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1、第二章一元二次函数、方程和不等式目录1 .等式性质与不等式性质.21.1.不等关系与不等式.31.1.1.自主预习，明新知相等关系与不等关系.31.1.2.微思考.31.1.3.合作探究，攻重难.41.1.4.反思感悟.51.1.5.反思感悟.61.1.6.反思感悟.71.1.7.课堂测试.82.等式性质与不等式性质.1 22.1.1.自主预习，明新知.1 32.1.2.微提醒.1 32.1.3.微思考.1 32.1.4.合作探究，攻重难.1 42.1.5.反思感悟.1 42.1.6.反思感悟.1 52.1.7.反思感悟.1 62.1.8.一个易错不等式的剖析.1 62.1.1.反思感悟.1
2、72.1.2.课堂测试.1 73.基本不等式.2 33.1.基本不等式.233.1.1.自主预习，明新知.2 33.1.2.微提醒.2 43.1.3.微思考.2 43.1.4.合作探究，攻重难.2 43.1.5.反思感悟.2 43.1.6.反思感悟.2 53.1.7.反思感悟.2 7第 1 页共7 2页3.1.8.课堂测试.273.2.基本不等式的应用.323.2.1.合作探究，攻重难.323.2.2.反思感悟.323.2.3.反思感悟.343.2.4.反思感悟.353.2.5.反思感悟.363.2.6.课堂测试.374.二次函数与一元二次方程、不等式.434.1.一元二次不等式的解法.434
3、.1.1.自主预习，明新知.434.1.2.微思考.444.1.3.合作探究，攻重难.444.1.4.微思考.454.1.5.反思感悟.464.1.6.反思感悟.474.1.7.反思感悟.484.1.8.课堂测试.494.2.一元二次不等式的应用.554.2.1.合作探究，攻重难.554.2.2.反思感悟.554.2.3.反思感悟.574.2.4.反思感悟.584.2.5.反思感悟.594.2.6.课堂测试.605.测 评 卷.655.1.选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.655.2.选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分
4、。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。.675.3.填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。把答案填在题中横线上。.685.4.解答题：本题共6小题，共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.691.等式性质与不等式性质第2页共72页1.1.不等关系与不等式情境导入课程标准1id乩k 运皆某城市的高楼有高有矮，有的高度相同；任意两个实数之间有三种关系：a b,a=b,a h0 a-b 0从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与。的大小。(3)一般地，Va,有。2+从 之2边，当且仅当a=b时,
5、等号成立。1.1.2.微思考1.不等式的含义是什么?只有当为 加，与%，同时成立时，该不等式才成立，是吗?提示：的含义是。或。=。不是“a 4ah 等。1.1.3.合作探究，攻重难类型一用不等式（组）表示不等关系【例1】（1）在日常生活中，我们经常看到下列标志:abcd你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗？你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示？解 a.最低限速：限制行驶时速I，不得低于5 0公里；b.限制质量：装载总质量G不得超过1 0 t；c.限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；d.限制宽度：装载宽度。不得超过3 m。a.佗5 0；b.G 1 0；c./z 3.5；d.a 辆
6、，40 x+90y 5,y 6,则 x,y GN.1.1.4.反思感悟用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等。(2)适当的设未知数表示变量。(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式。此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐含不等关系，如由变量的实际意义限制的范围【变式训练】京沪线上，复兴号列车跑出了 3 5 0 k m/h的速度，这个速度的2倍再加上1 0 0 k m/h,不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系。解设复兴号列车速度为力，民航飞机速度为V 2，普通客车速度为
7、如V I,V 2 的关系：2VI+1003V3O类型二实数(式)的比较大小【例2】比较下列各式的大小：当烂1时,比 较 犷 与3/-X+1的大小。(2)当尤，y,z d R 时，比较 5 f+V+z2 与 2 x y+4 x+2 z-2 的大小。解(1 )3 x3-(3 x2-x+1 )=(3X3-3X2)+(X-1)=3/(九-l)+(x-l)n G f+l X x-l)。第 5 页共7 2 页因为后1，所以x-lSO，而 3f+l0。所以(3f+i)a-i)wo,所以3/33f-%+1。(2)因为 5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4X2-4JC+1 +x2-2xy+y2+z
8、1-2z+1=(2x-l)2+(x-y)2+(z-l)20,所以 5xi+y2+z22xy+4x+2z-2e1.1.5.反思感悟作差法比较大小的步骤【变式训练】已知x,yWR，P=2x2-xy+1,Q=2x-,试比较P,。的大小。解 因为尸-。=2/-孙+1-(2x YU-孙+-7+/-21+1=(T)+(x-l)2 0,所以走Q。类型三不等式的实际应用【例 3】某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往。甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠。”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8 折优惠。”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠。解 设
9、该单位职工有“人(GN*),全票价为x 元，坐甲车需花尹元，坐乙车需花”元，1贝 U y尸 x+7r(-l)=Zx+7m,*5 X。第6页共72页13，因为 yi-=Zxn-2 2 i （1 一 二）当=5 时，yi=y2；当5 时，yij2；当几yio因此当单位去的人数为5 人时，两车队收费相同；多 于 5 人时，选甲车队更优惠；少 于 5 人时,选乙车队更优惠。1.1.6.反思感悟解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可。【变式训练】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐1 1 至足底的长度之比是一（=0.618,称为黄
10、金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是一。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 c m,头顶至脖子下端的长度为26 c m,则其身高可能是（B）A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cmA头顶解 析 如 图 所 示,V 5-1 AB 隹 T依题意可知=-=-咽喉由腿长为105 cm-肚脐BcVs-i得，CD 105,AC=C D 64.89,AD=AC+CD64.89+105=169.89,所以 AD 169.89。由DL足底头顶至脖子下端的长度为26 c m,得 A826,BC=AB-4 2.0
11、7,AC=AB+BC6S.Q7,CD=ACJ r 110.15,AC+CD68.07+110.15=178.22,所以 AZX178.22。综 上,169.89AD flO D.X V 1 O2 .平流层是指地球表面以上1 0 k m 到5 0 k m的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(D)A.|x+1 0|5 0 B.|A-10|50C.|x+3 0|2 0 D.|x-3 0|2 0解析 如图，设 A(1 0),8(5 0),则A B 的中点为M(3 0),由距离公式可得|x-3 0|0 o(2)/7/与n的和大于p：m+n p 0(3)某学校规定学生离校时间f 在 1 6 点到1
12、 8 点之间：1 6 r 1 8 o4 .若xGR,则-的 大 小 关 系为士 以。一 1 1.1向星析1+*:=2 1 1+1 0。所以m v。5 .若 x y 0,试比较(f+V/x-y)与(f-V X x+y)的大小。解(x2+)(x-y)y)(x+j)=(x-y)(j c2+)x+y)2=-2 x y(x-y)e因为x y 0,x-y 0,所以(f+VXx-jOXf-VXx+y)。课时达标检测(十)不等关系与不等式基础达标-第 8 页共72页1.1.7.1,单项选择题1.下面能表示与b的和是非正数”的不等式为(。A.a+b 0C,a+b 0解 析 a 与 b 的和是非正数，即 a+bS
13、O。2.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 c m,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x(cm)应满足的不等式为(C)X XA.4x 京 100 B.4xrZ100 D.4x b B.a b D.a 0,所以a bo4.若存2 且厚-1,则M=/+-4a+2A的值与-5的大小关系是(A)A.M-5 B.M-50 故选 A。5.已知 xl,-ly h c B.c a hC.a c b D.c b a解析 因为%1,-1 y0,a-b=-y(1 +y)0,所以 c a b,故选 Bo1.1.7.2.多项选择题6.下面
14、列出的几种不等关系中，正确的为(CD)A_x与 2 的和是非负数，可表示为“x+20”B.小明的身高为x,小华的身高为 ,则小明比小华矮，可表示为“xy”CnABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+匕“且什ca”D.若某天的温度为3最低温度为7,最高温度为13,则这天的温度范围可表示为“7/2 aB.a2+b2 2(a-b-)C.c+babD.(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)解析 A 中，a2+2-2 a=(a-1 )2+1 0,故 A正确;B 中，a2+b2-2(a-b-1 )=a2-2a+b2+2b+2=(a-1 )2+(+1 )2 0 1 3/1 3故
15、 B 正确；C 中，a2+b1-ah=a1-ab+lh2+1 b2=a-b，2+I/?2 0 故 C 正确；D 中，因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2 a-1 5)-(a2-2 a-8)=-7 0,所以(a+3)(a-5),且这个两位数大于7 0,用不等式表示为1 0 y+x 7 0。解析 该两位数可表示为1 0 y+x,所以7 0 1 0 y+x。9.为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1 8 0 0万元兴办一所中学。经调查，班级数量以2 0至3 0个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要2 8万元与5
16、 8万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件20 x+y 3028x+58y g 1 800X 之 0,V 之 0，X,。2 0 x +y 3 0,28x+58y 0,y 0,x,yGN+.1 0 .当机 1时，/与 加2-/+l的大小关系为 户?2?+。解析 因为 m3-(iTi2-m+1 )=m3-trr+m-1 =m2(m-1 )+(?-1 )=(/-1 )(/n2+1 )。又因为 in 1,故。w-1 )(序+1 )0o1 .1.7.4.解答题1 1.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是1红球个数的;，白球与黑球的个数之和至少
17、为5 5,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来。第10页共7 2页*谷，解 据题意可得I V +匚2 5 5 (x,y,z N*)。11 2/W R 且#-1,比较;T：与 1-x 的大小。1 i-d-*2 /解 因为；-(l-x)=7 7 7,1当 x=0 时，7 T T=l-x；当 l+x 0,即 x -l 时，0,_ 1所以 7 T；l-x；X2 1当 1 +x 0 且/0,即-1 0 时，0 所以7 T 7 l-x0-素养提升-1 3 .某校的一个志愿者服务队由高中学生组成，成员同时满足以下三个条件：(1)高一学生人数多于高二学生人数；(2)高二学生人数多于高三学生人数；(3)高三
18、学生人数的3 倍多于高一、高二学生人数之和。若高一学生人数为7,则该志愿者服务队总人数为1 8。解析 设高二学生人数为x,高三学生人数为y,x,y 6 N+,(y x7+x,由可知，这3,结合可知，4 人 6,则(x,片共有6 种取法，分别为(6,3),(6,4)(6,5),(5,4),(5,3),(4,3),逐一代入验证，可得只有(6,5)满足，所以46,产5,所以该志愿者服务队总人数为7+6+5=1 8。1 4 .如图所示的两种广告牌，其中图是由两个等腰直角三角形构成的，图是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母。，8的不等式表示出来为1 次+序)小。第 1
19、1页共7 2 页解析 由题图可知,题图广告牌的面积S=7(W),题图广告牌的面积S2=ab,观察题图得SS2,即;(次+2)/15.某粮食收购站分两个等级收购小麦。一级小麦a元/kg,二级小麦b元/kgSa)。现有一级小麦m kg,二级小麦 k g,若以两种价格的平均数收购，是否合理?为什么？解 若 以。元4 g 的价格收购小麦机k g,以 8 元4 g 的价格收购小麦 k g,所需钱数设为x 元，那么x=am+bno若以两种价格的平均数收购，所需钱数记为y 元，那 么 卢 丁(m+n)o一 A 1因 为b 0,所 以 当 时，x y,按两种价格的平均数收购，售粮方吃亏；当K 时，x/?0),
20、再加心0)克糖，全部溶解后糖水更甜，用一个不等式来表示这个现1 .掌握不等式的基本性质。2.运用不等式的，性质解决有关问题。第12页共72页1.等式的性质性 质1如果那么b=a；性 质2如果a=b,b=c,那么a-c性 质3如果a=b9那 么ac=hc；性 质4如果a=b9那 么ac=bc；a b性 质5如果a=b,#0,那么之二2.不等式的性质性 质1如果a b,那 么ba；如果b bo即a b0 b b,b c,那么 a c,即 a hf h c=a co性 质3 如果。力，那 么 +c A+c。推论：a+b c=a c-bo性 质4如果a b,。0,那么a c /?c；如果a b,c0,
21、那 么ac d,那么a+c b+do性质 6 如果 a b 0,c d 0f 那么 ac hdo性 质7如果。匕0,那么WN,z z 2)o2.1.2.微提醒1.在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。2.要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。2.1.3.微思考1.如果a b,那 么ac bc成立吗？提示：不一定成立。2.使用不等式的性质6,7时，要注意什么条件？第13页共72页提示：各数均为正数。2.1.4.合作探究，攻重难类型一判断不等式的真假【例1】分别判断下列各命题是否成立，并简述理由。a ba(r b(r(2)a b,c d
22、=a-c b-d；a(3)a b,c b O=a,l bn(n N,H 1)；(5)a b Q,c 办0=(6)/?c2=a2/72o解(1)不成立，当c=0时ac2=bc2o(2)不成立，令。=5,/?=4,c=3,d=l,有 a-cvb-d。(3)不成立,当 a b 09 c 0,上0时显然有：0=同 见但同与屋可能相等，也可能互为相反数。(5)成立，因为0 d 0,所以1 1A 0o又因为a b Q,所以 A7 0,即b(6)不成立，a d b d=a b,但a b不能推出a2 h2o2.1.5.反思感悟不等式的运算一定要依据加、乘规律以及传递性进行，不能自己“制造”性质及运算。取特殊值
23、要有一定的目的性、方向性，盲目取值，既费时间，效果又差。【变式训练】(1)(多选)下 列 命 题 中 正 确 的 是(A C)第 14页共7 2 页A.若 a h,贝lj a-c h-cB.若 a b,且 a+c b+d,贝!J c dC.若 v a V b,且 c 0,则 a c bcD.若厚0,则 7 1已知。+0,6 b-b-a B,a-b-a bC.a-b b-a D.a b-a-b解析 取满足条件的。=3,Z?=-l,则a-b h-ao类型二利用不等式性质证明简单不等式【例2】若a b 0,cdQ,e 0,求证：一4 。证 明 因 为cd-d 0。又因为。0，所以 a-c /?M 0
24、。所以(a-c)2 S-t/)2o。两边同乘以 fa-ri一 飞-dA,1 得(a-etC又 e 2.1.6.反思感悟利用不等式性质证明不等式注意事项利用不等式性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。（2）应用不等式性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。【变式训练】已知a b,e f,c 0,求证：f-ac ,c 0,所以 a c Z?c,即-a c f a c,即 ace-/?c得证。类型三求代数式的取值范围【例 3】已知la4,2b8,试求2a+38
25、与 的 取 值 范 围。解 因为 14,2/?8,所以 22a8,63*24。根据不等式的同向可加性得823辰32。又 2。8,得-8/-2,所以-7a/2。故 2a+36的取值范围是82a+3X32,a-b的取值范围是-7a/2。2.1.7.反思感悟同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性【变式训练】已知12a60,15836,求三的取值范围。解 因 为 15b36,111所以 ；我，又 12 60,12 a 60所以 工 7所以 1 1 4,即:的取值范围是 1 I伏 出*0）,是否有:4?（讲清此类问题可以深刻理解
26、不等式的可乘性）1 1 o b-a解法一：:-7=T T,而 b-avO,故当必 0。时，TF0,所以1 1j 1 17 7；当 a/?0,即 4/?0 或”v 0 时，0,所以第 16页共72页 4（a.b齐号）.卜。9解法二：若a 0,则将此不等式两边同除以必得 T：；若ba：;若a 0 1综上得，a b=2.1.1.反思感悟（1）本题目的是要学生明确不能贸然由。乂0 7 0,且则 7 0 a B.0 a bC.a 0 h D.a b 01 1解析运用倒数法则，a b,ab 0 0 1”是“三 1,则:1成立。若 二 1,则o:1或:0。所以“K 1”是三 b B.a2/?2第 17页共7
27、2页C.I1 D.Q303解析可利用赋值法。令 4=5 b=0,则 A,B 正确而不满足法再令=.3,b=-L则 C 正确,而不满足a ho故选D。2.（多选）若c d,则下列不等关系中成立的是（ACD）A.a-b d-c B.a+d b+cC.a-c b-c D.a-cva-d解析根据不等式的性质可得答案。3.（多选）如果。乂 0,c d 0,则下列不等式中正确的是（ABD）a bA.a-db-cC.a+d b+c D.ac bd解析 由已知及不等式的性质可得-ct/0,得A70。又 a b 0,a b a b所以二 二-二 二 所以B 项正确；由不等式性质知D 项正确。若 a=3,b=2,
28、c=5,d=,显然C 项错误。4.已知,则a-b的取值范围是-2a-b0。解析 由得所以-2a-b2,但 a。，故知-2a-/?0,求证：.。证明 因为bc-ad 0,所以ad 0,所 以 表 所以0 占 c+d所以丁。课时达标检测（十一）等式性质与不等式性质基础达标一2.1.2.1.单项选择题1.已知从2a,3dc,则下列不等式一定成立的是（C）第 18页共7 2 页解析 由于/?2a,3dc,则由不等式的性质得。+3d b-3dC.2a+c h+3dB.2ac 3bdD.2a+3d h+c2.设 a-AvO,c 0,则A.agbg1 1C.Z b2cc cDZ解析 B 中当a0,60时，不
29、等式不成立，C 中当a0时，不等式不成立，D 中当a0,/?0时，不等式不成立。故选A。3.下列命题中为真命题的是(D)A.0a/?=a2 人 2bC.a b=h2 a b 0D.6Z/?=6Z3/?3解析 由 0aZ?可知，0-a(-a)2,BP b2 a2,故 A 为假命题；性质7 不b具有可逆性，故 B 为假命题；只有当。0 且时，二 0,a,-bi=a-b)cr+ab+lr)=a-b)2+T 0,故凉，D 为真命题，或由性质 7 可得。4.已知a0c,a+b+c=Q,则下列不等式中成立的是(C)A.ab bcC.ab acB.ac bcD.ab hc解析 因为a bc,a+b+c=0,
30、所以a0,cac。故选C。5.若a,b R,且 a+依0 B.a3+/?30C.a2-Z?20 D.a+b0解 析 解 法 一：由。+|例 0知，a0,0 b-a,所以 o；因为以泌，所以。+处。+|勿 0;因为I年 也 所 以。隹 a+IM|切切,所以(-a)3，所以/+830。第 19页共7 2 页所以A,B,C 错，D正确。解法二：取 a=-2,b=+l,易知 a-0,a3+b3 0,排除 A,B,C,故选 D。2.1.2.2.多项选择题6.已知a,b,c,d 均为实数，则下列命题正确的是(BC)A.若 a b,c d,贝 U ac bdc dB.若 ab 0,bc-ad Q,贝!)二
31、二 0C.若 a b,c d,贝 ij a-d b-ca bD.若 a b,c d 09 贝 iJA二解 析若 a O b,0 c d,则 故 A 错；若 ab。,bc-cid 3 则“b 0,化简得;二 0,故 B 对;b a b若 c d,则/-c,又 a b,则 a-办b-c,故 C 对；若。=-1,。=-2,c=2,d-,则 二 =-1,71,二=二 二-1,故 D 错。故选BC。7.若 二 4/?2(BC)B.abb2C.a+h a+b解析因为二4V0,所以ba 层，ahb2,a+h 1,则方是假命题的一组整数。，匕的值依次为-1,-2(答案不唯一)。解析 要使“设。，人是任意非零实
32、数，若:1，贝!18优是假命题，只需满足从a0即可，可取。=-1,b=-2。答案不唯一。n 09.设 0a7,0/?,贝！J 的 范 围 是 2a=兀。fin n fi n fi解析 由已知，得 02a兀，0。0,且 c#*o。求证：1 1证 明 因 为0 d 3所以A70,因为。0,所 以-0,所以12.已知la3,2b5,试求下列各式的取值范围:(1)2。-3。+1；解(1)因为 1。3,所以 22a6。因为 2。5,所以-15-3X-6。所以-122a-3b+ll。(2)因为 la3,所以因为2。5,所以425,所以3户 124,所以1 百所以 不第 21页共7 2 页-素养提升-13.
33、十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在 砺智石一书中首先把 作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“0,贝！JI)(Q+2)B.若 a h 09 贝 lj acbbc21 1C.若 a b9 且 二 :，则 ab 0D.若 a b 0,则解析 对于选项A,当 4=4时，tz2+l=17,(a-l)(a+2)=18,此时1)3+2),故 A 错误;对于选1 1:7项 B,当 c=0时，。/9 二 仪:之，故 B 错误；对于选项C,a b,所以b-avO,又所以次0,a b(七。故 C 正确；对于选项D,a b 09所以/?-a二 0 和ad0。因为 ad-bc0,所以 bd0。所以在取(a,
34、b,c,时只需满足以下条件即可：a,h 同号，c,d 同号，b,4 异号；ad0,b 0,c0,d0,y0,存y),容器C,D 的底面积均为产，高也分别为心y。现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道x,y 的大小，试证明取A,D 两个容器一定能获胜。第22页共72页证明 设容器A,B,C,D的体积分别为VA,VB,M e,VDO由题知 以 二 二%3,V s-xy,V c=xy2,%=旷。又 x 3+y 3 _（x y 2+f ）=3.）+任3 _砂2）=（x _）,）2（x+y）o,所以在不知道X,y的大小的情况下，取A,D两容器能
35、够确保一定获胜。3.基本不等式3.1.基本不等式情境导入课程标准某金店有一架天平，由于左右两臂长略 7/.b1.掌握基本不等式 a b”（a 0,有不等，所以直接称重不准确。有一个顾客 1匕 0,当且仅当a=b时等号成立）。要买一串金项链，店主分别把项链放于左右.2.结合具体实例，能用基本不等两盘各称一次，得到两个不同的质量。和江然后以-作为项 式解决简单的最大值或最小值问链的质量来计算，试问，为何店主不以真实质量、来售卖？题。3.1.1.自主预习，明新知1斑 不 等 式V m bR,有/+从2,当且仅当a 2时，等号成立。特别地，如果a 0,方 0,我们用 忘，S 分别代替上式中的a,b,可
36、得、短 丁，当且仅当昕。时,等号成立。通常称此不等式为基本不等式,其中，叫做正数a,J的算术平均数,v a b叫做正数a,J的几何平均数。2.基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3.基本不等式与最值已知达y都为正数，则 若 积 所 产（P为定值），则当 R时，和x+y取得最小值2 V。第23页共72页若和x+尸S(S 为定值)，则当x=y 时,积孙取得最大值二。3.1.2.微提醒。&基本不等式一 封。匕的条件是a,b都是正数，取等号的条件是a=b,当。0 o,b (r 能省略吗?请举例说明。提示：不能，如 于 2,(-3)X(-4)是不成立的。2 .若正数a 邦，基本不等
37、式会怎样？提示：若叶b,则 出咚丁3 0,/0)中的等号不成立。3 .1.4.合作探究，攻重难类型一对基本不等式的理解【例 1 判断下列结论是否正确。若 R,贝 i j /+9 次 ；(2)若 ab 0,则 a+b 2 y/ab；b(3)若必 0,则：+k 2；b(4)若 0,Z;0,则:+T 0,b 0。【变式训练】(多选)下列式子正确的是(B D)A.a2+1 2 2第24页共72页I 1C.工D.x+解析 因为2-24+1=(-1)250,所以2+G2Q,故A不正确；对于B,当x0时,L+=x+幺2(当且仅当x=l时取=)，当x0时，取故B正确；对于C,若“=。=-1,则 7S=-23)
38、的最小值。解 y=+(x-3)+3,因为 x 3,所以 x-30,0,所以这2旧T(-3.3=5。当且仅当 士 3,即x=4时，y取得最小值5。1已知0 x 彳，求产工(1-3尤)的最大值。1解 因为(Xx0,1 1 1(1-疝)2 1y=x(l-3x)=r3x-(l-3x)71-I=当且仅当341-3羽 即m 亩 寸，取等号，所以当户 谢，y取得最大值 43.1.6.反思感悟利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件。等号取不到时，注意利用求第25页共72页函数最
39、值的其他方法【变式训练】（1）已知xL则函数产4尤-2+的 最 大值为_。解析 因为x 0。所以y=4 x-2+白=-（5-4 x）+士+3 e 2 /伊-的）*=+3=-2+3=1,当且仅当5-4A-=,即x=l时，上式等号成立。故当户1时，y取得最大值为1。（2）若Q1,则函数产=的最小值为必/一计1 1 1解析 因为工1,所以产=r-i=x+=%-1+2 2+2=4,当且仅当士二41,即（X-1）2=1时，等号成立，所以当42时，.V取得最小值为4。类型三用基本不等式证明不等式【例3】（1）已知a,b,c为不全相等的正实数。求证：a+b+oxab+Tc+xlac.证明 因为 a0,比 0
40、,c 0,所以 a+b2 V a t e 0,b+c2 bc0,c+a2 ,c a 0,所以 2（a+/?+c a2（v a b+ybc+V c a）,即 a+h+c/ab+4bc+y/ca,因为a,4c为不全相等的正实数，所以等号不能取得，故 a+b+c v a b+!bc+xfac.,已知a,b,c均为正实数，且a+H c=l,求证：（:1）（7-1）.（：-l）8o证明 因为a，b,c均为正实数，a+b+c=,1 1-0 b t 2 瓜所以 7-1=-=丁=7+,1 2 必 1 2 v s同理 7-1 -7-1 ,以上三个不等式两边分别相乘得（：）（3）（第26页共72页当且仅当a=b=
41、c=:时取等号。3.1.7.反思感悟在解题过程中，把数、式合理地拆分，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧，在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律。【变式训练】（1）设。，b,cR,求证：a2+b2+c2 ab+bc+cao证明 a1+b1 2cih,b2+c2 2bc9。之+序。，当且仅当用c时，等号同时成立，三式相加得2（“2+。2+。2 心 z M+b c+a c）,即 a1+b1+c1 ab-3i-bc+ca（w p/（2）已知 ，b,c 0,求证：T+=+、a+c。证 明 因 为 Q,b,c 0,小 炉 /所以利用基本不等式可得 T+厄2
42、，T+c 2/?,二+N 2 c,所以 卜+.+c+q+b+c N 2 a+2/?+2 c,丫 J故 b+E+T a+c,当且仅当e A=c时，等号成立。3.1.8.课堂测试1.下列不等式正确的是（C）1A.Q+之 2B.(-a)+(-二)0-2C.a2+i 2 D.G a)2+G)2 2解析 由。可正、可负，可知A,B错误；由于/（）,所以/+;*2-=2,当且仅当。2=/，即第 27页共7 2 页。=1时等号成立，所以C 正确；同理可知（-。）2+（3）2三 2,故 D 错误。2.已知m b （0,1）,且以b,下列各式中最大的是（D）A.a2+Z?2 B.2fabC.2ab D.a+b解
43、 析 因 为 a,/?e（0,1）,所 以/m h2h,所以层+022。伙因为。孙），所以2aba2-b22ab（因为 a*b）,所以 a+b 最大。故选 Do3.已知必=1,区 0,方 0,则。+力的最小值为（B）A.l B.2 C.4 D.8解析 因为。0,於0,所以。+历2蔗=2,当且仅当。4=1 时取等号。4.设a,匕为非零实数，给出下列不等式：丁+二 丁+丁（c&a&a b 丁 之时；丁）；T 罚；露 2。其中恒成立的是 。（填序号）/+射 2（+/）（/+群）/+/）/+F+2必（a*）2/a+k 2解析 由重要不等式/+危 2必，可知正确；=-=-;-=-r-4-J,a+A ab
44、 1可知正确；当 a=b=-l时，不等式的左边为丁=-1,右边为右二，可知不正确；当 a=l,b=-时,可知不正确。5.已知 a,h,c 为正数,且 a+b+c=l,证明：（l-a）（l-）（l-c巨8ac。证 明（1 /）（1 -勿（1 -c）=（Z?+c）（a+c）（a+0）N2加 2 疝.2、a=8。31当且仅当。=c=a与时，等号成立。课时达标检测（十二）基本不等式基础达标-3.1.8.1.单项选择题1.下列不等式中正确的是（D）A.a+之 4B.a2+h2 4ab第28页共72页。+2C.vabTD f+2 2 /54解 析 若。0,则。+之4 不成立，故 A 错；若 a=l,b-,
45、贝（J屋+/4。/?,故B 错；若。=4,b=16,_ _】则、，ab 1)C.y二什=7(71)1B.yVt+Tv1D.y=f+；+l(f0)1.1解 析 A 中，产什龟2,当且仅当片1时等号成立；B 中，y=ft+2,当且仅当片1时等号成立；C1 1 1中，y=f+二7=f-1+=7+1三 3；D 中，y=Z+7+l303.设x,满足x+y=40,且 x,y 都是正数，则孙的最大值是(A)A.400C.40B.100D.20解 析 因 为 七丁（x0,y0）,所以（二 建 停）2=400。当且仅当x=y=20时，等号成立。14.设x 0,贝！J 3-3x-二的最大值是(D)A.3C.-1B
46、.3-2戊D.3-2百解 析 因 为 x 0,所以3x+M2/3T=2、号，当 且 仅 当 时，等号成立，所以-（3卢=）2、与，则3-3%-3-2305.已知。0,匕 0,则下列不等式中错误的是（D）A.a公 然）2解析 由基本不等式知A,C 正确,由重要不等式知B 正确，由一 女 儿B.ab_ LD：W 士 丫得 手），所以X W）。第29页共72页故选D。16.已知 x0,贝!x+二 2 有(C)A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析 因为x0,所以广二2=1(一+=d-2S-2-2=-4。当且仅当-产二即4-1时=成立。故选C。3.1.8.2,多项选择题7.下
47、列条件可使三+在 成立的有(ACD)A.b0C.a 0,h 0b Q解析根据基本不等式的条件，a,b 同号，则0,Z0oB.ab0D.a0,h08.Y 矩形的周长为/,面积为S,则下列四组数对中，可作为数对(S,/)的有(AC)A.(L 4)B.(6,8)C.(7,1 2)D.(3,解析 设矩形的长和宽分别为x，贝！U+y=3,S=孙。由 突(二)2知，S黛，故 A C 成立。3.1.8.3,填空题9.已知4,是不相等的正数，X=、，y=a+b,则 羽 y的大小关系是x 2x ab(ab),所以 0,y0,所以x”1 0.已知。41,则x(l-x)的最大值为工，此时广二。解析 K+U-*)1
48、小 1因为 040,所以一2=(彳)2=:当且仅当A1-尤，即4:时“=”成立,第30页共72页解 析 因 为 x 0,），0,所 以 1+幺 6；2 三，当且仅当建时取等号。由即 当 时，x（1 -X）取得最大值工*211.已知x0，y0,且满足:+=1,则xv的最大值为3,取得最大值时y 的值为上_。2思1,得 交 3。由I*y 3了 一 7 4=;，x y；+；=1，得上=2 故盯的最大值为3,此时y=2o3.1.8.4.解答题H-c-o f 0一$”b r12.已知，b,c 为正数，求证：c +卜+尸 N3。b c c a a b证明 左边=c+c-1+*+；-1+,+L-1因为a,b
49、,。为正数，b a所以:十 在2（当且仅当a=b时取=）；：+22（当且仅当所c 时取“=”）；延（当且仅当反。时取“少。从而G +）+1+（W+；）次（当且仅当a=b=c时取等号）。所以 e+：）+G+）+（Z+：）-33,ro-b即一+-+3O-素养提升-13.已知 x 0,0,且 x+2y=4,则（1+%）（1+2）的最大值为（B）A.16 B.9 C.4 D.36解 析（l+x）（l+2j）0,求产三三的最大值。解 y=-41=*+；,因 为x 0,所 以x+Z 2 J =2,所 以 好 ；=1,当 且 仅 当 户 即 E 时 等 号 成 立。故 当 户1时，)，取 得 最 大 值 为
50、1。3.2.2.反思感悟在 利 用 基 本 不 等 式 求 两 数 和 的 最 值 时，若“一 正、二 定、三 相 等”中 的 条 件 不 满 足 时，则需要对条 件 作 出 调 整 和 转 化，使 其 满 足 上 述 条 件，方 可 利 用 基 本 不 等 式。转 化 的 方 法 有 添 项、拆 项、凑 项、变号 等。第32页共72页【变式训练】已知0 42求益1-2九)的最大值。1解 因为0 x0,1 1 1/，2 1所以“(1-2%)=4x2x(l-2x)7 5/=当且仅当 2x=l-2x(0r-1,求产 一 的 最 小 值。解 因为X-1，所以x+l0,+7x+10(X+1)2+5(X