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1、2022-2023学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题一、单选题1.已知集合力=1,2,3,4,3=2,4,6,8,C=3,6,9,则（Ac/B）c C 的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】运用集合的交并集运算计算（A u 8）c C,再判断元素个数.【详解】（A u 8）c C =3,6,元素个数为2,故选：C.2.下述正确的是（）A.若，为第四象限角，则sin，07TB.若cos0=0,则。=2C.若夕的终边为第三象限平分线，则tan9=-17TD.“，=也+次 2”是“3116=8 5/，的充要条件4【答案】D【分析】对于A,利用三角函数定义即可判断；对于B
2、,求出0 的值即可判断；对于C,算出。的范围即可判断；对于D,利用充分，必要的定义进行判断即可【详解】对于A,若夕为第四象限角，根据三角函数定义可得sin d v O,故不正确；7 T对于B,若cosd=0,则6=5 +E，A e Z,故不正确；对于C,若。的终边为第三象限平分线，则。=+2 E,k e Z,此时tan6=l,故不正确；对于D,由。=碗+二,Z e Z 可得以g =tan6=l,即sinO=cos，满足充分性；4 cos 1 9由sin =cos夕可得016=上 叫=1,所以6=E +工,k e Z,满足必要性，故正确cos（9 4故选：D3.函数y=Jlog?*的定义域是A.
3、（0,1 B.（0,+o5）C.（L+00）D.1,+0,.-.x l,则函数、=匹 工 的 定 义 域 是 ，).故选D.24.若函数f(x)=a-品 为 奇 函 数，贝()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据奇函数的性质，/(0)=0,解得。=1,验证/*)为奇函数.2【详解】因为函数/(力=。-五百为奇函数，且x e R，所以./(0)=0，a=L验证当a=l 时，/(%)=12=上1,)=竺 二 1=_ 二 1=_/(幻，满足题意,故选：B5.若!，0,则下列不等式中正确的是()a bA.a ab1【答案】B【分析】根据L?0 可得：b a 0,然后根据不等式的性质逐项
4、进行检验即可求解.a b【详解】因为所以匕。0,故选项A 错误；因为。a 0,则有”加，故选项B 正确；因为 (),所以一 4 一)，又因为 0,所以则。=同 匕，故选项C 错误;因为 (),所以a+a+a,两边同时除以2 可得：a,故选项D 错误，2故选：B.6.已知函数 x)=sin12x-W，贝 I()A.f(x)的最小正周期为2兀B.点 长,0)是/(x)图象的一个对称中心C.直线x=是/(x)图象的一条对称轴D.x)在卜会百上单调递增【答案】D【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验【详解】对于A,由/(x)=si n 1 2 x-t j 可得周期7=5=兀，故 A 不正确：对于 B,
5、当犬=色时,2 x-,si n|2x-=-*o ,6 6 6 V o/z则点住,0)不 是 图 象 的 一 个 对 称 中 心，故 B不正确；对于 C,当 x =M 时，2 x-工=0,si n j 2 x _?=0*l,1 2 6 令，=si n x,则 f(T)+2 f S =3t-，/司一1 ，用 T换 f，得/+2/(T)=1 尸，联立解得F(f)=3NA，-1,1 所以，/(x)=3 x V l-x2-XG T/，f(x+2)=f(x),/(X)是以2 为周期的函数.故选：C8 .已知函数/(x),对 任 意 石 e(l,E)且不X马,/(办)+%/(%2)%/(%)+/(刀 2)恒
6、成立，且 x+l)是偶函数，设。=，1 1 呜|力=/(1 叫 4),。=/(1%3-1),则”,A,c 的大小关系为()A.b a c B.c b aC.bca D.a h c【答案】A【分析】根据函数的单调性的定义，函数解析式变换，函数的对称性即可求解.【详解】因为当3，w(l,+o o),*x2,/(j q)+/(A2)xl/(xl)+x2/(x2),所以/(百)一/()(工2-苫)0,所以/(%)/伍)与 七-%异 号，所以f(%)/仇)与玉-*2 同号，所以f(x)在(l,w)是增函数，又/(X +1)是偶函数，所以f(x)关于直线X =1 轴对称，&=/(lo g34),c=/(l
7、o g.,3-)=/(-1)=/(3)4X lo g34-(2 +lo g32)=lo g3-2 =lo g32-2 0,所以 Io g3 4 2 +lo g3 2 3所以“lo g3 4)/(2 +lo g3 2)3)所以8 a 0,则 一/+苫-4 的最大值是一3XC.若则s in x+J-的最小值是4k 2 sinxD.若则与+t的最小值是12 2.)sm-x cos_x cosx【答案】ABD【分析】根据基本不等式判断各选项.【详解】选项A,x 4 0 或xNlO时，x(1 0-x)0,因此最大值在0 x 10时取得，此时x(10-x)0,x+-4,当且仅当x=?即x=2时等号成立，所
8、以X X X X-A-4-4+1 =-3,最大值为-3,B 正确；X7 T 4 4选项 C,x (0,0 sin x 4,当且仅当sinx=-即sinx=2 时等号成立，由2 sinx sinx于0 sinxl 等号不成立，C 错误;选项 D,则 O vsinxvl,()cosx10+2J -=16,sin x cos x sin x cosx V s im cosx当 且 仅 当 竺 卫=包 上 ，即cosx=：时等号成立，sin x cos x 2(-2)2在-=2即cosx=时，取得最小值0cosx C O SX 21 4 9 2 4综上，cosx=二即x=二时，I-2-取得最小值16+
9、0 4=12,D 正确.2 3 sin-x cos x cosx故选：ABD.1 2.己知函数/(x)的定义域为(O,+8)J(x)+/(y)=/(号)+1,当x l 时，/(%)1,则()A./(1)=1 B./(/(2)1C.f(x)是增函数 D.当 0 x l 时，/(%)l 时，/(x)l,则/(2)1,.,./(/(2)1,B 错误；对C：令0产=上 0 ,可得+f三=/(马)+1，即f(5)-/()=1-/，设a占0,则 个 1,可 得/仁)1,则 。，即/&)/(巧),7故函数f(x)在(0,+8)内单调递增，C正确；对D：；函数/(x)在(0,+8)内单调递增,故当0 x l
10、时，/(x)0,。e(-兀,兀)在f e(0,+W)时恒成立，设g(f)=-4sin(6-+1,对称轴为r =2 s i n(0-1 l 分两种情况即可求解【详解】因 为 力=芸七7因为y=2 +3”是单调递增函数，且 y=2+3 w(2,y),所以根据复合函数的单调性性质可得/(x)是单调递减函数，而/=-(所以f 2-8 s i n(e-)+3 1,8 e (兀,兀)在 f w(),+0,6 e (兀,兀)在，e(0,+oo)时恒成立，设 g(f)=f 2-4 s i n(e-0 +l当一 4 s i n(夕一)2 0 时，8(。=产-4 41 1(夕 一+1 的对称轴为=2 4 11(6
11、-1)4 0,此时，当 0,g(r)g(o)=i o恒成立,满足题意,所以由一 4 s i n(e-/)2 0 可得s i n(e-g)4 0,所以一兀+2E442 E,k w Z,2兀解得-兀 +2 E 。41+2 E，%Z,因为6 兀,兀),所以-与4 W；当一 4 s i n(8 1 +1 的对称轴为 t=2 s i n (9 一)0 ,则 =1 6 s i n 2(，_ g)_ 4 0,解得0 s i n(9-1)g,JT 7T SjT JT所以2 E 9 +2kn或一+2E0 兀 +2kit,k e Z,3 6 6 3TTTT7 7 r 4 7 r所以F 2ATT 夕 F 2AJT
12、或 1-2 E 。-F 2kit,k G Z,32 6 3因为 6 (一 兀，7 1),所以 g e 或一 +l 0,，-冗 在/(),”)时恒成立后，关键是讨论对称轴/=2 5 皿 卜-1)是否在r e(O,y)内，四、解答题17.已知全集为斐M=-Z2,N=加4%。2.求M&N)；(2)若。=%|1-2a4 x 4 a ,且C=M =C,求“的取值范围.【答案】3-2 4 0(2)2,-KO)【分析】(1)利用补集和交集的定义即可求解；(2)由C u=C可得M q C,然后列出不等式即可.【详解】(1)因为M=-2,2,Af=x|0 x2,所以务N=x|x2,所以 M c&N)=x|-24
13、x 1 -2a所以心2,解得a2,l-2a-l,求机的取值范围；若帆 0.【答案】(-3,1)(2)答案见详解【分析】(1)根据一元二次不等式在R上恒成立问题运算求解；(2)分类讨论两根大小解一元二次不等式.【详解】(1)由/(力=幺,可得幺+(1-%)-加+10对-X/xeR恒成立,则 A=(l-4(-z n+l)3/+2机-30,解得-3？1,故，”的取值范围(2)由题意可得：/(x)=x2+(l-/M)x-zn =(x+l)(x-/n),令y（x）=o,可 得 产-1或乂=，对于不等式力0,则有:当加 一1时，不等式的解集为（Y,W）U（-1,+8）;当m =-l时，不等式的解集为 x
14、l x H l ；当1 切0时，不等式的解集为（Y,T）U（7,4W）.1 9.己知函数/（x）=s i n（2 x+p）_ l,_；e K是“X）的一个零点.求0；若x e o马 时，方程/（x）=加有解，求实数，W的范围.【答案】（1）-?O-3 ,（2）-万，0【分析】（1）将零点代入计算得。=-+2版,eZ,结合得夕=-丁；6 2 2 6兀 兀5兀1 （兀、|先算出2 x-六，结合正弦函数性质求出s i n 2%，进一步得6 L 6 6 J 1 6八23 -/（X）G -,0 ,由题意可知参数范围即为函数值域.【详解】由题意噌 卜 也 仔+夕 卜 肛则 0 =+2履,2 e Z,6兀
15、兀兀6一 2 W，(2)由(1)得，(x)=s i n(2 x-1 J-l,八 兀 E l l C 兀 兀5兀X G 0,则 2 x G ,L 2 人J 6 6 63则/(%)-1,0/、3方程/(x)=m有解，则?e -,02 0.已知函数/（k=1强,（2万 一4）+1。8.（5-尤）3 0且4）的图象过点（3,2）.求 a的值及 x)的定义域；求 x)在上的最大值；若 2“=3 =r(|f 3),比较/(2/W)与/(3 n)的大小.【答案】(1)。=：，定义域为(2,5)；(2)最大值是-l og?万，/(2%)0 q,I A=2 c x 0(2)/(x)=l og,(2 x-4)+l
16、 og (5-x)=l og,(2 x-4)(5-x)=l og 1(-2 x2+1 4 x-2 0),2 2 2 2c7 c 9 Q 5 7.9 9-2x2+4x-20=-2(x-)2+-,3 x-,贝 i J-4-2(x )2+-,2 2 2 2 2 2 29 5 n所以b g i-l og,(-2 x +1 4 x-2 0)l o g,尤=3时取等号，I2 I 22 2最大值为l og I i=T o g 2：；3 2 2(3)2”=3 =(|f 3 ，1/3,则m=l og 2，l og 2 3 ,2 34,所以 7 4 1 og 2 3,l og23-,即 2 m l og,1 ,3
17、 n 3 1 og,|=l og3 苧 l og,9=2，Z o7 7所以2 me(2,5),3 ne(2,y),”=-2 2+4 -2 0 在（2,2）上是增函数，又 y=l g/在 u 0 时是减函数，227./（X）在（2Q）上是减函数，/（2 /（3）.2 1.2 0 2 2 年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内（以 3 0 天记）每件的销售价格尸
18、（x）（单位：百元）与时间x （单位:天）的函数关系式近似满足尸（x）=l +：（为正常数），日销售量。（x）（件）与时间x的部分数据如下表所示：X （天）51 01 52 53 0Q(x)(件)1 1 51 2 01 2 51 1 51 1 0已知第1 0 天的日销售收入为1 3 2 百元.求 k 的值；给出以下四种函数模型：Q（x）=o x+b,Q（x）=a|x-1 5|+Z?,Q（x）=a ,2（x）=a-lo gz,x.请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（单位：件）与时间X （天）的变化关系，并求出该函数解析式；（3）求该吉祥物摆件的日销售收入/（x）
19、（1 4 x 4 3 0,x e N*）（单位：百元）的最小值.【答案】（1）=1 选，C（x）=1 2 5-|x-1 5|（l x 3 0,x e N+）.（3）1 3 2 百元【分析】（1）根据第1 0 天该商品的日销售收入为1 3 2 元，代入即可得解；（2）据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而，中的函数为单调函数，故只能选，再代入题表数据即可得解：(3)由(2)可得 x)=P(x)2(x)。x+1 1 1,1 x 1 5,%e N+,*，分类讨论求最小值即可.-x +1 3 9,1 5 x 3 0,x e Nt.X【详解】(1)由题意得尸(1 0)必0)=
20、(1 +a120=1 3 2,解得&=1.(2)由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而，中的函数为单调函数,故只能选,即。(%)1 5|+b.由题表可得Q(1 0)=1 2 0,2(3 0)=1 1 0,即1 5 a +/?=1 1 0,a=-,解得5。+=1 2 0,/?=1 2 5,故 Q(x)=1 2 5 Tx-1 5|(U 3 0,x e N j.(3)由(2)知。(力=1 2 5-,一 1 5|二1 1 0 +x,l x 15,XG N+,140-X,15X30,X GN+,/(x)=p(x)e(%)=-x+H l,l x 1 5,x e N+,X1
21、4 0-X+139J5X30,X GN+.x当lx =型-不是单调递减的，x.当x=3 0 时，f(x)取得最小值,且飞 号.综上所述，当x =1 0 l时，X)取得最小值，且 )讪=1 3 2.故 该 商 品 的 日 销 售 收 入 的 最 小 值 为 1 3 2 百元.2 2.已知函数/(x)=x h u l,g(x)=e -x-1,对/。且 上 士 10,恒有/(丫 )一，0 x-1 x-1 求“X)和 g(x)的单调区间；证明：y =/(X)的图象与y =g(X)的图象只有一个交点.【答案】(1)/(X)的增区间是(1,g0),减区间是(0,1),g(x)的增区间是(0,y)，减区间是
22、(-8,0)；(2)证明见解析.【分析】(1)根据单调性的定义结合已知恒等式得出/(X)的单调区间，然后由复合函数的单调性得出g(尤)单调区间;(2)设(x)=f(x)-g(x),然 后 由(1)得以x)在(0,1 上的单调性，再由零点存在定理得其有唯一零点，利 用(1)的结论和不等式的性质得x l时，h M 0 且-0 即 x l 时，x+r l,x l 时，x+t 0,则x e(0,l)时，f(x+t)f(x),x-1设x 2 X,t=x2-x o,当%1 时，x,=x,+r l,/(x 2)=/(X1+r)/(X1),所以f(x)在(l,+o o)上是增函数，当0 *X20,则/(工2)
23、=/(为+力/(须)，所以/(X)在(0,1)上是减函数，又g(x)=f(e，)，设 玉 0,则O ve 1 f()=g5),所以y=e*-x-l在(-8,0)上是减函数，同理g(x)在(0,+8)上是增函数，综上，的增区间是)，减区间是(0,1),g(x)的增区间是(。,+8),减区间是(f,0)；(2)设(x)=/(x)-g(x),x 0,由(1)知x e(0,l)时,/(x)递减，g(x)递增，设 V0 X1 0,即(芭)/J(X?),所以M x)在(0用 上是减函数，又=./-g =2-e 3-e 0，所以存在唯一的/e(e-3,l),使得以%)=0,x e(l,+o )时，由(1)知
24、f(x)f(1)=0,g|J x-l nx-l 0,x-l nx l,所以 (x)=2x -I n x -e =2x -I n x -=2x-In x-x-ex-nx 2x-l nx-e x (2-e)x 0 ,所以(x)在(1,”)上无零点，综上，y=k r)只有一个零点，即y=/(x)与y=g(x)的图象只有一个交点.【点睛】方法点睛：证明两个函数图象有唯一交点问题，可把两函数解析式作差构成新函数，证明新函数有唯一零点，为此可确定函数的单调性，利用零点存在定理给予证明，本题函数(x)=/(x)-g(x)在(0,1上由零点存在定理证明零点的唯一性，在 )上由不等式性质证明其函数值恒为负，从而无零点.