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1、2021年中考数学解答题压轴题每日一题1.对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系x O y中，二次函数丫=0?+瓜+。（a,h,c为常数，且d W O）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以O P为边构造正方形O P M M则称正方形O P M N为二次函数ya+bx+c的关联正方形，称二次函数y=a?+fe v+c为正方形O P M N的关联二次函数.若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点.（1）如图，直接写出二次函数y=（x+1#-2的关联正方形O P M N顶点N的 坐 标（-2,1）或（2,-1）,并验证点N是否为伴随点 否（填 是 或”否”）：（2）当二次函数y=
2、-/+4 x+c的关联正方形O P M N的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：若关联正方形。的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：当关联正方形O P M N的顶点M是伴随点时，求关联函数y=-7+4 x+c的解析式；关联正方形O P M N被二次函数y=-/+4 x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为Si与S2,若请直接写出c的取值范围.3【分析】（1）由点尸坐标，画出正方形。P M N的大致位置，发现MN可以在OP的左右两侧，故需分类讨论.分别过点P、N作x轴长垂线段力、N B,易证B O N 9 A PO,故有8 0=%=2,B N=A O=1.根据点N在第二或第四象限
3、的位置得到点N坐标，把N的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与N的纵坐标不相等，故点N不着二次函数图象上，不是伴随点.（2）用配方法求点尸坐标，画出正方形O P M N的大致位置，由（1）可证得 B O N 9 AA P O,故有B N=O 4=2,B 0=用=|c+4|.由于点M、N在x轴的异侧，由图可知孙B N.分别讨论点P在第一象限和第四象限时P A的 长（用c表示），即得到关于c的不等式，进而求得c的取值范围.过 点M作直线以的垂线段何C,构造故有。例=以=匕+4|,P C=O A=2.若点尸在第一象限时，根据c+4 0求得用c表示点M的横纵坐标，由点M为伴随点可知点M在二次函数图
4、象上，把点M坐标代入二次函数解析式得到关于c的方程，解方程并讨论c的取值即可.若点P在第四象限，则点M在点尸上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点M,即此时M不可能为伴随点.由S WS2,可得SW 2SiE方 形O/W N.画图可知，当点P、”在x轴同侧时对称轴与O N3 4交于点。，Si=SP0D,故有工OP OOW。/3 2解得。又由A O B N可证04。2 4 2s&)B N,通 过 对 应 边 成 比 例 得 把 含c的式子代入解不等式即求得c的范围.当2点 尸、M在x轴异侧时，同理可求c的取值范围.【解答】解：(1)如 图1,过点尸作孙，x轴于点A,过点N作N 8，x轴于点2/
5、以0=NOBN=90：二次函数了=(+1)2-2顶 点 尸(-1,-2)：.PA=2,OA=l.四边形O P M N是正方形O P=ON,NPON=90：.N A O P+N B O N=NBON+NBNO=90：.Z A O P=N B N O在4台。与 A PO中ZOBN=ZPAO-=(2+1)2-2=7W -1.N(2,-1)不是伴随点故答案为：（-2,1）或（2,-1）；否.（2）过点P 作%_ L x 轴于点A,过点N作N B _ L x 轴于点2由（1）可得：fBONmXAPO？=-f+4 x+c=-(x-2)z+c+4P(2,c+4)：.BN=OA=2f BO=F=c+4i）如图
6、2,若点尸在第一象限与N位于x 轴的两侧，点M、N在x 轴的异侧.点N在第四象限，PABN c+40c+4 2解得：c-2ii）如图3,若点P 在第四象限.点N在第一象限，PABN c+4 2解得：c -6综上所述，点M、N在x 轴的异侧时，c 的取值范围为c -2.过点M 作MCVPA于点C：.ZM CPZPA0=9：.NPMC+NMPC=ZMPC+ZOfi=90：.ZPMC=ZOPA在 PC M 与 O A P中，Z PC M=Z O A P0/.XM=OA+CM2+c+4c+6,yMyp-PCc+4-2c+2：.M(c+6,c+2)点M 是伴随点，即点M 在二次函数y=-f+4 x+c
7、图象上-（c+6）2+4 （c+6）+c=c+2解得：c i=-4-（舍去），C2-4+V 2ii）如图3,若点P在第四象限，则点M在点P上方 二次函数图象开口向下.点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点综上所述，关联函数的解析式为y=-7+4X+J 5-4S|W S2,5 1+5 2=5 正 方 形 OPM N3；.S2 3 s l.,.5I+524 5I.SiW Z 正 方 形OPM N4力如图4,当点P、M在x轴同侧时（由可知c -2）,对称轴与ON交于点。：.S=SPOD=OP-OD2.XoP O D O P22 4：.ODW、O P,即 O O W 2 O N2 2,JAD/BN：./OAD/OBN.OA O D lOB：.O A O B2.2W|C+4|2解得：c 2 0或c W -8ii）如图5,当点P、M在x轴异侧时（-6 c -2）,对称轴与MN交于点E延长M C交B N于尸：.MF=OA=2.5i SPMEPMME2：.XpM-M E P M22 42 2：.MCMF2，|c+4|Wl 且 c r -4,解得：-3 且 cW-4.综上所述，SW 2S2时 c 的取值范围为cW-8 或-5WcW-3 且 cW-4 或 c20.