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1、第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与(n-n0)卷积x(n-n0),所以（1）结果为 h(n)(3)结果 h(n-2)（2）列表法 x(m)()hn m n 1 1 1 0 0 0 0 y(n)0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 4 0 1 1 1 1 2 5 0 0 1 1 1 1 1 （4）3.已知 10,)1()(anuanhn，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为)(nh的线性移不变系统的阶跃响应。4.判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()()()n 313s
2、in()()()873cos()()(njenxcAnxbnAnxa 分析：序列为)cos()(0nAnx或)sin()(0nAnx时，不一定是周期序列，n m m m n n y n 2 3 1 2 5.0)(0 1 当 3 4 n m n m m n n y n 2 2 5.0)(1 当 aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解当0/2整数，则周期为0/2；为为互素的整数）则周期、（有理数当 ,2 0QQPQP 当0/2无理数，则)(nx不是周期序列。解：（1）0142/3，周期为 14（2）
3、062/13，周期为 6（2）02/12，不是周期的 7.（1）12121212()()()()()()()()()()()()()()T x ng n x nT ax nbxng n ax nbxng nax ng nbxnaT x nbT xn 所以是线性的 Tx(n-m)=g(n)x(n-m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)两者不相等，所以是移变的 y(n)=g(n)x(n)y和 x 括号内相等，所以是因果的。（x 括号内表达式满足小于等于 y 括号内表达式，系统是因果的）y(n)=g(n)x(n)=g(n)x(n)x(n)有界，只有在 g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否
4、则系统不稳定（3）Tx(n)=x(n-n0)线性，移不变，n-n0=0 时系统是因果的，稳定（5）线性，移变，因果，非稳定（7）线性，移不变，非因果，稳定（8）线性，移变，非因果，稳定 8.不稳定。是因果的。时当解：,1101|)(|,0)(,0)1(22nnhnhn 稳定。！是因果的。时，当3814121111*2*311*2111211101|)(|,0)(0)2(nnhnhn 不稳定。是因果的。时，当210333|)(|,0)(0)3(nnhnhn 稳定。是非因果的。时，当23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn 系统是稳定的。系统是因果的。时，当7103.03.03.0|)
5、(|,0)(0)5(210nnhnhn 系统不稳定。系统是非因果的。时，当213.03.0|)(|0)(0 )6(nnhnhn 系统稳定。系统是非因果的。时，当1|)(|0)(0)7(nnhnhn 第二章 Z 变换 1 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。（7）分析：Z 变换定义nnznxzXnxZ)()()(，n 的取值是)(nx的有值范围。Z 变换的收敛域是满足Mznxnn)(的 z 值范围。解：(1)由 Z 变换的定义可知：zzazazazazaaz,0 1,1 1,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2)由 z 变换的定义可知：nnnznuzX)()21()(nnnzaz
6、X)(nnnnnnzaza01nnnnnnzaza01)(1()1()1)(1(1111212azazazaazazazaazaz)(21)()2(nunxn)(21)()2(nunxn)1(21)()3(nunxn)1(,1)()4(nnnx为常数）00(0,)sin()()5(nnnnx10,)()cos()()6(0rnunArnxn)1|()()1(aanxn0)21(nnnz 12111z 21 1121 zz即：收敛域：0 21 zz零点为：极点为：解:（3）nnnznuzX)1()21()(1)21(nnnz 12nnnz zz212 12111z 21 12 zz即：收敛域：0
7、 21 zz零点为：极点为：解：(4)11)(nnznzX 11)(1)(nnznndzzdX21)(11zzznn ，1|z)1(21)()3(nunxn)1(,1)()4(nnnx。的收敛域为故的收敛域相同，的收敛域和因为1|)()()(1ln)1ln(ln)(zzXdzzdXzXzzzzzX z 1,0 零点为：极点为：zz 解：(5)设)()sin()(0nunny 则有 1|cos21sin)()(20101zzzzznyzYnn，而 )()(nynnx)()(zYdzdzzX1|,)cos21(sin)1(2201021zzzzz 因此，收敛域为：1z zzzzezezjj,0,1
8、,1 ,00零点为：（极点为二阶）极点为：解：(6)1 ,cos21)cos(cos cos21sinsincos21cos1cos)()()sin(sin)()cos(cos )(sin)sin(cos)(cos()()cos()(20101201012010100000zzzzzzzzzzzYnunnunnunnnunny设。：的收敛域为则而的收敛域为则|)(cos21)cos(cos)()()()(1 )(220101rzzXzrrzrzArzYAzXnyArnxzzYn（7）Zu(n)=z/z-1 为常数）00(0,sin)()5(nnnnx10),()cos()()6(0rnunAr
9、nxn Znu(n)=2-z1(1)dzzdz zz 2223Zn u(n)=-z(1)(1)dzzzdzzz 零点为 z=0,j,极点为 z=1 11211123.,()1111212 (1)(),z (2)(),z11241144111114 (3)(),z (4)(),z8115311515X zzzzX zX zzzzzaX zX zazazz用长除法 留数定理 部分分式法求以下的 反变换 分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按 z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(
10、z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n）。留数定理法：。号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（2 )1/(1 )/(1 )()()()(Re 11111kkknknkknzzzzzzzzXzzzzXzzzzzzXs（1）（i）长除法：1212111411211)(zzzzX ,2/1|,2/1zz而收敛域为：极点为 按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(nx 2141211zz 112111211z
11、z 211412121zzz 241z 02121 41211)(nnnzzzzX 所以：)(21)(nunxn（1）(ii)留数定理法：cndzzzjnx11211121)(,设 c 为 21z内的逆时针方向闭合曲线：当0n时，nnzzzz211112111在 c 内有 21z一个单极点 则0 ,2121Re)(21nzzsnxnnz ，是 因 果 序 列由于 )(nx 0)(0 nxn时，故 )(21)(nunxn所以（1）(iii)部分分式法：212111411211)(121zzzzzzX 因为 21z 所以 )(21)(nunxn（2）(i).长除法：41,41zz而收敛域为由于极点
12、为 ,因而)(nx是左边序列,所以要按z的 升幂排列：21 1 2288zz zzz82241 22877zzz 3221122828zzz 112478 478 112288)(nnnnnnzzzzzX 所以 )1(417)(8)(nunnxn （2）(ii)留数定理法:41 )(21)(1，为设zcdzzzXjnxcn 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 n 1)(nzzX 在 c 外有一个单极点41z )0(,)41(7 )(Re)(411nzzXsnxnzn 时：当 0 n 1)(nzzX在 c 内有一个单极点0z 0,8)(Re)(01nzzXsnxzn，内无极点在时：当 )(0 1
13、czzXnn 0,0)(nnx则：综上所述，有：)1()41(7)(8)(nunnxn(2)(iii).部分分式法：4178)41(2)(zzzzzzzX 则 1411784178)(zzzzX 因为 41z 则)(nx是左边序列 所以 )1()41(7)(8)(nunnxn (3)(i).长除法：因为极点为az1，由az1可知,为 因果序列,因而要按 z 的降幂排列:221)1(1)1(11zaaazaaaa azazaz11 1)1(1)1()1(zaaaaaaa 2211)1(1)1(1)1(1zaaazaaazaaa 则11)1(1)(nnnzaaaazX 所以)1(1)1()(1)(
14、nuaaananxn(3)(ii).留数定理法:azdzzzXjnxcn1 c )(21)(1为，设 内的逆时针方向闭合曲线。)1(1)1()(1)(0)()(01 1 )(Re)(Re)0(1,0 c )(0 )0(,1)1(11 )(Re)(1 )(0 0111111111nuaaananxnxnxnaaaazzXszzXsxazzzzXnnaaazazazazzXsnxazczzXnnnnnnnnnzazazaz所以。此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点内有在时：当(3)(iii).部分分式法：azazaazzazzzX11)1()(2 则1111)1()(zaaa
15、azX 所以)(1)1()()()(nuaaananxn )1(1)1()(1nuaaanan(4)1()41111()()3535zX zABzzzzz A=5/8,B=3/8 53()1188355 13 1()()(1)()()8 38 5nnzzX zzzx nunu n 5对因果序列,初值定理是)(lim)0(zXxz,如果序列为 0n时0)(nx,问相应的定理是什么?讨论一个序列 x(n)，其 z 变换为：()(0)X zx的收敛域包括单位圆，试求其值。分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由)(zX求)0(
16、x表达式是不同的，将它们各自的)0(x相加即得所求。)0()(lim)2()1()0()()(:,0)(,0020 xzXzxzxxznxzXnxnznn所以此时有：有时当序列满足解：若序列)(nx的 Z 变换为：2112512419127)(zzzzX 21,2 )()()(21 32 4 )21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：221z 31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0()(0 )(212201012
17、1xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则 6.有 一 信 号)(ny，它 与 另 两 个 信 号)(1nx和)(2nx的 关 系 是:)1()3()(21nxnxny，其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn，已知111)(aznuaZn，az，利用 z 变换性质求 y(n)的 z 变换 Y(z)。解：)z3)(21-(z3z)z311)(21-(zz 3112111)1n(x3 13 3 311)()1(31 3111)()(21 2111)()3(3111)()(2111)()(5513212112211221313112211
18、1zzzzZ)(nZxY(z)n()*x(nxy(n)zzzzzXnxzzzXnxzzzzXznxzzXnxzzXnxZZZZZ所以而 8.若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证：)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj 分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121，而)()(21 )0()0(0)(*)(212121deXeXxxnnxnxjj 再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n=0即可得所需结果。证明:deeXeXeXeXeYzXzXzYnxnxnynjjjjjj)()(21 )()(
19、)()()()()()()(21212121则设 )()()()(2121nxnxnydeeYnjj)0()0()()(|)()()()(21 21002102121xxknxkxnxnxdeXeXnnknjj deeXnxdeeXnxnjjnjj)(21)()(21)(2211 deXxj)(21)0(11 deXxj)(21)0(22)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj 10.分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。)()(2122 njnxdex 解：4 )0(2 )()()(6)()()()(000 xdeeXdeXbnxenxeXajjj
20、nnnjj)(c由帕塞瓦尔公式可得：nnxdeXj22)(2)(28)(dnnjjenxeX)()(nnjjenxjndedX)()()(即dedXnxjnDTFTj)()()(由帕塞瓦尔公式可得：316)490256491019(2)(2|)()(|2)(2222nnnxnnxjnddedXj 13.研究一个输入为)(nx和输出为)(ny的时域线性离散移不变系统，已知它满足 )()1()(310)1(nxnynyny 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出()()/()H zY zX z，然后和题 12（c）一样分解成部分分式分别 求Z反变换。解：对给定的差分方程两边
21、作 Z 变换，得：1110()()()()3()1()101()(3)()33z Y zY zzY zX zY zzH zX zzzzz则：31,3 21zz极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3z3 即可求得 )(31)1(383)(nununhnn 14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。)()1()(25)1(nxnynyny 解:对题中给定的差分方程的两边 作 Z 变 换，得：)()()(25)(1zXzzYzYzYz 因此)()()(zXzYzH zz2511 )2
22、1)(2(zzz 其零点为 0z 极点为 21z,212z 因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。收敛域情况有：零极点图一：2z 零极点图二：221z 零极点图三：21z 注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。(1)按 12 题结果(此处 z1=2,z2=1/2),可知当收敛区域为2z,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为：)()(1)(2121nuzzzznhnn )()22(32nunn (2)同样按 12 题，当收敛区域为221 z ，则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：)()1(1)(2112nuznu
23、zzznhnn)(21)1(232nununn|)|(|12zzz(其中 21z 212z)(3)类似,当收敛区域为21z时，则统是非稳定的，又是非因果的。其单位抽样响应为：)1()1(1)(2112nuznuzzznhnn )1()22(32nunn(其中 21,221zz)第三章 离散傅立叶变换 1.如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。5062650)()()(X:nnkjnknenxWnxk解 kjkjkjkjkjeeeee562462362262621068101214 计算求得:。339)5(;33)4(;0)3(;33)2(;339)1(;60
24、)0(jXjXXjXjXX 。并作图表示试求设)(),()(.)()(),()(.264kXnxkXnxnxnRnx 5062650)()()(:nnkjnknenxWnxkX解 kjkjkjeee3231 。计算求得：3)5(;1)4(;0)3(;1)2(;3)1(;4)0(jXXXXjXX 4641,043.(),()(2),()(),()(),0()()nnx nh nR nx nx nh nh nnx nh n设令，其它试求与的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值 4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果 N 比序列的点数多，则需补零；如果N 比序列的点数少，则需将序列按 N 为周
25、期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位 x(-n)5为周期序列1,0,2,3,1 x(n)6为周期序列1,1,3,2,0,0 x(-n)6R6(n)为 6 点有限长序列1,0,0,2,3,1 x(n)3R3(n)为 3 点有限长序列3,1,3 x(n-3)5R5(n)为 5 点有限长序列3,2,0,1,1 x(n)7R7(n)为 7 点有限长序列1,1,3,2,0,0,0 8.解：（1）x(n)*x(n)=40()()mx m x nm x(m)()x n m n 1 0 2 1 3 0 0 y(n)0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 1 4 3 1 2 0 1 2 4
26、 3 1 2 0 1 10 5 0 3 1 2 0 1 4 6 0 0 3 1 2 0 1 13 7 0 0 0 3 1 2 0 6 8 3 1 2 9)()(*)()(mnhnhnxny)()(*)()(mnhnhnxny(2)x(n)x(n)=4()()()5 50 x m x nmRnm x(m)5 5()()x n m R n n 1 0 2 1 3 f(n)0 1 3 1 2 0 5 1 0 1 3 1 2 13 2 2 0 1 3 1 10 3 1 2 0 1 3 11 4 3 1 2 0 1 10(3)(3)x(n)x(n)与线性卷积结果相同，后面补一个零。10.6n4 ,03n
27、0 ,1)(nnx，1,04()1,56ny nn ，求 f(n)=x(n)y(n)。解：f(n)=x(n)y(n)=)()()(7607nRmnymxm x(m)(mny n 1 2 3 4 0 0 0 f(n)0-1 1 1-1-1-1-1 0 1-1-1 1 1-1-1-1 4 2-1-1-1 1 1-1-1-2 3-1-1-1-1 1 1-1-10 4-1-1-1-1-1 1 1-10 5 1-1-1-1-1-1 1-8 6 1 1-1-1-1-1-1-4 第四章 快速傅立叶变换 运算需要多少时间。计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算
28、机的FFT DFTx(n)512s 5 s 50.1 解:解:直接计算:复乘所需时间:复加所需时间:用 FFT 计算:复乘所需时间:复加所需时间:3.sNTN01152.0512log105log105 2251262261sTTTsNNT013824.0 002304.0512log512105.0log105.0 2126262sTTTsNNT441536.1 130816.0)1512(512105.0)1(105.0 21662sNT31072.1 512105 105 26261 运算量：复数乘法次数（乘1、j 不计算在内，要减去系数为1、j的，即0/4,NWWNN），即 8*4-（
29、1+2+4+8）-（1+2+4）=10 复数加法次数为 64 次 第五章 数字滤波器的基本结构 1.用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数 21214.06.028.02.43)(zzzzzH 分析：注意系统函数H(z)分母的 0z项的系数应该化简为 1。分母),2 ,1(izi的系数取负号，即为反馈链的系数。解：21212.03.014.01.25.1)(zzzzzH)2.03.0(14.01.25.12121zzzz )()(1)(10zXzYzazbzHNnnnMmmn 3.01a，2.02a 5.10b ，1.21b，4.02b 2.用级联型结构实现以下系统函数)8.09.0)(5
30、.0()14.1)(1(4)(22zzzzzzzH 试问一共能构成几种级联型网络。分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。解：kkkkkzzzzAzH2211221111)()8.09.01)(5.01()4.11)(1(4211211zzzzzz 4A 8.0 ,9.0 ,0,5.0 1,4.1 ,0 ,1 2212211122122111 由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。4用横截型结构实现以下系统函数：1111116112161211)(zzzzzzH 分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。1111111
31、21121121211234511()(1)(16)(12)(1)(1)2611 (12)(16)(1)26537 (1)(1)(1)2682052058 1312123H zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz解：7设某 FIR 数字滤波器的系统函数为：)3531(51)(4321zzzzzH 试画出此滤波器的线性相位结构。分析：FIR线性相位滤波器满足)1()(nNhnh，即对2/)1(Nn呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知：)4(51)3(53 )2()1(53)(51)(nnnnnnh。为奇数，处偶对称，对称中心在即则)5(221)(
32、1)2(6.053)3()1(2.051)4()0(NNNnnhhhhhh 第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 1.用冲激响应不变法将以下)(sHa变换为 )(zH，抽样周期为 T。为任意正整数 ,)()()2()()()1(022nssAsHbasassHnaa 分析：冲激响应不变法满足)()()(nThthnhanTta，T 为抽样间隔。这种变换法必须)(sHa先用部分分式展开。第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式 1!nnSntL,nantsaSSAsHtuntAeth)()()()!1()(010，可求出 )()()(kTThtThkhakTta，又 dzzdXzk
33、kx)()(，则可递推求解。解:(1)jbasjbasbasassHa1121 )()(22 )(21)()()(tueethtjbatjbaa 由冲激响应不变法可得：)(2 )()()()(nueeTnTThnhnTjbanTjbaa 11011112 )()(zeezeeTznhzHjbTaTjbTaTnn 2211cos21cos1 zebTzebTzeTaTaTaT(2)先引用拉氏变换的结论 1!nnsntL 可得：nassAsH)()(0 )()!1()(10tuntAethntsa则 )()!1()()()(10kunkTAeTTkThkhnkTsa dzzdXzkkxazkuaZ
34、Zk)()(,11)(1且按 )11()()!1()()!1()()(111111000zedzdznATezknTTAzkhzHTsnnkkTsnnkk可得 ,3,2)1(1,1)(111000nzezeATnzeATzHnTsTSnTs，可以递推求得：3设有一模拟滤波器 11)(2sssHa抽样周期 T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(zH。分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111zzcs。解：由变换公式 1111zzcs 及 Tc2 可得：T=2 时：1111zzs 1111|)()(zzsasHzH 11111111211zzzz 2213)1(zz