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1、数 字 信 号 处 理 教 程课 后 习 题 及 答 案目录第一章第二章第三章第四章第五章弟八早第七章第八章离散时间信号与系统Z变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的基本结构无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法有限长单位冲激响应(F IR)数字滤波器的设计方法数字信号处理中有限字长效应第一章离散时间信号与系统1 .直 接 计 算 下 面 两 个 序 列 的 卷 积 和*h（n）a 0 n N-（）=0其他X ()=B*o,n0,n n0请用公式表示。分析：注意卷积和公式中求和式中是哑变量加（n看作参量），结果y（“）中变量是n,00 00歹（）=Z%（加）（一加）=E （加）
2、x（加）；m=-o o m=-o o分为四步（1）翻褶（-m）,（2）移 位（），（3）相乘，（4）相加，求得一个的y（）值，如此可求得所有值的y（）；一 定要注意某些题中在的不同时间段上求和范围的不同解：y(n)=x(n)*h(n)-/x(/n)h(n m)m=-(1)当 ,x(m)h(n-m)m=-N+lm=n-N+P m=n-N+m -N+i=a p n。b j-1 ay(n)=N ann(),(a=P)aN _父a 一 0O n+-N-nQ3 w )如此题所示，因而要分段求解。2 .已知线性移不变系统的输入为x ),系统的单位抽样响应为h(n),试求系统的输出W),并画图。(l)x(n
3、)=8(n),h(n)=R5(n)(2)x()=&()，%()=&()(3)x()=b (一 2),/?()=0.5 火3 (”)(4)x()=2 (一 一 1),/?()=0.5n w()分析：如果是因果序列歹()可表示成y()=(),y(l).y(2),例如小题(2)为y()=l,2,3,3,2,1;=x(),-m)*x(n)=x(n-m);卷积和求解时，的分段处理。解：(1)y(ri)=x(n)*h(n)=R5(n)歹 5)=()*()=1,2,3,3,2,1(3)y(n)=3n-2)*0.5&()=0.5M-2R3n-2)(4)X(M)=2w(-n-l)h(n)=0.5nz/(w)T
4、1当 20 y()=o.5-，2 7二 2一 加=OO 32 L 4当“W-I y()=Z0.5-加2=主-2W =-0 0 33 ,已 知=(-”1),0 t z 0 及 n0 处递推，%=研(0)+X =0乃(2)=。为(1)+X (2)=0y()=(”-1)+西()=o/.必()=0,n Q，)向 0处递推,按%()=砒(T)+%()y2(l)=ay2(0)+x2(l)=ly2(2)=a y2()+x2(2)=aI Iy2(n)=a y2(n-i)+x2()=小/.y2(n)=an ,n)向 0处递推%(1)=仍(0)+X 3(l)=l%2)=明6 +%3出=。为=%+巧(3)=/III
5、 3 ()=号3(-1)+()=anX：.y3(n)=a ,N 1，)向 0处递推y3(-l)=(O)-x3(O)=-a-%(-2)=少内(T)-x3(-l)=-a-2III当()=!%(+1)一(+D I=一。,n ()=Z x(m)m=-oony n)=T%1()=ZM(加)m=-oon%()=小 2()=Z%2(加)w=-oona yi(n)+b y2(n)=、叼 +如 w=-conTa xx(n)+bx2(w)=Z%()+她()7=-00T血 +如 =a y(n)+by2(n)：.系统是线性系统解:r /r /、12/Y12M()=小1()二卜()卜y()=x()-%()=7卜2()=
6、昆()。必()+勿2 ()=*G)2 +如()2Ta xx()+6%2()=a xx(n)+bx2(w)2=a xx(w)2+麻2 ()+2a bxi(n)x2(n)即 Ta xx(w)+bx2()H a yx(w)+by2(w)系统不是线性系统Tx(n -m j =x(w -m)2y n-m)=%(-m)2即 Tx(n -w)=y(n m)系统是移不变的必()=/()s i n(普+)歹2()=%2(江 人 俘+寺)解：(3)y()=x()s i n 等+5)研()+勿2()=叫()$皿等+手)+法2()s i n(警+多)7.试判断以下每一系统是否是线性，(2)移不变的？Tx(n-/)=x
7、n-m)sin +彳)y(n-w)=x(n-w)sin +y j即 Tx(n-w)=yn m).系统是移不变的Taxx()+法2()=ax +g()sin(穹+手)即有 Taxxn+bx2n=ayx(n)+by2(n)系统是线性系统(1)T x()=g()x()(2)(3)=x(-o)(4)n7 x()=x(k)k=n0T x()=e)分析：注意：T x(n)=g(n)x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y(n)移位m则x(n)和g(n)均要移位m 。解：Tax()+bx2(w)=g()Q X ()+bx2(/?)=g()X ()+g(/
8、7)X bx2(/7)=aTxx(w)+hTx2(n)：.系统是线性系统。Txn m)=g(n)x(n m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)即 Tx(n-m)y(n-m)系统不是移不变的。Tx(n-m)=ex”，)y(n-m)=蜻(”加)即 T xn-m)=y(ri m：.系统是移不变的。解：(2)rx(w)=X(k)%=oT ax()+n=E 办(左)+hx2(k)k=non n=Z ax(k)+Z bx2(k)k=n k=n=aT ()+bT x2(w)系统是线性系统。nTxn-m-k=on-m=x(k)k=n Q-mn-my(n-m)=ZM%)k=n 即 Tx(n-m)yn-m)系
9、统不是移不变的。解：(3)Tx()=x(n-/0)T ax()+Z)x 2(H)=ax-w0)+hx 2n-/70)=aT x,(/?)+bT x2(w)8.以下序列是系统的单位抽样响应/()，试说明系统是否是(1)因果的，(2)稳定的？(1)n(2)()m(3)3nu(n)(4)3WW(-77)(5)0 3%(6)0.3 (一 -1)(7)3(+4)分析：Y h(n)=M注意：0!=1,已知L SI 系统的单位抽样响应，可用定性，用 h(n)=0,n 0 来判断因果性。00来判断稳解：(1)当 0时，()=0,是因果的。()1=亲+5+.n o o不稳定。(2)当 0时,hn =0,是因果的
10、。0!1!2!一 1 1=1 +1 +-+-+.2打 3*2*1t t1 1 1 )2 4 8.,稳定。(3)当 00“=-0 0 不稳定。(4)当 n 0时,h(n)*0,是非因果的。8QE ()l=30+3一|+3 -2+,=M =-CO2/.稳定。(5)当 0时，/?()=0,.系统是因果的。Jl/?()1 =0.3 +0.3 +0.32+.=-oo7 系统是稳定的。(6)当 0时，()X0系统是非因果的。8工1 ()1 =Of +0.3-2+=8w=-oo系统不稳定。(7)当 0时，(拉)w 0 系统是非因果的。00Z h(n)1=1n =-oo系统稳定。9.列出下图系统的差分方程,并
11、按初始条件y()=0,0,求输入为x()=()时的输出序列y()，并画图表示。分析：“信号与系统”课中已学过双边Z变换，此题先写出H(z)然后利用Z反变换(利用移位定理)在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求解 注意输入为u (n)。解：系统的等效信号流图为:则由梅逊公式可得:也=1+,ZX(z)44 y()-1)=4 x()+4 x(-1)y(n)=y(n-1)+x(n)+x(w -1)y(0)=(y(-i)+x(0)+x(-i)=i刈=，(0)+x+x(0)=2+/M 2)=|y(l)+x(2)+x(l)=2(l+5)+)2J(3)=1 X 2)+X(3)+X(2)=2(1
12、+%/)+(犷y()=-1)+x()+x(-1)10.设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定、()-g V(-1)=x()+g X(-1)设系统是因果性的。试求：(a)该系统的单位抽样响应；(b)由(a)的结果，利用卷积和求输入x()=ej e%()的响应。分析：小题(a)可用迭代法求解小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。解：y()一 (T)=x()+y X(M -1)(t z)x(n)=8 n y(n)=h(n)=0(A?0)(0)=1 y(-l)+x(0)+1 x(-l)=l/?(l)=1(0)+x(l)+1 x(0)=1+1=12 2/7(2)=ly(l)+x(2)+
13、lx(l)=lA(3)=1X2)+X(3)+1X(2)=(1)2hn)=；y(T)+X(M)+X(M-1)吗 匚()=(”(-1)+3()S)y(n)=x(n)*h(n)=)“w(w-1)+ejmu(rT)=(4)”=J g)0M7 e 网%Q-1)+e ()m=l 2le-7 _ l(l)e-Xw+l)=2eJC!)-un-1)/(-I)_(1)%-%=-u(n-1)+e,”u(n)eim _(!)=-un-1)4-ei(onu(ji)_ 1211.有一理想抽样系统，抽样频率为0,=6%,抽样后经理 想 低 通 滤 波 器 还 凰 其 中：|0|3兀今有两个输入“=cos 2乃7,%,（/）
14、=cos 5万/,问输出信号打,外2有无失真？为什么？分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率（工）必须大于最高信号频率（工）的 2 倍，即满足工2人。解：根据奈奎斯特定理可知：,.X (r)=cos 2 /,频谱中最高频率。0 =2 乃 华=3 112yai无失真。/xa/r)=cos 5 r,频谱中最高频率。“，=5 万萼=3 4瓦失真。1 2 .已知一个线性时不变系 统的 单位抽样响应 力()除了区间 N W W 之外皆为零；又已知输入信号 x()除了区间 N2 n N 3之外皆为零；如果假设输出信号 y(n)除区间 N 4 W n W N$之外 皆为零，试以 N 0,N
15、、，N z,N 3表 示 N 4,N 5 oy()=y x(m)h(n -m),”，分析：由于 ，可知x()的非零范围为h(n-m)的非零范围为NO4?NI。解：按照题意，在 区 间 之 外 单 位 抽 样 响 应 加 )皆 为 零；在区间M O W%之 外 输 入 x()皆 为 零，因此 j()=工 工(优)人(一 加)，由x(m )的非零空间为mN 2 m N 3 一机)的非零空间为-m&N 将两不等式相加可得：N o+M+忆，在此区间之外，h(n-k)和 x(幻的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间刈 4%5 之外皆为零，所以有：=NQ+N2 N$=N+N31 3.一
16、个具有下列有限长单 位 抽 样 响 应 (“)的系统：力5)=0,0或2 ,(0),请证明：如 果1%()隆8,则输出的界N-1值 为I y()隆3三|力(左)I,同时请证明|歹(冏)|可能达到这个k=0界值，即 寻 找 一 个 满 足I%(“)隆8的 序 列 了()，使歹()对N-1某些 n 值有 I y(n)1=B I h(k)I。攵 二 oN-分析：题中要求某些 值使|歹()|=(左)|，最 方 便 的 是 =0时k=0N-N-满 足 仅(0)|=阿左)|,进一步看只要 近0)=8乏(左)|满足即可k=0 k=0由卷积和公式有也就是要求满足N-1歹(0)=E h(k)x(-k),即要求
17、x(-左)=左=06*(左)8守可，当 心 )。x(n)=h-n)0 ，当。(一 )=()证明：由于题中给出力()=0 ,(0 ,N 0因此，可以把y()写成N-y()=h(k)x(-k),而k=0/V-lI y()l (I h(k)I-I x(n 一 4)I),k=0若I x(-k)l B则输出的界值N-，为达到这个界值我们k=0凑一个序列h*(-n)-Dx(r i)-I h(-n)I,h(-n)w 00,。(一 )=0NT于 是 y()=z 力 伏)k=0hk-n)-DI h(k-n)I因 此 3器N-1吃1 IA=0第二章 Z 变换1.求以下序列的Z变换，并画出零极点图和收敛域。(1)x
18、()=)(la 11)(5)x(n)=wsin(d)ow),z?0(g 为常数)(6)X(H)=Arn cos(on 4-(P)u(n),0 r 1分析：Z x()=X(z)=x()z-Z变换定义n的取值是x()的有值范围。Z变换的收敛域是满足|x()z =M 同?=Ya zn +Yazn=-oo w=-oo n=0CO00=/a n z n+,X/1 _ 一 ja zn=n=0az 1 1 -a2_ I _=_I-az _ (1 一 z)(l-az)z(6/2-l)ZQ(Z-)(z-a)收敛域：|同1,且目1即:|a|z|p|极点为：z=a,z=-零点为：z=0,z=00a解：（2）由z变换
19、的定义可知:x(z)=w=-o o-M()z8 1M=0 乙(2)x()=出12I ()收敛域:1 即：2z1Z=2极点为:零点为：z=0(3)x(w)=-u(-n -1)2；解：（3）X(z)=f =y0 2 200r y-2nzn=-士 2z1 J1 z2收敛域：2 z|1)n00 1 _解：(4)X(z)=Z 丁一81=(-z-w-,)=，l z l ln=Z-Z.d X(z)1 .“a-=Z -DzdzX(z)-l n z-l n(l -z)因为X(z)的收敛域和更巨的收敛域相同，dz故X(z)的收敛域为l z ll。极点为：2=0,2=1零点为：Z =00(5)x()=n s i n
20、 a jn,n 0(g为常数)解：(5)设 y()=s i n(g)()则有 Y(z)=胴)/-=z：s i n g ,|z|i:l-2z c o s g+z而 x(w)=n y(n)d z-i(l-z-2)s i n g.X(z)=-z-y(z)=-:-77-,Iz l 1dz(l-2z c o s t w0+z )-因此，收敛域为：|z|l极点为：z =e M,z =e-*。(极点为二阶)零点为：Z =l,Z =-l,Z =0,Z=8(6)x()=A r c o s(6 90w +)w(w),0 r l-2 z 1 co sg +z 2则y(z)的收敛域为z 1 而x(w)=Arnyn).
21、x(z)=N.r()=叫 zf(力r 1 -2z rcos1川。2 .假如x()的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。分析：有限长序列的收敛域为：()目 8 ,巧A%特殊情况有：000|z|,2 0右边序列的收敛域为：Rx_|z|W|因果序列的收敛域为：&_ 忖 8 ,N0左边序列的收敛域为：0 忖&+，nn2特殊情况有：zRx+,MM2 0双边序列的收敛域为：目&+有三种收敛域：圆内、圆外、环状(=0,Z=8 要单独讨论)解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得(i-z-x i +-z-1)X(Z)=-j2j23(1+：Z-2)(+：Z-I)(+；ZT)4 2 41 -
22、Z-1_23(1+-JZ-|)(1-2JZ-)(1+1 Z-)X(Z)的 零 点 为：1/2,极 点 为：j/2,-j/2,-3/4X(Z)的收敛域为：(1)l/2 IZ I 3/4,为双边序列，请 看 图形一(2)I Z I 3/4,为右边序列，请 看 图形三3.用长除法，留数定理，部分分式法求以下X(z)的z反变换(3)J f(z)=-p,|z|-1 -a z a分析：长除法：对右边序列(包括因果序列)(z)的分子、分母都要按Z的降基排列，对左边序列(包括反因果序列)(z)的分子、分母都要按Z 的升基排列。部分分式法：若 x(z)用 z的正幕表示，则按乃写成部分分式，然后求各极点的留数，最
23、后利用已知变换关系求Z 反变换可得X(7?)o留数定理法：注意留数表示是Re y(X(z)z T)|_ =(z-z 4.)X(z)z Tlz=zk z=:zk因而X(z)z T的表达式中也要化成l/(z-z Q的形式才能相抵消，不能用1/(1-Z*z T)来 和(z-z P 相抵消，这是常出现的错误。(2)用围线内极点留数时不必取“-”号(负 号)，用围线外极点留数 时 要 取 号(负 号)。(1)(i)长除法:极 点 为 z =-1/2,而收敛域为：l z l l/2,因而知x()为因果序列，所以分子分母要按降事排列(1)(ii)留数定理法：%()=g 内的逆时针方向闭合曲线：当 2 0 0
24、寸，=yz在 C 内有1+N z+42Z=-一.个单极点2则 x(n)=Res,w02由于x()是因果序列,故 !所以=(2)(i).长除法：由于极点为z=，而收敛域为|Z|14 4因 而 x()是左边序列，所以要按z 的升幕排列:8+28z+112z 7z7z 28z?28z228Z2 -X(z)=8+28z+112z2+.=8+7-4-znn=-I=8+7-4-z-M=00所以 x()=8-b()+7(；)-H(-1)(2)(ii)留数定理法：x(n)=-j x(z)zn-dz设 c 为|z|i,内的逆时针方向闭合曲线当 W 0 时：X(z)zl在C外有一个单极点z=，./()=-Re s
25、X(z)zT Z-4=7(!),()时：X(Z)z T在 C内无极点则:x(n)=0,w 0综上所述，有：x()=8sS)+7(-)nw(-w-1)4(2)(iii),部分分式法：X(z)_ z-2 _8-7Z/1 Z 1z，)z-R77 7贝 U X(z)=8 =8-Z-1-4Z4因为目 日可知，x()为因果序列，因 而 要 按Z的降累排列：1 1 /1、T 1 /1、-2-1 (Q)z d-(a)z+a a a er a-QZ+1)Z-Q1Z-q一(/Q1)、a一 /Q-1-)、H-J-/U-1-)、ZTa a a1/1 X -1 i X -2-yd-)z H (a-)za a a1 ai
26、%i f 1 A则 X(z)=-F(。-)一.Za M=,a a所以x(n)=-S()+(a-)w(n-l)(3)(ii).留数定理法：X(H)=(X(z)zndz,设 c 为目“J内的逆时针方向闭合曲线。当 M 0 时：X(z)z T在 C 内有Z =一个单极点ax()=Re s X(z)z 叱 z-,(0)当 =0时：X(z)z T 在C 内有z =O,z =L两个单极点x(0)=Re.v x(z)zn-1.=l +Re s x(z)z L oa-当 o 时：由于x()是因果序列，此 时 x()=0。所以X(M)=-8ri)+a-)f 1 -Z/(M-1)a a ya)(3)(iii).部
27、分分式法：X(N)z a a 1 -a1-=-=-1-z z(l -az)z 1-az贝(J X(z)=a+(a )-a所以x(r t)=(-7)+(-)I I.()a a J-+(a -)-f-w(-1)a a a)4.有一右边 序 列x()，其z变换为X(z)=1一 -(i-l r X i-r1)(a)将上式作部分分式展开(用Z-I表示)，由展开式求x()0(b)将上式表示成z的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式 求x()，并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出x(/?)应该是相同的。解：(a)因为X(z)=+-12且x(n)是右边序列所以 x()=(2
28、 g(b)X(z)=p(z-)(z-l)3 1z =1 4-2 2(z-1)(z-l)1z-1 z-12-z1)()(1 Yf则 x()=0 时x()=0,问相应的定理是什么？7 1 9 .X(z)=&24-1 -z-1+z2讨论i个序列X(),其 Z变换为:X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。分 析：这道题讨论如何山双边序列Z 变换X(z)来求序列初值x(0),把序列分成因果序列和反因果序列两部分,它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的,将它们各自的x(0)相加即得所求。解:当 序 列 满 足”0,如)=0 时，有：oX(z)=x(n)z n=-=x(0)+x(l)z +x(2
29、)z2+.所以此时有：l i m X(z)=x(O)Z T O若序列x()的z变换为：7 1 9 z T 7 z 2-1 9-1 2 2 4 _ 1 2 2 41-y5 Z-1.+Z-92(Z -2)(Z-z Z-4-(-z-2-)-+-*-1-x =X 1(z)+X2(z)23 (z-)2/.X(Z)的极点为 Z =2,Z2=y由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：1|z|.=0Z TO Z-0 4(z 2)x2(0)=l i m X2(z)=l i m-=z、(z )32x(0)=X (0)+x2(0)=g6.有一信号y(),它与另两个信号X|()和 2()的关系是：y(
30、n)=%(+3)*x2(-+1)其中已知利用z 变 换 性 质 求 y()的 z 变 换 Y(z)。分析：(1)注意移位定理：X(M)-X(z)x(-n)X(z-)x(n +m)z X(z)x(-n +m)zmX(z)(2)y(n)=X()*x2 r i)则 Y(z)=X(z)X2(z)解：根据题目所给条件可得：7 1 z-：-x2(w)1 z-1 1-21=%,(?+3)-：-H -1 1 2z1、z zx2(-n +l)l-z3目 3而 y()=%)(+3)*x2(-n+1)所以 y(z)=Z x|(+3)-Z x 2(+l)(z-3)(z-)7.求以下序列x(”)的频谱X(e，3)。(1
31、)演 一 0)(2)eanun(3)(4)c o s(g)分析：可以先求序列的Z变换X(z)再求频率X)X(e，3)=X(z)|z=即 X(e，3)为单位圆上的z变换，或者直接求序列的傅里叶变换X(e )=Z x ()e 一 w解：对题中所给的x()先进行z变换再求频谱得：(1),/A-(z)=Z x(w)=Z b(-o).X(*)=X(z)l“(2)=X(z)=z b()=x(z)i=-e-ae-jco(3)=X(z)=z b(a+，()1-1-e-(+;o)z-lX(十)=X(z)I-I一 _ e-a._/3+g)(4)X(z)=ze-aHw(/7)cos(6y0w)_ -Zea COS6
32、901i -2cz -I e-a cos co.-2-2a0+z e.x(3)=x(z)L i_ 1 -ei(aea cos 0 0 1 -2e-j(0e-a cos coa+e-e 208.若X|(),X2()是 因 果 稳 定 序 列，求 证：-X|(/)X,(e 闻”/=JXSei adco-X2(eJ a)dco2万J-乃 L T C 2万J-兀分 析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解再(“)*%()=:X I(e)X?(ew)e d o而 X|()*七()|=0=勺()*2()=4 Xi )占()而，2乃*再利用王()、9()的傅里叶反变换，代入=0即可得所需结果。证 明：设 y
33、()=/()*七()则y(z)=X|(z)X2(z)丫(。)=乂(/0)丫2(。0)f 乂(/“)丫，(/)/初加刃2%=J()=xl(n)*x2(n)/.一乂(/。/2(/3)1 02冗U=X1(W)*X2(M)I=0n=x(k)x2(n-k)-k=0 n=0=X 1 (0)-x2(0),.*()=f M(e )ejandco2汽J 万x2(n)=-L r x2(eja,)ej,onda)21”：.xl(0)=y-xi(eya，W工 2(0)=2 丫2(63)”口乂（/3）丫2（/3）1 0；乂 c：（町 暧）刎X*/C 4 w Z If9.求x（）=&（）的傅里叶变换。分析：这道题利用傅里
34、口 I变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解：根据傅里口卜变换的概念可得：N-X(e 勺=07 F T&N()=3nn=0jf iN-心3孔-心。_ e W N 2 八-e 21 e-J；。j,7,e 2 e 1-e 13手2Jujk为 整 数Nco=2k 兀.当口。2左;时，a r g X(e)=-(卜 +屐 Isin%)/s i n (%)=_%1)+G，存 W o 等(+1)当N =5时，即可得到所需的 X(ej a)|和a r g X ej 0。1 0.设X(e%)是如下图所示的x()信号的傅里叶变换，不必求出X(eJfa),试完成下列计算：(a)X(eJ0)(b)X(
35、e j*da)J-兀出 2(C)0不/3)如(d)J二 爷P d(D分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式|x(e jm)|d o =。乙 冗 w=-o o解：00 00(a)X(/)=Z x()e-/=n=-(6)f X ej,o)dco=r X(e L 冗J-/r=2 x(0)=4TT(c)由帕塞瓦尔公式可得:打(叫 0=2乃 .=00(d)：Xei 1 (-I2W=-OOoo=2 必 n=x=2(9 +1 +0+1 +9 +64 +2 5 +0+4 9)=3 1 6%1 1.已知x()有 傅 里 叶 变 换X(3),用X(e，。)表示下列信号的傅 里 叶 变 换。/、/、
36、Z 1 、/,、心 /、x*(f)+x()(a)X,(M)=x(l-)+x(-l-w)(b)x3()=-(c)()=(-1尸 x()分 析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。x(n)X(ej(o),x(-n)=Xej0)x(m-n)e j(0mX(e-j0),-J:-=DTFTnxny。aco解：(a)DTFTx(n)=X(ej a,)DTFTx(-n)-X(e-j a,)DTFTx(-)=e-JaX(e-j a,)DTFTx(-l-)=V X-。)Z)7 F“X i()=X(e-j a,+e川=2 X(/，c o s g(b)O 7 F T x*()=X*(e)因而：DTF
37、Tx2(n)=X*(e，3)+X 3)2=R e X(e3)(c)X(e)=x()e-wn=-dX 3)dVco 2 Zj aco+X(e)1 2.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统()=V(-1)+(-2)+x(n-1)(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域;(b)求此系统的单位抽样响应；(c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。分析：x()X(z),/()H(z),y(n)Y(z)则 H(z)=y(z)/X(z)=Z g(),要求收敛域必须知道零点、极 点。收敛域为Z 平面某个圆以外，则为因果系统(不一定稳定
38、)，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统(不一定因果)。(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：Y(z)=z-Y(z)+Z-2Y(Z)+z-X(z)所以(z)y(z)x(z)z l-z-z-2z(z-a,Xz-Oj)零点为z=0,极点为z =4=0.5(l +6)=L 6 2z =8 z=a2=0.5(l -V5)=-0.6 2因为是因果系统，所以l z l 1.6 2 是其收敛区域。零极点图如右图所示。右边是本题的零极点图。(6)因为 H(Z)=-=!-三-(z-ax)(z -a2)ax-a2 _ z-ax z-a21 r _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _
39、-a2 1 -az1 1 -a2z11CO 001 X-,n n X-n -=-z%z -a2 za -a2 L =o =o所以/7()=!%一。2式中 a=1.6 2 ,a2-0.6 2由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。(C)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选“(Z)的收 敛 区 域 为|。2卜目%，即 0.6 2 目1.6 2,则中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以 H(z)=Ya inz-n-f a2nz-n%一。2 I.M-则有/?(“)=-(qj w(-1)+a2()=-0.447 x(1.62)-1)+(-0.62)()从结果
40、可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。13.研究一个输入为x()和输出为歹()的时域线性离散移不变系统，已知它满足+=并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析:在 Z 变换域中求出R )=卜(，)X(，)，然后和题12 (c)一样分解成部分分式分别求 Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：Z-1 y(z)-y Y(z)+zY(z)=X(z)(z_3)(z_p极点为 Z =3,z?=；,为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取l/3 l z l 2 z 2零极点图二：21z()(2)同样按12 题，当收敛区域为；目 2则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：h n=-1
41、)+z u(nZ2 Z2 1V=-2 u(-n-1)+I w(/7)(I z2 l l z l l Z j I)(其中 4=2 Z2-i)(3)z X()2r y(n-1)c o s 3+r2y(n -2)=/()将上式进行Z变换，得：Y(z)-2 r z-1y(z)c o s 0+r2z2Y(z)_1 _1-a z 因此y(z)=(1-2r z c o s 6+r2z-2)(1-(?z -|)1(1 _ r e z t )(r e-z t )(a z t )00 00 00/n=()/=0 k=bk-(l+m +k)t vk)e q k z-nn=01=0k=0所 以y(n)=g r，L“(
42、”-2 一)/=0 k=0解法二：差分方程进行Z变换后得：1 -2r z c o s 6+r2z(z-z,)(z-z2)其中 Z|=r eJt -r(c o s 6 +/s i n O)z2=r e j e=r(c o s 0-j s i n O)故 y（z）=（z）x（z）（z-Z|）（z-Z 2）（z-a）其收敛区域为目m a x H d l。因为是因果系统，且当 0时x（）等于零，所 以，（）=。，时，采用围线积分法，其中围线C包围Z”Z 2，。三个极点，所以加./=汩噫家喝二尸)将4 =1*2=比-代入上式，即可得到M”)16.下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程,求系统函
43、数。当 为=0 5,“T，q=0-5 时，求系统单位冲激响应，画出系统零极点图和频率响应曲线。分析：解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零,可得一阶差分方程，取 Z变换求得H (z)从而求得h (n)o解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序(线性系统服从交换定理)，然后写出差分方程，再取Z变换求 得 H (z)从而求得h (n)o解法一:由图示可得%1 ()=x()+。匹(n -1).(一)二如；1 5)+6 内(n-1)则 y(n)+ky(n-l)=b xx(w)+Z?j X j (w-l)+kb/、(H-1)+kbX(n -2)=bQx(n)+(a
44、M o+a+kb0)xl(n-1)+肋 再(-2)=%x()+(q%+b+&%)%(一 1)+a(qb o+kb()X j(n-2)+kbix(n -2)由方框图可看出：差分方程应该是一阶的所以。瓦+。也+ka/o+kb、=0=k=_%则有M)-D =4x()+(atb0+bt-afy)x(n-1)=6()x()+bxx(n 1)即 K(z)(l-a,z-)=(b0+btz-)X(z)所 以“.)=迫=。+*：X 1-QZT当 瓦=0.5,“=1,%=0.5 时：H(z)=d+*：=S 5 +z；1-axz 1 -0.5z0.5 z-1-0.5Z1 +l-0.5 z-1因为此系统是一个因果稳定
45、系统；所以其收敛域为|z|0.5n ()=0.5(0.5)“(”)+(0.5)”T“(-1)解法二：将图P2-11画成流图结构，并化简如下:由于线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而上图又可化成：由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程：y(n)=a1y(n-1)+box(n)+b1x(n-1)取z变换可得:y(z)(l-a/T)=(d+%z T)X(z)所以“(z)=4 =4+4z：X(z)l-a,z-1将6。=0.5,6 =1吗=0.5代入,可得:、0.5+z-1 1 +0.5 zH(z)=-=-l-0.5 z-1 z-0.5H(z)_ l +0.5 z _ A Bz z(z-0.5)z
46、 z-0.5 其中4 =2,8 =2.5因而 H(z)=-2 +,l z l 0.5z 0.5(由于系统是因果稳定的)所以 h(n)=一 2 6()+2.5 x (0.5)()1 7.设()是一离散时间信号，其z变换为X(Z),对下列信号利用X(z)求它们的z变换：(a)匹()二 5),这里记作一次差分算子，定义为：x()=x(n)-x(n-1)X(y),为偶数也)%()=。，为奇数八%5)=%(2”)(C)分析：%()式序列的抽取序列，3()是内插零值序列(不是内插序列)，解题的关键是要进行变量变换，以得到与x()的z变换相似的表达式。解：Z Ax(w)=Z x(w)-Z x(n-I)=X(
47、z)-z xX(z)=(1 -z 1)Xi z)(b)Z x 2()=En=even 1乙),令m=上 则2上 式=x(加)Z.2 m=X(z2)/M=-O 03m/、令 2 =2 同 Y(z)=Z x(2 )z -=Z (m)z 2(c)J =y m =even 由此可设1 r00 x(m)=1 +(-l)m x(w)则：y(z)=乙m=-1 00 一%1 8 (I m 1 1=-x(m)z 2+-x(w)-z2=-X(z2)+X (-z2)乙 w=-o o 乙 j=-o o I J 乙-l +(-l)m x(m)-z 2第三章离散傅立叶变换1.如 下 图，序 列x(n)是 周 期 为6的
48、周 期 性 序 列，试 求 其 傅 立 叶 级 数 的 系 数。5 5 2冗 位解：文伏)=2以/针=6w=0 =0_/孕女-连 2k-j*k -连 4k-j绊 5k=1 4 +1 2 e 6+1 0 e 6 +8 e 6 +6 e 6+We 6计 算 求 得：齐(0)=60;齐=9一/3 6;文(2)=3+j 6发(3)=0;斤(4)=3-/方；斤=9+/3 6。2.曲()=&()，x(w)=x(w)6.试求身(左)并作图表示亍(),角(女)。5 5 /2乃 成解：下(左)=Z 以)e 6=0 =0T%k-笠k _ ：成=l+e 3 +e 3 +e，计算求得:文(0)=4;却)=-/亚 道2
49、)=1;文(3)=0;又(4)=1 ;X(5)=7A/3O、江 +1,0 /7 43.设x()=力 管-厢 R,v(行n=0 n=01 _ ”“部 _ 仇1一”出+1_/K 时 _ 产赵 B N1 e 2 .s in(竽)-q-2 -y-(A：+f l 70)Ji 1e 2N s in(一+%)N 2 e 2 s in(吸)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 _ _ _ _ _ _ _ e，%)s in(9 _ go o)5 试求以下有限长序列的N点。口(闭合形式表达式)(1)x(n)=Z(CO S690)J?V(w)(2)x(n)=a R/n)(3)x(n)=S(n
50、-n0),0 n0 N(4)x(n)=研v X()=2RN()解：(1)x()=a(co s g)R N()X(k)N-1 _/四成=Za(co s g)e；v R-k)H=0=1 Z(-ej co(。.n +ej(of。j i)e 一/专A，力”R,Nkk|_=0 _=J 和 叫+帝”KN_/?=0=0 _i 1 _ pT oN 1 _ p N=Q-5-1-5-RN 也)2 -j(弋 k+a)o)1 T(y k 8o)_-e N l-e 丹皿e 2=r.1 /4，、e 2(N熄+4)s i n”./兀 7 1 、s in(k+g)N 2 00”Are 2 s in(；)业 率 0。)/%7