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1、2022年中考数学压轴题1.抛物线y=f+6 x+c 与 x 轴 交 于 点/和 B (点/在 点 5的左侧)，与y 轴交于点C,O B=O C,点 D (2,-3)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；1(2)点 尸(万 阳，km+1),?为任意实数，当机变化时，点尸在直线/上运动，若点4,。到直线/的距离相等，求人的值；(3)M 为抛物线在第一象限内一动点，若N 4 M B 4 5。，求点M 的横坐标x”的取值范围.解：(1)O B=O C,则点 8 (-c,0),将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=c+,将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：2b+c=-7,联立上述不等式并解得：b=-2
2、,c=-3,故抛物线的表达式为：y=-2 x-3；(2)当 与/相 交 时，1点 尸(/?,加+1),则直线/的表达式为：y=2kx+,点 C、。的纵坐标相等，故。0 x轴，设直线/分别交x 轴、CD于点M、N,第 1 页 共 1 2 页1故点A f(就，0)当 产-3 时，x=-p 故 点%(一左，-3)点4。到直线/的距离分别为4 G、H D,则/G=Q H,*/Z A M G=Z BM H=/D NH,V/X A GM/XD HN(AAS),i?:N D=A M,即一 +1=2+q解得：k=-1；当力。/时，则直线表达式中的值为/中的值，k=T综上，上一 或 一会(3)当乙4 M 8=4
3、 5 ,作过点/、B、三点的圆R,圆心为R,则N/R 8=9 0 ,则点R(l,2),圆的半径为Z R=2/,设点 s),则 5=e-2/-3,则 R M 2=(1 -/)2+(s-2)2=8,则-I t-3=4 5 -s2,即 s=4 s-s2,解得：s=0 (舍去0)或 3,故 s3i2-2t-3,解得：1=1+6(负值已舍去)，第2页 共1 2页点M在第一象限，故x“3,故XM的取值范围为：3 X M =去+6 并解得:则B M (B E)的解析式为y=-3x+12.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线N=%2-2X经过坐标原点，与 X轴正半轴交于点a该抛物线的顶点为M,直 线 产-方+
4、b经过点/,与y 轴交于点B,连接。林(1)求 6 的值及点M的坐标；(2)将直线N 8 向下平移，得到过点M 的直线y=mx+，且与x 轴负半轴交于点C,取点。(2,0),连接。A/,求证：Z A D M-Z A CM=45；(3)点 E 是线段48 上一动点，点/是 线 段 ON上一动点，连接E F,线段E F 的延长线与线段。州 交于点G.当N B E F=2 N B 4 O 时,是否存在点E,使得3G F=4E F?若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.第4页 共1 2页y图i备用图(1)解：对于抛物线y=#2 _ 2 x,1令歹=0,得至1 与%2-21=0,解得x=0 或
5、 6,：.A(6,0),直线y=3+b经过点A,/0=-3+b,:.b=3,y=2-2x=g(x-3)2-3,：.M (3,-3).图1 平移后的直线经过(3,-3),-3 3=-3 2,+，,3 =一天.平移后的直线的解析式为尸-%-1,过点。(2,0)作 OH_LMC 于 ，第 5 页 共 1 2 页则直线DH的解析式为y=2x-4,y由7：4：-f解 得 仁)：.H(1,-2),丁。(2,0),M(3,-3),：.DH=V22+I2=V5,HM=V l2+22=V5,：.DH=HM.；NDMC=45，*.*/ADM=/DMC+/ACM,：.A ADM-ZACM=45.(3)解：如图2 中
6、，过点G 作 G a_LO/于”，过点E 作 EK_LO/于 K.：NBEF=2/BAO,ZBEF=ZBAO+ZEFA,:/EFA=NBAO,ri D o-1:/EFA=/GFH,tanN 34O=gJ=,Itan Z GFH=tan ZEFK=云*：GH/EK,GF GH 4、，薪=萩=3 设 Gi,EK=3k,则 OH=HG=4k,FH=8k,FK=AK=6k,：.OF=AF=2k=3f:k=4,3 3：.OF=3f FK=AK=EK=IZ4第6页 共1 2页9：.OK=W，9 3，E(5,？4.如图，已知抛物线：/=-f-2户3与x轴交于4 B两点、(4在8的左侧)，与y轴交于点C(1)
7、直接写出点4 B,C的坐标；(2)将抛物线刈经过向右与向下平移，使得到的抛物线”与x轴交于8,夕两点(夕在8的右侧)，顶点D的对应点为点 ,若,8=9 0 ,求点夕的坐标及抛物线”的解析式；(3)在(2)的条件下，若点。在x轴上，则在抛物线川或”上是否存在点P，使以夕，C,Q,尸为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1)对于 yi=-x2-2 x+3,令川=0,得 到-x2-2 x+3=0,解得x=-3或 1,：.A(-3,0),B(1,0),令x=0,得到yi=3,：.C(0,3).(2)设平移后的抛物线的解析式为/=-(x-a)2
8、+b,如 图1中，过点O作。H L O B 于H,连接8。.第7页 共12页：D是抛物线的顶点，：.D B=D B ,D (a,b),V ZB D B =9 0 ,D H V B B ,：.D H=B H=HB =h,.,.a +b,又-(x-a)2+b,经过 8 (1,0),：.b=(1 -a)2,解得a=2或1(不合题意舍弃)，h=,：.B (3,0),”=-(x-2)2+1=-+以-3.观察图象可知，当点P的纵坐标为3或-3时，存在满足条件的平行四边形.对于 y i=-X?-2 x+3,令 y i=3,x2+2x=0,解得 x=0 或-2,可得 Pi (-2,令 y i=-3,则/+2
9、x-6=0,解得 x=-1 V 7,可得2 (-1-V 7,-3),P33),(-1+V 7,-3),第 8 页 共 1 2 页对于_ X 2=-x?+4 x -3,令”=3,方程无解，令”=-3,则-以=。，解得 x=0 或 4,可得4 （0,-3）.P5（4,-3）,综上所述，满足条件的点P的坐标为（-2,3）或（7-b，-3）或（-1+V 7,-3）或（0,-3）或（4,-3）.5.如图，点 为 Z B C的垂心，以4 8为直径的0。和8C”的外接圆。2相交于点延长1。交C/于点P,求证：点P为C”的中点.【解答】证明：如图，延长N P交。2于点。，连接/,B D,QB,QC,QH.因为
10、A B为。0|的直径，所以N 4 O8=N B OQ=90 .（5 分）故8。为。2的直径.于是 C Q_ L 8C,B HVHQ.（1 0 分）又因为点，为/B C的垂心，所以/”_ L 8C,B HLAC.所以/，C Q,AC/HQ,四 边 形 为 平 行 四 边 形.（1 5分）所以点P为677的中点.（2 0分）6.如图，扇形。儿W的半径为1,圆心角是90 .点8是标上一动点，于点4B C L O N于点、C,点、D、E、F、G分别是线段04、AB、B C、CO的中点，G F与C E相第9页 共1 2页交于点P,OE与 NG相交于点0.(1)求证：四边形EPG0是平行四边形；(2)探索
11、当0/的长为何值时，四边形EPG。是矩形;【解答】解：(1)证明：连接。8,如图，：BA0M,BCON,；.NBAO=NBCO=90,V Z/40C=90 ,四边形OZ8C是矩形.：.AB/OC,AB=OC,:E、G 分别是28、CO的中点，：.AE/GC,AE=GC,：.四边形AECG为平行四边形.：.CE/AG,.点。、E、F、G 分别是线段。4、AB、BC、CO的中点,C.GF/OB,DE/OB,：.PG/EQ,四边形EPGQ是平行四边形；(2)如图，当N C ED=90时，EPG0是矩形.此时NZEA+/CE8=90.又,：ND4E=NEBC=90,ZAED=ZBCE.：./AED/B
12、 C E,第1 0页 共1 2页.AD AEBE=BCx y yOAx,ABy,则5：-=-：x,得 产=2,又 OA2+AB2=OB2,即/+/=1 2./.x2+2x2=1,解 得:x=坐.V3当 0 4 的长为与时，四边形EPG 0是矩形；(3)如图 ，连接GE交尸。于 0,；四边形EPGQ是平行四边形，：.O P=0 Q,O G=0 E.过点尸作O C的平行线分别交5C、G E于点、B、A,PG PE GE 2由 APC FsAPEG 得，一=PF PC FC 1：.PA=|H B=%B,GA=GE=jOA,：.A O=-GA=*04.在 RtZXRT O 中，PO 2PA 2+A O 2,PQ2 AB2 OA2即=+,4 9 36又 AB2+OA2=,：.3PQ2=AB2+j,：.OA2+3PQ2=OA1+(B2+1)=1.第1 1页 共1 2页第1 2页 共1 2页