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1、2022年中考数学压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：=亨 2+孥工一遮与苫轴交于/、8两 点（点/在 点 8的左侧），与y轴交于点C,点。为y轴正半轴上一点.且满足O D=|O C,连接 皿（1）如 图 1,点尸为抛物线上位于x轴下方一点，连接尸8,P D,当SN B D最 大 时,连接 ZP,以尸8为边向上作正4 8尸 0,连接Z。，点 M 与点N 为 直 线 上 的 两 点，M N=2且点N 位于M 点下方，连接。M 求。M H W N+苧的最小值（2）如图2,在 第（1）间的条件下，点 C关于x轴的对称点为E,将A B OE绕着点4逆时针旋转6 0 得到0 ,将 抛 物 线
2、产 亨 2+竽 工 一 遍沿着射线以 方向平移，使得平移后的抛物线C经过点区 此时抛物线C与x轴的右交点记为点F,连接E F,B F,R为线段E F上的一点，连接8,R,将E R沿着B H 翻折后与 夕E尸重合部分记为 R T,在平面内找一个点S,使得以 夕、R、T、S 为顶点的四边形为矩形，求点S 的坐标.解：（1）如 图 1,过 点。作。Z）A/N,且。=MN=2,连接。；过点。作 O/L y轴于点J;作直线/尸，过点M 作 于 点 从 过点。作。4尸于点K；尸 监/+亭X_旧=0解得：制=-3,X 2=l：.A(-3,0),B(1,0)V x=0 时,y=亭%2 +-x V 3=-V 3
3、第1页 共1 7页：.C (0,-V 3),O C=V 32 2A/3 2V 3.0。=匆C=等，D (0,)设 户 V 3)(-3 /3(V3,4V3 解得:r=Tx+13 V3.K(T，丁-13X=4，罟:,DK=j(l +竽)2+(季 一 空)2:喈J.DN+MN+12+17V3的最小值为-7-6(2)连接 BB、EA、/、E E,如图 2.点C(0,-V 3)关于x轴的对称点为E：.E(0,V3)第3页 共1 7页：.ZE AB=30 抛物线。由抛物线C平移得到，且经过点E，设抛物线。解析式为：尸 字/+四+%，：A(-3,0),尸(-2,一遮)，E(0,V 3),B(1,0),：.B
4、E/PA,BE=PA,抛物线。经过点力(-3,0),V 3 区.x 9 -3加+V 3=0解得：口竽.抛物线。解析式为：y=-x2+竽x+V 3.泽2+竽 丫+雷=0,解得：X=-3,1 2=-1：.F(-1,0)将 B OE绕着点力逆时针旋转6 0 得到O E；.N BAB=N E A E =60 ,AB=4 B=1 -(-3)=4,AE AE=yJ O A2+O E2J 32 +(V 3)2=2 V 3:.4 BB、/是等边三角形:.N E A B=/E 4 E+NE AB=9 0,点夕在4 8的垂直平分线上；.(-3,2 V 3),B(-b 2 V 3):.BE=2,N F BE=9 0
5、。,E F=-1 +3)2+(2A/3)2=4：.ZBF E=30a,/8 尸=6 0 如 图3,点7在E F上，NBT R=9 0过点S作S少，8 E于 点W,设翻折后点 的对应点为.,.N8 T=30 ,BT=-BE=V 3VA5,E。翻折得B E7?:.NBE R=NBE R=60 ,BE=BE=2:.E T=BE -8 7=2-V 3.,.R TF 中，R T=百 7=2百-3第4页 共1 7页.四边形正以5是矩形：.ZSBT90,SB=RT=2W-3:.N SB W=N SB T-NFBT=60：.B W=：S8=V3-j,SW=第S3=3-竽，XS=XB-BW=W 一遮，ys=yB
6、+S%=3+号；.S g-W，3+孚)如图4,点 T在 E尸上，ZBRT=90过点S作 封，8F 于点X：.E R=如E=l,点E 翻折后落在E尸上即为点T：.BS=RT=ER=1V Z SB X 900-NRBF=30：.XS=BS=i,BX=亨8 5=孚i o F5：.XSXB+XS=-/ysyB-BX=笠1 3V3；.S(=,)2 2 如 图 5,点 7 在 8 下上，NBTR=90：.RE/EB,NE=NBER=60：.NEBE=Z ,/?=120 四边形8 ERE 是平行四边形,:ER=ERA BERE是菱形:.B E=E R:.A B E R 是等边三角形：ZBSR=90,即 RS
7、_L8 E.点 S为中点:.S(-2,2V3)综上所述，使得以8 、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为(1-V3-3+”)z/第5页 共1 7页第6页 共1 7页2.如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛物线y=af+6x+c的图象与x轴交于/(-3,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点E(机，2)是直线4 c上方的抛物线上一点，连接E/、EB、EC,E8与y轴交于D.点F是x轴上一动点，连接E F,当以/、E、F为顶点的三角形与80。相似时，求出线段E尸的长；点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂 足 为 ，若NGC
8、H=N备用图第7页 共1 7页解：(1)将/(-3,0)、8 (2,0)、C (0,3)代入y=2+b x+c 得,(0=9 a 3b+c=4a +2 b +c,(3=c，抛物线的解析式为：y=fx2-1 x+3；(2)将E(m,2)代入y=今什3中，得一/m?-|+3=2,解得加=-2或1 (舍去),：.E(-2,2),：A(-3,0)、B(2,0),；./8=5,AE=V 5,BE=2瓜：.AB2=AE2+BE2,：.ZAE B=ZDO B=9 0 ,：.NE AB+NE BA=NO DB+NE BA=9 6,:.NE AB=NO DB,(I )当时，二厂与8点重合，:.E F=BE=2
9、瓜(I I )当 A E E 4 s/BO D 时,第8页 共1 7页：E(-2,2),：.EF=2,故：所 的长为2通 或2；点，的坐标为(一4晟 13)或(一 等44，-5).(I)过点作HNLCO于点N,过 点G作GATLHN于点M,又/GHC=90,/.Z CHN+Z GHM=ZMGH+Z GHM=90 ,A ZCHN=NMGH,：HN工CO,NCO尸=90,:HNAB,：./CHN=NAPE=/MGH,:E(-2,2),C(0,3),0直线CE的解析式为y=*x+3，第9页 共1 7页：.P(-6,0),:EP=EB=2 后：./APE=/EBA,:/GCH=NEBA,：.ZGCH=
10、ZAPE=ZEBA=ZCHN=/MGH,J.GC/PB,又 C(0,3),G点的纵坐标为3,代入户=一4%2一岁+3中，得：l=-1或o(舍去)，；MN=T,V ZAEB=90,JE=V5,BE=2瓜AP 1tan Z.EBA=tan Z CHN=tan ZMGH=第=当设 CN=MG=m,则 HN=2加，MH=1:MH+HN=2m+会/=1，解得，加=引二.“点的横坐标为一击 代入 尸%:+3,得：产 得_ 4 13点的坐 标 为(一 千 ).(II)过点作尸&过点。作于点N,过点G作于点”,/NCH=/APE,第 1 0 页 共 1 7 页由（I）知I：N A P E=N E B A,则/
11、N C H=/E B 4,:/G M N=/C N H=9&,又NGHC=9 0 ,，/H C N N H C=/MHG+NNHC=90,J ZHCN=ZMHG,V ZGCH=ZEBA,：.NGCH=NEBA=/H C N=/M H G,i由（I）知：tanZEBA=J,则 tan NA/G=tan ZGC/=去设 A/G=a,则 M=2a,V ZNCH=ZMHG,/N=/M,:.HM Gs/CNH,.MH MG HG 1 O V=NH=CH=2：.NH=2a,C N=A a,又 C（0,3）,：.G（-3a,3-4），代 入 户=-4%2-%+3 中，得，或。（舍 去），44.CN=m，点
12、的 横 坐 标 为 一 萼,代 入 产 苗+3,得，尸,二点”的 坐 标 为（等，5）.综 合 以 上 可 得 点，的 坐 标 为（一番旨或（一 等，I）.3.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系xQy中，抛 物 线y=-#+6x+c与 直 线y=4 x-3分 别 交x轴、y轴 上 的8、C两 点，设 该 抛 物 线 与x轴 的 另 一 个 交 点 为 点4顶 点 为 点。，连 接CO交x轴 于 点E.（1）求 该 抛 物 线 的 表 达 式 及 点。的 坐 标；（2）求/。C 8的 正 切 值；（3）如 果 点 尸 在y轴 上，且NFBC=NDB4+N DCB,求 点 尸 的 坐 标.第
13、1 1 页 共 1 7 页则点8、令x=0,则y=-3,C的坐标分别为(6,0)、(0,-3),则c=-3,将点8坐标代入抛物线y=#+b x-3得：0=-/x 36-6b-3,解得：6=2,故抛物线的表达式为：尸 一#+2-3,令y=0,则x=6或-2,即点4(2,0),则点。(4,1)；(2)过点E作 交 于 点 ,C、。的坐标分别为：(0,-3)、(4,1),直线 8的表达式为：y=x-3,则点E(3,0),n r Q i it a n N 0 8C=2，则 si n N O 8C=而,贝lj EH=EBsinZOBC=泉,C E=32,则(3)点4 B、C、D、的坐标分别为(2,0)、
14、(6,0)、(0,-3)、(4,1)、(3,0),则 B C=3V5,：OE=OC,：.ZAEC=45,1 1t a n N D 8 =E =2 故：/DBE=NOBC,则/E B C=N Z)8N+/Z)C8=N N E C=45 ,当点尸在y轴负半轴时，第1 2页 共1 7页过点F作F G，8 G交8 c的延长线与点G,则 N GFC=N 0 8C=a,设：G F=2 m,则 CG=CGt a n a=机，V Z C 5 F=45 ,:.BG=G F,即：3V5+m 2 m,解得：加=3遍，CF=VGF2+CG2=逐加=1 5,故点尸（0,-1 8）；当点F在y轴正半轴时，同理可得：点 尸
15、（0,2）；故：点尸坐标为（0,2）或（0,-1 8）.4.如图，在Rt Z /8C中，Z C=9 0 ,点。在/C上，以0 4为半径的半圆。交4 8于点D,交/C于点E,过点。作半圆。的切线。F,交8 c于点F.（1）求证：B F=D F；（2）若Z C=4,BC=3,C F=,求半圆。的半径长.解：（1）连接OD,如 图1,第 1 3 页 共 1 7 页过点。作半圆O的切线。R交BC于点、F,：.ZODF=90,A ZADO-ZBDF=90o,U：OA=OD,：.ZOAD=ZODA,：.ZOAD+ZBDF=90,VZC=90 ,NO/O+N8=90,/B=/B D F,:.BF=DF；(2
16、)连接OR O D,如图2,设圆的半径 为 匕 则。=。=厂，VJC=4,BC=3,CF=1,：.OC=4-r,DF=BF=3-1=2,/.?+22=(4-r)2+l2,13 r=-第1 4页 共1 7页故圆的半径为七.O5.如图，是。的内接三角形，NBAC=15 ,ZABC=4 5 .连接ZO并延长,交。于点。，连接5 0.过 点C作。的切线，与A 4的延长线相交于点E.(1)求证：AD/E C；(2)若/8=1 2,求线段E C的长.证明：(1)连接0 C,与。相切于点C,：.NO CE=9 0 ,V ZABC=4 5,A ZAO C=9 0 ,：/N O C+/O CE=1 80 ,J.
17、AD/E C.第1 5页 共1 7页(2)如图，过点力作力尸_LEC交 EC于 F,:NBAC=15,4 8 C=4 5 ,A ZACB=60,:.ND=NACB=60,是。的直径,4 8 0=9 0 ,sin NADB=AB _ 43,而=，：.AD=8 b,73：.OA=OC=4yf3,：AFEC,NOCE=90,ZAOC=90,二四边形OZFC是矩形，又.Q =0C,.四边形。FC 是正方形，.CF=ZF=4V1ZBAD=90-NO=30,.ZEJF=180-90-30=60,tan ZEAF=筝=V3,：.EF=何 F=12,；.CE=CF+EF=12+4V3.第1 6页 共1 7页第 1 7 页 共 1 7 页