《2020年天津市南开区高考数学二模试卷(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年天津市南开区高考数学二模试卷(解析版).pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020 年高考数学二模试卷一、选择题（共9 小题）.1复数?=4+3?3-4?(?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A（1，0）B（0，1）C(45，-35)D(35，-45)2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21 人，则 n 等于（）A35B45C54D633方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是（）Ak（，2）（2，+）Bk（2，+）Ck（2，2）Dk（0，14设?=?，?=-?12?，?=?2，则 a，b，
2、c 的大小关系是（）AbacBabcCbcaDac b5如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面是面积为2 的正方形，该长方体的外接球体积为323，点 E 为棱 AB 的中点，则三棱锥D1 ACE 的体积是（）A2 23B2?C 33D16已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）的离心率为 62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a为半径作圆F，圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点，则 MFN （）A45B60C90D1207某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人
3、既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）现有3 位同学到食堂就餐，如果3 人在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4 个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（）A6B12C24D488已知函数f（x）sin（x+）（0，|?2），yf（x）的图象关于直线x=5?6对称，且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为?2的等差数列，则函数 f（x）的导函数f（x）的一个单调减区间为（）A?12，7?12B-5?12，?12C?6，7?6D-?6，?39如图，在边长?的等边三角形ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，O 为 ABC的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点
4、 P，与直线DE 交于点 Q，则?的取值范围是（）A3，+）B（，3）C(-，92)D(-，92二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上10已知集合Ax|（x+1）（x 2）0，?RBx|x0 或 x3，则 AB11若（x2+1?）6的二项展开式中x3的系数为52，则 a（用数字作答）12过点(-?，?)的直线 l 与圆 x2+y2 4 相切，则直线l 在 y 轴上的截距为13一袋中装有6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概率是45，则袋中白球的个数为；从袋中任意摸出2 个球，则摸到白球的个数 X 的数学期望为14
5、已知 ab0，则(?2+4?2)2+2(?2+4?2)+54?+1的最小值为15已知定义在R 上的偶函数f（x）在（，0上单调递增，且f（1）1若 f（x1）+10，则 x 的取值范围是；设函数?(?)=(?+?)?-?-?，?，?+?-?+?，?，若方程 f（g（x）+10 有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为三、解答题：（本大题共5 个小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 a2+c2b2+105ac（）求cosB 及 tan2B 的值；（）若b3，A=?4，求 c 的值17如图所示，平面 CDEF
6、平面 ABCD，且四边形ABCD 为平行四边形，DAB 45，四边形 CDEF 为直角梯形，EF DC，ED CD，AB3EF 3，EDa，AD=?（1）求证：AD BF；（）若线段CF 上存在一点M，满足 AE平面 BDM，求?的值；（）若a1，求二面角DBCF 的余弦值18已知 F1，F2为椭圆 C：?2?2+?2?2=?(?)的左、右焦点，椭圆 C 过点 M(?，22)，且 MF2F1F2（）求椭圆C 的方程；（）经过点P（2，0）的直线交椭圆C 于 A，B 两点，若存在点Q（m，0），使得|QA|QB|（i）求实数m 的取值范围：（i）若线段F1A 的垂直平分线过点Q，求实数m 的值1
7、9设 an是各项都为整数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b11，a3+b27，S5b250，n N*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn log2b1+log2b2+log2b3+log2bn，Tn a?+?+a?+?+a?+?+?+a?+?（i）求 Tn；（ii）求证：?=?1?-?220（16 分）设函数f（x）=?3?-12?-?，?（）若x1 是函数 f（x）的一个极值点，求k 的值及 f（x）单调区间；（）设g（x）（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在 0，+）上是单调增函数，求实数 k 的取值范围；（）证明：当 p0，q0 及 mn（m
8、，n N*）时，?+?2?-1?-?=?(-?)?-?-?-?-?-?+?2?-1?-?=?（1）i1p2n1iqi12m1参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数?=4+3?3-4?(?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A（1，0）B（0，1）C(45，-35)D(35，-45)【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：z=4+3?3-4?=(4+3?)(3+4?)(3-4?)(3+4?)=25?25=?，复数?=4+3?3-4?(?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（0，1）故选：B2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5
9、：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21 人，则 n 等于（）A35B45C54D63【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的718，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n 的样本，高三年级被抽到的人数为21 人，能求出n解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，高三年级学生的数量占总数的718，分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n 的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21 人，n21718=54故选：C3方程
10、 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是（）Ak（，2）（2，+）Bk（2，+）Ck（2，2）Dk（0，1【分析】化x2+y2kx+2y+k2 20 为(?-?2)?+(?+?)?=?-34?，由?-34?0 求得 k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案解：由 x2+y2kx+2y+k22 0，得(?-?2)?+(?+?)?=?-34?，若方程 x2+y2kx+2y+k22 0 表示圆，则?-34?0，即 2k2A，B 为方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的既不充分也不必要条件，C 为充要条件，而（0，1?（2，2），则 D 为充分不必要条件故选：D4设?=?，
11、?=-?12?，?=?2，则 a，b，c 的大小关系是（）AbacBabcCbcaDac b【分析】根据0ln21 即可得出12ln22，并得出-?12?=?，?，从而可得出 a，b，c 的大小关系解：0ln 21，12ln22，-?12?=?，log32log331，bac故选：A5如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面是面积为2 的正方形，该长方体的外接球体积为323，点 E 为棱 AB 的中点，则三棱锥D1 ACE 的体积是（）A2 23B2?C 33D1【分析】由该长方体的外接球体积为323，求出该长方体的外接球半径为R 2，从而求出 AA12?，由此能求出三棱锥D1ACE 的体
12、积解：长方体ABCD A1B1C1D1的底面是面积为2 的正方形，该长方体的外接球体积为323，设长方体的外接球的半径为R，则43?=323?，解得该长方体的外接球半径为R2，2+2+?122=2，解得 AA12?，SACE=12?=1212?=12，三棱锥D1ACE 的体积 V=13?=1312?=33故选：C6已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）的离心率为 62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a为半径作圆F，圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点，则 MFN （）A45B60C90D120【分析】因为离心率e=?2?2=?+?2?2=62，所以?=22，不妨设
13、与圆F 相交的渐近线为?=?，则点 F（c，0）到直线 MN 的距离为d=|?|1+?2?2=?，所以 sinNMF=?=?=22，NMF 45 MNF，所以 MFN 180（NMF+MNF）90解：离心率e=?2?2=?+?2?2=62，?=22，由题意可知，双曲线?2?2-?2?2=1 的渐近线方程为?=?，点 F（c，0），不妨设与圆F 相交的渐近线为?=?，则点 F 到直线 MN 的距离为d=|?|1+?2?2=?，sinNMF=?=?=22，NMF 45 MNF，MFN 180（NMF+MNF）90故选：C7某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规
14、定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）现有3 位同学到食堂就餐，如果3 人在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4 个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（）A6B12C24D48【分析】根据分类计数原理即可求出解：若在2 人在 1 号餐桌，1 人在 2 号餐桌，则有C322 6种，若在 1 人在 1 号餐桌，2 人在 2 号餐桌，则有C3226 种，则共有不同的坐法6+612 种故选：B8已知函数f（x）sin（x+）（0，|?2），yf（x）的图象关于直线x=5?6对称，且与 x 轴交点的横坐标构
15、成一个公差为?2的等差数列，则函数 f（x）的导函数f（x）的一个单调减区间为（）A?12，7?12B-5?12，?12C?6，7?6D-?6，?3【分析】先根据三角函数的图象和性质求出f（x）的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论解：函数f（x）sin（x+）（0，|?2），yf（x）的图象关于直线x=5?6对称，且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为?2的等差数列，故函数的周期为2?2=2?，2故 25?6+k+?2，k Z，=-?6，f（x）sin（2x-?6）则函数 f（x）的导函数f（x）2cos（2x-?6）令 2k 2x-?62k+，可得k+?12xk+7?12
16、，故 f（x）的减区间为 k+?12，k+7?12，k Z，故选：A9如图，在边长?的等边三角形ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，O 为 ABC的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点 P，与直线DE 交于点 Q，则?的取值范围是（）A3，+）B（，3）C(-，92)D(-，92【分析】因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ 的方程，解出P，Q的坐标，即可将问题转化为直线PQ 斜率 k 的函数，求其值域即可解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC 边长为?，故高为?32=?，故：DE：y=32；O（0，1），A（0，3）所以直线PQ：ykx+1，（由对称
17、性，不妨设k0）所以由?=?+?=32得 Q（12?，32）；由?=?=?+?得 P（-1?，?）所以?=(12?，-32)，?=(-1?，-?)，所以?=-12?2+9292，特别的，当PQ x 轴时，P（0，0），Q（0，32），?=(?，-?)?(?，-32)=92故?92故选：D二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上10已知集合Ax|（x+1）（x2）0，?RBx|x 0 或 x 3，则 AB（0，2【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可解：?RBx|x0 或 x3，Bx|0 x 3，且 Ax|1x2，AB（0，2故答案为：（0，
18、211若（x2+1?）6的二项展开式中x3的系数为52，则 a2（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1 项，令x 的指数为3，求出展开式中 x3的系数，列出方程求出a解：通项Tr+1 C6r?arx123r，当 12 3r3 时，r3，所以系数为C63?a3=52，得 a2故答案为212过点(-?，?)的直线 l 与圆 x2+y2 4 相切，则直线l 在 y 轴上的截距为4【分析】根据题意，分析可得点（-?，1）在圆x2+y24 上，由圆的切线方程可得切线 l 的方程为-?x+y 4，变形分析可得答案解：根据题意，圆x2+y24，对于点（-?，1），有（-?）2+1
19、2 4，即点（-?，1）在圆 x2+y2 4 上，则切线 l 的方程为-?x+y4，变形可得y=?x+4，直线 l 在 y 轴上的截距为4；故答案为：413一袋中装有6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概率是45，则袋中白球的个数为3；从袋中任意摸出2 个球，则摸到白球的个数 X 的数学期望为1【分析】设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算 X 的各种取值对应的概率，再计算数学期望解：设袋中有白球m 个，则有黑球6m 个，设事件 A：从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球，则 P（A）1-?6-?2?62=45，?-?
20、=3，即(6-?)(5-?)21=3，解得 m3 或 m8（舍）P（X 0）1-45=15，P（X 1）=?31?31?62=35，P（X2）=45-35=15，E（X）015+135+215=1故答案为：3，114已知 ab0，则(?2+4?2)2+2(?2+4?2)+54?+1的最小值为4【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得a2+4b22?=4ab，进而可得(?2+4?2)2+2(?2+4?2)+54?+1(4?)2+2(4?)+54?+1=(4?+1)2+44?+1=（4ab+1）+44?+1，据此由基本不等式的性质分析可得（4ab+1）+44?+1的最小值，即可得答案解：根据题
21、意，ab0，则有 a2+4b22?=4ab，当且仅当a2b 时等号成立，则 原 式=(?2+4?2)2+2(?2+4?2)+54?+1(4?)2+2(4?)+54?+1=(4?+1)2+44?+1=（4ab+1）+44?+1，又由 ab 0，则 4ab+11，则有（4ab+1）+44?+12(?+?)44?+1=4，当且仅当4ab+12，即 4ab1时等号成立，综合可得：(?2+4?2)2+2(?2+4?2)+54?+1的最小值为4，当且仅当a2b=12时等号成立故答案为：415已知定义在R 上的偶函数f（x）在（，0上单调递增，且f（1）1若 f（x1）+10，则 x 的取值范围是0，2；设
22、函数?(?)=(?+?)?-?-?，?，?+?-?+?，?，若方程 f（g（x）+10 有且只有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为（，1（3，+）【分析】根据f（x）的奇偶性和单调性列不等式求出x 的范围，根据g（x）的单调性和最值，分情况讨论最值和1 的关系，从而确定a 的范围解：f（x）是偶函数，且f（x）在（，0上单调递增，f（x）在（0，+）上单调递减，且f（1）f（1）1，由 f（x 1）+1 0 可得：f（x1）f（1），1x 11，即 0 x2由 f（g（x）+10 可得 g（x）1 或 g（x）1由函数解析式可知g（x）在（，0和（0，+）上均为增函数，故当 x（，0时
23、，g（x）2a，当 x（0，+）时，g（x）a，（1）若 12a 1 a，则 g（x）1有 1 解，g（x）1 有 2 解，不符合题意；（2）2a1 a 1，此时 g（x）1 有 2 解，g（x）1 有 1 解，不符合题意；（3）若 a1，则 g（x）1 有 1 解，g（x）1 有 1 解，符合题意；（4）若 2a 1，则 g（x）1 有 1 解，g（x）1 有 1 解，符合题意；（5）若 2a 1，则 g（x）1 有 2 解，g（x）1有 1 解，不符合题意；（6）若 2a 1，则 g（x）1 有 2 解，g（x）1 有 1 解，不符合题意；综上，a1 或 2a 1，解得 a 1 或 a3故
24、答案为：0，2，（，1（3，+）三、解答题：（本大题共5 个小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 a2+c2b2+105ac（）求cosB 及 tan2B 的值；（）若b3，A=?4，求 c 的值【分析】（）由已知利用余弦定理可得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B 的值（）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而由正弦定理可得c 的值解：（）a2+c2b2+105ac，由余弦定理可得：cosB=?2
25、+?2-?22?=1010，sinB=?-?=31010，sin2B2sinBcosB=35，cos2B2cos2B1=-45，tan2B=?2?2?=-34；（）sinCsin（A+B）sin（A+B）sin（B+?4）sinBcos?4+cosBsin?4=31010 22+1010 22=2 55由正弦定理?=?，可得 c=?=325531010=2?17如图所示，平面 CDEF 平面 ABCD，且四边形ABCD 为平行四边形，DAB 45，四边形 CDEF 为直角梯形，EF DC，ED CD，AB3EF 3，EDa，AD=?（1）求证：AD BF；（）若线段CF 上存在一点M，满足 A
26、E平面 BDM，求?的值；（）若a1，求二面角DBCF 的余弦值【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD 及直线 BF 的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；（2）设?=?，根据题设数据，求出平面BDN 的一个法向量，以及直线AE 的方向向量，利用AE平面 BDM，建立关于的方程，解出即可；（3）求出平面BCF 及平面 BCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解解：（1）平面CDEF 平面 ABCD，ED CD，ED 平面 ABCD，如图，以D 为原点，DC 所在直线为y 轴，过点D 垂直于 DC 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，DAB 45，AB3EF 3，?=?，?=?
27、，A（1，1，0），B（1，2，0），C（0，3，0），E（0，0，a），F（0，1，a），?=(-?，-?，?)，?=(?，-?，?)，?=-?+?+?=?，AD EF；（2）设?=?=?(?，-?，?)=(?，-?，?)，则?=?+?=(?，?，?)+(?，-?，?)=(?，?-?，?)，设平面 BDM 的法向量为?=(?，?，?)，则?=?+?=?=(?-?)?+?=?，取 x12，则?=(?，-?，3-2?)，若AE 平 面BDM，则?=(-?，?，?)?(?，-?，3-2?)=?，即-?-?+3-2?=?，解得?=35，线段 CF 上存在一点M，满足 AE平面 BDM，此时?=35；
28、（3）设平面BCF的法向量为?=(?，?，?)，则?=(?，?，?)?(?，-?，?)=?-?=?=(?，?，?)?(?，-?，?)=-?+?=?，取 x21，则?=(?，?，?)，又平面 BCD 的一个法向量为?=(?，?，?)，|?，?|=|?2?3|?2|?3|=63，由图可知，二面角DBCF 为锐角，故二面角D BCF 的余弦值为 6318已知 F1，F2为椭圆 C：?2?2+?2?2=?(?)的左、右焦点，椭圆 C 过点 M(?，22)，且 MF2F1F2（）求椭圆C 的方程；（）经过点P（2，0）的直线交椭圆C 于 A，B 两点，若存在点Q（m，0），使得|QA|QB|（i）求实数
29、m 的取值范围：（i）若线段F1A 的垂直平分线过点Q，求实数m 的值【分析】（）由椭圆过M 点，及且MF2F1F2，可得 c1，可得 a，b 的值，求出椭圆的方程；（）（i）设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB 的中点 N 的坐标，由|QA|QB|可得直线ABQN 可得斜率之积为1，可得 m 的表达式m=2?21+2?2，进而可得 m 的范围；（ii）由题意|QF1|QA|QB|，且 F1（1，0），可得：x24mx4m0，所以 x1+x24m=8?21+2?2，x1x2 4m=8?2-21+2?2，可得8?21+2?2=-8?2-21+2?2，解得 k2=18，进而求出m的值
30、解：（）因为椭圆过M（1，22），MF2F1F2，所以?=?-?1?2+12?2=?解得：a2 2，b21，所以椭圆的方程为：?22+y2 1；（）设直线的方程为：yk（x 2），代入椭圆的方程?=?(?-?)?22+?=?，整理可得：（1+2k2）x28k2x+8k220，因为直线l 与椭圆 C 由两个交点，所以64k44（1+2k2）（8k22）0，解得 2k21；设 A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=8?21+2?2，x1x2=8?2-21+2?2，（i）设 AB 中点为 M（x0，y0），则有 x0=4?21+2?2，y0k（x02）=-2?1+2?2，当 k0 时，
31、因为|QA|QB|，QMl，kQM?k=-2?1+2?2-04?21+2?2-?k 1，解得 m=2?21+2?2，m=2?21+2?2=1-11+2?2（0，12），当 k0，可得 m0，综上所述：m 0，12）（ii）由题意|QF1|QA|QB|，且 F1（1，0），由?+?=?(?-?)?+?=(?+?)?，整理可得：x24mx4m 0，所以 x1，x2也是此方程的两个根，所以x1+x24m=8?21+2?2，x1x2 4m=8?2-21+2?2，所以8?21+2?2=2-8?21+2?2，解得 k2=18，所以 m=2?21+2?2=15所以 m 的值为1519设 an是各项都为整数的
32、等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b11，a3+b27，S5b250，n 一、选择题*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn log2b1+log2b2+log2b3+log2bn，Tn a?+?+a?+?+a?+?+?+a?+?（i）求 Tn；（ii）求证：?=?1?-?2【分析】（）设等差数列an的公差为d，等比数列 bn的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（）（i）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得cn=12n（n1），a?+?=n2n1+2i，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所
33、求和；（ii）推得1?-?=1?3-?=1(?-1)?(?+1)1?-1-1?+1，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证解：（）设等差数列an的公差为d，等比数列 bn的公比为q，由a1b11，a3+b27，S5b250，可得 1+2d+q7，5（1+2d）q50，解得 d2，q 2或 d=12，q5，由于 an是各项都为整数的等差数列，所以d2，q2，从而 an 2n1，bn2n1，n N*；（）（i）log2bnlog22n1n1，cn0+1+2+（n1）=12n（n 1），a?+?=2（?2-?2+i）1 n2n 1+2i，Tn（n2 n1+2）+（n2n1+4）+（n2n 1
34、+2n）n（n2n1）+（2+4+2n）n（n2n1）+n（n+1）n3；（ii）证明：1?-?=1?3-?=1(?-1)?(?+1)=1?+1-?-1（1(?-1)?-1?(?+1)）=1?（1?-1-1?+1）?-1+?+12，而?-1+?+12=?-1+?+1+2?2-142?+2?4=?，1?-?1?-1-1?+1，?=?1?-?=11-13+12-14+13-15+14-16+?+1?-2-1?+1?-1-1?+11+22-1?-1?+1，由于1?+1?+10，可得 1+22-1?-1?+12则?=?1?-?220（16 分）设函数f（x）=?3?-12?-?，?（）若x1 是函数
35、f（x）的一个极值点，求k 的值及 f（x）单调区间；（）设g（x）（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在 0，+）上是单调增函数，求实数 k 的取值范围；（）证明：当 p0，q0 及 mn（m，n N*）时，?+?2?-1?-?=?(-?)?-?-?-?-?-?+?2?-1?-?=?（1）i1p2n1iqi12m1【分析】（）求出函数的导数，得到关于k 的方程，求出k，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，问题转化为g（x）h（x）ln（x+1）+kx2x0 恒成立，求出 h（x）的导数，通过讨论k 的范围，求出函数h（x）的最小值，求出 k 的范围即可；（）问题转化为证明1
36、2?-1ln1+(?)?-?12?-1ln1+(?)?-?，不妨设pq0，构造函数（x）=1?ln（1+ax），（x0），其中a=?（0，1），根据函数的单调性证明即可解：（）f（x）kx2 x 1，x1是函数 f（x）的一个极值点，f（1）k110，解得：k 2，f（x）2x2x1，当 f（x）0，即 x-12或 x1 时，f（x）递增，当 f（x）0，即-12x1 时，f（x）递减，f（x）在（，-12）递增，在（-12，1）递减，在（1，+）递增；（）g（x）（x+1）ln（x+1）+?3x3-12x2x，g（x）ln（x+1）+kx2x，若 g（x）在 0，+）上是单调增函数，则g（x
37、）0 对?x 0，+）恒成立，令 h（x）ln（x+1）+kx2x，h（x）=1?+1+2kx21=?(2?+2?-1)?+1，（i）若 k 0，则 h（x）0，h（x）在 0，+）递减，h（x）h（0）0，不合题意；（ii）若 k0，由 h（x）0 解得：x0，x=1-2?2?-1，当 0k12时，1-2?2?0，x（0，1-2?2?）时，h（x）0，h（x）递减，h（x）h（0）0，不合题意，g（x）g（1）0；当 k12时，1-2?2?0，x 0，+）时，h（x）0，h（x）递增，h（x）h（0）0，即 g（x）0 对任意 x 0，+）恒成立，综上，k12时，g（x）在 0，+）是单调递
38、增函数；（）?+?2?-1?-?=?（1）i1p2m1iqi1=?+?-?=?(-?)?-?=?+?1-(-?)2?-11-(-?)=1+(?)?-?，?+?2?-1?-?=?(-?)?-?-?-?-?-?+?2?-1?-?=?（1）i1p2n1iqi12m1?1+(?)?-?2n11+(?)?-?2m1，?+(?)?-?12?-1?+(?)?-?12?-1?12?-1ln1+(?)?-?12?-1ln1+(?)?-?，不妨设 pq0，则 0?1，构造函数（x）=1?ln（1+ax），（x 0），其中a=?（0，1），（x）=?(1+?)-?(1+?)?2，由（）知ln（x+1）x-12x2，ln（ax+1）ax-12a2x，（x）?(1+?)-?-12?2?2，a（0，1），x0，lna 0，ax a2x12a2x，（x）0，（x）在（0，+）递减，0mn，02m12n1，12?-1ln 1+(?)?-?12?-1ln1+(?)?-?，故原不等式成立