和4 c x 8 时(X)的最值，再比较大小可得.详 解(1)作A/8 C 的高/Q,AB=AC=5,BC=St 4D=3,当0 x 4,B D fM B P,MB=-x所以 41 I Q QPM=x S(x)=BP,MP=x，-x =-x24.2 2 4 83 5L(x)=x+x+x=3x4 4当4-22-在x d R上恒成立 kt-2t2,t令 一 t t+t，人 C）在（单调递减，在 L x）单调递墙所以 M ）mi n=（l）=4；/4.【点睛】方法点睛：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等
19、式，1 .若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为/（王）/（）的形式,最后运用函数的单调性去掉“/，转化为一般不等式求解；2.若函数是偶函数，利用偶函数的性质/（r）=/（x）=/M）,将不等式小 2）转化为/）0,1）.（1）当4=2 时，求不等式/（x）l g（丘）在区间艮5 上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.（3 2 2m+n【答案】【2 2 人（2）m-n +.（3）存在，3.【分析】（1）。=2 时，不等式即叫23-3）2,解不等式可得结果；（2）依题意得机=怆3，=怆5,进而由换底公式和对数的运算性质可得结果；（2 x-l）2（2 x-
20、l）2（3）依题意得“Y 在区间值5 上有解；令，（x）-产/一 艮 5,则“九（项-因 此求得（x）的最大值即可求得结果.【详解】（1）当。=2 时，/W=l o g2（2 x-3）+l 3故0 2 x-3 4,所以不等式/（x）lg（2化为尼（2 1）尼（小），,（2X-1Y，/、（2X-1Y.即 在区间P A 上有解,令，5 ,则左 x）1mx,V A（x）=（2 x-l）2x2-2Xi、1 X11?30 1:.kh（x）=h（5=nm 2 5,又是正整数，故大的最大值为3.2 0.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.
21、25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数1 ,R=5x x*（0 x 5）为 2，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？1 1O 1 x2+x （0 x 5）【答案】（1）4;（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.【分析】（1）依题意对与x 5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可;（2）要使企业不亏本，则根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算
22、可得；1 7y=5x x2 一 0.25%一0.5【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，2,当工5时y=5 x 5-x 52-0.25x-0.5=1 2-x2 4,x2+x （0 x 5）综上可得 1 4;（2）要使企业不亏本，则夕2.0 x 5,x+4.75x 0.5 0）.仆即 I 2 或 1 2-0.2 5x 4 0,得0.1 1 4x 45 或5 ,使得对于任意的x 0,/（）=/（x）+T 恒成立，称函数 X）满足性质尸（C .若/满足性质尸，且/=,求的值；（2）若/（X）=1 0 2 ,试说明至少存在两个不等的正数口 2,同时使得函数/（X）满足性质尸（G 和产 区）.（参考数
23、据：1 0=2.0736）（3）若函数“X）满足性质AC,求证：函数/*）存在零点.【答案】八4）+心=。（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】由八幻满足性质尸可得2x）=/（x）+2恒成立，取x=l 可求2）,取“2可求4）,取 2 可求,2,取 4求,4 ,由此可求.4 的值：（2）设/0）=1 哈.2欠满足嘀2（笈）=嘀/+二利用零点存在定理证明关于7的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数小%，同时使得函数/*）满足性质玖工）和 出）；（3）分别讨论/（1）=,/=,/=M 0 ,g=2-1 0&2 2=l o g,1.4 4 -l o g,2 2 2,所以 1.2忖1 6,1
24、 6 噫八6,即 g(I 6)0因为g(x)的图像连续不断，所以存在彳(1，2)再 (2,1 6),使得g(7 )=g(5)=,因此，至少存在两个不等的正数几石，使得函数同时满足性质尸(工)和尸),(3)若/(1)=,则1即为零点；因为7 x)=/(x)+T,若7 =1,则x)=/(x)+l,矛盾，故7,若/=例 卜取 L T J 7即 可 使 得)=+5,又因为/(X)的图像连续不断,所以，当T1时，函数 X)在，7 )上存在零点，当 7。，则由/，心+，可 得 心”由/*)+可得*)=由“备)=/(*)+丁 可 得/(*)=/(备)-T=/-k T,其中左eN.%J+1 f(_L)=M_k
25、 T 1时，函数/(X)在Tk，上存在零点，(1 )当 7 1时，函数/(X)在 T 上存在零点，综上，函数/（X）存在零点.2 2.某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有20 0 0 名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示.（1）求直方图中x 的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表,结果保留一位小数）；（2）根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第7 5 百分位数；（3）决赛由8 名专业评审、1 0 名媒体评审和1 2名大众评审分别打分，打分均采用1 0 分制.已知某
26、选手专业得分的平均数和方差分别为吊=8 4,s；=0.0 1 5 ,媒体得分的平均数和方差分别为丁2 =8.8 ,s；=0.0 5 4,大众得分的平均数和方差分别为可=9.4,0.0 6 4,将这3 0 名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）.附:方差TE溶t【答案】（l）x =0 0 25 ,3 9.6 （岁）(2)4 7（3）该选手最终得分为8.9 3 3 分，其得分方差为0.21 6【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1 得到方程，即可求出x,再根据平均数公式计算可得；（2）根据百分位数计算规则计算可得；（3）根据平均数、方差公式计
27、算可得；【详解】（1）解 山题考（0.0 1 +0.0 1 5 +0.0 20 +2x+0.0 3 0 +0.0 3 5 +0.0 4 0）x 5 =1解得 x =0.0 25,亍=(22.5 x 0.0 1 0 +27.5 x 0.0 25 +3 2.5 x 0.0 3 5 +3 7.5 x 0.0 4 0 +4 2.5 x 0.0 3 0+4 7.5 x 0.0 25 +5 2.5 x 0.0 20 +5 7.5 x 0.0 1 5)x 5 3 9 6 (岁).(2)解：通过计算知第7 5 百分位数落在 4 5,5 0)区间内，设为则(0.0 1 0 +0.0 25 +0.0 3 5 +0.0 4 0 +0,0 3 0)x 5 +(/-4 5)x 0.0 25 =0.7 5 ,解得，=47,即第7 5 百分位数为4 7；设该名选手最终的平均分为歹，最终方差为s-y=1(8.4 x 8 +8.8 x 1 0 +9.4 x 1 2)=8.9 3 3则 8 +1 0 +1 2(分)，用 一 歹)1+1。$；+(另 一 歹)1+1 2 际+(另一)1=0.0 1 5 +(8.4-8.9 3 3)2 +1 0 0.0 5 4 +(8.8-8.9 3 3)2 +1 2 0.0 6 4 +(9.4-8.9 3 3)2(乜死估计该选手最终得分为8.9 3 3 分，其得分方差为0.21 6.