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1、进阶训练6（范围4.14.2）一、基础达标1 .若等差数列斯的前三项为l,x+l,2%+3,则这个数列的通项公式为（）A.an 2/15B.斯2n3C.斯=2 - 1D 一 2几 +1答案B解析等差数列诙的前三项为1, x+1,2%+3,、2（x+ l）=x 1 +2x+3,解得 x=0.设数列如的公差为d,/6Zi = 1, d=2,斯=-1+（九一l）X2 = 2-3.故选 B.2 .（多选）已知数列斯是首项为1,公差为d（dN*）的等差数列.若81是该数列中 的一项，则公差可能是（）A.2B.3C.4D.5答案ACD解析数列斯是首项为1,公差为d（dN*）的等差数列，二 an1 +（一
2、l）d.V81是该数列中的一项，81 = l + （一 l）d, .80=万十1.,:d, N*,是80的因数，故d可能是2, 4, 5,不可能是3.故选ACD.3,等差数列斯中，。2 +。5 + 8 = 9,那么关于X的方程f +（Q4 + Q6）x+ 10 = 0（）A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根答案A解析.。4 +。6 =。2 +。8 = 2。5,。2 +。5 +。8 = 35 = 9,.*.5 3,则方程为+6%+10=0.VJ=62-4X10=-40,方程无实根.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数” 五问中有如下问
3、题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四 人，次日转多七人其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天 派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人在该问题中的1 864人 全部派遣到位需要的天数为()A.9B.16C.18D.20答案B解析 根据题意设每天派出的人数组成数列斯,则该数列是首项0=64,公差 d=7的等差数列.设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为n,则64+ n (V)- 1 )5X7=1 864,依次将选项中的值代入检验得，=16满足方程，故选 B.5,若数列小满足一一；=d(金N*, d为常数)，则称数列如为调和数歹U.已知 Cl
4、n+1 On数列为调和数列，且1+&Hl-X2o=2OO,贝！J%5+%i6=()A.10B.20C.30D.40答案B解析 依题意，=Xn+Xn = d,1%”是等差数列.20 (xi +x20) 又 xi 十X2 十iX20 =2= 200,/.X +%20 =20,从而 X5+xi6=Xl+X20 = 20.6 .设数歹Uq,瓦J都是等差数列.若Ql+bl=7, 5 +。5 = 21,则Q9 +9 =.答案35解析 因为数列。, 为都是等差数列，所以数列斯+瓦也是等差数列.故由 等差数列的性质，得（的+ /?9）+ （。1+/?1） = 2（5 +人5）,即。9 +89 + 7 = 2义
5、21,解得。9+济=35.25.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15,奇数项之和是与，则它的首项 与公差分别是41=，d=25 5解析 S偶一S奇= 5d= 15 d=T,八,10X9 1 25 55 由10i+ 5 *5=15+ .=，乙乙乙 乙,日 1仔 ci=2,时,7 .已知S为等差数列斯的前n项和，0=25, 44=16,则当n=S取得最大值.答案9 117解析 设等差数列斯的公差为d.0=25,。4=16,由。4=。1+3,得 16=25+3d,解得 d=-3.an=a-(n l)d=25 3(- 1) = 28 3n.28由为0,得28 3ai* 1 o11 9*8故当 =
6、9 时，(Sn)max=9X25+X(-3)=117.一9.记Sn为等差数列的前项和，已知。5 = 3, 3=5(1)求%7的通项公式；若S=27,求九解(1)设等差数列斯的公差为d,a +4d=3,3X2所以an=l1).n由得品=一1+5 (m+1)A2m(勿2+3)广=27,整理得小+3机108 = 0,由根0N*,解得根=9.9 .已知等差数列斯的前三项为a1, 4, 2a,记前几项和为若5=2 550,求。和女的值；设b尸心 求b3 + bi+bhZ?4-i的值.解由已知得4X2 = q1+2q,解得=3, i = 2, 差 d=2。1=2.tk (k 1)由&=ka i 2 d 9
7、k (k 1)得 2k+5X2 = 2 550,即3+Z2 550=0,解得左=50或左=51（舍去）, :。=3,左=50.几(几一1)(2)由(1)得Sn = 2n+5义2 =/+小瓦邦f+1.加+土+ +土1 =n (。3+84-1)几(4+4)=2/+2.；也,历,b, ,1仍是等差数列，且共有项,二、能力提升11 .张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有女子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织迄，问织几何 其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺,最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺？则该女子三十
8、天共织布最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺？则该女子三十天共织布A.30 尺B.90 尺C.150 尺D.180 尺答案B解析 由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列,其中0=5, 30=1,30X (5+1)一一 lS3o=9，即该女子二十天共织布90尺.12 .已知数列念中,Q1 = 1,且q“+i=q+3- 1,则数列斯的通项公式斯=. 3rr 5n答案解析由题意得，数列斯满足a =1,斯+1=斯+3几一1,所以当2时，an=Q1 +(Q2 41) + (。3 。2)+ + (。 即 1)= - 1 + 2 + 5 + 8+ +(3-4) 1(n 1) (2+3n4)3
9、序一5故数列的通项公式为an=2 3n25n3/ 5H; 当=1时，ax = 也满足斯= 5 ，13 .已知数列斯满足a2-a2,=1,其前项和为S，当三2时，S一i 1, S”+i成等差数列.求证：斯为等差数歹U；(2)右 S=0, S+i=4,求机证明 当三2时，由SlI 1, S” Sz+l成等差数列得，2Sn Sn-1 1 + 5,7+1,即 SnSn- = -1+Sn+lSz?,即 4= 1+1(几22),则州+1斯=1(几22).又41 = 1,故斯是公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知数列斯的公差为1，由S九=0, S+i=4及)+i一列=斯+得斯+i =4,即 i+=4._
10、, n (n- 1)由 Sn = 0付 ttCl H-q=0,几1即+一厂=0,与+=4联立解得n7.三、创新拓展14.已知数歹（斯满足2a+=a+a+2（N*）,它的前项和为S，且。3=10,56=72,则的通项公式；若数列为满足=；一30,其前项和为4,则4的最小值为 答案 4一2 225解析 2。+1 + Cln+2, a+1 - Cln - Cln+21，故数列斯为等差数列.设数列斯的公差为d.由3 =10, $6=72,。1+2d=10,66Zi + 15(i=72,二 an4/12,，为=；斯-30=2-31.瓦W0,bn+ NO,2n-310,2 (n+1) -310,2931解得后号.金N*, ，=15,.数列d的前15项均为负值且以后各项均为正值,= 225,，715 =;数列d的首项为-29,公差为2, 15X (-29 + 2X15-31)数列为的前项和G的最小值为一225.