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1、1概率论与数理统计习题及答案习题一1 .见教材习题参考答案.2 .设A,B,C为三个事件，试用A,B,C(1)A 发生，8,C都不发生；(2)A 与 B发生，C(3)A,B,C都发生；(4)4,B,C(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C(7)A,B,C至多有2 个发生；(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)AB C(2)A B C(3)A BC(4)A UBUC=A BCU AB C U AB C U AB C U AB C U A B C U A B C=A B C(5)AB C=A B C(6)A B C(7)AB C U AB C U A B C U AB C U AB C
2、U A BC U A B C =A B C =A U B U C)ABUBCUCA=ABC UABCU ABCUABC4 .设 A,B 为随机事件，且 P (A)=0.7,P(A-8)=0.3,求 P (A B ).【解】P(A B)=1-P (A B)=1-P(A)-P(A-B)J=1-0.7-0.3 1=0.65 .设A,5是两事件,且 尸(A)=0.6,尸=0.7,(1)在什么条件下P (4 8(2)在什么条件下尸(A8【解】(1)当 A 8=A 时，P C A B)取到最大值为0.6.(2)当AU B=Q(Tt,P(A 8)取到最小值为0.3.6 .设 4,B,C 为三事件，且 P (
3、A)=P (B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/1 2,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A U 8 U C)=P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(8C)-P(4 C)+P(4 B C)7.5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】P=4C：3 c8.(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设 A 产 五个人的生日都在星期日,基 本 事 件 总 数 为 有 利 事 件 仅 1 个，故
4、P(A|)=()5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设 4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6 5,故,、6 5 6 5P-2)=-?=(-)575 7(3)设 A3=五个人的生日不都在星期日p(A3)=l-P(A)=l-(；)59.见教材习题参考答案.1 0.一批产品共N件，其 中M件正品.从中随机地取出n件(30.如图阴影部分所示.p_3O2 _ 122.0,1)中随机地取两个数，求：(1)两个数之和小于|的概率；(2)两个数之积小于L的概率.4【解】设 两 数 为 无.则0 a,)YL/、6(1)x+yy.j_44p=1-1 1 1 =12=0.681 1 25I(2)衍|C)
5、=-2 0.9即为(0.8)W 0.1故至少必须进行1 1次独立射击.3 2.P (A B)=P(A I B),则 A,B 相互独立.【证】P(A By p(i j 即=P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)1-P(B)=P(A)-因此 P(AB)=P(A)P(B)故A与B相互独立.3 3.-I,-求将此密码破译出5 3 4的概率.【解】设A尸 第，人能破译 (*1,2,3),则3 _ _ _ _p(4)=1 P(A 4 4)=1 P(A)P(4)P(A)1=13 4.0.4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中，则飞机被击落的
6、概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4=飞机被击落),B尸 恰有，人击中飞机,i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)=ZP(A|BJP(g.)/=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4583 5.为试验一种新药是否有效，把它给1 0个病人服用，且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，
7、且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)A=C O(O.35/(O.65)-A=0.51 3 8k=010(2)p2=ZC；o(O2 5)&(0.7 5)8*=0.2 2 41k=43 6.立乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)A=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)B=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0层楼中的任一层离开，故所有可能结果为1()6种.C294(1)P(A)=-V，也可由
8、6重贝努里模型：1 061 Q(2)6个人在十层中任意六层离开，故(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；0种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C：种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有用种可能结果，故P(。=C；o C：(C；C 2 +C；+周)/1。6(4)D=瓦故P(D)=1-P(B)=1 需3 7.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在
9、甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1)口=工n-Pl=3!(n-3)!(-1)!,”3，(-1)!1 ，3!(-2)!(3)Pi =-=-；P2=-；，2 3n n n 38.0,a【解】设这三段长分别为x,y M-x-)，.则基本事件集为由0 x a fi y a fl a-x-y a-x-yx-(a-x-y)yy +(a-x-y)x构成的图形，即0 x 20 y q2a x+y PA(B C)=P(AB AC)=尸(A B)+P(AC)-P(ABC)42.P(AB)+P(AC)-P(BC)3个球随机地放入4个杯子
10、中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为讣,:1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有才种，杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球，故P(4)C：3!_3-4-8而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故尸 G=_L43 163 1 9因此 P（A2）=I-P（A）-/,（A）=I-=或P（4）=c；c；c；91643.2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,4,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P(A)=
11、P(B).所以由2重贝努里试验中正面出现n次的概率为P(c)=G(g 吗)故 尸 缶)=；1一5“表44.”次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数,B=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P(A)=P(B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)=1得P(A)=P(B)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1 巴145.”+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数，甲 反=甲掷出的反面次数.乙 正=乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正 乙正)=(甲二W 乙正)=(+1-甲
12、 反 乙 反)=(甲反2 1+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知尸(甲正乙正)-P(甲反乙&)因此P(甲 正 乙正)=246.Su r e-t h i n g)：若 P (A|C)2P(B|C),P(A|C C),则 P (A)【证】由P(A|C)2P(B|0,得一(A C)P(BC)P(C)-P(C)即有 P(AC)NP(BC)同理由 P(AC)P(BC),得 P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(B Q +P(B Q =P(B)47.一列火车共有n节车厢，有 伏)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A产(第i节车厢是空的),3=
13、1,)，则p(4)=(i 一 与n np(4 A)=(i/P(AA A .,)=a-r1n其中i i2,Zi是1，2,，中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零，于是=小(4)=心与=以1-5/=1 2s?=X P(4 4)(I-s,T=z P(4 A A xr d-/0，2 o.试证明：不论e o 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，A 至少出现一次的概率为1一（1一）”V=1(g-p)=&典+c-T+c 2 l+c；1p V-3+=(口-(4-4=l-(l-2 p)n若要求在重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=1
14、i+(i-2/?r.52.设A,B 是任意两个随机事件，求 口(Z+B)(4+B)(+与)(A+豆)的值.【解】因 为(AUB)n(A U B)A B U AB(A UB)n(AU 后)=ABU 而所求(入+5)(A+5)q+5)(A+为)=(AB AB)(AB+AB)=0故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A,B 和A BC=D,尸(A)=P(B)=P(O 1/2,且 P(AUBUC)=9/16,求 P(A).【解】由 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(8C)+P(ABC),9=3P(A)-31P(A)2=lo1 3 1 1故 P(A)=或一,按题
15、设 P(A),故 P(A)=.4 4 2 454.设两个相互独立的事件A 和 8 都不发生的概率为1/9,A 发生B不发生的概率与B 发生A不发生的概率相等，求 P(A).【解】P(AB)=P(A B)=-P(A 8)=1 9P(A5)=P(AB)故 P(A)-PAB)=P(B)-PAB)故P(A)=P(3)由A方的独立性，及、式有g =l P(A)P(B)+P(A)P(8)=l 2 P(A)+P(A)f=1-P(A)?故 1-P(A)=，32 4故 P(A)=或 P(A)=(舍去)2即 P(A)=,35 5.随机地向半圆0 )3 (6+能+右)i=J 1 U 1 D Z D2990q =P(
16、即52)=尸但瓦)尸(名)而_ 3 _p(豆2)=2p(瓦 ia)p(4)/=1l(Z+A+20)=6 13 10 15 25 90L上J+W J当3 10 9 15 14 25 24_ 3 _2 8也)二 工2 4 瓦 I A)P(A)(=129o-12-6-2-96190P(BR)P(O)故5 8.设 A,B为随机事件，且 尸(B)0,P(A|B)=l,试比较P(A U B)与 P(A)的大小.(2 0 0 6 研考)解：因为 P(A 8)=P(A)+P(8)P(AB)P(AB)=P(B)-P(A|B)=P(B)所以 P(A 8)=P(A)+P(B)P(B)=P(A).习题二1.一袋中有5
17、只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=c3一cclc故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)1 3 3PX-,Pl X-,Pl X-,Pl X 2.故X的分布律为【解】X=0,1,2.C1 22=o)=忒*P(X=l)=i上.C：5 35c1 1P(X=2)=小T =35(2)当 x0 时，F(x)=
18、P(XWx)=0X 01 2P 223512 135 3522当 0Wxl 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)=35,L34当 lWx2 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)+P(X=l)=当尤2 时，F(x)=P(XWx)=1故X的分布函数0,x00 x l1 x 22235343551,F(x)=-=吗)噌,3 3 34 34P(1 X)=F(|)-F(l)=1-=0乙 乙 U D J3 3 12P(l X -)=P(X=l)+P(lX-)=34 1P(1 X 2)=F(2)-F(l)-P(X=2)=1-=0.3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0.8,求 3次射击
19、中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C；(0.8)2().2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512才pg =。方，K.故 x的分布律为X0123P0.0 0 80.0 9 60.3 8 40.5 1 24.分布函数F(x)=P(X 2 2)=P(1)设随机变量X的分布律为0,x00.008,0Wxl0.104,lx20.488,2 x 3X=2)+P(X=3)=0.896其中40,1,2,，儿0为
20、常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,H I,2,，N,试确定常数a【解】(1)由分布律的性质知口c c ：k1 =Z P(X=%)=过 一=74=0 k=0 k!故a 二 e(2)由分布律的性质知NN1 =P(X=k)=x =ak=l k=N即a=.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、V表示甲、乙投中次数，则X (3,0.6),Y6(3,0.7)(1)p(x =y)=p(x=o,y=o)+p(x =i,y =i)+p(x =2,y=2)+p(x=3,y =3
21、)=(04)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2+C；(0.6)20.4C；(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)3=0.32076(2)p(x y)=p(x =i,y=o)+p(x=2,y=o)+p(x=3,y=o)+p(x=2,y =i)+p(x=3,y =i)+p(x=3,y =2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C|(0.6)20.4(0.3)3+(0.6)3(0.3)3+C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2+(0.6)3 C；0.7(0.3)2+06)3(2；(0.7)20.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某
22、一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X6(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(X N)0.0 1200即Z C；oo(002)“0.98严-&N)00zk=N+e-斗k2)=l-P(X=0)-P(X=l)=l-e-o,-O.lx e 18 .已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足口X=1 =P X=2 ,求概率P X=4 .【解】设在每次试验中成功的概率为p,则C (l-p)4=C；p2(l-p
23、)3故P=3所以p(X=4)=C(-)4-=.5 3 3 2439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设 X表示5次独立试验中A发生的次数，则*6(5,0.3)5P(X 3)=Z C(0.3)“0.7产=0.16308k=3(2)令 y 表示7次独立试验中4发生的次数，贝 I(7,0.3)7P(Y 2 3)=Z G (0.3)(0.7产=0.35293k=31 0.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为
24、(1/2)r的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午1 2 时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午1 2 时至下午5时至少收到1 次呼救的概率.35【解】(1)P(X=0)=e/(2)P(X l)=l-P(X=0)=l-e-21 1.设 P X=Z =C p(l-p)2 M,k=0,l,2P Y=m=Cpm(l-p)4m,D,l,2,3,4分别为随机变量x,y的概率分布，如果已知P x i =3，试求【解】因为P(XN1)=S，4-9而P(X l)=l-P(y=0)=l-(l-p)4=0.80247811 2 .某教科书出版了 2 0 0 0 册，因装订等
25、原因造成错误的概率为0.0 0 1,试求在这2 0 0 0 册书中恰有5册错误的概率.【解】令 X为 2 0 0 0 册书中错误的册数，则 X 6(2 0 0 0,0.0 0 1).利用泊松近似计算，A=np=2000 x0.001 =2得 P(X=5)-=0.00185!3 11 3 .进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一似X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X=l,2,k,P(X=2)+P(X=4)+P(X=2A)+3 4 _ _ 111 4 .有 2 5 0 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死
26、亡的概率为0.0 0 2,每个参加保险的人在1 月 1日须交1 2 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日，保险公司总收入为25 00X 12=30000元.设 1年中死亡人数为X,则 X(25 00,0.002),则所求概率为P(2000X 30000)=P(X 15)=1 P(X W 14)由于很大，p 很小，=n p=5,故用泊松近似，有14P(X 1 5)a 1-ZA=0e-55*k 0.00006 9(2)P(保险
27、公司获利不少于10000)=P(30000-2000X 10000)=P(X 20000)=P(X 5)5 5 5KJ-a 0.6 15 9 6 1总k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为6 2%15.已知随机变量X的密度函数为fi,x)=A eM,-8令+8,求：(1)A 值；(2)P OX 1;(3)F(x).【解】由J：/(x)d x =l得1 =V A e d x=2 A e-xdx =2AJ-OO J o故 A=.2(2)(0 X l)T；e 7 d x =；()f i x 1 1 当 x 0 时，F(x)=1 e d x =e J-0 2 2当 x 20 时，F(x)=/-
28、e|v|d r =J e d x +J；g e 7 d x故/(左)=l-e-xI 2x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为100fi x)=10Q0,x 100.求：(1)在开始15 0小时内没有电子管损坏的概率;(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3)F(x)【解】r 1 5 0 100 1(1)P(X150)3=(1)3=4-92-31-32)(3)当元(100 时 F (x)=0当 在100时F(x)=J：/(四rlOO rx=L/(M+L/(M故.1 0 01-F(x)-x0,x100 x 017.在区间 0,a 上任意投掷一个质点，以X表
29、示这质点的坐标，设这质点落在 0,中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知*口0,0,密度函数为f(x)=,0 x aa0,其他故当x a 时，F(x)=1即分布函数0,x 0尸(x)hX50 x a18.设随机变量X在 5 上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即2 x 3)=-d x =-故所求概率为19 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(J).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分
30、布律，并求P y i.【解】依题意知乂 E(-),即其密度函数为/(X)=0 x 10)=e-2Y0(5,e-2),即其分布律为P(Y =k)=C“e-2)*(1-e-?产,左=0,1,2,3,4,5/5(r l)=l-P(r =0)=l-(l-e-2)5=0.5 16 720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N (4 0,1()2)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N (5 0,4 2).(1)若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有4 5 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
31、【解】(1)若走第一条路，X-N(4 0,1 02),则C r-4 0 6()4 0、P(X 6 0)=P =0(2)=0.9 7 7 2 7(10 1 0 J若走第二条路，X-N(5 0 ,42),则P(X 6 0)=p f 6 0 =0(2.5)=0.9 9 3 8 +I 4 4 )故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 X N(4 0,I O?),则%-4 0 4 5 4 0、P(X 4 5)=P J.J=0(0.5)=0.6 9 1 5若 X N(5 0,42),则P(X 4 5)=尸(.I。=。(1 2 5)I 4 4 =1-0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大
32、些.21.设 XN(3,22),(1)求 口 2XW5,P-4X2,PX3;(2)确定 c 使尸Xc=PXWc.【解】(1)P(2X W5)=P 俏 心I 2 2 2)=0 一。=0(1)-1+0 W0.8413-1+0.6915=0.5328P(-4 X 10)=P-4-3 X-3 10-3-2)=P(X 2)+P(X 3)=尸(-)=1-0(0)=0.5(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)X7V(10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X-10.0510.12)=p X-1 0,0 5 I 0.06 0.06)=1
33、-0(2)+0(-2)=21-0(2)=0.045623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,J),若要求尸120VXW2000.8,允许。最大不超过多少？【解】P(120X 200)=PX-160 0.8c r J故40 cu(y Q,0,x 0),()(2)(3)求常数A,B；求口XW2,PX3；求分布密度f (x).【解】(1)由*lim F(x)=1%+0+A 0-B=-l(2)P(X 3)=1 -F(3)=l-(l-e-3A)=e-3A/(x)=F(x)=025.设随机变量X 的概率密度为0,x 0f (x)x,2 x,0,0 x 1,1 x 2,其他求X的 分
34、布 函 数/(x),并画出f(x)【解】当x0时 尸(x)=0及 尸(X).当 0Wxl 时 F(x)=J：=J：/(f)d/+,)df02当 1 Wx 0;Q)b x,x0,0 x 1,1 x 2,其他0,x 00 x l1 x 2试确定常数。力，并求其分布函数尸(X).【解】(1)由 j：f(x)dx=1 知 1 =匚 a e-Md x =2a j(e d x =-即密度函数为-e-Ax2 ，e *1 2x Qx 0 时 F(x)=/(x)d x =|ez d x +J：42i d r故其分布函数尸(x)=i c Tx1 e21 2 ，x 0JC 0b(2)由 1 =J/(工)泣=/肥(1
35、 工 +j -=1+2 2得即X 的密度函数为x,0 x 1/(x)=3，1 X 20,其他当xWO 时 尸(x)=0当 0 x l 时 F(x)=J f(x)dx=|/(x)d x +f(x)dx2fA x dA x =1Jo 2当 l W x 2 时尸(%)=J f(x)dx=1 Od r+J x d x+j 3dx 2 x当x22时 产(x)=1故其分布函数为0,x 02X 八 ,0 x 22 7.求标准正态分布的上a分位点，(1)a =0.0 1,求 z”；(2)a =0.0 0 3,求 z&,za/2.【解】P(X zQ =0.0 1(2)由 P(X Z a)=0.0 0 3 得即l
36、-0(Zf f)=O.Ol即0(z Q=0.0 9故z,=2.3 3即l _ 0(z a)=0.0 0 30(z j =0.9 9 7查表得Z&=2.7 5由 P（X Z a/2）=0-0015 得l-O（Za/2）=0.0015即明,2）=09985查表得 Z0/2=2.9628.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求r=x2的分布律.【解】y可取的值为0,1,4,9p（y =0）=p（X=0）=g1 1 7p（y=1）=尸（X=-l）+P（X=1）=+6 15 30p（y =4）=P（X=-2）=gp（y =9）=P（X=3）=U故y的分布律为Y0
37、 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.设 PX=）t=（；）*,仁 1,2,，令求随机变量x的函数y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2)+P(X =4)+=(3+(9+(；尸=(-)/(1-)=-4 4 3p(y =-i)=30.设 XN(0,1).(1)求丫=6、的概率密度；(2)求r-2X2+l的概率密度；(3)求y=i xi的概率密度.当X取偶数时当X取奇数时.+P(X=2 A)+k+：i-p(y =i)=|【解】(1)当 y W O 时，,(y)=P(Y 0 时，FY(y)=P(Y y)=P(eA y)=P(X 0dy y y，2 兀(2)P(y =2X2+l
38、 l)=l当 y W l 时 K(y)=P(y)=O当)1 时 4(y)=P(y y)=0(2 X 2+1 4 y)p(r o)=i当 y W O 时 FY()=P(Y 0 时 FY(y)=P(|X 区 y)=P(-y X0yj2n3 1.设随机变量X U(0/)，试求:(1)Y=e、的分布函数及密度函数；(2)Z=-2 1 n X的分布函数及密度函数.【解】P(O X 1)=1故 P(l y =e X e)=l当 时 4(y)=P(y W y)=0当 l )e 时 Fy(y)=P(ex y)=P(X I n y)piny=J。d r =I n y当 y 2 时 FY(y)=P(e，y)=1即
39、分布函数4(y)=,0,I n y,1,1 y e故 y的密度函数为11 y eA(y)=i xo,其他(2)由 P(O X 0)=1当 z W O 时，%(z)=P(ZW z)=O当 z 0 时，Fz(z)=P(Z z)=P(-2 1 n X z)=P(l n X e-2/2)=J g-e-2即分布函数%(z)=,fo,z 0故 Z 的密度函数为加 z)=.2e0,：-2/2,z 0z 03 2.设随机变量X 的密度函数为(2x/)=兀2，0,0X7t,其他.试 求y=s i n X的密度函数.【解】p(o y i)=i当 y W O 时,Fy(y)=P(Y y)=O当 0勺 1 时,FY(
40、y)=P(Y y)=P(s i n X y)-P(O X a r c s i n y)+P(n -a r c s i n y X 兀)parcsin y 2x ,2x ,=I r-d x+z-d rJ O JJt-arcsiny 兀=4(a r c s i n y)2+1 -(兀-a r c s i n y)27 T-7 T2 .=a r c s i n yT t当），时，K（y）=l故y的密度函数为f 2 1,、,-,0 y （3）试填上，,项.【解】由l i m P（x）=1知填1。由右连续性l i m F（x）=E Q。）=1知事=0，故为。从而亦为0。即r、一X 03 4.同时掷两枚骰
41、子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设A产 第i枚骰子出现6点。（i=l,2）,P（4）=L且4与A 2相互独立。再设C=每次6抛掷出现6点。则P（C）=P（A 4）=p（A）+P（&）-P（4）P（4）故抛掷次数X服从参数为U 的几何分布。363 5 .随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令 X 为 0出现的次数，设数字序列中要包含个数字，则X伙机0.1)P(X 2 1)=1-P(X=0)=1-C：(0.1)(0.9)”0.9即(0.9)0.1得 2 2即随机数字序列至少要有2 2 个数字。3 6 .已知0,x0,F(x)=x+,0 x
42、=0l im F(x)=1,所以尸G)是一个分布函数。X-|-00但是F (x)在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)3 7.设在区间 a,加上，随机变量X 的密度函数为K r)=s in x,而在 a,例外，火 工)=0,则 区 间 a,b 等 于()(A)0,n/2 ;(B)0,n ;3(0 -7t/2,0 J;(D)O.y r t.【解】在 0,刍 上 s in x O,且 in x d x =l.故段)是密度函数。2J o在 0,兀 上，:s in x d x =2 w 1.故人犬)不是密度函数。T T在 一/,0 上s in
43、 x(0，故 不 是 密 度 函 数。33在 0,5汨上，当冗 尤 兀时，s in x 0,共幻也不是密度函数。故 选(A)o3 8.设随机变量X N （0,。2）,问：当。取何值时，X 落入区间（1,3）的概率最大？【解】因为X N（O,b 2）,p（i x3）=P（L）a a a3 1=（一）（一）令 g（b）y y=利用微积分中求极值的方法，有3 3 1 1g（b ）=（-7）（一）+T o（7 y（J_ _3 1 -9/2 e r2 J 1.后 /1令=e T 2,i-3 e-8/2 1 =oVcr,4得*南，则2又g （b o）O2故名 为极大值点且惟一。Vln32故当 00,x 0
44、)=1,故 0 l-e-2 x i,即 p (O K 1)=1当 y W O 时，Fy(y)=0当 时，Fy(j)=1当 0 产 1 时，FY(y)=P(Y 1 -y)=P(XW _；ln(l_y)=J(4 n(|-y)2edx=y即 y的密度函数为加y)=f。l,，0其他y l即 Y U(0,1)4 1 .设随机变量X的密度函数为0 x 1,/(x)=3 4 x 4 6,0,其他.若 k 使得P X 2 Z=2/3,求人的取值范围.2 1【解】由 P(X k)=一知 P(X k)=一3 3若 k O,P(X k)=O(2 0 0 0 研考)若 0 WAW1 ,P(Xk)=!d r =|-|当
45、上1时P(X k)=-3若 1WZW3 时 P(Xk)=-c tr+Odx=Jo 3 Ji 3若 3kW 6,则 P(X 6,则 P(Xk)=12故只有当1A;W3时满足P Ok)=-.342.设随机变量X的分布函数为F(x)=，求X的概率分布.【解】由离散型随机变量X分布律与今0,%1,0.4,1 x 1,0.8,l x 3.、布函数之间的关系，(1991研考)可知X的概率分布为X-113P0.40.40.243.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中4出现的次数，若设P(4)=p，则Xb(3,p
46、)19 8由尸(X N 1)=知 P(X=0)=(1-p)3=27 27故 片;44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程J+Xy+bO有实根的概率是多少？【解】0,其他,4P(X2-4 0)=P(X 2)+P(X 2)=-45.若随机变量 XN(2,o2),且尸2X4=0.3,则PX0=.2 9 v _ 2 4 9【解】0.3=P(2 X 4)=P(-)a a a2 2=0()-0(0)=0(-)-0.5b a2故(一)=o.8(JY 2 0 2 2因此 P(X0)=P(-)=0(一一)a(J=1-0(-)=0.24 6 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概
47、率0.3 需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率。；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率；(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.【解】设 4=需进一步调试,B=仪器能出厂,则,=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=A UA B,且P(A)=0.3,P(8|A)=0.8P(AB)=P(A)尸(8 1 A)=0.3x0.8=0.24P(B)=P(A)+P(AB)=0.7+0.24=0.94令 X为新生产的台仪器中能出厂的台数，则*6 (，0.94),故a=P(X
48、=)=(0.94)”=p(X=-2)=C；(0.94)-2(0.06)20=P(X n-2)=-P(X =n-1)-P(X=n)=1 一(0.94尸 0.06(0.94)”4 7 .某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为7 2分，96 分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在6 0 分至84 分之间的概率.【解】设 X为考生的外语成绩，则 X N(7 2,。2)X-72 96 72、240.023=P(X2 96)=P-1-0()I cr cr J C T故查表知从而 X-N (7 2,1 22)240()=0.977(T24。叫=2,即。=12(
49、T故 P(60 X 84)=fl-X 72 84 72、-12 12)=6一(-1)=2 一1=0.6 824 8.在电源电压不超过2 0 0 V、2 0 0 V 2 4 0 V和超过2 4 0 V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.0 0 1 和 0.2 (假设电源电压X服从正态分布N (2 2 0,2 5?).试求：(1)该电子元件损坏的概率。；(2)该电子元件损坏时，电源电压在2 0 0 2 4 0 V的概率【解】设解=电压不超过2 0 0 V,4 2=电压在2 0 0 2 4 0 V,4 3=电压超过2 4 0 V,B=元件损坏。由 X-N(2 2 0,2 52)知P(
50、A)=P(X W2 0 0)/X-2 2 0 2 0 0 2 2 0)-I 2 5 -2 5 ,=(-0.8)=1-0(0.8)=0.2 1 2P(A2)=P(2 0 0 X 2 4 0)=1-0.2 1 2-0.5 7 6 =0.2 1 2由全概率公式有3a =P(B)=Z P(4)P(B|A)=0.06 4 2/=1由贝叶斯公式有夕=P(4 18)=P(4 黑。0.0094 9.设随机变量X在 区 间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量y=e 2 x 的概率密度册).-1，1 c x 2【解】以(幻=:甘X 0,其他因为尸(1 X 2)=1,故 P(e2 r e4)=1当 yW e?时