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1、进阶训练1(范围：4.14.2)一、基础达标.(多选)数列是首项为1,公差为的等差数歹U.若81是该数列中的一 项，则公差可能为()A.2B.3C.4D.5答案ACD解析因为数列小是首项为1,公差为d(dGN*)的等差数列，所以a”=l+(- l)d.因为81是该数列中的一项，所以 81 = 1+(-1)“，所以=彳+1.因为乩eN,所以d是80的因数，结合选项知d可能是2, 4, 5,不可能是3.故选ACD.1 .已知(小是公差为1的等差数歹U，S为知的前项和，若S8=4S4,则so=()1719A.-yB.7C.10D.12答案B8X7解析 由题意得 Ss=80+ 2 X 1 = 8。 +
2、 28,4X3,S4=4s +-y X 1 =4m +6.因为 S8=4S4,所以 80+ 28=4(40+6),1IQ所以 4i=2，所以 aio=ai+9X l=g.3 .已知是公差为正数的等差数列，4|+s + 3=15,04243 = 80,则S1+02 + 03的值为()A.105B.120C.90D.75答案A解析 由1+42 + 43= 15,得 42 = 5,所以 41+。3= 10.又。1。2。3 = 80,所以 043= 16,所以 0=2, 43 = 8 或。|=8, 43 = 2.又等差数列小的公差为正数，所以小是递增数列，所以。1=2, 43=8,所以等差数列“的公差
3、1=42 41=5 2 = 3, 所以 11+12+。13=3。12=3（。1 +1 d）= 105.4 .已知等差数列斯的前项和为S”,若葭=，则皤于（）A -D p p 1826=42答案C解析 由等差数列的性质知S3, St、一S3, S9 S（）, S12 S9成等差数列，设 S3=&, S6=4H2W0）,则 S9=3S63S3=9丸 $2=3S93S6+S3= 16Z,所喳45.设S是等差数列小的前.项和，若智4，则祟=（） c0,。“=也尸+221/敢!二一=2(当且仅当an-=2时，等号成立)， 乙乙Cln-1当时，an+ian.10 .在0 = 13, So=-5；s=7,
4、ai=-5；$3 = 30, Ss = 35 这三个条件中任 选一个，回答下列问题，已知等差数列如满足.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列小的前n项和S,”以及使得力取得最大值时的值.解(1)选条件，因为数列是等差数列，0 = 13,设公差为4,贝110X9Sio= 10ni+-2-d=-5,解得d=-3,所以13 + (- 1)X(3)163. 选条件，因为数列是等差数列, 。3=。|+2=7,设公差为d,贝H,。7=。|+6=-5,解得41 = 13,J=3,所以13+( 1)X(3) 163.选条件，因为数列斯是等差数列, 设首项为出，公差为乩,3X2S3 = 3ai+”-d=30
5、,5X4 S5 = 5i+-d=35,解得41= 13,d= -3,41+4= 10, 即i +2d=7,所以 cin =13+( 1)X(3)163.(2)由知斯=163,Sn =(。1+斯) 29一3/2 二2-令 =16 3心()，可得 /?, 所以m的前5项都是正值，从第6项起是负值, 故当=5时，S”取得最大值.二、能力提升.(多选)已知数列(如的前n项和为S#0),且满足4“+4S“7S=O522,N*）, i=l，则卜列说法中正确的有（）A.数列的前n项和为S“4B.数列m的通项公式为m=4 /+）C.数列知为递增数列D.数列*为递增数列答案AD解析 由 =&-S一I, a+4S
6、_|S=0,心2, /iWN*,得力S,i = -4SiS，22, N*.因为swo,所以一一一=4（22, WN*）.Jn dn-1因为0=；,所以上=4,所以上是以4为首项，4为公差的等差数列,所以7-=4+4（- 1）=4，N”,所以数列日为递增数列，s尸表，N*,所以当 “22 时，&=SlS|=薪-4（_）=-4（1），经检验，当 =1时，不符合上式，ri不 =1，所以 =0)是公方差为(0)的等方差数列，且671 = 1，求数列飙的通 项公式；若数列斯既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列小为常数列.(1)解由等方差数列的定义可知忌一届一1=(22, N*),由此可得第=5+(
7、l)p= 1 +(- l)p,又 an0,所以 an=y/l-h (n1) p.证明 因为斯是等差数列，设其公差为4则(In - Cln- =cin+a” = c/(22, 2N ).又斯是等方差数列，所以届一届一 1=居+1一届(22, 仁N*).故(。 + 斯-1)(。 Cln1) (。”+】+-。)，所以(an+一 1 )d= (。+1+ ajd,即 d(an+斯-1 a,J+1 %)=2d2=0,所以d=0,故m是常数列.三、创新拓展.(多选)设等差数列斯满足671 = 1,40(WN*),其前项和为Sn，若数歹I低也为等差数列，则乎的整数项有()ClnA.4B.8C.16D.I21答案ACD解析设数列，“的公差为4, 依题意得2低=4不+低， 因为0 = 1,所以 2y)2ai+d=yi +341+33,化简可得=2m=2,所以斯=1+(-1) X2=2-l,n(- 1 )、Sn=n+2义 2 = 2,-、M+10(“+10)2 d+10丫所以丁 = (21)=-】)+*4+3一J 次 21卜当 =1, 2, 4, 11 时，得整数项为 121, 16, 4, 1.