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1、/率论和数理统计习题及答案解析习题1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A发生，B,C都不发生;A与2发生，C不发生；4,A,A,4,A,A,B,B,B,B,B,B,C都发生；C至少有一个发生;C都不发生；C不都发生；C至多有2个发生;C至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)AUBUC=ABCU ABC UABC U A BOJ A B CU AB C UABC=ABC(5)ABC=AJBJC(6)ABC(7)A B C t J A B C U A B C U A
2、 B C UA B C U/I f iC U A B C A B C =A U B U C)ABUBCUCA=ABC UABCU ABCUABC3 .略.见教材习题参考答案4 .设A,8为随机事件，且 P (A)=0.7,P(A-B)=0.3,求 尸().【解】P (通)=1-尸(AB)=1-P(4)-P(A-B)=1-0.7-0.3 =0.65 .设A,B 是两事件，且 P (A)=0.6,P(B尸0.7,求：(1)在什么条件下尸(A B)取到最大值？(2)在什么条件下P (A B)取到最小值？【解】(1)当A 8=A 时，P C A B)取到最大值为0 6(2)当A U B=Q 时，P (
3、A B)取到最小值为0.3.6 .设A,B,C 为三事件，且 尸(A)=P(f i)=1/4,P(C)=1/3 且 尸(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/1 2,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率.【解】P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(0-尸(AB)-P(B0-P(AO+P(4 BC)_1 1 1 1 _34 4 3 12 47 .从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】P=C：33c：3或/图8 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的
4、概率：（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设 4=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7 5,有利事件仅1 个，故P(Ai)=(-)575 7（亦可用独立性求解，下同）（2）设 4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6 5,故65 6,P(4)=石=(二75 7（3）设 4=五个人的生日不都在星期日P（4）=l-P（Ai）=l-（-）579.略.见教材习题参考答案.1 0 .一批产品共N件，其中M 件 正 品.从 中 随 机 地 取 出 件.试求其中恰有，件（WM）正 品（记为A）的概率.如果:(1)n(2)(3)件是同时取出的：件是无放回逐件取出的;件是有放回逐件取出的.
5、n【解】P(A)=C C 公/（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P Q种，次抽取中有，”次为正品的组合数为C：种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从/件正品中取机件的排列数有P）种，从 N-M 件次品中取-机件 的 排 列 数 为 种，故rn-rnp (A)_ nrMrN-M由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P(A)=C N可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M 种，次抽取中有加次为正品的组合数为C：种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，机次取得正品，都有M 种取法，共 有 种 取 法
6、，”-，次取得次品，每次都有N-M 种取法，共 有（N-M）T 种取法，故P(A)=CM X N-M/N此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为一，则取得机件正品的概率为NP(4)=C：A 4 ,nM礼n-mf,MI N1 1.略.见教材习题参考答案.1 2.5 0 只硼钉随机地取来用在1 0 个部件上，其中有3个硼钉强度太弱.每个部件用3只钾钉.若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设 4=发生一个部件强度太弱1 3.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两
7、个是白球的概率.【解】设 A尸 恰有i个白球 （i=2,3）,显然A2 与 4 互斥.一可一吐C-3 5故 P(4 u A)=p(4)+P(A)=1 4 .有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8 和 0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设 A 尸 第 i 批种子中的一粒发芽,3=1,2)(1)P(A 4)=P(A)。()=0.7 X 0.8 =0.56(2)U A)=0.7+0.8-0.7x0.8 =0.94(3)P(4 泉 UN4)=0.8 x 0.3+0.2x0.7=0.3 81 5.掷一枚均匀硬币直到出现
8、3次正面才停止.(I)问正好在第6 次停止的概率；(2)问正好在第6 次停止的情况下，第 5 次也是出现正面的概率.【解】P i冲审K 整卷1 6.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及 0.6,每人各投了 3次，求二人进球数相等的概率.【解】设 4=甲进i 球,i=0,1,2,3,Bk 乙进，球/=0,1,2,3,则3一(U A%)=(0.3)3(0 4)3 +C；0.7 x(0.3)2c；0.6 X (0.4)2+/=0 C；(0.7)2 X0.3 C；(0.6)2().4+(0.7)3(0.6)3=0.3 20 761 7.从 5 双不同的鞋子中任取4 只，求这4 只鞋子中至少有
9、两只鞋子配成一双的概率.【解】P=1 一C；C；C；C；C；_ 1 3211 8.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设 4=下雨,8=下雪.,、“1”、P(AB)0.1 八 三(1)p(B A)=-=0.21 尸(A)0.5(2)(A U 8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3 +0.50.1 =0.71 9.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设 4=其中一个为女孩,B=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故或在缩
10、减样本空间中求，此时样本点总数为7.2 0.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设 4=此人是男人,8=此人是色盲,则由贝叶斯公式P(A|B)=P(A B)P(A)P(用 4)P(B)-P(4)P(用A)+P(A)P(B|4)0.5x0.05 20-0.5 x 0.05+0.5 x 0.0025-2?2 1.两人约定上午9：0 0-1 0 :0 0 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.W3 0 1 /_O 30 60*(b)题 21 图题 22 图【解】设两人到达时刻为X,），,则 0 W
11、x,），W 60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于仇-）3 0.如图阴影部分所示.P302 12 2.从（0,1）中随机地取两个数，求:(1)两个数之和小于9 的概率;5(2)两个数之积小于的概率.4【解】设两数为x,y,则 0 r,yl.(1)x+y-.“4p=I_2JJ.=1Z=0681 1 251(2)xy=23.设 尸(A )=0.3,尸(8)=0 4,P(4 B)=0.5,求 尸(8 I A U 8 )【解】P(AB)P(AUB)P(B,U 豆)=尸(A)-P(通)P(A)+P(8)P(A)0.7-0.5 1-0.7+0.6-0.5 42 4.在一个盒中装有1 5个乒乓球，其中
12、有9 个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设 A 尸 第一次取出的3个球中有i 个新球,i=0,l,2,3.8=第二次取出的3 球均为新球由全概率公式，有3P(B)=P(B|A,.)P(A)i=03 0 3 12 0 3 21 3 0 3 0 3=+=+=0.089zi3 J zi3 J zi3 5 3 z-i3。15。15 5 。15。15 5 5 。15,525.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有8 0%的人是努
13、力学习的，试问：(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设 4=被调查学生是努力学习的,则 了=被调查学生是不努力学习的.由题意知尸(A)=0.8,P (7 )=0.2,又设8=被调查学生考试及格.由题意知P (B|A)=0.9,P C B A)=0.9,故由贝叶斯公式知(1)P邓)=尸(M)P(B)P(N)P(8,)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.2xQ,l _ 1O.8xO.9+O.2xO.l-37=0.02702即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.70 2%P(A|B)=.1 P(B)P(A)P(B)A)+
14、P(A)P(BA)0.8x010.8x0.1+0.2x0.94一 =0.307713即考试不及格的学生中努力学习的学生占3 0.77%.2 6,将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.0 2,而B被误收作A的概率为0.0 1.信息A与 8传递的频繁程度为2 :1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少？【解】设 4=原发信息是A,则=原发信息是团C=收到信息是A,则=收到信息是B 由贝叶斯公式，得P(A|C)P(A)P(C|A)P(A)P(C|A)+P(N)P(Cp)2/3x0.98 2/3x0.98+l/3x0.012 7.在已有两个球的箱子中再
15、放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A 尸 箱中原有i 个白球 （/=0,1,2）,由题设条件知P （A,）=；/=0,1,2.又设8=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知 P（同A）P（A）i=0_2/3xl/3_1_-l/3xl/3+2/3xl/3+lx l/3-328,某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0 0 2,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品,8=产品被认为是合格品由贝叶斯公
16、式得0.96x0.98P(AB)P(A8)P(A)P(同 A)P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.9980.96 x 0.98+0.04 x 0.052 9.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.0 5,0.1 5和 0.3 0；如 果“谨慎的”被保险人占2 0%,“一般的”占50%,“冒失的”占3 0%,现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设 4=该客户是“谨慎的”,8=（该客户是“一般的”,C=该客户是“冒 失 的 ,该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P
17、(AI D)=(皿=P(A)P(0 A)P()P(A)P(|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)_ 0.2x0.05_0.2 x 0.05+0.5x0.15+0.3 x 0.3=0.0573 0.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.0 2,0.0 3,0.0 5,0.0 3,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设 A 尸 第 i 道工序出次品 （z=l,2,3,4）.4 _p(U 4)=i-P(A A A A j/=1=1-P（A）P（&）尸（A）P（A）=1-0.98 x0.97 x 0.95 x 0.97=0.1243
18、1.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.1-(0.8)0.9即为(0.8)W O.I故1至少必须进行1 1 次独立射击.3 2 .证明：若 P (A I B)=P(A I B),贝 i j A,B相互独立.【证】P(A I B)=P(A|即 A0=以画P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)=P(“)P(B)P(AB)1-P(B)=P(A)-因此尸(A B)=P(A)P(B)故 A与 B相互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为工，-求将此密码破译出的概率.5 3 4【解】设A,=第，
19、人能破译 (i=l,2,3),则p(U 4)=i-P(AAA)=i-尸(无)尸(4)尸(4)34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0 50.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为02 若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 4=飞机被击落,5=恰有i 人击中飞机，1=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)=ZP(AW)P(即/=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0
20、.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 835.已知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试验一种新药是否有效，把它给1 0 个病人服用，且规定若1 0 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)P l =EC(o-35)A(o-65)，O-=0-5 1 3 8k=010(2)P 2 =工 新 0(0.2 5)(0.7 5)1-=0.2 2 4 1k=43 6.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停
21、于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：(1)A=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)B=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为I O。种.C294(1)P(A)=，B，也可由6重贝努里模型：1 QP(ec。)制(2)6个人在十层中任意六层离开，故P6P(B)=3106(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C；种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开
22、方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有P；种可能结果，故P(C)=C；C：(C；C：C；+C；+P；)/106(4)D=*.故p6p（o）=i-P（B）=I-io63 7.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】Pl=-n-1“23!(“-3)!(一 1)!,”3八、，(H-l)!1 ，3!(-2)!A=-=-；P2=-：，23/?!n
23、 n3 8 .将线段 0,0任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设 这 三 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0令 a,0 )a,0 a-x-yx+(a-x-y)yy+(a-x-y)x构成的图形，即 x+y PA(BUC)=P(ABLIAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2 .将 3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设 A 产 杯中球的最大个数为i ,=1,2,3.将 3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4 3 种，杯中球的最大个数为1 时，每个杯中最多放一球，故C33
24、1 3而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故c1尸(4)=方=i1 63 1 9因此 P =-P -P =-=o lo 16Tm 八 C c；9或P(A 2)=*T=记4 3 .将一枚均匀硬币掷2 w次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,4 B,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P (A)=P(B).所以由 2 重贝努里试验中正面出现n次的概率为p(c)=q*T故 p(4)=?y 5 4 4 .掷“次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设
25、4=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知产(A)=P(B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P (A)+P(B)=1 得 P (A)=P(B)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1 21p（A）=-i-c,K-r j4 5 .设甲掷均匀硬币+1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数，甲 反=甲掷出的反面次数.乙，户乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正乙正)=(甲IEW乙m)=(+1-甲 反 乙 反)=(甲反21+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P(甲n乙正)=P(甲反 乙 反)因此P(甲ii
26、;乙正)=4 6.证 明“确定的原则”(Sure-thing)：若 P(A|C)P(BO,P(AC)P(B C则 P(A)2P(8).【证】由 P(A|C)2P(8|。,得P(AC)P(BC)p(c)(C)即有 P(AC)P(BC)同理由 P(A|C)P(B|C),得P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)4 7.一列火车共有节车厢，有代个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设 4=第，节车厢是空的,(i=l,)，则尸（A4）=（1 二）”其中i】#2,Zi是1,2,，中的任一 1个.显然节车厢全空的概率是零，
27、于是H=P（4）=（）*=c（）*,=1nno 2=Z P（A/7X（I/ijn nS“T=Z P（A1A,.A,）=C；：-1（I-）5,=0p Ai）=s-s2+s3-.-+（-iy+s故所求概率为i-p(U A)=i-c L(i-/+c (i-),-.-+(-i)n+1c：-(i-/0.试证明：不 论 e 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A迟早会出现的概率为1.【证】在前八次试验中，A至少出现一次的概率为1-(1-，)1(“-0 0)4 9.袋中装有?只正品硬币，”只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品
28、的概率是多少？【解】设 4=投掷硬币厂次都得到国徽B=这只硬币为正品-n由题知 P(B)=-,P(B)=-m+n m+n(A|B)=,P(A 国=1则由贝叶斯公式知P(A)P(B)P(A|6)+P(B)P(A|B)m 1二 .十.2 r 二 mm 1 ,1 m+2n-1-1m+n 2r m+n5 0 .巴拿赫(B an ach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有/根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有，根的概率又有多少？【解】以8、星 记火柴取自不同两盒的事件，则有尸(4
29、)=P(B 2)=g.(1)发现一盒已空，另一盒恰剩/根，说明已取了 2 T次，设次取自8 盒(已空)，-r 次取自B 2 盒，第 2 -丹1 次拿起S，发现己空。把取2 -/次火柴视作2 f 重贝努里试验，则所求概率为0=2G“_，W y,备式中2反映8 1 与 切 盒的对称性(即也可以是民 盒先取空).(2)前 2 -一1 次取火柴，有”-1 次取自囱盒，次取自&盒，第 2-r 次取自S盒，故概率为P2 =2 G L T(g)i(；)f g 2 1 T5 1 .求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由+”=c w+CM+c 2产+.+=1(q-4 =C
30、%W +C；p 尸 +C；p 2 尸 _.+(_ i)“c：pZ。以上两式相减得所求概率为pi=Cnpqn-+C3np3qn-3+.若要求在重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得P 2=；l +(l-2 p)L5 2 .设A,B是任意两个随机事件，求 P (A+B)(4+B)(A +B )(4+豆)的值.【解】因 为(A U B)n (A U B )=A B U A B(X U B)n (A U B)=A B U A f i所求(7+B)(A+B)(N+5)(A+5)=(U 荏)n(AB+而)=0故所求值为0.5 3.设两两相互独立的三事件，4,B和C满足条件：A B C=，
31、P(A)=P(f i)=P(Q 1/2,且 P(A U B U C)=9/1 6,求 尸(A).【解】由 P(AU3 U O =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-PBC)+PABC),9=3 P(A)-3 P(A)2-1 61 3|1故P(A)=或己，按题设尸(A)0,P(A|B)=l,试比较P(AU B)与 P(A)的大小.(2 0 0 6研考)解：因为所以P(A U 5)=P(A)+P(8)P(AB)P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A U 8)=P(A)+P(8)P(B)=P(A).习题二1.一袋J中有5 只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3
32、 只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律.解136S。=一一-1-3-C1U-=一一-Xi/17)/345-XXX/(Xz(z(故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求:(1)X 的分布律；(2)X 的分布函数并作图；(3)1 3 3PX,P1 X-,P X-,P X 2.【解】X=0,1,2.2 2p(X=0)=评=匕C:3 5P(x=l)P(X =2)C；C；3 _ 1 2C 3 5c1 1一 3 5.故 X 的分布律为X012p2 21 213
33、53 53 5(2)当 x0 时，F(x)=P(XWx)=02 2当 0Wxl 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)=一3 53 4当 lWx2 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)+P(X=l)=一22355343551,F（无）=当 x22 时，F(x)=P(XWx)=1故 X 的分布函数 0,x 00 x ll x 2(3)P(X.)=吗=|,3 3 34 34P(1 X?)=F(-)-F(1)=-=03 3 I?P(1%-)=P(X=1)+P(1X -)=34 1P(1X 2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1-=0.3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为0.
34、8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.p(X=O)=(0.2)3=0008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0 xl尸(X)=0.104,1 x20.488,2x3P(X 2 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为PX=k=a,其中A=0,1,2,4 0为常数
35、，试确定常数(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,人=1,2,，N,试确定常数。【解】(1)由分布律的性质知8 8 1k1=P(X=幻=。之 广=k=0 k=0 卜 故a=e(2)由分布律的性质知i=N p(x=幻=N后=i=l 4=1 /V即a=l.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、卜表示甲、乙投中次数，则 X 6(3,0.6),丫 仅 3,0.7)(1)p(x =y)=p(x=o,y=o)+p(x =i,y =i)+p(x =2,y =2)+p(x =3,丫 =3)=(0.
36、4)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2+C3(0.6)20.4 C1(0.7)20.3 +(0.6)3(0.7)3=0.3 2 0 7 6（2）p（xy）=p（x=i,y=o）+p（x=2,y=o）+p（x=3,y=o）+p(x=2,y =i)+p(x=3,y =i)+p(x=3,y =2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C3 (0.6)20.4(0.3)3+(0.6)3(0.3)3+C3 (0.6)20.4 C；0.7(0.3)2+(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)3 仁(0.7)2 0.3=0.2 4 36.设某机场每天有2 0 0 架飞机在此降
37、落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.0 2,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.0 1(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X b(20 0,0.0 2),设机场需配备N条跑道，则有P(X N)(0.9 8严一“N)=r 1)=1 -P(X=0)=1-e-211.设尸 X=k =C；p*(l p)2,仁 0,1,2P Y=m=Cp (I -p)m,旭=0,1,2,3,4分别为随机变量x,丫的概率分布，如果已知P x 2 i =*,试求95 4【解】因为P(X21)=,故
38、 P(X l)=.9 9而 P(X l)=l-P(r =0)=l-(l-/?)4=0.80 24 78112.某教科书出版了 20 0 0 册，因装订等原因造成错误的概率为0.0 0 1,试求在这20 0 0 册书中恰有5册错误的概率.【解】令 X 为 20 0 0 册书中错误的册数，则*伙20 0 0,0.0 0 1).利用泊松近似计算，2 =/卯=20 0 0 x 0.0 0 1=2e 2 25得P(X=5)3、一=0.0 0 183 113.进行某种试验，成功的概率为二，失败的概率为上.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X=l,2,人 P(
39、X=2)+P(X=4)+P(X=2k)+3,4 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则X2500,0.002),则所求概率为产(2000X 30000)=P(X15)=1-P(X 1 0 0 0 0)=P(X 2 0 0 0 0)=
40、P(X 5)5 P-5 5ky 0.615961J kk=0 K!即保险公司获利不少于2 0 0 0 0 元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为7(x)=A e T l,-8 x+8,求：(1)A 值；(2)P O X 1;(3)F(x).【解】由/(x)dx=l得J-O 01 =2 -Ae-Xdx=2AJ-o o Jo故A =.2(2)p(0 X 1)=-1rie-=1(I -e.)cxJ J(3)当 入 y。时，F(x)=J evdr =e v故当x 20时，F(x)=J ；eMdx=1 1 1=1 e2f.V 1也+-e xdxJo 2F(x)=le,2，l-e2x 01
41、 6.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为求：(2)(3)【解】(1)x 1 0 0.在开始1 5 0 小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F(x).1 5 0 1 0 0 1P(X 1 5 0)F=4)3=g 0 2 =C；0|)2 =当 XC 1 0 0 时 尸(x)=0当 XN 1 0 0 时/(x)=y(/)d/故f 100 f .tL/(M+IO/W100F(x)=1000,x 017.在区间 0,a上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0,a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【
42、解】由题意知公”0,0,密度函数为/(x)=了0,Qxa其他故当xa 时，F(x)=1即分布函数0,F(x)=xax00 x a18.设随机变量X 在 5 上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率.【解】XU2,5,即0,2 x 3）=-d x =-故所求概率为广喏吟+C审吾19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布（；）.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出丫的分布律，并求【解】依题意知x E（g）,即其密度函数为1 -e 5 r 0/（）=5，0,
43、x0该顾客未等到服务而离开的概率为1 XP（X10）=岛e 5dA.=e-2丫 /?（5,e-2）,即其分布律为P(Y =k)=C：(e-2)x(l-2)5-*/=0,1,2,3,4,5P(F N 1)=1 P(Y =0)=l (1 e 3)5 =0.5 16720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N (40,1。2)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从 N (5 0,42).(1)若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路
44、，X-N(40,102),则(r-40 60 40、P(X 60)=尸 =0(2)=0.97727若走第二条路，X-N(5 0,42),则P(X 60)=P(X 5 0 方5。)=0(2.5)=0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 X N (40,102),则(X-4 0 45-40、P(X 45)=P 2 1 =0(0.5)=0.6915若 X N (5 0,42),则P(X 45)=P(X/0 4 5/。)=0(_ i 25)1-0(1.25)=0.105 6故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN(3,22),(1)求 P2XW5,P-4X2,PX3;(2)确定
45、c 使 PXc=PXWc./9 _ Q Y a 5【解】P(2X5)=P-7-I 2 2 2)=0(l)-0 -lj=0(l)-l+0=0.8413-1+0.6915=0.5328(-4-3 X-3P(-4 X K 10)=P y-2)=P(X 2)+P(X -2)0.6915+1-0.9938=0.69772 25X-3-2-3)=)=1-0(0)=0.52 2(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在IO.()5O.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X-10.05|0.12)=PX-10.050.060.12-0.06=1
46、-0(2)+0(-2)=21 0(2)=0.045623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(1 6 0,)，若要求P120XW2000.8,允许。最大不超过多少？【解】P(120X0,F(x)=0,xo),(1)求常数A,B：(2)求 PXW2,P X 3；(3)求分布密度/(x).lim F(x)=1【解】（1）由Alim F(x)=lim F(x)-0+x0-B1-1(2)P(X 3)=1-F(3)=1-0 x 025.设随机变量X的概率密度为fx,0 x 1,=2-x,1 x 2,0,其他求X的分布函数F(x),并画出f (x)及F(x).【解】当x0时F(x)=0当0 0
47、 1时/(x)=/山=/由+7(r)dr当 1 Wx2 时 F(x)=f(t)dtJ-co=：加 独=”)”+门 山=JW+J；(2T)d r=+2x 2x2 39J C 八 1-F 2x 12当 x 22 时 F(x)=/(r)d f =1J 3 00,x 00 x l22-F 2x 1,1W x 226.设随机变量X的密度函数为(1)fi,x)=ae 叫 X 0;危)=b x,1-y，x-0,0 x l,1 x 2,其他2 2故/(x)=02即密度函数为-eZ v x0 时 F(x)=J /(x)d x =J -eAvd x +J；e z vd x=1-e2故其分布函数F(x)=1 14T
48、 x1e21 eA12，x 0 x0由1=匚/。）=工 法 曲+白 心=，+；得b=l即 X的密度函数为/(x)x,0 x l ,1 尤 2JT0,其他当 x W O 时 F(x)=0当 0 x l 时 F(x)=j /(x)i r =j /(x)d x +/(x)d.r当 1 W x 2 时 F(x)=J /(x)d r =J O d x +J；x d x +J；d x_ 3_ J _2 x当x 2 2时F (x)=1故其分布函数为E(x)=0,x 0X2,0 x 121%227.求标准正态分布的上a分位点,(1)a=0.01,求 z“；(2)a=0.003,求 z a,za/2.【解】P(
49、X Z )=0.01即I-G(z“)=0.01即O(z 0)=0.09故z&=2.33(2)由 P(X Z a)=0.003得即0(za)=0.997查表得 za=2.75由 P(X Z a/2)=0Q 015 得即唉/2)=09985查表得 Z&/2=2.96l-0(za)=0.003l-(za/2)=0.00152 8.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/3 0求Y=X2的分布律.【解】y可取的值为0,1,4,9p(y=0)=p(X=0)=；1 1 7p(y=l)=p(X=-l)+P(X =1)=-+=6 15 30尸(y=4)=P(X=-2)=(p(
50、y=9)=P(X=3)=故y的分布律为Y0149Pk1/57/3 01/511/3 02 9.设 PX=)l=(-)”,:1,2,，令2“1,当X取偶数时-1,当X取奇数时求随机变量X的函数Y的分布律.【解】p(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=2%)+p(y =-l)=l _ p(y=D2330.设 X N (0,1).(1)求 丫=6、的概率密度；(2)求y=2X2+l的概率密度；(3)求y=l x 1的概率密度.【解】当y W O时，4(y)=P(y 0 时，FY(y)=P(Y y)=P(e*y)=P(X ody y y J 2兀 p(r =2 X2+i i)=i当y W l