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1、1概率论与数理统计习题及答案习 题 一I.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生，B,C都不发生；(2)A与 8 发生，C不发生；(3)A,B,C都发生；(4)A,B,C至少有一个发生；(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C不都发生；(7)A,B,C至多有2 个发生；(8)A,B,C至少有2 个发生.【解】(1)A BC(2)A B C(3)AB C(4)A U BU C=A B C U A BC UA B C A B C U A B C U A B C U A B C=A B C(5)A8C=AUBUC(6)A B C(7
2、)A BCU A BCU A BC U A BCU A B C U A BC U A BCA BC=A U fi U C(8)A B U 8C U C A=A B C UABCU A B C U A B C3 .略.见教材习题参考答案4设 A,B为随机事件，且 P =0.7,P(A-B)=0.3,求 尸(A B ).【解】P (A 5 )=l-P(4 B)=1-P(4)-P(A-B)=1-0.7-0.3 =0.65 .设 A,B 是两事件，且 P (A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(4 B)取到最大值？(2)在什么条件下P C A B)取到最小值？【解】(1)当A 8=
3、A 时，P C A B)取到最大值为0.6.(2)当AUB=Q时，P G 4 B)取到最小值为0.3.6.设 A,B,C 为三事件，且 P (力)=P (B)=1/4,P(C)=1/3 且 P (A B)=P(B C)=0,P(A C)=1/1 2,求 4,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A U B U C)=P(A)+P(8)+P(C)-/W)-P(8C)-P(A C)+P(A 8C)-4+4+3-12-47.从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=C；3 c3 c：3 黑/图8.对一个五人学习小组考虑生日问题
4、：(1)求五个人的生H 都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4尸 五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7、，有利事件仅1 个，故P(4。=4=(-)5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设A?=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故,、65 6 5P(4)=-y=(-)575 7(3)设小=五个人的生日不都在星期日P(4 3)=1-尸(4)=1-(；)59 .略.见教材习题参考答案.1 0.一批产品共N件，其 中M件正品.从中随机地取出n件(30.如图阴影部分所示.602 422.从（0,1）中随机地取两个
5、数，求：（1）两个数之和小于g 的概率；5（2）两个数之积小于1 的概率.4【解】设两数为和，贝 iJOyyvl.6（1）x+y.j_44p=1-2之5=!Z=o 681 1 2 51 xy=0.9即为(0.8)n 3，(n-1)!1 ，3!(一 2)!Pi=-=-；P2=-；，心3n n n3 8 .将线段0,任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0 xa,0ya fia-x-y a-x-yx+(a-x-y)yy+(a-x-y)x构成的图形，即0y 2ay al_2如图阴影部分所示，故所求概率为p=L .43 9 .某人有n把
6、钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k=l,2,箱)才能把门打开的概率与k 无关.【证】=p得i=上1,4=1,2,.,4 0 .把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率尸(4,)(/=0,1,2,3).【解】设4=小立方体有i 面涂有颜色，/=0,1,2,3.在 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有1 2 X 8=9 6 个.同理，原立方体的六
7、个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的，共 有 8*8 X 6=3 8 4 个.其余1 0 0 0-(8+9 6+3 8 4)=5 1 2 个内部的小立方体是无色的，故所求概率为c 19 3X4p(A)=0.512,P(A)=0.384,十 1000 1 1000p(4)=网-=0.096,尸(AJ=-=0.008.1000 4 10004 1 .对任意的随机事件A,B,C,试证P(A B)+P(A C)-P(B C)PA(BUC)=P(ABJAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3
8、的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为/,/=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4,种，杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球，故P（4）C：3!_ 3 4-8而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故C1P（4）=消=1163 1 9因此 P（4）=l P（4）P（A）=l 7 7 =；7o io lo或 次 儿）=上CC半2C1 =29“43 1643.将一枚均匀硬币掷2”次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：4=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,4,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬
9、币是均匀的，故 产（A）=P（B）.所以p =4 0由2重贝努里试验中正面出现n次的概率为p（c）=q,（m44.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P（A）=尸（B）（1）当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得尸（A）=P（B）=0.5（2）当“为偶数时，由上题知1 2 Jp（A）=-i-c （-r 45.设甲掷均匀硬币”+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲片甲掷出的正面次数，甲 反=甲掷出的反面次数.乙片乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.
10、显然有（甲I命）=（甲 正 W乙正）=（+1-甲 反 乙 反）=(甲反2 1+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P(甲正 乙正)=p(甲反乙 反)因此P(甲正乙正)=24 6.证 明“确定的原则”(Sure-thing)：若 P(AIC)P(BC),P(AC)P(BC),则 尸(A)2 P.【证】由P(AIC)2P(8Q,得P(AC)P(BC)尸(C)-P 即有 P(AC)P(BC)同理由 P(AC)P(BC),得 P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)47.一列火车共有n节车厢，有k(k2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有
11、一个旅客的概率.【解】设A尸 第i节车厢是空的,(日,)，则P(4)=(l%n np(4 A)=(i-与M 1P(A&其中八/2,i“-i是1，2,，中的任T个.显然节车厢全空的概率是零，于是5=尸(4)=(1%=C(1与,=1 一=Z P(A 4)y(i-2 y1/jo.试证明：不 论e 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则4迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1一(1一)”-1(-8)49.袋中装有机只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=投掷硬币
12、次都得到国徽8=这只硬币为正品由题知 P(B)=-,P(8)=一m+n m+n1 -P(AB)=,P(AB)=l则由贝叶斯公式知P(m A)-P(A B)P 尸(A I B)P(A)P(6)P(A I 6)+P(6)P G 4 I 8)i n 1_ m+九 2 _？m 1 i m+2-7 n-1m +n 2r m +n50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以5、%记火柴取自不同两盒的事件
13、，则有P 3)=P(82)=g.(1)发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了 2-r次，设 次取自囱盒(己空)，”-r次取自4盒，第2 -r+l次拿起以，发现已空。把取2-r次火柴视作2-重贝努里试验，则所求概率为A =2=C：_,式中2反 映 与 历 盒 的 对 称 性(即 也 可 以 是 盒 先 取 空).(2)前2”-r-l次取火柴，有”-1次 取 自 盒，”-r次取自生 盒，第2”-r次取自以盒，故概率为2=2弟一(1-广，；=C M一夕t51.求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q +P)”=C W+C：p/i +C：p 2 广 2 +.
14、+c：p%。=1(q-4 =C%q +C；p q T +C：p 2 广 2 一.+(_ i)“c：p”。以上两式相减得所求概率为P i=C；p q T+C：p 3/-3+=；u-(g-p)=1 l-(l-2 p)n若要求在 重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=l l +(l-2 p)n.5 2 .设A,B是任意两个随机事件，求 P (耳+8)C A+B)C A +B)(A+B)的值.【解】因 为(A U B)n (AUB)=A B A B(A U/?)A (A U B )=AB U A B所求(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=0故所求值为0.5 3 .设两两相
15、互独立的三事件，力，8和 C 满足条件：A B C=，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且 P(X U B U C)=9/1 6,求 P(4).【解】由 P(4 U 3 U C)=P(4)+P(B)+P -P(AB)-P(AC)-P(B C)+P(AB C),9=3 P(A)-3 P(A)2=l o1 3 1 1故P(A)=1或彳,按题设P(A)0,P（*8）=1,试比较P（A U B）与尸（力）的大小.（2 006 研考）解：因为 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(B)-PAB)=P(B)所以 P(A U B)=P(A)+P(8)P(8)=尸(A).习题二1.
16、一袋中有5 只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3 只，以X表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5c3一cclc=0.1=0.3=0.6故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在1 5 只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1 只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)1 3 3PX-,PlX,PiX,PlX 2.【解】X =0,1,2c3 2 2P(X=0)=二=丝C：5 3 5p(x=l)=CC2 =1 2.C：5 3 5C1 1p(x =2)=号 J.O1 3 5故
17、 X的分布律为X 01 2P 2 23 51 2 13 5 3 5(2)当 x 0 时，F(x)=P(X Wx)=02 2当 OWx cl 时，F(x)=P(X Wx)=P(X=O)=3 53 4当 l Wx 2 时，F(x)=P(X Wx)=P(X=O)+P(X=1)=3 5当 时，F(x)=P (XS x)=1故 X的分布函数0,x 02 23 53 43 50 x l1 x 2P(X ；)=；)=2 2353 3 34 34P(1X )=F()-F(l)=02 2 35 3533 12F(1 X )=P(X=1)+P(1X W )=2 2 3534 1P(1X 2)=F(2)-F(l)P
18、(X=2)=1 35 35=0.3 .射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0.8,求 3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=l)=C；0.8(0.2)2 =0.096P(X=2)=C；(0.8)2().2 =0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故 X的分布律为X0123p0.0080.09 60.3 8 40.5 1 2分布函数0,x 00.008,0 x lF(x)=0.104,1 x 20.488,2 x 3P(X 2)=P(X=
19、2)+P(X=3)=0.8964 .(1)设随机变量X的分布律为才P X=k =a ,其中k=0,1,2,，1 0 为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为P X=k =a/N,k=,2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知1 =P(X=k)=k=0 k=0IT=a故a=e(2)由分布律的性质知N可T =P（X=k）工F =ak=y it=i N即0=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3 次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则Xb(3,0.6),丫 6(307)(1)p(x
20、=y)=p(x =o,y=O)+P(X=i,y =I)+P(X=2,y=2)+p(x=3 7=3)=(0.4)3(03)3+C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2+C；(0.6 o 4 c；(0.7)2 Q 3+(O.6)3(O.7)3=0.32076(2)p(x y)=p(x =i,y =O)+P(X=2,y=O)+P(X=3,y=o)+p(x =2,y=I)+P(X=3,y=I)+P(X=3,y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C(0.6)20.4(0.3)3+(0.6)3(0.3)3+C；(0.6)2.4 C；0.7(0.3)2+(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.
21、6)3C(0.7)20.3=0.24 36.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 Xb(200,0.02),设机场需配备N 条跑道，则有P(X N)0.01200即X Goo(0.02)A(O.98)2oo-i,0.01k=N+l利用泊松近似A=np=2 00 x 0.02 =4.H 6 T 4 P(X N N)Z 1)=1-P(X =0 l-e-211.设
22、 P X=k =C：p l-p)2*,k=0,l,2P Y=t n =C f p (l p)4 m,?=0,1,2,3,4分别为随机变量x,y 的概率分布，如果已知P X 2 1 =2,试求9【解】因为P(X N 1)=故 P(X4-9XI/=而p(x 1)=1 -P(y=0)=1-(1-/?)4=0.80 2 4 78112 .某教科书出版了 2 0 0 0 册，因装订等原因造成错误的概率为0.0 0 1,试求在这2 0 0 0 册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X为 2 0 0 0 册书中错误的册数，则 X M(2 0 0 0,0.0 0 1).利用泊松近似计算，%=叩=2 0 0 0
23、 x 0.0 0 1 =2得e-225P(X=5)B-=0.0 0 185!3 113 .进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2,人 1 T.P(X =&)=(：)累P(X=2+HX=4+计 P(X =2%)+言+513 44 1-(1)24之+己 产、4 4 4_514.有 2 50 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.0 0 2,每个参加保险的人在1 月 1 日须交12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金
24、.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10 0 0 0 元、2 0 0 0 0 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日，保险公司总收入为2 5 0 0 X 1 2=3 0 0 0 0 元.设 1 年中死亡人数为X,则 X 6(2 5 0 0,0.0 0 2),则所求概率为P C 2 0 0 0 X 3 0 0 0 0)=P(X 1 5)=1-P(X 15)，1-Z4=0 x 0.000069（2）P（保险公司获利不少于10000）=P(30000-2 000X 10000)=P(X 2 0000)=P(X 5)5 e V-0.615961总k!即保
25、险公司获利不少于2 0000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为fix）=AeM,-r+,求（1）A 值（2）POX1;（3）F（x）.【解】（D由 /（x）dx=l得1 =A exdx=2 Ae-dx=2A故A=.2(2)p(0X l)=g f心 位=；(1 一e)当 x0 时，F(x)=1 e-lvldx=edx+j|e-xdx故尸(x)=lev2，x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为於）=.p,X2 100,0,x100.求（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；(3)F(x).【解】(4
26、 5 0 1 0 0 1(1)P(X 1 5 0)3=(-)3=2=吗(|T(3)当 x100 时 F(x)=0当x2100时尸(x)=/f(t)dtfl 00”=/(，辿+L j)d fJ-x JI 00故1 0 0尸(x)=1 0 0 x 017.在区间 0,a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0,R中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【解】由题意知*。0,0，密度函数为.0,其他故当xa 时，F(x)=1即分布函数0,x 0F(x)=,X,0 x a18.设随机变量X 在 2,5 上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次
27、的观测值大于3 的概率.【解】XU2,5,即/(%)=了0,2 x 3)=f=：故所求概率为P =C(|)2；+C(|)3=.1 9 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计)服从指数分布E，).某顾客在窗口等待服务，若超过1 0 分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求P ye i.【解】依题意知乂七(；)，即其密度函数为-e 5,x 0/W=p0,x 1 0)=一e Y(1 i =e-2J o 5丫 b(5,e-2),即其分布律为p(y=公=C；(e 1)=1-P(y=0)=l-(l-e-2)5=0.5 1 6 7
28、2 0 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从 N (4 0,I O?)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N (5 0 ,42).(1)若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，X N(40,I O?),则尸(X 6 0)=消)=。(2)=0.9772 7若走第二条路，X-N(50,4?),则P(X 6 0)=60-5 0 =0(2.5)=0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 X N(40,I O?),则P(
29、X 45)=P(1 X-4 0 45 J。4 0、1=0(0.5)=0.6 91 5若 X N(50,42),则P(X 45)=.(乂 j O 4 5 j O)=0(_ 2 5)=1-0(1.2 5)=0.1 056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN(3,22),(1)求尸2 XW5,P(-4X2,PX3;(2)确定 c 使尸Xc=PXWc.【解】(1)尸(2 X W 5)=P(辞=0=。一1 +0=0.841 3 1 +0.6 91 5=0.532 8P(-4 X 1 0)=P-4-3 X3 1 -03-2)=P(X 2)+P(X 3)=P(-)=1 。(0)=0.52 2(2)
30、c=32 2.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062)，规定长度在10.05+0.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(l X-1 0.051 0.1 2)=PX-1 0.050.060.1 2-0.06=1-0(2)+0(-2)=2 1-G(2)=0.04562 3.一工厂生产的电子管寿命X(小时,)服从正态分布N(160,(72),若 舞 P12 0X2 00)0.8,允许。最大不超过多少？【解】P(1 2 0 V x 42 00)=P1 2 0-1 6 0 X-1 6 0 2 00-1 6 0-0.81.2 92 4.设随机变量X分布函数为F(x)=0
31、,x 0)(1)(2)(3)求常数A,B-.求/X W 2,P X3 i求分布密度/(x).【解】（1）由0+x-0-B=-(2)P(X 3)=1-尸 =1 一(l-e-3，=e f(x)=F x)=00,x 02 5.设随机变量X的概率密度为f(x)=羽2 x,0,0 x 1,1 x 2,其他.求 X的分布函数尸（x）,并画出了（X）【解】当x 0时 F （%）=0及 尸（x）.当 OW x v l 时 (x)=xfOJ(f)d f=/(f)df +：/山2tdt=，2当 l x 2 时 F(x)=：/(f)df=D)d f=f/(f)d f+f/山fl/=!j df+(2 T)d/=-+2
32、 x-22 2-+2 x-l2当 x2 2 时尸(x)=/Q)df=10,x 02X0 x l9故 F(x)=J 2-+2 x-l,1 x 22 6.设随机变量X的密度函数为(1)/W/e-w,X0;bx,0 x 1,(2)fx)=1 x 0-eZx x0 时 F(x)-Jr/(x)dx=f +争“dr1 1 -一，*=1-e2故其分布函数 1 p.-12，x 0 x 0(2)由 1=J/(x)dx=b xdx+j J d x =g+得b=即X的密度函数为x,0 x 1f(x)=1,lx2X0,其他当xWO 时 尸(x)=0当 0r l 时 F(x)=/(x)dx =/(x)dx+/(x)dx
33、 d=x dx =小 2当 l W x 2 时/(x)=/(x)dx =f 0.+/x d x+J d r_ 3 _ 22 x当x22时 尸(x)=1故其分布函数为 0,x 00 x ll x 22 x,1,2 7.求标准正态分布的上a分位点，(1)a =0.01,求 z/a=0.003,求 Z a，Z/2.【解】(1)P(X)=0.01即1 。()=0.01即)=0.09故za=2.33(2)由 P(X zQ=0.003得即1 吸)=0.003 a )=0.997查表得Z a =2.75由于(X 7/2)=0 9 0 1 5得1一 嗅/2)=0001 5即*2)=0-9985查表得Z a/2
34、 =2.962 8.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1 51 1/30求y=x?的分布律.【解】y可取的值为0,1,4,9p(y =o)=p(x =0)=；1 1 7P(Y=)=P(X=-l)+P(X=)=-+=6 1 5 30P(Y=4)=P(X=-2)=(P(y=9)=P(X=3)=那故y的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 1 1/302 9.设 P X=k=(),k=l,2,，令2v1,当取偶数时-1,当 取 奇 数 时.求随机变量x的函数y的分布律.【解】p(y=i)=p(x=2 +PIX=4+-)+P(X=2k)+-30.设X N
35、(0,1).(1)求丫=6*的概率密度；(2)求y=2 X2+l的概率密度;(3)求y=I x I的概率密度.【解】（1）当 y 0 时，4(y)=P(Y y)=P(e*y)=P(X ody y y尸(Y =2 X 2+1 2 1)=1当y W l 时%(y)=P(y y)=O当 y l 时 FY(y)=P(Y y)=P(2 X2+1 y)P X2 0 时 4(y)=P(X y)=P X 0而31.设随机变量X U (0,1),试求：(1)N=eX 的分布函数及密度函数；(2)Z=-2 1 n X 的分布函数及密度函数.【解】P(O X 1)=1故 尸(l y =e，e)=l当 y V l 时
36、(y)=尸(Y y)=O当 l y e 时 Fy(y)-P(ex W y)=P(X I n y)dny=I dr =I n y当 y ee 时%(y)=P(e、y)=1即分布函数Q4(y)=I n y,1,故 丫 的密度函数为1A(y)=*y，o,1 y e”e1 y e其他(2)由 P(00)=1当 z W O 时，Fz(z)=P(Z 0 时，B Q)=P(Z W z)=P(2 1 n X z)F(l n X ez/2)f“dx =l-e-2即分布函数故 Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为F z(z)=0,z 01 ./z =2e0,2,z 0z 0./W=2x s,T i t)X
37、 7T0,其他.试求y=sinX的密度函数.【解】p(o y i)=i当 yWO 时,FY(y)=P(Y y)=O当(Xy 1 时，Fy(y)=P(Y y)=P(s i n X y)-P(O X a r a f i i Bi n )-P(-y X =(r c s i r j n a r edi f i -yn n -2 .=a r c s i n y71当yN l 时，FY(y)=l故 丫 的密度函数为2 1nl一-7=，0 y l/Jy)=71 Ji -)广0,其他33.设随机变量X 的分布函数如下：1尸 )=TTF(2),x(3).试填上，,项.【解】由l i m P(x)=1 知填1。由
38、右连续性l i m E(x)=/(/)=1 知 =0，故为0。从而亦为0。即x 0尸(x)=1+/1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数X 的分布律.【解】设A产 第 i 枚骰子出现6 点。(i=l,2)，尸(4)=L 且4与仆相互独立。再 设 C=每次6抛掷出现6 点。则p(c =P(A U&)=P(A)+P(G)-P(C)P(4)故抛掷次数X 服从参数为 的儿何分布。3635 .随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令 X 为0出现的次数，设数字序列中要包含八个数字，则Xb(n,0A)P(X 1)=1-P(X =O)=l-C(O.l
39、)o(O.9r 0.9即(0.9)0.1得”222即随机数字序列至少要有22个数字。36 .已知0,F(x)=x+,21,x 0,-x-col im F(x)=1,所以F (x)是一个分布函数。XT+OO但是尸(x)在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 尸(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37 .设在区间山,切上，随机变量X 的密度函数为八x)=s inx,而在|a,勿外，/)=0,则 区 间 ,加等 于()(A)。，“；0,J i ;(C)|-7 r/2,O;(D)2【解】在 呜 上 s iiu20,且 s inxd x=l .故於)是密度函数。在|0,兀|上 P s
40、 inxd x=2 H 1.故於)不是密度函数。1T在上 s i n x 4 0,故人工)不是密度函数。3 3在 0,邛 上，当时，s iiuvO,危)也不是密度函数。故 选(A)。38 .设随机变量X N (0,。2),问：当。取何值时，X 落入区间(1,3)的概率最大?1 V 3【解】因为 X N(0,c r 2),P(l X 3)=P(一 一 3)a a a3 i=1)(一)一(一)令g(c r)a y=利用微积分中求极值的方法，有3,3 1 1g(。)=(-)+(一)(7。b。3 -9/2T2,-l/2a2一 七 砺 二 后1 2 2 令._ _ e 1/2C T 1 3e-8/2b
41、=。,4得而 厕又g(bo)O2故4 00,x 0)=1,故 O c l-e-c l,即 P(0rl)=1当 yWO 时，Fy(y)=0当 时，Fy(y)=1当 0 y)=P(Y W y)=P(e 2 t l-y)P(X -1 l n(l-y)=P2 2 e*Ad x =y即 y 的密度函数为力(y)=1,0 y 10,其他即 Y-U(0,1)41.设随机变量X 的密度函数为fx=2529?0,0 x l,3 x 6,其他.若k使得PX2 灯=2/3,求k的取值范围.2 1【解】由P(X 2 k)=一知P (X k)=-(2 000研考)3若 kO,P(Xck)=O3rlk 1-d x=-当上
42、 1 时 P (X4)=-3若 1 W MW 3 时 P (X k)=f ；心+f Od x =若 34W6,则 P (X 6,则 P (X k)=12故只有当1 W A W 3 时满足P (X 2 k)=-.34 2 .设随机变量X的分布函数为x 1,1 4 x 1,1 x 3.求 X的概率分布.（1 9 9 1 研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40.40.24 3 .设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为1 9/2 7,求 4在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中A出现的次数，若 设?（
43、A）=p，则X也 3,p）19 8由（X21）=一 知 P （X=0）=（1-p）3=一2 7 2 7故P=；4 4 .若随机变量X在（1,6）上服从均匀分布，则方程J+X y+l W 有实根的概率是多少？【解】0,其他,4P(X2-4 0)=P(X 2)+P(X 2)=-4 5.若随机变量X N (2,。2),且 刊 2 X 4=0.3,则尸 X 0 =.【解】O.3=P(2X 4)=尸(2一-2 X-2 。4-2)(J(J(J2 2=0()-0(0)=0()-0.5(7(7故(2)=0.8(7Y _ /2 0?7因此 P(X 0)=P(-9 6)=P|=)I cr T)cr故查表知从而 X
44、 N (72,1 22)2 4(一)=0.9 77C T差=2,即。=1 2(7故 P(6 0WXM 84)T有&g8 4-72-1 2 J=6 1)-0(-1)=2 11)-1=0.68248.在电源电压不超过2 00V、2 00V2 40V和超过2 40V三:种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和 0.2 (假设电源电压X 服从正态分布N(2 2 0,2 52).试求：(1)该电子元件损坏的概率。；(2)该电子元件损坏时，电源电压在2 002 40V的概率8【解】设A尸 电压不超过不0V,A产 电压在2 002 40V,仆=电压超过2 40V,8=元件损坏。由 XN(2
45、 2 0,2 52)知尸(A1)=P(X W2 00)f X-2 2 0 2 00-2 2 011F-F-J=(0.8)=l-D(0.8)=0.2 12P(4)=P(2 00X(0.8)(一0.8)=0.576P(A：)=P(X 2 40)=1-0.2 12-0.576=0.2 12由全概率公式有3a =p(B)=Z P(4)P(B=0.0642i=l由贝叶斯公式有0=尸(A,I B)=P(.)P 4)x 0.009-P(B)49.设随机变量X 在 区 间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e的概率密度 y).【解】/X(x)=r1 x 2其他因 为/(12)=1,故 尸(e2ye4)=
46、1当 y 时 FY(y)=P(丫 0)=0.当 e2ve4 时，FY(y)=P(Y y)=P(e2 x y)=P(1 X )=,万1-1,1,y e2e2 y e4故1/y(y)=2y0,e2 y 0,x 0.e求随机变量Y=ex的密度函数y）.【解】P（啰1）=1(1 995研考)当 y1 时，Fy(y)=P(,Y y)=P(ex y)=P(X Wi n y)dny I=f e-dr =1 y0,y l故51.设随机变量X的密度函数为1A(y)=lfx(x)=7T(1 +X2)即求Y=-Jx的密度函数加），）.【解】Fy(y)=P(Y y)=P(1 -V X (1 -)3)故一一ar c t
47、g(l-y)3A(y)3 (l-y)2Ti l +(1 -y)652.假设一大型设备在任何长为/的时间内发生故障的次数N (z)服从参数为X/的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.(1 993研考)【解】当 0时,FT(t)=P(T t)=O当f20时，事件 T M与 N(f)=O等价，有F.r(t)=P(T t)=-P(N(t)=0 和一e1 厂耳=0,即z 0f 1 6 1 7 8)=尸(71 6)/尸(78)=6-353.设随机变量X的绝对值不大于1,P X=-l =l/8,P X=l =l/4.
48、在 事 件 出 现 的 条件下，X在-1,1 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F (x)=P XWx .(1 997研考)【解】显然当x-l时F(x)=0；而x 2 1时F(x)=1由题知 P(-1 X 1)=1-1一 =38 4 8X+当时，P(X x l-l X 1)=-此时尸(x)=P(X x)=P(X,-l X 1)+P(X M x,X=1)+尸(X x,X=1)=P(X x,-l X 1)+P(X x,x =-l)=P(X x l 1 X 1)P(1 X 1)+P(X=1)小1 LW(x+iQ2 8 8 1 6 8当 x=-l 时，F(x)=P(X
49、x)=P(X=-1)=-8故X的分布函数0,x -lF(x)=J x +l)+*-lx 1 154.设随机变量X服从正态分N (i 2),丫服从正态分布MW.d)，且P IX-i k l P IF“2仁1 ，试比较久与。2的大小.(20 0 6研考)解：依题意 七*N(0,l),上 二 N(0,l),则0%P|X-闻 1=P =J ,0 7,即_ 闯：.因为 P|x_R i尸 ,闻 1,即 口口 _L,5|7“,即/。2b%3习题三i.将一硬币抛掷三次，以x表示在三次中出现正面的次数，以 丫 表示三次中出现正面次数j出现反面次数之差的绝对值.试写出x和y的联合分布律.【解】x和y的联合分布律如
50、表：X012310Z 1 1 1_3-X -X -=一3 2 2 2 8C；f x=3/83 2 2 2038001 1 1 1X X =2 2 2 82.盒子里装有3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取4 只球，以X 表示取到黑球的只数，以y表示取到红球的只数.求X和y的联合分布律.【解】x和y的联合分布律如表：X01233.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为000c；c；=3C；3 5C；C；=2C；3 510C c；C；=6C；3 5C；C；C；1 2C；-3 5C；C；_ 2C -3 52尸(0 黑,2红,2白)=c；C；C；_ 6C；一3 5C；C；=3C；3 50F(