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1、2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（一模）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.（5 分）设全集。=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合S =3,0,1 ,T =-1 ,2 ,则电（S|j T）等于（）A.0 B.-2 ,3 C.-2 ,-1,2,3 D.-3,-1 ,0,1,2）2.（5 分）己知 x,y e R,则“1,y 1 是 孙 1 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.（5 分）函数/（x）的部分图象如图所示，则/（x）的解析式可能是（）4.（5 分）某校抽取1 0 0 名学生做体能测试，其中百米测
2、试中，成绩全部介于1 3秒 到 1 8秒之间，将测试结果分为五组：第一组 1 3,1 4）,第二组 1 4,1 5）.第五组口7,1 8）.如A.1 4图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于。即为优秀，如果优秀的人数为频率B.1 4.5C.1 5D.1 5.55.（5 分）已知一个圆锥的底面半径为2,高 为 3,其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）B.幽r3A.4岳C.44D-T6.(5 分)己知 a =40 3,b=0.34,c =l o g31 0,贝 U()A.b c aB.a c bC.c a bD.c b a7.(5 分)已知函数/(x)=Gs i i i
3、5-C O S GX(3 0)满足/(%)-/(%)=4,且-/I 的最小值为则/）的值为（）A,2B.1C.也D.22 28.（5 分）设直线x y +2 =0（z w0）与五轴交于点C,与双曲线二一二二1（。0,。0）的a h两条渐近线分别交于点A,B.若 A 为 8 c中点，则该双曲线的离心率是（）A,正2C.-J3D.29.(5分)已知函数/(x)=1 划x +4-4 x 2,若方程/。）-6 2=0有 5 个不等实根，则2,x 0,。0,a+b+c=0,则 荏 丽 的最大值为.三、解答题：本大题共5 题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(1 4分)在 A A
4、 B C 中，内 角 A,B ,C 所 对 的 边 分 别 为 a ,b,c,已知(2s i n A-6 s i n B)2=4 s i n2 C-s i n2 B .(1)求角C 的大小；(2)若6 =1,C =y/1,求c o s 2(B-C)的值.17.(15 分)如图，四棱锥 PA B C D 中，尸 _ L 平面 A8C7),P D =D C =2 AD =2,AD A.D C,Z B C D =45 .(1)求 与 平 面 P 3 C 所成角的正弦值；(2)求二面角8-PC-D 的正弦值；(3)设 M 为 上 一 点，且=若 A M/平面PC D,求 8 c的长.D2 218.(1
5、5 分)已知椭圆二+二=l(a b 0)的左、右焦点分别为百，凡，右顶点为A,点 Ea b的坐标为(0,2),延长线段月E 交椭圆于点V,轴.4(1)求椭圆的离心率；(2)设抛物线炉=日灰的焦点为尸，5为抛物线上一点，|8加直线M 交椭圆于P，。两点，若|AP+|4Q=弓，求椭圆的标准方程.19.(1 5分)已 知 等 比 数 列 q 中，q=3,a；=%+%，数 列 出 满 足 4=6，nbli+i (n+l)bn=-77(/7+1)(G N*).(1)求数列 可 的通项公式；(2)求证：数列 4为等差数列，并求 4前项和的最大值；n(3)求 工一-I 4+i20.(16分)己知曲线=加(工
6、+?)与无轴交于点P,曲线在点尸处的切线方程为y=/(x),且/(1)=2.(1)求y=/(x)的解析式；(2)求函数g(x)=的极值；ex(3 )设(刈=色三土包二以竺士1,若 存 在 实 数 占e l ,e ,x,G e-,1,使X2/?(x,)l,y l ”是“孙 1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：rx l,y l,x y 1反之不成立，例如取x =6,y=.2“x l,y l ”是“孙 1”的充分不必要条件.故选：A .3.（5分）函数/（幻的部分图象如图所示，则/。）的解析式可能是（）幻*D.【解答】解：由图知，函数人幻
7、为奇函数，而选项。中的函数为偶函数，所以不符合题意,函数，（x）的定义域为 x|x*l ,而选项3 中函数的定义域为R,所以不符合题意,当 X G (0,1)时，/(X)0 由于-1 0,不符合题意，选 项 C 中函数/(x)c a B.a c h C.c a b D.c h a【解答】解：l=4 403 4-5=2,0.34 l og3 9 =2,.c a b 9故选：C.7.（5 分）己知函数 f（x）=G s i n s-c o s s（G 0）满足/（X）-/（工 2）=4,且 1%-/I 的最小值为（则.吗）的值为（）A.瓜一 历 B.1 C.石 D.22【解答】解：/（x）=6 s
8、 i n r-c os cox=2si n（69 X -）,6/（X）-/（%）=4,且|与一 次 2 I 的最小值为5，/.函数/（x）的最小正周期为2 X 1=，:.=冗、解得 69 =2，C D7 1/（x）=2si n（2x-）,6/./（-）=2si n（2 x-）=2 xx（-i）=l.8 8 6 2 2 2 2故选：A .2 28.（5 分）设直线工一6、+相=0（2。0）与工轴交于点（7,与双曲线二 一 与 二 l（a 0,8 0）的cr两条渐近线分别交于点A,B.若 A为 8c中点，则该双曲线的离心率是（）A.B.75 C.V 3 D.22尤 2 V2【解答】解：双 曲 线=
9、-二 二1（。0力 0）的两条渐近线方程为陵 =0,a h直线 x-Gy+m =0（?w 0）与 x 轴交于点 C（-/z?,0）,由卜一Gy+”=0,解得bx 4-=0 a+J3b a 7 3b由 b -a由帆/0,/?0 可得 a+fib=2（6 b -a）,即为 b=y/3a,所以 e=1 =,1+=2.故选：D.9.（5 分）已知函数/（x）=x+4|x|-4 x 2，若方程x)-ov2=o有 5 个不等实根，则2,x 6实数的取值范围是()A.(0,-)B ，：44 3【解答】解；x=0 显然是函数的零点,C.4当 D.（坐 收）U-,-4 x 0 x（x+4）xwO时，由/（幻=0
10、 得。=幺。=1,0 x 2x2 3 x（x+4）1 ，,2,x 立 时，=.与 丫 =/单 有 4 个交点，即程/()-6 2=0 有3 4 X-5 个不等实根.故选：D.二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30分。把答案填在答题卡中的相应横线上1 0 .(5分)i是虚数单位，复数z=2匚，则Z的共轲复数彳=l+2i【解答】解：-,z=(2/)(12z)=L=_j,1 +2/(1 +2/)(1-2 z)5z=i.故答案为：i.1 1 .（5分）二项式（五-工）6的展开式中常数项为2x4【解答】解：设其展开式的通项为.W+I 1 3-3=（-如 玛/2 ,，令 3-3尸=0 得：
11、r =2.2（五 _ L）6展开式中的常数项2xq=（-；）y=1 x 1 5 故答案为：4441 2.（5分）已知过点（1,1）的直线与圆V+y 2-4 y =o相交于A,B两点，则|A 8|的最小值为_2立【解答】解：圆/+/_4=0即f+（y-2）2=4 ,表示以C（0,2）为圆心、半径等于2的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大.而弦心距d的最大值为7（1-0）2+（1-2）2=夜，.J AB|的最小值为 23 -d。=2 7 4 2 =2 yli,故答案为：2 0.1 3.（5分）对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该
12、仪器一次检测出现问题的概率为0.2,则检测2次停止的概率为0 1 6 ,设检测次数为X,则 X的数学期望为一.【解答】解：检测2次停止的概率为（1 一 0.2）x0.2 =0.1 6,检测次数X的可能取值为1,2,3,所以 P（X =l）=0.2 ,尸（X =2）=0.8*0.2 =0.1 6,尸（X =3）=0.8 x 0.8 x 0.8 +0.8 x 0.8 x 0.2 =0.6 4 ,故 E（X）=1 x0.2 +2 x 0.1 6 +3 x 0.6 4 =2.4 4.故答案为：0.1 6；2.4 4.1 4.（5 分）已知 a0,。0,a+b+c=i,则+”十、的最大值是 2 _.c-
13、1【解答】解：因为 0,b 0 y a+b-c=所以。一 1 二 一（。+），则 L+2 =_ V+2 效 I（*+2=一+-2 _）_ 2 ,c-1 a+b a+b 2 a+b当且仅当a =h 且生士=旦，即”=。=1 时取等号，此 时 的 最 大 值 一 2.2 a+b c-1故答案为：-2.1 5.（5 分）在 A A B C 中，ZA =6 0 ,A C =2,B A BC=y/3B A,则 AB=_G +1_;若A E =AEC,C F=AFB,/l 0,则 通 丽 的 最 大 值 为.【解答】解：丽 前=|丽|而|cos 8 =6l丽 I，所以|而|cos B =V J ，又 Z4
14、 =6 0。，A C =2,所以上=旦，s i n B s i n A即/=也 工，将A C=2代入整理得：|而|s i n8 =百 ，s i n 8 s i n 6 0 +得 t a n3 =l,故 8 =4 5。，所以 C =7 5。.所 以 幽=/,即*_ =，得A 8 =6 +1.s i nC s i nB s i n 7 5 s i n 4 5 且=即 B C=2,解得 BC=灰.而 cos 7 5。s i n A s i n 3 s i n 6 0 s i n 4 5 因 为 亚=4觉，C F=AFB ,A 0,所以：A E=-A C,B F =-B C B F =-B C.1 +
15、4 1 +A 1 +4故 荏 /=TACBC=x 2 x 4 6 c o s l 5o=-r-x（3+拘（1 +A）2（1 +2）2 纪+2 2 +1=3+6 ,因为几o,所以义+1 +2.2、以 工+2 =4 ,（当且仅当；1 =1时取等号）.用+2 2 V A故式,，土g.即所求的最大值为土芭.44故答案为：6+1,土 叵.4三、解答题：本大题共5题，共7 5分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1 6.（14分）在AABC中，内 角A,B ,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c,已知（2 s i n A-&i n B）2 =4si n2C-si n2 B .（1）求角C的大小；(2
16、)若6 =1,c =V7,求c o s2(8-C)的值.【解答】解：(1)因为(2 si n A-g si n B)2 =4si n 2 C-si n 2 8 ,整理可得si n?A+si n，8-si n。C =J 5si n Asi n B ,利用正弦定理可得/+尸-/=M a b ,由余弦定理可得c o s C =a2+b2-c2 y/3ab_ y52 ab-2 a Z?因为Ce（0,万）,所以c =.6(2)因为C =工，b=l ,c=y/l,61X所 以 由 正 弦 定 理 上=一，可得1 rsinB=如必=/=也，sinB sinC c V7 14因为,PD=DC=2AD=2,AD
17、 1 D C,NBCD=45。.(I)求 2 4 与平面P3C 所成角的正弦值；(2)求二面角B-P C-O 的正弦值；(3)设 M 为 P 8 上一点，且PM=2MB,若 A M/平面PC),求 8 c 的长.【解答】解：因为PDJ_平面ABC。，所以PD_LZM,PDA.D C,又因为45_L)C,所以D C、DA./)P 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为N8C=45。，所以延长C 8、D 4交于E,DE=DC,0(0,0,0),A(0,I,0),C(2,0,0),P(0,0,2),E(0,2,0),(1)西=(0,1,-2),CP=(-2,0,2),CE=(-2,2,0),设
18、平面 PBC 的法向量为 m=(x,y，z),CP-th=-2x+2z=0.,令 x=l,m=(1,1,1),CE-fft=-2x+2y=0所以R 4与平面PBC所成角的正弦值为 历竺!=；m-PA V3-V5 15(2)平面尸 8的法向量为万=(0,1,0),由(1)知平面P8C 的法向量为历=(1,1,1),设二面角 B P C)的大小为。，|c o sd|=用训=,sing=J1-=,m-n 3 V 3 3(3)设 3C=f,则 5(2 Dsi n 45。,/si n 45 ,0),A M=AB +|B P =(2-0si n 45.r si n 45-l ,0)+|-(r-2)si n
19、 45,-?si n 45,2),因为A W/平面P C D,所 以 丽 元=0,所以f si n 45-l +g-(-f si n 45)=0,解得=半F2,右顶点为A,点E的坐标为(0,勺，延长线段KE 交椭圆于点M,轴.(1)求椭圆的离心率；(2)设抛物线丫2=竺法的焦点为P,3为抛物线上一点，|B F|=费匕，直线成交椭圆于P，。两点，若|AP+|A Q|2=?,求椭圆的标准方程.【解答】解：因 为 M轴，令，可得。/I,解得一卜所以,a由OE 为/与玛的中位线，可 得 8|=2|O E|,即有必=2 x2 =4,即b=L,a 4 2 2所以椭圆的离心率e =J l-=、仁=且；a V
20、 2 V 4 2(2)由 可得椭圆的方程为何+4/=4炉,抛物线2=丝版的焦点为下 个 从 0),准线方程为=-1 匕，贝！J|尸上巧,+匕=/，解得Xs=6b,可设8(66,号)，则直线BF的方程为y=手“一 4 切，与椭圆方程V+4丁=4b2联立，可得3x2-6法+|从=0,设 PC。，y j,Q(X2,y2),则尤+电=2 5,玉 2=西。2，因为 A(20),所以|AP+1 AQ=(%2份2+代+(七 2bA+05 6 o 9 5 6,9 0 9 58)=(%2力 4-(Xj b)+(电-2 b)+(b)=(A;+9)-7b(玉 +x2)xlx2+彳 3n=9 b,2 l1z41,b2
21、-1-2h,2+58 b,2=21 bc =42,5 5 5 5解得 b=/2,则 a=2/2,所以椭圆的方程为工+=1.8 219.(1 5 分)已 知 等 比 数 列 仅“中，4=3,*=%+4，数 列 出 满 足 伪=4,也+i -5+l)bn=-n(n+1)(/1 e N*).(1)求数列 ,的通项公式：(2)求证：数列 区 为等差数列,并求 前项和的最大值;n(3)求士空.I%+i【解答】解：(1)设等比数列 的公比为4，.4=3,W=%+4,二.a%2=47，可得3=1 +4，解得夕=2.%=3x2”，（2）证明：数列/?满足4=q=3,曲 叶 1 -（几 +l）b“=-如 +1）
22、（w N*）,%bn_ b.-1 ,D,H+1 n 1.数列 Z 为等差数列，公差为 1,首项为3,n=3 (H 1)=4 n,nbn=472-n2,令=4 一 .O,解得源方4,.=3,或 4 时 。前项和取得最大值S 3=3+4+3=10.,(3)、3bk _3左(4一左)_ k k2设 T,为数列 白 的前项和，仙 1 2 3 n则(=T +o+T+1 -,2 3 n-l n T =1 H-1 7+.H-z-H-r，2 2 22 22 T x相减可得：；北=2+(1+；+*+3)一 券 =21-+12 T n-i-声，1-2化为：7；=8-马手 2“-2设 4 为数列2n-2 的前项和,
23、则 4 =”+则;4=最+捻+2 n-+-,T2n-3 2 n-.d-1-:_ 2 2+i相减可得：gA，=g+2(*+*+)-2 n-l21 c=+2x21(1-J4 21-22 n-2M+,整理为：4=3-史 二.2A2设纥为数列 的前项和,2DI2 22 32 n2 21 22 23 2n1 e _ 1 22级+石+I(1)22rT+西 上 口 讨 7 7 T 由 1 n 1 3 5 2/2-1 n2 c 2+3 rv相减可得：”=万+尹+百+f-一 产=3-产，化为:B“=6-n2+4/1+6X=oc-2-+-“n2+4/i+6x _ 2+(6-)=2-2-2 2 2n2n2+4+6=
24、2+上2T20.(16分)已知曲线y=/”(x+w)与 x 轴交于点尸，曲线在点P 处的切线方程为y=/(x),且 f (1)=2.(1)求 y=f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=的极值；ex(3)设/;(幻=:五(1二欣+1 ,若 存 在 实 数 X1l,e,x,ee-,1,使X2/?(%1)0 时，g(x)0,此时函数g(x)单调递增.x=0 是函数g(x)的极大值点，g(0)=l.(3)iSx,=,vx2 eel,1,贝 U 僧c 1,e,x2ln2x2+(a-l)x2lnx2+x2=0)1f m+1 m m，/、ln2x+(l-a)lnx+lhX),X/2 +(1 d)lnm+1
25、 ，/、二.-=h(in)m若存在实数e,x2 Gel,1,使 2()加2%+(。一 1)%2，加2+%成立，等价于：2(西)(6)成立，tn G 1,e,即 2 h(x)疝 h(x)3,xe l ,e.令 Inx=t,/x e 1,e,则 f e 0,1 .j ln x+(1 ci)lnx+1 广+(1 )，+l ,、3 ah(x)=-=-，re 0,1 ,%(0)=1 ,h(1)=-.x e1 eI”.、2/+1-一/+(_*+(l-r)(r-(7)M-力-二一一,4.1 时，”(f),0,可得：函数 在 f w 0,1 上单调递减，.2/?(1)(0),可得：2 主 心 3-2 4,0 时，/?”).0,可得：函数在re 0,1 上单调递增，,2(0)(1),可得：2 xl e又 4,0 ,解得：a3-2 e.0 “1 时,，函数在f e 0,a)上单调递减，在 f e a,1)上单调递增.可得：(幻 而/、c i +(1 (i)c i+1 a +1h(a)=-=-由(2)可知：h(a)=四 则(0,1)上单调递减,4,一 2 力(x)加“2 .e3-/7/z(x)zm x.=maxh(G)h(1)=max,-.e-T-；2 3 Q 3而一v-.e e e不等式2 h(x)“以口皿无解.综上可得：”的取值范围是(-8,3 2)k,J(3 ,+o o).2