数字信号处理练习题及答案.pdf

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1、数字信号处理练习题及答案第一章数字信号处理概述简答题：1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器,它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一-定时:采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。判断说明题：2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3.一个模

2、拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1.过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从x到y的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a）如果必 ）截止于力/8 r

3、,l/T =1 0攵H z,求整个系统的截止频率。（b）对于l/T =2 0 k”z,重 复6）的计算。解(a)因为当网之/8%/时(e )=。，在 数 一 模变换中 )=11g)*X“曙)所以人5)得截止频率3c=兀怙对应于模拟信号的角频率5为因此。=3 =工=6 2 5 a2 兀 1 6 T由于最后一级的低通滤波器的截止频率为工，因此对二没有影响，故整个系T 8 T统的截止频率由决定，是6 2 5 Hz。(b)采用同样的方法求得1/T =2 0 k Hz,整个系统的截止频率为fcc=1 2 5 0/7 z1 6 T二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1.设序列“()的傅氏变换为X(e“)

4、,试求下列序列的傅里叶变换。(1)-2)(2)*()(共辄)解：(1)x(2n)由序列傅氏变换公式c oD TFT%()=X(e M=ix(n)e jaM=-00可以得到D T F T j c(2n)=x(2n)e in(o=x(n)e n=-oo 为偶数=X /()+(T)x()e =-00 乙乙=-00 乙 n=f1 j 1 y(+-)=-X(e 2)+-X(e 2)2 21 产 产=-X(e 2)+X(-e 2)(2)%*()(共腕)8 8解：D TFT%*（）=Z =Z%（）e *=X *（0一）n=-o=-82.计算下列各信号的傅里叶变换。(a)2讥甸(c)凯4-2 (d)0解：(a

5、)X(o)=2 “e T5=工 27-加/=-oo1 e2n=-cc(b)8 1X(G)=Z(a)%m+2 e-Mn=oon=-吁 2/3(-2)=6j2 s产一 i14nt=0(c)X(a)=ZM 此一向二Z 况 4 2 9=2/“=-oon=-oo1(d)00 1戈3)=X(与嘎=o 2-1=1.1 _ Q-W+1 .,l-eja,22利用频率微分特性，可得Y，小 i戒()A 3)=-Jda)1e2js121+-e-J(021(1,6 5)223 .序列x()的傅里叶变换为X(“)，求下列各序列的傅里叶变换。(1)x*(一 )(2)Re x()(3)解：(1)fx*(f)川”=口(一“=X

6、*(*)=-oo n=-oo(2)Re x()e f =；()+/()刖=+X*(e#)n=-o n=-oc 乙 乙 二(x(,、)e5 v 1-d-x-W-e-jH-n-=_/.丁 d ._jmi=j.-dX-(-eiK)，一 J dw dw n=_x dw4 .序列M)的傅里叶变换为X(e ),求下列各序列的傅里叶变换。(1)*()(2)(3)/(“)解：(1)Z x*()e T=Z E S)/)*=2式)-5*=X*(e f)；J=-oC/!=-/=；x(*)_x*(/)(3)Y x2(n)e-Jm,=X(ei e)dd x(n)e-0)n=-oo=_oo _ 2乃 n n=o o12

7、4及X(ej0)X(ej(w-0)d0275.令x()和X )表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(e )表示下面各序列的傅立叶变换。(1)g()=x(2)x(/2)0(2)g()=为偶数为奇数解：(1)G(*)=g=x(2)e*=.双女)丁=-0 n=O C k=-8k为偶数=；M)+(T)X/)厂建Jt=-O0 乙i a-jk-i a-jk-=ZHk)e 2+不 Z x(k)(*)e 2N k=-/k=-oo=-1 X(e J2-)+-1 x(k)e 22 2&=_2)H=-CO r=-co r=-006.设序列x()傅立叶变换为X(”)，求下列序列的傅立叶变换。(1)(2)x(一 。)。为

8、任意实整数(/2)”为偶数8 I 0 为奇数(3)%(2)解：X(d)”。M%)/()=I 0(3)2 )c X(J%)n为偶数n为奇数c X(e )7.计算下列各信号的傅立叶变换。(-)(+3)-(-2)(1)2,c os(18/0+s i n(2)(2)zQx/、Jc os C)l n 一加=：(X(e /)+X *(e T3)=X,(e w)oo oo乙 乙 x o()e-J3=：(x()一 x*()1-M=_/Imx(eW)00乙-00三、离散时间系统系统函数填空题：1.设H是线性相位F IR系统，已知“中的3个零点分别为1,0.8,1+j,该系统阶数至少为()。解：由线性相位系统零点

9、的特性可知，z=l的零点可单独出现，z=0.8的零点需成对出现，z=l+)的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。简答题：2.何谓最小相位系统？最 小 相 位 系 统 的 系 统 函 数 有 何 特 点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式MH(Z)=T-，他的所有极点都应在单位圆内，即|巴卜1。Q(z)1.叱2=】但零点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z)=J/。”、也是稳定因果的。这就需要(Z)的零点也位于单位圆内，即 夕Y 1。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义

10、。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值|(一)|唯一确定。从小 求”(Z)的过程如下：给 定,个，先求卜T，它是cosOM的函数。然后，用g(Z+Z)替代cosOM，我们得到G(Z)=(Z)”(ZT)。最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即”(Z)=11nli(z)w(z)完成这个因式分解的过程如下：首先，把(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共腕倒数点，这样形成的系统函数“mm(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器”W，

11、(Z)，把与之对应的mi n(Z)中的零点映射回单位圆外。3.何谓全通系统？全通系统的系统函数”即(Z)有何特点？解：个稳定的因果全通系统，其系统函数H 3(Z)对应的傅里叶变换幅值忖(e”)卜1,该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共腕倒数对出现，即Mp(7 N 7T _ zy*H.p(Z)=号=T=。因而，如果在z =%处有一个极点,(Z)k=l则在其共腕倒数点z =%：处必须有一个零点。4.有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系 统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。4）-（）-A h（n）-解：频率响应：（e ）=Z系统函数：”(Z)=(

12、N)Z-差分方程:卷积关系:00y(n)=()*x(n)-0 0第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1.如果宣）是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2 N 的周期序列。把宜）看作周期为N 的周期序列有（”）一 我 （周期为N）；把宜）看作周期为2 N 的周期序列有工 一 见 （周期为2 N）；试 用 用 表 示.2（左）。N-l N-l-j-kn解：（攵）=2#5）/。=21（”州 N=0 n=02N-1 Nl -i-n 2N-1 产 卜 门元（%）=ZM（）卬弁=Z 置）e N 2 +ZM（止 N2n=0=0 n=N对后一项令n=n-N ,则用伏）=N-工（%一 乏 V”N

13、-l _包七N 2+（，+N）e 2 1n=0=0N-l-i-n=（l +e-M）ZH（）e N2n=0=(l +e-)X(1)由z 1文也）k为偶数所以X?（k）=2X 4）0 k为奇数二、离散傅立叶变换定义填空题N-12.某 D F T的表达式是X（/）=Zx（A）W j ,则变换后数字频域上相邻两个频率样攵=0点之间的间隔是（）。解:2T T/MN-l3 .某序列I D F T的表达式是X（/）=Zx（叱J，由此可看出，该序列的时域长度是k=0（）,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）o解：N 2/M4 .如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（）解：纯实数

14、、偶对称5 .采样频率为工 z 的数字系统中，系统函数表达式中不1 代表的物理意义是（），其中时域数字序列x（）的序号代表的样值实际位置是（）;其 ）的N 点D F T X（A）中，序号上代表的样值实际位置又是（）。解：延时一个采样周期T =1/，=/尸，叫 二下卜6 .用8 kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了5 1 2 点的D F T。则频域抽样点之间的频率间隔旷 为，数字角频率间隔Aw为 和模拟角频率间隔公。o解：1 5.6 2 5,0.0 1 2 3 r ad,9 8.4 r ad/s判断说明题：7 .一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做D F

15、 T 对它进行分析。（）解：错。如果序列是有限长的，就能做D F T 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8 .令*（幻表示N 点的序列N ）的N 点离散傅里叶变换，X（6 本身也是一个N点的序列。如果计算X（z）的离散傅里叶变换得到一序列吊（），试用M）求占（）。N-I N-N-解：*（）=Zx伏）w/=z%=2 （）ZWk=O k=O L=0 J nf=O k=0因为N-l 叫(+心=k=0所以N0n+n=Nl其他N-lX|(n)=Z Nx(-n+Nl)=Nx(-)*RN 9.序列()=U，0。,其4 点D F/如下图所示。现将X(“)按下列(1),(2),y

16、t()=，(3)的方法扩展成8点，求它们8点的D FT?(尽量利用DFT 的特性)(1)(2)(3)x()x(n-4)解:为()=x()0为()=*)匕(2&)=2X(。匕(2 4+1)=0 二0 3 二4 7 二0 3 =4 7=偶数n=奇数0 k3(2)y 2(A j=x(9 =x M=2k,Qk 7,()k3(3)均依)=X(优)4=X(k)0 )7,0 k 丁)“M=1十,+舒R J k M-N R J k)所以-NX(Q=E&1 2.计算下列序列的N 点D FT：（匕6）(1)x(n)=an,Q n N -(2)x(n)=c o s fI N,0 n N,0 m w/=:Jn=0 1

17、 a WNI1-aN-a W,0 k N-12212N-(2)X(k)=c o s n=02/r mnN1 N-l*弓z2 =0 1.In.2%、j mn j mne N N711 c-当 k-m)1-e N+三-j2(k+m)1 -eN JjTr(k-m)j 工 e N加(A_m)_/竺&_,)乃；-e Ne可s i n(k -m)7r)/等(卜 阳)”s i n+H-j-k+m)o N力(A+M)_ j 3(k+m)i-e N.n,、-J(K+W)Ns i n(左+加)万)s i n +w?),/V+lz,、e =一2,厂 k=m 或 k二 一m0,I其它1 3.已知一个有限长序列x()=

18、3()+2 J(n-5)(1)求它的1 0点离散傅里叶变换X(k)(2)已知序列y()的1 0点离散傅立叶变换为y(k)=%，X(k),求序列y()(3)已知序列m()的1 0点离散傅立叶变换为M(Jt)=X(外F。),求序列加()N-1 9解；(1)X(k)=Z x()W/=Z b()+2 3(5)北片n=O=O-j5 k=1+2 W禧=1+2 e 1 0=1+2(1)。攵 =0,1,9(2)由丫)=卬涓/(%)可以知道，y 是x()向右循环移位2的结果，即y()=x(”-2)l0=Sn-2)+2 3(-7)(3)由V(Jt)=X(攵)Y(k)可以知道，2(”)是x(”)与y(”)的1 0点

19、循环卷积。一种方法是先计算x()与丁()的线性卷积00()=x()*y(n)=2 (，)丁(一 I)=0 0=0,0,1,0,0,0,0,4,0,(),0,(),4 然后由下式得到1 0点循环卷积m(n)=“(-1 0/)Rl0(n)=0,0,5,0,0,0,0,4,0,0)=5 J(n-2)+4 5(-7)_ l=O O _另一种方法是先计算y()的1 0点离散傅立叶变换N-9y 伏)=Z y()W=Z b(一 2)+2 b(7)W；f =卬消n=0 n=0再计算乘积M =X(k)Y(k)=(1 +21cx l c+2哨)=W消+2喘+2%+4%产=5吗，+4吗。由上式得到 加()=5可一2

20、)+4 3(7)1 4.(1)已知序列：x(n)=s i n-w Jo n v(l+i)n y e N-e N2T J0,i 其它一声*“(2)X(k)=e 9n=0K =0,l”.,8可 见，题给答案是正确的。1 5.一 个 8点 序 列 x()的 8点离散傅里叶变换X/)如 图 5.2 9 所 示。在 x()的每两个取样值之间插入一个零值，得 到 一 个 1 6 点 序 列 y()，即为偶数y(”)=0 ，”为奇数()求 了()的 1 6 点离散傅里叶变换y(k),并 画 出 丫出)的图形。设 X 的 长 度 N为偶数，且 有 X(幻=X(N -1 T),女=0,1,，2-1,求解：（1）

21、因 n为奇数时y（”）=（）,故y =心（必t x闾 服 n-0”=0,2“./7i=0 7另一方面 x（上空（以 叱。及 70,其它0Jt 1 57因此 x(k-8)=x M M g,84Vl 5 0,其它7_ 0Jl 1 5m=0,0,其它 7所以 丫=工x。)，0-f c-1 5、7 m=0.0,其它X(k),0k 7=，X(k -8),8 4 k 4 1 50,其它N-l N-l解：(1)x(k)=xa，wNk=E(V rn=0 n=0=-(aW 1=L 0 kN-ll-a阅 -a W 3(2)X(k)=Z x()W/n=0=+-3W 7 -W f=1+2 W：-3I V/-W k=1

22、 +2(-力/一 3(1)J J*(03)1 7.长度为8的有限长序列x(n)的8点D FT为 X(k),长度为1 6的 一个新序列定义为 X)n=0,2,.1 41)=0 =1,3,.,1 5试用X 床表示Y(k)=DFT y(n)。15解：y(左)=()w jn=0N-N-2 N-X(0)=Zx()W：=Zx()=x()一 Zx(N -1 一 )=0=o=o2令N -1一n=mN.2 0X(0)=x()一 Zx(z)=“金T2显然可得 X(0)=0N 7 N-1(2)X(3)=1)(将 n 分为奇数和偶数两部分表示)2 n=0 n=0=，-1 产+x(2 r +l)(-1 产r=()r=(

23、)N i N i1 12-2=Z x(2 r)-x(2 r+l)r=0 r=0%L i2 2=x(N 1 一 2厂)一 x(2r+D(令N 1 -2r=2女 +1)r=0?-0%0 2=x(2 r+l)-x(2 r+l)k d r=2N显然可得 X(y)=O简答题：-2 1 .在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率/2的频率成分。2 2.试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题：1 .已

24、知序列出=-2,2,3,-1;女=0,1,2,3,序列长度N=4,写出序列司（2-左）一尺,伙 的值（）。解：乂（2 女）,因伙=2 ,x l,4 0,x 3 ;/r =0,1,2,3 =3,2-2,-1;*=0,1,2,3 2 .已知=1，2,3,2,1;左=0,1,2,3,4,力卬=1,0,1-1,0;=0,1,2,3,4,贝产卬和川川的5点循环卷积为（）o解：x k h k=x k 6 k +S伏一 2 3 k-3 =x k+x （k-2）5-x （k-3 b =jo,1,3,3,2;k=0,1,2,3,4 3 已知尤 =3,2,0,2;&=0,l,2,3,/?=4,一2,1,-1;4=

25、0,l,2,3 则 和何 的证明题:4点循环卷积为()。%用3 力MU-40-4-11-2一3 6 解：砌碓 用3 h 2xl-24一1124h 2M lh 3x 21-24-10-3次h 2M H砸 _.43.-11-24 _2 _ 7 _4.试证N点序列M)的离散傅立叶变换X(&)满足Parseval恒等式N-1 2 1 JV-1 22k问=.Z一 同k=Q N /n=0i N-2 i N T证：-E|X/n|=x“X*mN w=o N w=()i N-N-=伙 附)*N m=()k=0N T i N T=2*%Z x 5&=0 N ,n=oN-N-2=WX k ixk=Z k k 1k=

26、0 k=05.*(口和X()是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：X 伏)o x(-n)证明略。6.其 )长为N的有限长序列，&()，%()分别为工()的圆周共轨偶部及奇部,也即x(n)=%,*(N -)=%()+%*(N-2xo()=-xo*(N 一 )=g%()-*(N-证明：DFTxe(n)=ReX(K)DFTx0(n)=jmX(K)证 ()=&*(N-)=gx()+x*(N-)=；%()+%*(-)；v 6gX(Z)+X*(k)=ReXU)*(N-)=gx()-x*(N-初=；%()-X*()N J x -X*(%)=m X(A)7.若 OFTx()=X(Z),求证O/

27、7X()=Nx(k)N1 N-l证：卬/(1)N依N-lX(k)=Z x()W；(2)k=0N-由X(A)=Zx()W:，将左与互换，则有k=0N-lx()=Zx(%)W j(这应该是反变换公式)n=Qi N-l=T；ZNX(幻卬 出(用 一 夕 代 替3且求和取主值区)N 公与 比 较 所以X()-NX(-女)N8.若x()=/。尸T x(k),求 证 卜(切=，乂(一 “)&()。1 N-1证：lDFSx(k)=-Y x(k)WNkn1 N-li N-l1 N-1 N-l N-=技 正)N r=0 r=0而(N -r-n=INN-lZ阅(-)=j(/为整数)k=0 40 r-n 中 IN所

28、以 )尸5女(女)=又(/N )N=1%()于是 IDFT x(k)=Q(-)RN()=(X().)&()9.令X伏)表示N点序列x()的N点D F T,试证明:(a)如果冗()满足关系式x()=-x(N-1 -n),则 X(0)=0。N(b)当 N 为偶数时，如果 x(n)=x(N-1-n),则 X(y)=OoN-证：X(k)=Zx()W/(女=O,1,.,N 1)n=0N-l(a)X(O)=Z x()=0%?N 为偶数：X(0)=才X()+X(N 1 )M=0 n=0-12=卜()+x(N-1-n)H=0匚2=L()_x()=0=0N-l,N T .-1 -12 2 NN 为奇数：X(0)

29、=2 X()+ZX(N 1 九)+X(-)n=0 n=0 2N-l|=X(2J)+卜()+x(N-l-)2 n=0N-l=X()+t x()-x()2 n=0N-l N-l=x()+0=%()2 2而x(n)中间的一项应当满足:N-l N 1 n-l%()=f(N-1 一一)=-x(-)2 2 2因此必然有 X()=0这就是说，当N为奇数时，也有X(0)=()。N N 7 也 N-I(b)当 N 为偶数：X)=Zx()W j=Zx()(T)2 n=O n=0%U2 2=()(1)+X(N I X-I产 n=0 w=0-I-12 2=x()(-1)+(-1产 Zx()(-1尸=0n=0当N为偶数

30、时，N-1为奇数，故(-1)心=-1；又由于(-1尸=(-1),故有人 四 T1 2 2X(3)=Z(X T)-2()(T)=2 n=o fi=o1 0.设D F T x(”)=X(&),求证设口X(L)=NX(N-)。【解】因为 w-k(N-n)=W ki N T根据题意 x(n)=Y x(k)WNkN MN-Nx(N-)=Z X a)k=0因为 W-k(N-n)=wkN-所以 N x(N _)=Z X(k)W/=Q X*=011.证明：若x()为实偶对称,即x()=x(N-)，则X(k)也为实偶对称。N 7【解】根据题意 X(&)=Zx()W”=0N-1 x(N-)卬尸)再利用附*的周期性

31、质”=0N-Z，K(N-)叱;帅 n=0I下面我们令N-=进行变量代换，则X(A)=1=N又因为x(n)为实偶对称,所以x(0)=x(N)=0,所以X(0)W,-M)=+x()W,y-*)N可将上式写为 X(k)=E (m)W；2 +x()%T*)7 7?=1N=x(卬 广 m=0N=-x(N)W，-k)Nm=0N-l=m=0N-l所以 x (k)=Z x(m)W；N Y)，=X(N k)m=0即证。注意：若x()为奇对称，即x()=-x(N-”)，则X伏)为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题：12 .已知 x()=/?+1()4”4 3),)，()=(l)()4 n K 3),用圆周卷积

32、法求 x()和y()的线性卷积z()。解：x(n)=1,2,3,4 0 n 3 ,y(n)=1-1,1-1 0 z i 3因为x()的长度为N,=4,y(n)的长度为N2=4所以z()=x()*y(n)的长度为=凡+%2-1=7,故 应 求 周 期 =7的圆周卷积x()(3)y()的值,即N-z(n)=x(n)y(n)=x(m)y(n-m)7?v(n)_=o _所以 z()=x()*y()=1,1,2,2,-3,1,-4 ,0 n 613.序列。(九)为(1,2,3,序列6()为3,2,1。(1)求线性卷积a()*从 )(2)若用基2 F F T的循环卷积法(快速卷积)来得到两个序列的线性卷积

33、运算结果，F F T至少应取多少点？解：(1)w(n)=a(n)*b(n)=n=-oo所以 w(n)=a()*b(n)=3,8,14,8,3)，0 n 4(2)若用基2 F F T的循环卷积法(快速卷积)来完成两序列的线性卷积运算，因为 z(n)的长度为M=3 ；所以。()*。()得长度为N =N+AF2-1=5O故F F T至少应取2 3 =8点。14 .有限长为N=100的两序列做出x(n),y(n)示意图，并求圆周卷积/()=x(n)y(n)及做图。解 (八),、()示意图略，圆周卷积/()=%()区y()1n=01x()=0 n 10y()=01 H 89011 H 99190 w 9

34、911 n =01()n=1,9 99 n=2,9 88 =3,9 77 n=4,9 66 n=5,9 5/()=5 n=6,9 44 n=7,9 33 =8,9 22 n =9,9 11 n=10,9 00 1 0 M 9 015.已知了()是长度为N的有限长序列，X(k)=D F T x(n),现将()的每两点之间补进r-1个零值，得到一个长为r N的有限长序列y W必)=卜力on=ir,i=0,1,，N -1n w ir,i-0,，N -1求：D F T y()与 X 的 关 系。N-l解：因为 X(%)=0 k N-l-)0rN-N-y 伏)=Z y()w*=En=0/=O.r,2r-

35、X(W rNr令JrNT=/=0,r,2r x(k)X(k-N)=i:XU 1)N 0r-l=f X(k-m N)m=0Q k r N-l0 k N-N k 2 N-(r-)N k r N-I其他G W k W r N 11 6.已知X(N)是 N点有限长序列，X(k)DFT x(n),现将长度变成小 点的有限长序列y(n)x(n)0 n 1y(n)=0 N n r N-l试求r N 点 D F T 丁()与乂(左)的关系。N-l-j-n k解:由 X(k)=D X T 九()=Z x()e N,0 k ()卬 对n=0 n=0B-j型巷(k=Z x()e N r =x ,k =,/=O,l,

36、N-ln=0 x/所以在一个周期内，y(k)的抽样点数是X(k)的r 倍，相当于在X(幻的每两个值(k、之 间 插 入 个 其 他 的 数 值(不 一 定 为 零)，而当Z为r的整数/倍时，y/)与x -相等。17.已知x()是 N点有限长序列,X(，=D F T x()。现将道)的每两点之间补进/-1个零值点，得到一个m 点的有限长序列y()y()=x(n/r)0n=ir,i=0,1,，N -1其他试求r N 点 D F T y()与 X(A)的关系。N-解：由 X (%)=DFT x(n)=Z x()W r,0 W%W N 1n=0可得rN-Y(k)=DFT y(n)=M=0N l N l

37、=x(ir/r)W=Z x(i)W,Q k()阅3k=o|_/=o J/=0 k=()n+nr=Nl其他所以N-匹()=Z Nx(-n+Nl)=Nx(-n)N RN()n 20.为了说明循环卷积计算(用D F T算法)，分别计算两矩形序列x()=R,v 5)的卷积，如果X()=?6()，求(1)两个长度为6点的6点循环卷积。(2)两个长度为6点 的1 2点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令f l Gn L-X 】=X2 o 其他N-X()=ZX(W/k=0因为y-j f NW=图 3-6中L=6,N定义为D F T 长度。若 N =A ,则 N点 D F T 为N k=00其他N-1

38、X1 =X2(k)=WX =，N(a)如果我们将X/口和X 2伙 直接相乘，得X.(k)=X kX2(k)=N2%=()0 其他由此可得 x3n =/V 0n 7V-l这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列乙(5-机)八 是对于王力旋转，则乘积x/划(-M),、，的和始终等于N。当然也可以把用卬和看作是2 L 点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2 L 点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列xj 和 的 线 性 卷 积。注意如图3-7所，N =2 L 时乂|网=乂2 网=爆所以图3-7(e)中矩形序列与卬的D F T为(N =2L)1 M2x k=循

39、环卷积的性质可以表示为x,nx2 n X kX2 k考虑到D F T关系的对偶性，自然两个N 点序列乘积的D F T等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若匕 =司 ，贝 U1 N-X3 伙 k/ZX J/%收 一/),、,或X i nx 2n J lXl kX2 k2 1.设式)是一个2 N点序列，具有如下性质x(+N)=x()0 n -1另设七(n)=x(n)RN()，它的 N 点 D F T 为 X/k)。求x(n)得 2 N点 D F T X(A r)和X 的关系。【答案】。4X=2 x(1)2 2 .已知某信号序列/=3,2,1,2 ,贴)=2,3,4,2 ,试计算(1)

40、/伏)和以左)的循环卷积和/伏)区/伏)；(2)/伏)和中1 的线性卷积和7 根)*力(左)；(3)写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】(1)y(k)=6 h(k)+I3h(k-1)+20h(k-2)+2h(k-3),y伏)=6 h(k)+13h(k-1)+20h(k-2)+2h(k-3)+14 h(k-4)+1 O h(k-5)+4 h(k-6)(3)略2 3 .如图表示一个5 点序列M)。(1)试画出%()*%(九)5(2)试画出()x()加)3 2 叶川 r0 1 2 3 4解：5x(n)x(n)1 3 i o 1 1 1 0&0 1 2 3 4简答题：2 4.试述用D F T计

41、算离散线性卷积的方法。解：计算长度为M,N 两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的D F T,并求其乘积，最后求乘积后序列的I D F T,可得原两序列的线性卷积。2 5.已知X(k)/是两个N点实序列x(”)，y()的D F T值，今需要从*(%)/(攵)求x(),y()的值，为了提高运算效率，试用一个N点I F F T运算一次完成。解：依据题意()X(k),y(n)Y(k)取序列 Z(k)=X(k)+jY(k)对 Z(左)作 N 点 I F F T可得序列Z(八)。又根据D F T性质IDFT X(k)+jY(k)=IDFT X(k)+jIDFT Y(k)

42、=x(n)+jy 由原题可知,c(n),y(n)都是实序列。再根据z()=x(“)+()，可 得x(n)=R e z(n)y(n)=I m z(n)四、频域取样填空题：1 .从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法,从时域角度看是()；从频域角度看是()。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2 .由频域采样X W 恢 复 X(e )时可利用内插公式，它 是 用()值对()函数加权后求和。解：X(k)内插3.频域N 点采样造成时域的周期延拓，其周期是()。解：NT(频域采样点数Nx时域采样周期T)简答题：4.已知有限长N序列 的z 变换为X Q),若对X

43、 在单位圆上等间隔抽样 点，且MN,试分析此“个样点序列对应的IDFTXJM与序列x 卬的关系。解：如果 X m=X(z)|,m=0,1,M-1即 x/何 是 x(z)在单位圆3M 点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在产$伙 =I D F T Xl m=+伙/=oo上式表明，将序列x a)以M 为周期进行周期延拓，取其主值区间 0,M-l 的值，即得序列七伙。由于 N,故在对x 冈 以 M 为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。5 .F F T 算法的基本思想是什么？解：答案略。6 .简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。解：答案略。计算题：X(Z)=7 .设x()是长度为M 的有限长序列

44、，其Z 变换为”=。今 欲 求 X(Z)在 单 位 圆 上 N个 等 距 离 点 上 的 采 样 值 X(Z ),其中=e ，A=，L，N-L解答下列问题(用一个N点的F F T来算出全部的值)(1)当N M ,对序列x()末尾补零至N个点得序列x()，计算x ()的 N点 F F T 即可得到X(Z*)。N M 时，对序列x(n)以 N为周期进行周期延拓得到一个新的序列x()，求序歹U x ()的前M点的F F T 即可得X(Z,)o(2)时得到的结果与x()等效，因为其满足频域取样定理。8.已知必)=。”(),()“1,今对其z变换X(z)在单位圆上等分采样，采样值为x(A)-x(z)L=

45、w，求有限长序列I D F TX(&)解 方 法 一1 N-l1 -a M=oi N-l1-a =oIDFTX()=L-an/?.v(n)1 a方法二X 名M 1-azX(k)=X(z)|，w =八 一 1=0N-l项=八(。卬/=001 N-l 1()=7 7 Z X(k)即*=f z(。婕 叱/交换求和次序N K=0 N K=0 1=7i oo N-二:工 人 田 严）N，=Y0 k=0N T N（因为fw俨-）=（A =0 I 0I=n+mN/w +mNm=0,1,2-）co所以$（n）=Zx（+mN）0n N?=-o=工 屋+u(n+mN)=a工M小 Q n N-l1=0/n=0=7-

46、aRN 5)L -Cl9.研究一个长度为M点的有限长序列x(n)。x(n),0 n M 时:试找出只用一个N点D F T 就能计算X Q)的 N个抽样的方法，并证明之。解：若N M ,可将无5)补零到N 点，即 x(n),0 nM-l 0.M nN-ij lc N-l _/空欣则 X(e N)=0(必 N fi k(+4 r),根据上式可画出3(”)的图形，如下图所示。r=-士()A2T T T T 1 T T T T-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1 .理解DF T 分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法？解：答案略2 .补

47、零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否都可以提高频谱分辨率？解：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。3 .试说明连续傅里叶变换X)采样点的幅值和离散傅里叶变换X/)幅值存在什么关系？解：两个幅值一样。4 .解释DF T 中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？解：如果采样频率过低，再 DF T 计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。计算题：5 .用某台F F T 仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2 的整数次幕。已知待分析的信号中，上限频率W

48、1 0 2 5 k H z。要求谱分辨率45HZ。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率九41.25%/所以抽样频率应满足：X 2/,=2.5 kHz因为要求谱分辨率以 45%，所以N 2-501000=5（）（）N5因为选用的抽样点数N必 须 是 2 的整数次幕，所以一个记录中的最少抽样点数N=51 2相邻样点间的最大时间间隔T=-=一=ms=O Amsfsmin 2fs 2.5信号的最小记录时间Tp m i n =NXT=512X O Ams=20 4.8 松6.（1）模拟数据以1 0.24千赫速率

49、取样，且计算了 1 0 24个取样的离散傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1 0 24点的时宽为多少？1 0 240解：（1）频率间隔N F=一 0 24=1 （赫）（2）抽 样 点 的 间 隔=9 7.6 6 1 0.24整个 1 0 24 点的时宽 T=9 7.6 6 X 1 0 24=1 0 0 m s7.频谱分析的模拟信号以8 k H z 被抽样，计算了51 2个抽样的DF T,试确定频谱抽样之间的频率间隔，证明：由并证明你的回答。/=旦 尸=2h 2/2乃得”2F。其中C,是以角频率

50、为变量的频谱的周期，C。是频谱抽样之间的频谱间隔。8.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数累，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要 求 频 率 分 辨 力 如 果 采 用 的 抽 样 时 间 间 隔 为 0.1 m s,试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中又&=2=N卅5则F-L N对于本题有九=8%Z,N =51 2所以=2 2=1 5.6 25Z51 2的最少点数。解：(1)因为7；=,而五。4 I。”,所以F。T、1TQ 2 s1 0即最小记录长度为0.I s1 1 3(2)因 为 工=了 =而 1 0 3=1 0 人放，而fs