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1、10.2平 面 向 量 的 数 量 积（精 练）（提 升 版）题 组 一 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 1.（2022河 南 高 三 开 学 考 试（文）已 知 向 量=（2,1），%（L 1），且，若 碗 4,力 则 实 数 加 的 值 为（）A.0 B.T C.-D.-5 4【答 案】D【解 析】因 为 向 量=（2,1），6=（x-l,x）（xl）,且|昨 G所 以 I 昨 石=J d）2+x 2,得 x=-l（舍）或 x=2,即-1,2），所 以,ma b=（2m 2）5所 以（痴 一 垃$=4?-5=0,解 得 加=.4故 选：D.-2.（2022全 国,高 三 专 题 练 习
2、）（多 选）已 知 向 量 a=（2-?,3）,/?=（?/），则 下 列 说 法 正 确 的 是（）-1 T T=3A.若 6,则 加=B.若 a J.b,则 2C.2:+力 的 最 小 值 为 7 D.若 则：与；的 夹 角 为 钝 角【答 案】AC【解 析】若 m、则 2一 机=3,解 得 m=1,故 选 项 A 正 确；2若 t:，则 用（2-?）+3=0，解 得 加=T 或 帆=3,故 选 项 B 错 误；a L b）由 题 得 21+力=（4-机,7）,故 士+%=，（石 f N 7,当 且 仅 当 加=4 时 取 得 最 小 值，故 选 项 C 正 确；（）当 时，a b 0,q
3、 与 b 的 夹 角 不 为 钝 角，故 选 项 D 错 误.故 选：AC.3.（2022全 国 模 拟 预 测）（多 选）已 知 向 量 Z=（1，T）,坂=（2，1）,p=3&,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若（加 屋 可，（3+可，则”=2B.若 向 量 2 与 之 的 夹 角 为 贝，22+=后 C 若 大 小 则 向 量 工=（3,-3）D.若 垢+4 与 4 5 的 夹 角 为 锐 角，则 实 数;I的 取 值 范 围 是（_8,4）【答 案】AB【解 析】对 于 A,由 题 可 得 3=lx2-lxl=l,所 以 由%-小 仃+可，得（za 右（a+刃）=/n 回=2
4、加+（加 一 1）一 5=0，解 得 加=2，所 以 A 正 确；对 于 B,因 为 黑=口 卡 辰（=3,故 悔+,=哲+,=高+启 工 片=J8+12+18=屈，所 以 B l：确;对 于 C,因 为 力 无，所 以 存 在 X R,使 得=xZ=（x,T）,则 由|=&+（_可 2=3 0,得 x=3或 X所 以=（3,-3）或 工=（-3,3），所 以 C 不 正 确：对 于 D,若 2 a+4 与 4”9 的 夹 角 为 锐 角，则（2：+码（4”可 0,且 加+萩 与 4.-5 不 共 线，所 以 8中 咽,+（4/1-2）右 0,即 1 6-5 a+（4/-2）0,解 得 石 凌
5、，乂 2。+4=（2+2 4,2-2），4 a-b=（2,-5）*2Z+苏 与 4 a-否 不 共 线,所 以（2+2 4）（-5）w（，-2）x 2,得 2所 以 实 数，的 取 值 范 围 为 1-8,-加（-/,14），所 以 D 不 正 确.故 选：AB4.（2022山 东 日 照 二 模）（多 选）已 知 向 量 而=（2,0），万=（1,1），则（）A.而 方 B.（玩 _万）_（_万 C.m S-ii D.同=应 同【答 案】BD【解 析】由 所=（2,0），元=（1,1），玩 万=（1,-1），对 于 A,若 成 方，由 2 x l x 0 x 故 A 错 误：对 于 B,若（
6、前 一 百 万，则 lx l+（-l）xl=0,符 合 题 意，故 B 正 确；对 于 C,若 而，斤，由 比.力=2X 1+0X 1=2 K（F 故 0 错 误：对 于 D,网=2,同=+/=,故 D 正 确.故 选：BD.5.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）（多 选）已 知=（8 5。,5比。）行=（8$夕,4”）淇 中。,尸 0,2兀），则 以 下 结 论 正 确 的 是（）A.若 2/区,则 a=PB.若 则|a-0|=5或 三 C.若 方 3=一 1,则 m+=12D.若|-引=同，则 鼠 年+方）=3【答 案】BCD【解 析】对 于 A,若 Q/B，则 cosa sin
7、夕-sin a cos夕=0 则 sin（夕-a）=0，因 为 Q,0 0,2兀）,所 以 一 2兀 211尸 一 口，则 夕-a=-兀 或 夕 一 a=0 或 夕 一 a=兀，故 A 不 正 确；对 于 B,若 g 贝 lJcosacos+sinasin/?=0,则 cos（a-0）=O，因 为。,夕 0,2兀）,所 以-2兀 及”尸,所 以 a _ p=5或 a-/?=士 费，所 以|a-|=/或 与，故 B 正 确：对 于 C,a-b=-,则|T+B|=7 G 2+后+2G B=7cos2a+sin2a+cos2/?+sin2 p-2a-b2=Jl+l+2x（-i）=p 故 C 正 确；
8、对 于 D,若 卜-昨 同，则-孙=1,则）?+7-2 1 石=1,则 1+1-2展 5=1,即 力 石，所 以i 3a-(a+h)=a2+a-b+-=-,故 D 正 确.故 选：BCD.6.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)(多 选)已 知 向 量=(3,1)，石=(1,3)，则 下 列 说 法 正 确 的 是()A.(+A)1(-f t)B.a,否 的 夹 角 为 6。C.在 加 上 的 投 影 向 量 为|坂 D.书 在 上 的 投 影 向 量 为【答 案】AC【解 析】由 之=(3，1),苫=。，3),可 知 忖 咽=而，=3xl+lx3=6.对 于 A选 项，+4(1 3)
9、=/_户=同 2+时=10_10=0,故 R+故 A 正 确；对 于 B选 项,a b a-h 3 1 a b设 为，的 夹 角，则 8$丽=丁 5,故 B 错 误；对 于 C选 项，在 上 的 投 影 向 量 为 同 c s e g=|%故 C 正 确；对 于 D选 项，在 上 的 投 影 向 量 为|料 必 百 二|。，故 D错 误.故 选：AC.7.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)(多 选)已 知 向 量 石=(-3,2),5=(2,1)，c=(2,-1)-2 e R，则()A.若(G+2B)JLd，则 2=4B.若 万=区+己,则；1+-6c.M+痴 I的 最 小 值 为 拽
10、 5D.若 向 量 3+B与 向 量 涕+己 的 夹 角 为 锐 角，则 4 的 取 值 范 围 是(-8,-1)【答 案】ABC【解 析】对 于 A,因 为 4+25=(1,4)，c=(A,-l)(a+2b)lc1 所 以 1x4+4x(-l)=0,解 得 a=4，所 以 A正 确.对 于 B,由 方=历+万，得(_3,2)=01)+(，,-1)=(+。-1)，则 尸=2 f 解 得 尸=-9,故 4+/=-6,所 以 B 正 确.2=-1,，=3对 于 C,因 为 a+B=(-3,2)+(2,l)=(2-3,M+2)，所 以 卜+闷 二=“2-8+13=收 _ 扑,，则 当=1 时，M+词
11、 取 得 最 小 值，为 呼，所 以 C 正 确.对 于 D，因 为 7+1=(_,3)，23+5=(4+4,1)，向 量 立 石 与 向 量 25+5的 夹 角 为 锐 角，所 以(&+5)(4+2)=-110,解 得/3 X(4+2)=0,解 得 a=-上，3所 以 2的 取 值 范 围 是(70,-日)口(-弓,-1)，所 以 D 不 正 确.故 选：ABC.题 组 二 平 面 向 量 的 数 量 积1.（2022 昆 明 模 拟）四 边 形/B C D 中，ABDC AB=3,D C=2,Z A B C=90 则 A C+B D）A B=（）A.2 B.1 C.4 D.3【答 案】D【
12、解 析】A C A B+BCBD B C+C D B C-A B-3故 就+丽.方+2前,3所 以（%+而）.益 刀+2前.刀 刀,+2就.布=3 3B C故 答 案 为：D.2.（2022 江 苏）在/18C 中,J 3若-画=1,西=2,而+狗=|网,则 竿 竿 二A.-B.-C.-D.也 2 2 2 T【答 案】B【解 析】因 为 孤+就=丽，所 以|方+就|=|抚-刀 所 以 2 2 2 2,AB+/C+2AB AC=AB+AC-2 A B AC所 以 瓦-k=0,所 以 刀，就，即 4=90。，又|万 卜 1,|瑟 卜 2,故/8=60,NC=30,|就|=/，所 以 祝 反 狗 园
13、 cos3（T故 选：B.323.（2022江 苏 南 京 模 拟 预 测）在 A/。中，”8 Z C=0,|荏 卜 3,|太 卜 4,。为 的 重 心，。在 边 8 c 上，且 4 O-L 8 C,则 而.而【答 案】25【解 析】因 为 为 A/8 C 的 重 心，所 以 加=;(方+就),因 为 万%=()，所 以 N 8 1/C,则 忸 C|=而 行 函=5,因 为 所 以 以 皿=；|4斗|/4=；|/。|忸 q,即;x3x4=；|/)|x5,所 以|ZQ|二 丝,在 Rt“。中，|网=：阿+回=7=?方 法 一：因 为 石 二 刀+而 二 刀+2 团，=AB+-(A C-A B25
14、、9 16=AC+AB25 25+/可，1=X39625方 法 二：以 A 坐 标 原 点，/c 为 工 轴，为 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则=(4,0)，存=(0,3)，由 方 法 一 可 知 而=2 抚+竺 万 生,驾 i，亚（方+就）=4,1），25 25 1 25 25）3 1 3 J所 以 方.而 g l l+l 嚼 吟 4.(2022浙 江 高 三 开 学 考 试)在“8 C 中，AB=AC=5,C O S ZBAC=-,A D=-AB+-A C,则 5 3 2D B D C=-【答 案】4_ _ _ 2 _ _ _ _ _ 1 _ 1_【解 析】DB=AB-AD
15、=-1 B-一 A C,D C A C-J D 一 一 71B+-AC,3 2 3 2所 以 丽.皮=（l万 彳 就）鸟 存+；就 卜 褶 就 廿 就 2=_ 2X 9+1X3X5X1-1 X52=9 2 5 4 4 故 答 案 为：-24题 组 三 巧 建 坐 标 1.（2022全 国 模 拟 预 测）已 知 A/B C 是 等 边 三 角 形，E，/分 别 是 和 4 C 的 中 点，P是 边 上 一 动 点，则 满 足 而.而=而.才 的 点 尸 的 个 数 为.【答 案】4【解 析】以 s c 的 中 点.为 坐 标 原 点，BC所 在 直 线 为 x 轴，a 所 在 直 线 为 y
16、轴，建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系.设“8 C的 边 长 为 4,则 6（-2,0）,C（2,0）,/（0,2月），网 1二）,尸（四,而=（1,CF=（-1,）,设 P（x j）,则=尸 尸=（l_ x,百 _ y）,由 而 丽=而 沃 得（T _ x,G _ y（l_ x,G _ y）=（l,G）-（T,百），所 以/+卜-百 丫=3,即 点 0 的 轨 迹 是 以 倒，8）为 圆 心，方 为 半 径 的 圆，也 就 是 以“。为 直 径 的 圆，易 知 该 圆 与 A/8 C 的 三 边 有 4个 公 共 点.故 答 案 为：42.（2022全 国 模 拟 预 测
17、）在 ABC中，H,。分 别 是 边 8C,4 C 上 一 点，g/=p 制，D H 1 BC则 而.而=-【答 案】12【解 析】如 图，以”为 坐 标 原 点，8 c 所 在 宜 线 为 x 轴，。所 在 直 线 为 y 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 5（-3,0），C（l,0）-设。（0,y），所 以 而=（3,力，而=（4,0），所 以 防 前=12。故 答 案 为：23.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 A4 8 C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，P 为 线 段 4 8 上 一 点（包 含 端 点），则 方.定 的 取 值 范 围 为.【
18、答 案】-1,2_ 4.【解 析】取 线 段 Z 8 的 中 点 0,连 接 c o,则 0 C L 4 B，以 点 为 坐 标 原 点，QB o c 所 在 直 线 分 别 为 x、y 轴 建 立 如 下 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系，设 尸（d0）,则 T4aMl,5（1.0）C（0,）,丽=（1-。,0）,定=（一 a,百），故 PC=Q（4 _ 1）=（4 _,2故 答 案 为：2 g4.（2022山 西 二 模）在 菱 形 Z 6 C Q 中，Z6=Z C=2，点 P 在 菱 形 4 8 8 所 在 平 面 内，则（沙+丽）定 的 最 小 值 为（）A.-V3 B.-3
19、 C._ 2 D._ Z2 4【答 案】C【解 析】由 菱 形 4 8 c o 中，AB=A C=2,可 得 4 c l s。且，设 ZC,B D 交 于 点、0,以 O 为 坐 标 原 点，直 线 4C,8。分 别 为 x 轴，y 轴 建 立 直 角 坐 标 系，如 图,A B E C(LO)(1 取 中 点，则，E-I 2 2 J设 尸(x,y),则(2+而)反=2而.定=(l _ 2 x，V J _ 2 y(l _ x-y)2x+2y _ x _ iy _1 22 J 百+2 y-4732所 以 当 X=g，y=立 时，（莎+方）定 取 得 最 小 值 _ 5。故 答 案 为：c.5.（
20、2022湖 北 模 拟）（多 选）正 方 形 ABCD的 边 长 为 2,E 是 B C中 点，如 图，点 P 是 以 A B为 直 径 的 半 圆 上 任 意 点，万=入 而+口 次，则（）A.九 最 大 值 为 工 2C.而 万 最 大 值 是 2【答 案】B,C,DB.“最 大 值 为 1D.万 石 最 大 值 是 蓬+2【解 析】以 A B 中 点。为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，/（一 1，0）,。（一 1，2）,设 N80P=a则 尸（cosaa s加）,4P=（cosaha,sin）,AD=（0,2）,由 万=入 而+AE y得 2pu出 cos+且 2 叫=si
21、n a（fc,lt t4-cosA 不 符 合 题 意:4 4 4a隹 时 闻 小=，B 符 合 题 意:AP-A D=2硒,C 符 合 题 意:N P Z E=sz力 02102cos 5tt2=力 4+0)+J-+,D 符 合 题 意.故 答 案 为：BCD.6（2020高 三 上 连 云 港 期 中）（多 选）已 知,B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形,D 是 边 上 的 点,且 7 5=2 5 C，E 是 A B 的 中 点，B D 与 C E 交 于 点 O，那 么（）AA-O E一+O C-=0*B-AB-CE=-C.OA+O B+O C=-【答 案】A,C【解 析
22、】建 立 平 面 直 角 坐 标 系 如 下 图 所 示：取 B D中 点 加，连 接 近 因 为 M，E 为 BD,BA 中 点，所 以 M E/!A DM E=A D,乂 因 为 CD=AD所 以 M E/CD,ME=CD（所 以 易 知 A E O M kA C。，所 以。为 C E 中 点,A.因 为 o 为 C E 中 点，所 以 O E+O C=0 成 立，故 正 确;B.因 为 E 为 4 B 中 点，所 以 A B L C E，所 以 益.无=0，故 错 误:C.因 为,(1,0),5(-1,0),C(0,V 3),所 以/0 4+OB+O C=1,回+3,-包 7所 以 曲+
23、方+因=等,故 正 确；D.因 为 明,亭,（0,0）,所 以 D E=孚，所 以 阿 卜 半，故 错 误，故 答 案 为：AC.7.（2022广 东 二 模）（多 选）如 图，已 知 扇 形 O A B的 半 径 为 1,=四，点 C、D 分 别 为 线 段 2OA、O B上 的 动 点，且 8=1，点 E 为 公 上 的 任 意 一 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）/YDA.赤.刘 的 最 小 值 为 0C.比.而 的 最 大 值 为 1B.成 丽 的 最 小 值 为 J/D.反:.而 的 最 小 值 为 0【答 案】BCD【解 析】以 0 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的
24、 白 角 坐 标 系,所 以 8(0,1),4(1,0),ZEOA=e,/设，则 KeosOBOQ力)G巴 OE=(CO500 sin)一()，所 以 Z 8.OE=si 092ifibs=-彳)，nrv n TlltK/兀 2 2 y/y/-因 为 0住 工,所 以 e 1 G-4-4.所 以 S，0-e-J J J 乙 乙 所 以 万 赤 e-1,1,赤 前 的 最 小 值 为 一 i,A 不 符 合 题 意;4=(1 曲。s,-sin),*5=(-cosQ 10-sin),所 以 项 丽=cos09aftld?成+s山 2=-y/sin+：），ff 兀 Q 兀 兀 3 T（兀 2 J1因
25、 为 e往，5_|，所 以 e+了 彳，所 以 5山 即 如）Y9所 以 1-a 可 用 EA-EBel-y/2,0,成.而 的 最 小 值 为 _ 五，B 符 合 题 意；设 c（t，o乂 fwoi）,又|CD|=I,所 以 3=&不，可 得。倒,抗 二 3 卜 EC=（t-cosQQ-sin）,ED=（-C O 5 0-t2-sin 卜 所 以 比 历=fcosO第 曲 乐 由 t W-t2sin 4-5Z/72=一，cos+V-t2sin；=l&pi（+）,其 中 cos（pN）x/sin=t,又 问 0，所 以 cos（p2 历 e,所 以 幄，三,所 以 EC）（）,1,诙.历 的
26、最 小 值 为 0,C D 符 合 题 意.故 答 案 为：BCD.8.（2021高 三 上 五 华 月 考）如 图，矩 形/B C D 中，AB=4，AD=3，以 C D 为 直 径 的 半 圆 上 有 一 点 P,若 AP=+/n A D，则+的 最 大 值 为-【答 案】Z3【解 析】建 立 如 图 平 面 直 角 坐 标 系,由 题 意 知，点 P 的 轨 迹 是 以(2,0)为 圆 心，以 2 为 半 径 的 圆，其 方 程 为(x-2)2+y2=4(0WyW2),则 其 参 数 方 程 为.x=2+2cos0y=2sin6图 其 中 A(0,-3),B(4,-3),D(0,0),P
27、(x,y)则 方=(4,0)而 尸(0 3)=(x y+3)A P=Z A B+piAD则 由 x=4A得 y+3=3，即 2=x41,=+1则 k+p.=x+y+=(2+2cos0)+sin0+1=+cos(0-a)其 tana 当 cos（。a）=l时，入+N取 得 最 大 值 为 73故 答 案 为：731.（2022湖 南 长 沙 市 麓 山 滨 江 实 验 学 校 高 三 开 学 考 试）如 图 放 置 的 边 长 为 1的 正 方 形/8CO的 顶 点 人。分 别 在 x轴、y 轴 正 半 轴 上（含 原 点）上 滑 动，则 方.反 的 最 大 值 是（）A.1 B-五 C.2 D
28、-2V2【答 案】C【解 析】如 图 令/Q4。=夕 由 于 3=1，故 O4=cos。，OD=sin0,如 图 NB4 二 工 一。，2AB=1故=cos04-cos(-0)=cos0+sin0,yB=sin(-6)=cos。故 OB=(cos 0+sin 仇 cos 0)同 理 可 求 得 C(sin 0,cos8+sin6),即 皮=(sin 6,cos0+sin 8)，所 以 OB OC=(cos。+sinO,cosO)(sinO,cosO+sinO)=1+sin20所 以 当 sin20=l时，历.反 取 得 最 大 值 为 2,故 选：C.2.(2022,全 国 高 三 专 题 练
29、 习)在 平 面 内，定 点 4 民。,。满 足 而|=|反|，DA DB=DB DC=DC DA=-2f动 点 尸，历 满 足|万|=1，PM=M C 1贝 力 丽 的 最 大 值 是（）A.竺 B.竺 C.47+6 D.37+2月 4 444【答 案】B【解 析】由 题 意 知 I次 H 而|=|觉|，即 点。到 4 8,c 三 点 的 距 离 相 等，可 得。为 A/B C 的 外 心，DA-DB=DBDC=DCDA=-2 1可 得 方 丽-丽 皮=丽.（而-云）=而 石=0,所 以 同 理 可 得 DALBC,DC L A B,所 以 D 为 B C 的 垂 心，所 以 A/8 C 的
30、 外 心 与 垂 心 重 合，所 以 为 正 三 角 形，且 Q 为 A/8 C 的 中 心，因 为 方.丽=|万 丽 卜 o s N 4）8=|加 x（-1）=-2,解 得 I加 卜 2,所 以“8 C 为 边 长 为 2 G 的 正 三 角 形，如 图 所 示，以 A 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系，则 5（3,-Vi）,C（3,6）,（2,0），因 为 网=1,可 得 设“Bs&sin。），其 中 O e 0,2扪，又 因 为 P M=C,即 为 0 的 中 点，可 得 M（3+c o s O a+sinJ）,J I所 以 网=（一 一 3+（空 叫 后=37+12S：（6）卡
31、号 即 网 的 最 大 值 为 等.3.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 3 是 单 位 向 量，H=o,若 向 量）满 足 _+司=1，则 的 取 值 范 围 是（）A-V2-1,V2+1 B-1,V2+1 C.0,2 D.十 _ 1,石+i【答 案】D【解 析】单 位 向 量 满 足 7 5=0,即 公,人 作/=,诙=心 以 射 线 0 4 0 8 分 别 作 为 X、y 轴 非 负 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，如 图,8a=(1,0),6=(0,1),设 c=(x,y)，c-a+b=(x-,y+)f 由|c a+B|=l 存：(x-1)2+(j4-l)2
32、=1*令 x=l+cos。(0 4”2兀)，即 1=(l+cs0，-l+sine),y=-1+sin。c-b=y(+cos 0)2+(-2+sin 0)2=76-2(2 sin 0-cos 0)=6-2V 5sin(0-1p),其 中 锐 角 满 足.sin(p=cos 夕=因 此，当 sm（。-所 一 时,=后 忑=行+1,当.（）=1时，|1%=Q=g,所 以 丘 _否|的 取 值 范 围 是 石 _1,石+1故 选：D4.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 平 面 向 量。，马,。满 足 同 第=，=2,且 0-工）伍 田=。，则*4 最 小 值 为（）A-272+1 B
33、-3A/3-3【答 案】D【解 析】因 为 同 明=1 9=2,C 77-1 D-2V3-2则 a=CM=（1,6）石=OB=（2,0）,c=OC=（x,y）,所 以 B c=（2 x,_y）,3B_c=（6_R,_y），因 为 e-习.侬 一 0=0,所 以（2_x）（6 x）+y2=o，即（1_4）2+p=4,表 示 点。在 以“（4,0）为 圆 心，以 2 为 半 径 的 圆 上，所 以 F-|最 小 值 为 M M f=“1-4）2+2 _2=2百 一 2，故 选：D5.（2022河 北 衡 水 高 三 阶 段 练 习）已 知 单 位 向 量 与 向 量 g=（o,2）垂 直，若 向
34、量 工 满 足 卜+5+=1，则 I的 取 值 范 围 为()A.1 B,V3 1 V3+1 Q 石-+D.百+1 2 5 2 J 2 9 _【答 案】C【解 析】由 题 意 不 妨 设 G=(1,0),设 c=(x,y)，则 方+很+乙=(l,O)+(O,2)+(x,y)=(l+x,2+y)a+b+c=19 A(l+x)2+(2+)2=T 即 表 示 圆 心 为(一 1,一 2)，半 径 为 1的 圆，设 圆 心 为 尸，工|OP|=J(T)2+(-2)2=G.p卜 仁 丁 表 示 圆 尸 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 距 离，V5-1/5+1,F|的 取 值 范 围 为 石 T,石+
35、1,故 选：C.6.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)如 图 所 示，点 c 在 以 为 圆 心 2 为 半 径 的 圆 弧 4 5 上 运 动，且 Z A O B=120。，则 CB.CA的 最 小 值 为()【答 案】B【解 析】建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系,则(2,0),B(2 cos 120,2sin 120)即 8(-1,6)设 4 0。=a(其 中。K a 41200)则 0 d=(2 c o s a,2 s in a)，所 以 C 8 C4=(-l-2 c o s a,V 3-2 s in a)(2-2 c o s a.-2 s in a)=(-
36、1-2 cos a)x(2-2 cos a)+-2 sin a)(-2 sin a)=-2-2 cos a-2 百 sina+4=2-4sin(a+30。)*因 为。”屋 12。，则 3 0 Y a+3 0 1 5。，可 得 g i n(a+30)4 1,所 以 当 sin(a+3(T)=l时，即 a=60。时，在 取 的 最 小 值，最 小 值 为-2.故 选：B.7.（2022 荷 泽 二 模）已 知 半 径 为 1的 圆 0 上 有 三 个 动 点 A,B,C,且|/可=3,则 A C BC小 值 为.【答 案】1-72【解 析】因 为|明=3,又|。4|=|。即=1,所 以 OA+OB
37、=AB,所 以 乙 4 0 8=的 最 兀 2以 0 为 原 点，0 4 0 B 所 在 直 线 为 x,y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系:AC=(x-l,y)，5C=(x,y-l)，所 以 AC BC=x(x-)+y(y-l)=x2+y2-x-y=-x-y+i，设 一 x y+l=/，即 x+y+t-=0，依 题 意 直 线 x+y+t-=0 与 圆 有 交 点，所 以 _ H l i，得 1-V 2/1+,V T+T-所 以 AC B C 的 最 小 值 为 1-V2-故 答 案 为：1 _ 08.(2022 枣 庄 模 拟)已 知,B均 为 单 位 向 量，且 夹 角 为 二，
38、若 向 量,满 足 21)-3)=,则|c|的 最 大 值 为 答 案 6+百 2【解 析】(c-2 a)-(c-b)=0 c f-c-(2 a+b)+2a-b=0,因 为 5,6 均 为 单 位 向 量，且 夹 角 为 2,3所 以 有 同 2Y.(2G+B)+2xlxlxg=0n.(2)+B)=B+l c-(2a+b)c-2a+b=c-yl(2a+b)2=|c|-7452+P+4 5=|c|4+l+4 x lxlx|,即 了 2万+B)W 77|回，而+=+1,所 以 有 同 2+不 同=与 立 引 平 玲 8，因 此 m i 的 最 大 值 为 疗+力,2故 答 案 为：/+百 29.（
39、2022 临 沂 模 拟）边 长 为 1的 正 六 边 形 ABCDEF,点 M 满 足 而=g（益+万），若 点 P是 其 内 部 一 点（包 含 边 界），则 刀.万 0 的 最 大 值 是.【答 案】1【解 析】由 题，作 图 如 下D因 为 而=g（而+万），所 以 加 为 线 段 中 点，由 边 长 为 1的 正 六 边 形 ABCDEF,知 Z M=,2因 为 点 P是 正 六 边 形 ABCDEF内 部 一 点（包 含 边 界），显 然，当 点 尸 与 点。重 合 时，后 在 加 方 向 上 的 投 影 最 大，且 两 者 同 向 共 线,又 因 为 40=2，所 以.万 7)/
40、max=2x,xl=l2故 答 案 为：1.10.（2022 河 东 模 拟）在 A 8 C 中，点 比 N是 线 段 8。上 的 两 点，|疝 卜|砺 卜|而 4=1,M A-M N=则 疝 砺=,|向|的 取 值 范 围 是.【答 案】1；2；，1【解 析】由 题 意，MA，M+MA.4 M A-(M N+NA)=M A-M A=|M 4|2=1 1 1 1MA-MN=，MA-NA=1=,2 2 2=MA-NA=MA-NA-cos=|丽 卜 尔(而，NA,：.NA|：2cos师 丽）由 题 意，|必|=|疏|=|砒|=1,则 为 外 接 圆 的 圆 心，则 N8NC=2 E因 为 点 N
41、在 线 段 6 c 上，所 以 1 假 设 点 与 点 重 合，则 1 1，式 24尸 2cos(MA,NA12cos05 矛 盾,所 以 cos MA,NA)1 假 设 点 N 与 点 3 重 合，则;=而.砺=而.砺=|而 砺 卜 的=COS-1cosZBMA=，27 T.4BMA=，3ABAM=W cos=_L,3 2假 设 点 N 与 点 C 重 合，则；=说.旃=必.碇=|必 碇 卜 c o s 而，MC=COS,此 时 c o s=J.,2综 二，cos 1，2/.1 2cos 2 1 1 1-/_，1 即 一 1 附 I,12 2cos（M A,N，卬 2故 答 案 为：12r1
42、-11.（2022 天 津 市 模 拟）在 梯 形 中，ABCD,AD=,A B=3 C D A M=-J B C M与 3 相 交 于 点 Q.若 砺=1 就，则 而 而=；若 太.荏=3,N为 线 段 4 延 长 线 上 3 2的 动 点，则 而.丽 的 最 小 值 为【答 案】.239 36【解 析】因 为 45|CO,43 A B=3。=1而=；方，所 以 所 以 四 边 形 A M C D 为 平 行 四 边 形，所 以|A/C且=M C，则 可 设 函=入 荻=而，故 而=而+超 4 而+庆-阮=；而+(1砌 就=；而+(+)75-因 为 8。共 线，所 以+1.3解 得 人=一
43、1,所 以 而=1 万+2 诟,3 3 3因 为 声=1 优,所 以 而=刀+翔+标=而+,刀+1 瓦=1 万 一 2 而,3 3 3 3 3所 以 而.而=1，次+2 亚(而 2 亚=1 而 2一 力 2=2：(3 3 八 3 3 1 9 9 9因 为=彳 万+而=彳 万+方,3所 以 就.益=(而+益 方=诙 方+，益 2=3COSN 8/D+3=3,I 3 J 3 2所 以 COSN 8/O=-L，2又 NAWe(k),所 以 N B 4)=如，3因 为 西=一；荻，所 以 如 图 以 点 N 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,设 N（x,瓜）X 一 1，2故 N 0=2
44、出-X，-L T3 3百 x/NB=（3-x-y/3 x y则 丽.福=-x,-/3 x-（3-x-V3x）=4x2-x+2,、3 3 J 3当 x=2 _ 时，而 福 取 得 最 小 值 里.12 36故 答 案 为：3；身.9 3612.（2022 通 州 模 拟）在 矩 形 ABCD中，AB=2,=百，点 P在 AB边 上，则 向 量 的 投 影 向 量 的 长 度 是,而.而 的 最 大 值 是.在 向 量 而 上【答 案】G；-2【解 析】由 题 意 可 得|岳 卜 c0sNPC8|=|而|=即 向 量 而 在 向 量 在 上 的 投 影 向 量 的 长 度 是 6:如 图，以 A
45、为 坐 标 原 点，AB为 x轴，AD为 y轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系,设 P(x,0(0 x 3(2 0),C(2 G)D(0 扬 故 亦=5 _ 2,_ 我 而=(一 8 扬 则 而.而=*+2 _ 3=_-1)2 _ 2，当 x=le0,2时，心 万 丽 取 最 大 值 为-2。故 答 案 为：、回；-2。13.(2022安 徽 合 肥 一 六 八 中 学 模 拟 预 测(理)已 知 向 量 否 是 单 位 向 量，若.g=o,且 c-3a|+|c-4|=5,则 P+同 的 取 值 范 围 是.【答 案】V17【解 析】因 为 向 量,取 是 单 位 向 量，且 7 5=0,
46、所 以 不 妨 设=(1,0)，坂=(0,1)，设 Z=(x,y)，c-3a=(x-3,y)9 c-4h=(x,y-4)*c+=(x+l,y)，则 由,_3+卜 _41=5 7(x-3)2+/+yjx2+(y-4)2=5,设 4(3,0)，8(0,4),则 网=5,所 以 J(x_3+y2+3-4)2=5 表 示 的 点 C(x,y)在 线 段 ABF+=J(x+1)?+表 示 C(x,V)到 P(T，0)的 距 离，如 图 I M=4,|PS|=A/12+42=V17,直 线 方 程 为+2=1,即 以+3了-12=0,3 4 到 直 线 A B的 距 离 为 d=0 一 a=16,“2+3
47、2 5所 以|c+“|=J(x+l)2+j?的 取 值 范 围 是,万.故 答 案 为：g,J 石 14.（2022辽 宁 高 三 期 末）己 知。为 坐 标 原 点，向 量 方，而，反，满 足|稔|=|砺|=|反|=1，(OA-OB)(OB-OC)=0 t若|研=4,则 匹+而+时 的 取 值 范 围 是【答 案】11,13【解 析】因 为|8|=|痂|=|厉|=1，所 以 4 民 C 三 点 在 以。为 圆 心，1为 半 径 的 圆 上，(O4-OB)(dB-OC)=0所 以 瓦 i而=0，所 以 工 8_L5C，所 以/C 是 圆 0 的 直 径，所 以 刀=-双，PA+PB+PC=OA-OP+OB-OP+OC-OP=OB-3OP设 无，加 的 夹 角 为 a e q o,句，则 便-3而 卜 J(赤-3研=J145-24cosO，因 为 e wo,句，所 以 COS。卜 1,1，所 以 145-24cos0w121,169，所 以|而 一 3西 4 1,13,即 必+而+无|的 取 值 范 围 是 11,13