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1、第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年山东省青岛市青岛第九中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1集合21,20,1UR Ax xxBx yx，则图中阴影部分所表示的集合是（）A12xx B 12xx C 12xx D 12xx【答案】C【分析】先将集合化简，阴影部分表示AAB，然后求解即可.【详解】因为21,20,1UR Ax xxBx yx，得12Axx，1Bx x，图中阴影部分表示AAB,所以得12AABxx 故选：C 2已知Zk，则“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分
2、析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简()f x并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f xx为偶函数时sin(2)sin(2)xx，则2sin 2 cos0 x恒成立，即2k，Zk；当2,Z2kk时，()sin(2)cos22f xxx为偶函数；综上，“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的必要不充分条件.故选：B 3设0.73a，0.81()3b，0.7log0.8c，则,a b c的大小关系为（）Aabc Bbac Cbca Dcab 第 2 页 共 16 页【答案】D【分析】根据指
3、数函数和对数函数单调性即可判断【详解】因为0.73a，0.80.81()33b，且3xy 在定义域内单调递增，所以00.70.81333，即1ab，因为0.70.7log0.8log0.71c，所以cab 故选：D 4圆心在原点，半径为 10 的圆上的两个动点 M，N同时从点(10,0)P出发，沿圆周运动，点 M按逆时针方向旋转，速度为6弧度/秒，点 N按顺时针方向旋转，速度为3弧度/秒，则它们第三次相遇时点 M转过的弧度数为（）A2 B C2 D3【答案】C【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为2即可求解.【详解】由题意，动点,M N第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：3 26，设从点(
4、10,0)P出发t秒后点,M N第三次相遇，则663tt，解得12(t 秒)，此时点M转过的弧度数为122(6弧度).故选：C 5设函数12()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A(1)2yf x B(1)2yf x C(1)2yf x D(1)2yf x【答案】B【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可【详解】12()1xf xx的定义域为|1x x ，(1)f x的定义域为|0 x x，关于原点对称，12(1)323(1)211xxyf xxxx，对于 A,3(1)24g xf xx，3(1)24gxf xx,0g xgx,所以 g x不是奇函数，对于 B
5、,3(1)2,h xf xx又 3,0hxh xhxx，故 h x为奇函数，第 3 页 共 16 页 12()1xf xx的定义域为|1x x ，(1)f x的定义域为|2x x ，定义域不关于原点对称，所以 CD 均不为奇函数，故选：B 6某次全程为 S的长跑比赛中，选手甲总共用时为 T，前一半时间2T以速度 a 匀速跑，后一半时间2T以速度 b匀速跑；选手乙前半程2S以速度 a 匀速跑，后半程2S以速度 b 匀速跑；若ab，则（）A甲先到达终点 B乙先到达终点 C甲乙同时到达终点 D无法确定谁先到达终点【答案】A【分析】设乙选手总共用时T，根据题意表示出T，然后与T作差，比较大小，即可得到
6、结果.【详解】由题意可知对于选手甲，22TTabS，则2STab 设选手乙总共用时T，则对于选手乙，22SSTab，则2SbSaTab 22442222SababSabS abSSbSaTTababab abab ab 202S abab ab 即TT，即甲先到达终点 故选:A.7已知函数 sin0,f xx的部分图象如图所示，若存在120 xx，满足 1234f xf x，则12cos xx（）A74 B74 C34 D34【答案】C【解析】利用图象求得函数 f x的解析式为 sin 26fxx，由 1234f xf x结合正弦函第 4 页 共 16 页 数 f x的对称性得出2123xx，
7、且有13sin 264x，将2123xx代入12cos xx结合诱导公式可求得12cos xx的值.【详解】由图象知函数 f x的最小正周期为137622121212T，22T，又7135121226，且555sin 2sin1663f，257333，所以，5332，6，sin 26fxx，当0 x时，112666x，因为存在120 xx，满足 1234f xf x，即12226622xx，则1223xx，可得2123xx，且13sin 264x，则121123coscos 2cos 2sin 236264xxxxx.故选：C.【点睛】方法点睛：根据三角函数 sinf xAxb的部分图象求函数
8、解析式的方法：（1）求A、maxmin:2f xf xb A，maxmin2fxfxb；（2）求出函数的最小正周期T，进而得出2T；（3）取特殊点代入函数可求得的值.8已知函数()yf x的定义域为R，且函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，对于任意的x，总有(2)(2)f xf x成立，当(0,2)x时，2()21f xxx，函数2()g xmxx（xR），对任意xR，存在tR，使得()()f xg t成立，则满足条件的实数m构成的集合为（）A1|4m m B1|4m m C1|04mm D1|4m m【答案】A【分析】由(1)yf x的特性结合函数图象平移变换可得()f x是奇函数
9、，由(2)(2)f xf x可得函数()f x的周期，由此探讨出()f x的值域，再将所求问题转化为不等式21mxx 在R上有解即可.第 5 页 共 16 页【详解】由函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称知函数()yf x的图象关于原点对称，即函数()yf x是奇函数，由任意的x，总有(2)(2)f xf x成立，即(4)()f xf x恒成立，于是得函数()yf x的周期是 4，又当(0,2)x时，2()21f xxx，则当(0,2)x时，0()1f x，而()f x是奇函数，当(2,0)x 时，1()0f x，又(2)(2)ff，f(-2)=-f(2)，从而得(2)(2)(0)0f
10、ff，即 2,2)x 时，1()1f x，而函数()yf x的周期是 4，于是得函数()yf x在R上的值域是(1,1)，因对任意xR，存在tR，使得()()f xg t成立，从而得不等式()1g x ，即21mxx 在R上有解，当0m 时，取2x，4221m 成立，即得0m，当0m时，210mxx 在R上有解，必有140m ，解得14m，则有104m，综上得14m，所以满足条件的实数m构成的集合为1|4m m.故选：A 二、多选题 9下列既是存在量词命题又是真命题的是（）AZx，220 xx B至少有个xZ，使x能同时被3和5整除 CRx，20 x D每个平行四边形都是中心对称图形【答案】A
11、B【分析】AB 选项，可举出实例；C 选项，根据所有实数的平方非负，得到 C 为假命题；D 选项为全称量词命题，不合要求.【详解】A中，当=1x时，满足220 xx，所以 A 是真命题;B 中，15能同时被3和5整除，所以 B 是真命题;C 中，因为所有实数的平方非负，即20 x，所以 C 是假命题;D 是全称量词命题，所以不符合题意.第 6 页 共 16 页 故选：AB 10下列运算中正确的是（）A373log 7log 4log 4 Blg21ln(lne)210 C当0a 时，11336aaa D若114aa，则21212 3aa【答案】BC【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数
12、指数幂的互化及幂的运算法则判断【详解】334log 7loglog 47，A 错；lg2lg21ln(ln e)10ln120210，B 正确；当0a 时，1131133333262aaaaaa，C 正确；114aa时，112122()216aaaa，所以11224aa，D 错 故选：BC 11已知函数 22log21fxmxxm，mR，则下列说法正确的是（）A若函数 f x的定义域为R，则实数m的取值范围是15,2 B若函数 f x的值域为1,，则实数2m C若函数 f x在区间2,上为增函数，则实数m的取值范围是0,D若0m，则不等式 1f x 的解集为32x x【答案】ABC【分析】根据
13、对数型复合函数的性质分别判断.【详解】A 选项：因为 f x的定义域为R，所以2210mxxm 恒成立，则04410mm m，解得：152m，故正确；B 选项：因为 f x的值域为1,，所以21212mxxm，所以20112mmmm，解得2m，故正确；第 7 页 共 16 页 C 选项：因为函数 f x在区间2,上为增函数，由复合函数的单调性可知：0124410mmmm，解得0m，故正确；D 选项：当0m 时，2log21f xx12x，由 1f x，可得0212x，解得：1322x，故错误；故选：ABC.12设函数ln(2),2()1,2xxf xxx，g（x）x2-（m1）xm2-2，下列
14、选项正确的有（）A当 m3 时，ff（x）m 有 5 个不相等的实根 B当 m0 时，gg（x）m 有 4 个不相等的实根 C当 0m1 时，fg（x）m有 6 个不相等的实根 D当 m2 时，gf（x）m 有 5 个不相等的实根【答案】BCD【分析】作出函数()f x的图象，利用函数()f x的图象和函数()g x的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x的图象：令()f xt，得()()f f xf tm；当3m 时，()f xm有两个根：31242ett，方程1()f xt有 1 个根，方程2()f xt有 2 个根，所以 A 错误；当0m 时，2()2g xxx，()0g g x
15、，令()g xt，由()0g t ，得1221tt，由2122txx1211711722xx，由223415151222txxxx ，所以 B 正确；令()g xt，()f tm，因为01m，所以()f tm有3个实根根123,t t t，设123ttt，所以12311ln(2)tmtmtm ，第 8 页 共 16 页 22()(1)2g xxmxm221329()24mmmx23294mm，221329329144mmmmtm 23254mm，因为2325mm在(0,1)上递减，所以23253250mm ，所以2132504mmt，所以213254mmt，即方程()f tm的最小根1t大于(
16、)g x的最小值，所以1()g xt、2()g xt、3()g xt都有 2 个不等实根，且这 6 个实根互不相等，所以当 0m1 时，fg（x）m有 6 个不相等的实根，所以 C 正确；令()f xt，则()g tm，当2m时，方程()2g t 化为230tt，得1230tt，；当20()tf x，得1213xx，；当13()tf x，得3442xx，352ex 符合题意，所以 D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.三、填空题 13已知函数2,0()31,0 xxf xxx，则(2)(2)ff的值为_【答案】3【分析】由分段函数的定义计算，
17、注意自变量的取值范围【详解】(2)3(2)17f ，2(2)24f，(2)(2)743ff 故答案为：3 14写出一个同时具在下列性质，且定义域为实数集R的函数 f x：_.最小正周期为 1；fxf x；无零点.【答案】此题答案不唯一，只要满足条件都可以，例如 cos22f xx【分析】结合周期性和奇偶性，可以取cos2yx，再根据可以取 cos22f xx.【详解】cos22f xx的定义域为R，第 9 页 共 16 页 最小正周期为212T，cos22cos22fxxxf x 因为1cos21 x，所以 13f x，所以 f x无零点，综上，cos22f xx符合题意 故答案为：cos22
18、f xx（答案不唯一）15若0 x，0y，且224log 3log 9log 81xy，则213xy的最小值为_【答案】42 33【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得xy、的关系为22xy，根据基本不等式确定 详解：因为0 x，0y 所以422222log 3log 3log 3log 4xy 24221log33log 32xy 22333xy，所以22xy，即1212xy 所以211212323xyxyxy 1242233yxxy 1 8422 33yxxy 1 84 32 33 42 33 当且仅当43yxxy，即4322yxxyxy，此时62 331xy时取等号 所以最小值为42
19、33 第 10 页 共 16 页 点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 四、双空题 16已知 a 为正数，函数()sinf xx在区间0,a和,2 aa上的最大值分别记为1M和2M，若1232MM，则1M _，a 的取值范围为_.【答案】1 27,36【分析】首先根据1232MM得出a大致范围，从而求出1M的值，再根据2M的范围即可求出a的取值范围.【详解】由于函数()sinf xx在区间0,a和,2 aa上的最大值分别记为1M和2M，1232MM，则2a，否则12MM，与条件矛盾.所以1M=1.于是得232M 所以33
20、sin,sin222aa，结合22aa，所以27,233aa,所以2736a.故答案为：1；27,36.五、解答题 17已知集合2111xAxx，2220Bxxmxm(1)当1m 时，求AB；(2)xA是xB的必要条件，求m的取值范围【答案】(1)112ABxx(2)24m 【分析】（1）当1m 时，求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB；（2）分析可知BA，对2m、1的大小关系进行分类讨论，根据BA检验或得出关于实数m的不等式，综合可求得实数m的取值范围.第 11 页 共 16 页【详解】（1）解：由2111xx可得2121011xxxx，解得2 1x，即21Axx，当1m 时，212
21、1012Bxxxxx，此时，112ABxx.（2）解：由题意可知BA，且210Bxxmx，当12m时，即当2m 时，12mBxx，不满足BA，不符合题意；当12m时，即2m 时，B，符合题意；当12m时，则12mBxx，由BA，得212m ，解得24m.综上，24m 18已知tan3.(1)求2sin(sin2cos)cos1的值；(2)求32sin()tan(3)sin()3cos()cos()22的值【答案】(1)13(2)275 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可【详解】（1
22、）222sin(sin2cos)sin2sincoscos1sin2cos221111;sintan33 （2）332sin()tan(3)sin()(2sin)(tan)(sin)3(sin)(sin)cos()cos()2222222226sin6tan54272sintan6sinsincostan1105 19已知函数 sin0,0,2f xAxB A的某一周期内的对应值如下表：x 6 3 56 43 116 第 12 页 共 16 页 f x 1 1 3 1 1 （1）根据表格提供的数据求函数 f x的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数 0yf nxn的最小正周期为23，当0,3
23、x时，方程 f nxm恰有两个不同的解，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）2sin13fxx；（2）31,3.【解析】（1）先根据 f x的最小正周期求出1，再根据函数的最值求出 A,B 的值，解方程5262kkZ得到的值，即得函数 f x的解析式；（2）先根据函数的最小正周期求出 n 的值，再通过数形结合分析得到实数 m 的取值范围.【详解】（1）设 f x的最小正周期为 T，则11266T，由2T得1.又由31BABA，解得21AB.令5262kkZ，即5262kkZ，解得23kk Z.2，3，2sin13fxx.（2）函数 2sin13yf nxnx的最小正周期为23，且0n，3n.
24、令33tx，0,3x，2,33t ，由2sin1tm，得1sin2mt，故sinyt的图象如图.若1sin2mt在2,33上有两个不同的解，则13,122m，即31122m，解得313m，方程 f nxm在0,3x恰有两个不同的解时，31,3m，即实数 m 的取值范围是31,3.第 13 页 共 16 页 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，考查三角方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20已知函数22()log11f xx，1()2xg x (1)求证：()f x为奇函数；(2)若 22()xfk g x恒成立，求实数k的取值范围；(3)解关于
25、a的不等式()(2)22g agaa【答案】(1)证明见解析(2),7(3)1,【分析】（1）求得 f x的定义域，计算fx，与 f x比较可得；（2）原不等式等价为232 2121xxk 对0 x 恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；（3）原不等式等价为 22g aagaa，设 h xg xx，判断其单调性可得a的不等式，即可求出.【详解】（1）函数2221()log1log11xf xxx，由101xx解得1x或1x，可得定义域,11,，关于原点对称，因为 2211()loglog11xxfxf xxx ，所以 f x是奇函数；（2）由21x 或21x，解得0 x，所以 2
26、2()0 xfk g xx恒成立，即221log12122xxxk，则121221xxxk，即1212232 212121xxxxxk对0 x 恒成立，第 14 页 共 16 页 因为232 2132 2721xx，当且仅当22 2121xx，即1x 时等号成立，所以7k，即k的取值范围为,7；（3）不等式()(2)22g agaa即为()(2)(2)g aa gaa，设()()h xg xx，即1()2xh xx，可得 h x在R上递减，所以()(2)h aha，则2aa，解得1a，所以不等式的解集为1,.21 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，2
27、AB，1AD，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EFAB，点E在半圆上.（1）设6EOC，求三角形木块EFG面积；（2）设EOC，试用表示三角形木块EFG的面积S，并求S的最大值.【答案】（1）EFG63 3S8；（2）1 sincossincos2S,EFG的面积最大值为32 24【分析】（1）构造垂线，将EF、GH的长度进行转化，EF的长度即为EMMF的值，GH的长度即为DOOM的值，从而求解出EFGS；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFGS的表达式，然后将sincos看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点G作G
28、HEF交EF于点H，设EF交CD于点M，所以31 1?cos162GHDMDOOM ,第 15 页 共 16 页 31 1?sin62EFEMMF，所以1132363 322228EFGSEFGH；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析0,2时的情况，1 1?cos1 cosGHDMDOOM ，1 1?sin1 sinEFEMMF ，所以11(1cos)(1sin)22EFGSEFGH 1 sincossincos2，令sincost，0,2，故21sincos2t，sincos2sin()4t，0,2 3,444，2sin(),142，1,2t，221121224EFGtt
29、ttS，函数2214tty在1,2单调递增，所以当2t 时，EFG的面积最大，最大值为32 24.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sincos与sincos的联系等等，考查了学生综合应用能力.22已知函数 33xxaf xb.(1)当5a，3b 时，求满足 3xf x 的x的值；(2)当1b 时，若函数 yf x是定义在R上的奇函数，函数 g x满足()()(31)3xxg xf x 求 f x及 g x的表达式；第 16 页 共 16 页 若对任意xR且0 x，不等式 210gxm g x恒成立，求实数m的最大值.【答案】(1)3log 5x
30、 (2)3131xxf x，331xxg x；4 22 【分析】（1）代入5a，3b 得到 234 350 xx，再因式分解求解即可；（2）由定义在R上的奇函数满足 00f可得1a，进而得到 f x及 g x；化简可得233333110 xxxxm，令33xxt，再参变分离根据基本不等式求解范围即可【详解】（1）因为5a，3b 时，3533xxf x，又因为 3xf x，所以 234 350 xx（1x）所以35310 xx，所以35x，即3log 5x；（2）因为 f x是定义在R上的奇函数，所以 00f，10a，1a，所以 3131xxf x 所以 331xxg x，由可得2222331333xxxxgx，因为 210gxm g x对任意0 x 恒成立，所以233333110 xxxxm对任意0 x 恒成立，令33xxt（2,t），所以271tmt，又因为2212187812111ttttttt 由对勾函数8yxx（1x）的单调性可知，2 2x 时y有最小值4 2，所以274 22,1tt，所以,4 22m，所以m的最大值为4 22.