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1、2 0 2 3年高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=4,5,7,9 ,B=3,4,7,8,9 ,全 集U=A U B,则集合4（/仆 为 中 的 元 素 共 有（）A.3个 B.4个 C.5个2.已知t a n a=,
2、贝 汁(V 2 J y 2 J 1-s i n 2/3D.6个)c 7 1A.2a +0 =C 兀C.a 0 二一4八 冗B.a+(3 D.a+2j3=3 .在一个数列中，如果都有叫 田可+2=女（A为常数），那么这个数列叫做等积数列，%叫做这个数列的公积.已知数列 4 是等积数列，且4=1,4=2,公积为8,则4+%+%)2 0=()A.4711 B.4712 C.4713 D.47154.过抛物线f=2 p y （。0）的焦点且倾斜角为a的直线交抛物线于两点4 B.A F=2BF,且A在第一象限,则 c o s 2a =（）A 石 R 2 r Z n 2 G5 5 9 5-）5 .已知函数
3、人x）=一、-2+3，”4 若关于丫的方程兀0=乙一_1恰有4个不相等的实数根，则实数A的取值范围l n x,x l 2是（）6.总体由编号01,02,，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.02 D.017.定义在K上的偶函数/(x)满足/(工+2)=f (x),当 x -3,-2 时，/(x)=-x-2,则()A./卜
4、 i吟 卜/c o s?B./(s加3)V/(cos3)C./(s i”/)/(c o s?)D.f (2020)f (2019)8.在等差数列 叫中，若 4 =4,%=8,则%=()A.8 B.12 C.14 D.109.已知集合知=刈丁=Ji藁 ,N=x e N|4 炉 2 0 ,则 用 心 为()A.1,2 B.0,1,2 C.1,2 D.(1,2)10.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）共 论传惊&9%4业A M w /MW.匕5 6%18 在 it从此人A.该 市
5、总 有 15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有8 0 0 户c ri v1 1.已知函数/（x）=7的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重1+2sinx合的变换方式有（）绕着x轴上一点旋转180;沿x轴正方向平移；以x轴为轴作轴对称；以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.B.C.D.12.已 知 色 一=a+2i(a w R),i为虚数单位，则。=()l-2 iA.6 B.3 C.1 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.
6、正四面体A B C D的各个点在平面M同侧，各点到平面M的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为14.在棱长为2的正方体A B C O-A B C Q i中，E是正方形B B C。的中心，/为G。的中点，过4加的平面。与直线O E垂直，则平面a截正方体ABC。-所 得 的 截 面 面 积 为.15.已知实数a力满足a+6,=泮|9(i为虚数单位)，则。+力的值为.16.已知函数/(x)=a e+x 2 8x的图象在(0,7(0)处的切线斜率为T,贝心=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择
7、.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为x 和 y,求 x 和 y 的分布列；(2)若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.1 8.(1 2 分
8、)选 修 4-5：不等式选讲已知函数“力=卜 _ 2|(I)解不等式/(X)+/(2X+1)N 6；/、4 1(H)对 a+=l(a,Z?0)及 7 x e R,不等式/(x-m)/(-刈 4一+：恒成立，求实数?的取值范围.a b1 9.(1 2 分)如 图，在正四棱锥P-A B C。中，底面正方形的对角线A C,80交于点。且。2(1)求直线BP与平面P C。所成角的正弦值；(2)求锐二面角B-PD-C的大小.r2 212 0.(1 2 分)已知椭圆C：鼻+方=1 (。力0),点 A是 C的左顶点，点 P(2,3)为。上一点，离心率e=,(1)求椭圆。的方程；(2)设过点A的直线/与。的另
9、一个交点为8 (异于点P),是否存在直线/,使得以AB为直径的圆经过点P,若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.2 1.(1 2 分)已知函数4(x)=e sin3 x),设 力(x)为 九(x)的导数，eN*.(1)求工(力，力(%);(2)猜想力(x)的表达式，并证明你的结论.2 2.(1 0 分)设 数 列%是等比数列，1,=叫+(1)4+261+。“，已 知 工=1,4=4,(1)求数列 q 的首项和公比；(2)求数列 7；的通项公式.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【解析】试题分析：。=4。8
10、=3,4,5,7,8,9,4 r3 =4,7,9,所 以&(4 r3)=3,5,8,即集合Q(Ac 8)中共有3个元素，故选A.考点：集合的运算.【解析】利用二倍角公式，和同角三角函数的商数关系式，化简可得tan a=2t=tan f +/?,即可求得结果.1-sin 2 4【详解】cos 2 _ cos?用一 sin?/_ 1 +tan（31-sin I p cos2/?+sin2/？-2 sin/ycos/?1 -tan/?=tan匕+尸,TT TT所以。=+尸，即。一万=.4 4故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数，难度较易.3.B【解析】计算出生
11、的值，推导出+3=4(“e N*),再由2 0 2 0 =3 x 6 7 3 +1,结合数列的周期性可求得数列4 的前2 0 2 0项【详解】由题意可知4 4,+巡“+2 =8，则对任意的 e N*，凤 工0，则 a2a3=8 ,：.%=-=4,aia2由=8 ,得 4+4+2 4+3 =8，4+4+2 =%+2%+3，.%=an，:2 0 2 0 =3 x6 7 3 +1,因此，4+/H-1。2 0 2 0 =6 7 3（q+/+/）+q=6 7 3 x7+1 =4 7 1 2.故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属
12、于中等题.4.C【解析】A F作B B J I；B E J.A A,由题意sina=1,由二倍角公式即得解.【详解】由题意，尸 仇日 准线/：y=-g作 A A|J _/,B B,VI-B E L A A,设怛q=忸 4|=乙故I 蜴=|A 4 j =2 r,|A E|=r,.A E 1 c i c 2 7sina=cos2 a=1 2 sina=.A B 3 9故选：C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5.D【解析】由已知可将问题转化为：y=f(x)的图象和直线=履 一；有 4 个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线一的
13、下方，即可求得：?；再求得直线和y=/x相切时，*=；结合图象即可得解.2 2 2 e【详解】若关于X 的方程/(x)=丘一!恰 有 4 个不相等的实数根,则y=/(x)的图象和直线有4个交点.作出函数y=/(x)的图象，如图,.J l x l-l 0,解得2 2当直线y=Ax；和相切时，设切点横坐标为，”，,1 1nil,lnm+1 .r则 A=2=9,m =Ie mm此时，=立，式X)的图象和直线y=有3个交点，不满足条件,m e 2故选D.【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题.6.D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右
14、读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01,所以第5个个体是0 1,选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.7.B【解析】根据函数的周期性以及x G -3,-2 的解析式，可作出函数/(1)在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由/(x+2)=/(x),得/(x)是周期函数且周期为2,先作出f(x)在x G-3,-2 时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合/(x)是偶函数作出/(X)在R上的图象如下，y(7X Z 77V -4-3-2 T 0 1 2 3 4选项 A,0 sin =cos 1,6 2 2 6所以选项A错误
15、;选项 B,因为一3 V%，所以 O Vs0 2 3 V cos3 V1 ,4 2所以/(si 3)f(-cos3),即 f(si 3)sin cos ()，3 2 3 2 3 3所以/(一s i午4 7-cos 3，即/(s i当选 项C错误;选项 D,/(2 02 0)=/(0)*2 2 3 2 4顶点。到面A B C的距离为d所以T E F =心屋又凡=工,D-AEF 3 2 4 3 7 2由余弦定理得：E F2-a1+CT-2 x a x t z x c os 6 0-a2,DE2=cr+a2 2xax a xc os 6 04 9 2 3 3 6 9 3八 E 1 2 ,2 c 1
16、/3 2 /Lc.D E2+D F2-E F2 4D F =a+a -2 x a x a x c os 6 0=a,c osZ E D F =-=；=,4 2 4 2 D E D F 7-9所以s i nN E D F =更,所以S 日以=-DExDFxsinZEDF=-x a x a x =a2,V 2 l 皿 2 2 3 2 V 2 1 1 2又顶点A到面E D F的距离为1,所以匕-E D F =*SEDFX 1 J旦”=旦23 1 2 3 6因 为%-A M =匕-。丁，所吟寻,解得a-V10,故答案为：Vio【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思
17、想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，14.2后【解析】确定平面A A/CN即为平面a,四 边 形 是 菱 形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体ABC。A 4 C R中，记AB的中点为N,连接MC,CN,M4,则平面4M CN即为平面a.证明如下：由正方体的性质可知，M H N C,则A，M,CN,N四点共面，记CG的中点为尸，连接。尸，易证_LMC.连 接 所，则EFLMC,所以平面则DE_LMC.同理可证，D E L N C,N C H M C =C,则 平面 ACN,所以平面4M CN即平面a,且四边形4M CN即平面a截正方体ABC。-A g G?所得的截面.因为正方体的棱长
18、为2,易知四边形AMCN是菱形，其对角线4。=2 6，M N =2 g，所以其面积S=g x 2狡 乂2 6 =2 6.故答案为：2瓜Dx M G【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.15.-1【解析】由虚数单位i 的性质结合复数相等的条件列式求得。，的值，则答案可求.【详解】解：由/=i,i=1 z3=i i4=1所以4+方=严W=a)5%=T,得 a=0,b=l.:.a+b=-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的性质，属于基础题.16.4【解析】先对函数f(x)求导，再根据图象在(0,f(0)处切线的斜率为-4,
19、得 f，()=-4,由此可求a 的值.【详解】由函数(力=%3 一8兀得r(x)=a/+2x 8,函数f(x)的图象在(0,f(0)处切线的斜率为-4,/./(0)=Z-8=-4,-.a=4.故答案为4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)X 分布列见解析，V分布列见解析；(2)甲设备，理由见解析【解析】(1)X 的可能取值为10000,11000,12000,y 的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;(2)计算期望，得 至!E(X)=E(y)
20、=1 0 8 0 0,设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为4，计算分布列，计算数学期望得到答案.【详解】(1)X 的可能取值为 10000,11000,12000P(X =1 0000)=,P(X =1 1 000)=-=-,P(X =1 2 000)=5 0 1 0 5 0 5 5 0 1 0因此X的分布如下X100001100012000P31 0351wy 的可能取值为 9000,10000,11000,120005 1 1 5 3 1 5 3 1 5 3p(y =9 ooo)=,p(y =i oooo)=,p(y =1 1 000)=p(y =1 2 000)=5 0 1 0 5 0
21、1 0 5 0 1 0 5 0 1 0因此y的分布列为如下Y9000100001100012000p11 031 031 031 03 3 1(2)E(X)=1 0000 x +1 1 000 x-+l 2 000 x =1 08 001 0 5 1 013 3 3E(r)=9 000 x +1 0000 x +1 1 000 x +1 2 000 x =1 08 001 0 1 0 1 0 1 0设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为J,7J的可能取值为2,3,4,5P(=2)=,P(=3)=-,P(=4)=-,P(=5)=5 0 1 0 5 0 5 5 0 5 5 0 1 0则J的分布列为2
22、345p11 02 _53511 0113 1E()=2 x +3 x-+4 x-+5 x =3.71 0 5 5 1 0的可能取值为3,4,5,6P(ri -J-P(n-4)=_3 p(n 51 5 _磊,P(=6丝-_ 3 5 0 1 0J 15 01 0，rf1 一 J=5 0=5 0l o则7 7的分布列为734561333p1 01 0i o1 013 3 3(n)=3 x +4 x +5 x +6 x =4.81 0 1 0 1 0 1 0由于E(X)=E(Y),因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.1 8.(I )(-oo,-l U
23、 3,+c o).(I I)-1 3 /n 5.【解析】详解：(I)/(x)+/(2 x+l)=|x-2|+|2 x-l|=C C 13-3 x,x ,2x +l,x 2.当犬 2 时，由3%一326,解得所以不等式f (x)6的解集为U 3,+8).(I I)因为 a+Z?=1 (,/?0),而 1 /人(4 1)4 力。、o)4b a 八所以 I =(Q+b)I =5H-1 之 5 +2 J-=9.a b a b)a h a h由 题 意 知 对 卜 一 2 一时一卜1 一2 归 9,g p(|x-2-m|-|-x-2|)n)a x 9,因 为2一”,一|x2|2一(x+2)|=|-4 时
24、，所以一94加+4 9,解得一 1 3 W m W 5.【点睛】(1)绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：绝对值定义法；平方法；零点区域法.不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有:/(x)/(x)max f(x)g(a)(a 为参数)恒成立=g(a)/(x)max.1 9.(1)(2)6 0.3【解析】(1)以OE,OF,OP分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为2,再 求 解 而 与 平
25、 面PC。的法向量,继而求得直线8 P与平面PCD所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面B P D 与平面P D C的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.【详解】解：(1)在正四棱锥P-4BC。中,底面正方形的对角线AC,B D交于点。，所以O P _ L平面ABC。,取A3的中点E,B C的中点F,所以O P,O E,O F两两垂直,故以点0为坐标原点，以O E,O F,O P 分别为x轴,轴,二轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2,因为。2所以。P=L所以 3(1,1,O),C(-1,1,0),0(-1,-1,0),P(0,0,1),所 以 丽=(-l,T,l),设平面P
26、CD的法向量是 =(x,y,z),因 为 丽=(0,2,0),而所 以 前 不=-2)，=0,而 Q x-y +z=O,取 x=l,则 y=O,z=-1,所以 3 =(1,0,-1)所以 cos =B P n _ V 6M H=T所以直线B P与平面P C。所成角的正弦值为旦.3 设 平 面B P D的法向量是n=(x,y,z),因为 B P=(-1,-1,1),B D =(-2,-2,1),所以 B P /?=-x-y+z=(),B D -=-2 j c-2 y=0,取 x=l,贝i j y=T,z=0,所以 3 =(1,T O),由(1)知平面P C D的法向量是7=(1,0,-1),j、
27、m-n 1所以 cos=p p=-所以欣云=6()。，所以锐二面角B-P D。的大小为6 0.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题，属于中档题.Y2 V2 1?2 0.(1)一 +=1 ；(2)存在，y=-x 1 6 1 2 1 0 5【解析】(D把点P(2,3)代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；(2)设出直线/的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点8的坐标，再 由 丽.丽=0,可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点.【详解】（1）由题可得4 9 ,/+乒=1C _ 1a 2a1=1 62 2，=i 2,所以椭圆
28、。的方程 二+2 _ =ic 2 =4y l 1 6 1 2（2）由题知A（y,O）,设8（%,%）,直线/的斜率存在设为我,则/：y =Q+4）与 椭 圆 十+%1联立得(3 +4公)/+3 2/%+的/一 4 8=o.八 ,6 4%2-4 8.1 6 +1 2 24k.J-1 6 F+I 2 24k 1若以AB为直径的圆经过点P,则 丽 丽=0,，(-6,-3 6-2 4/、3+4 公-1 2 F+2 4 A-93+4k2化简得2 0炉-8左 一 1 =0,（2女一1）-。0%+1）=0,解得=；或火=一5因为B与P不重合，所以舍.2所以直线/的方程为y =-，x-|.【点睛】本题考查椭圆
29、的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.2 1.力（力=,2+62）%由 伽+0），为（x）=（a 2+）*s i n（f e x +2 e）；.力,（）=（。2+。2）2 *s i n（/?x+夕 证明见解析【解析】（1）对函数f0（x）进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得/（x）的表达式,对函数工（x）再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得,f2（X）的表达式;（2）根据（1）中工（x）,人（x）的表达式进行归纳猜想，再利用数学归纳法证明即可.【详解】(1),力(x)=/)(%)=ae(lx s i n (f o v)+beax c o s (
30、Zz r)=da2+4/s i n(Z?x +),其中sine=bJa2+b2C O S0=af2(x)=f；(x)=ja2+b2 ae sin(/?x+夕)+b*cos(for+夕)=y/a2+b2*Q sin(Z?x+)+/?cos(bx+夕)=(6+b2)esin(/zx+2 e),其中 sin =bJa2+Z72cos。=J/+/(2)猜想=+。2)2*sin(/?X+9)72GM下面用数学归纳法证明：当=1 时,/(%)=(/+/)5 sin(bx+9)成立，假设=攵时，猜想成立k即 fk(%)=(/+/)万 *sin(/?x+%9)当=%+1 时，加(x)=(x)=(/+)5 si
31、n(bx+%夕)+be cos+他)+从产sin(bx+A0)+yla2+b2cos(0 x+ke)b*+i=(。2+.2)2 sin(/zr+A(女+1)0)当=左+1时，猜想成立由力(x)=(/+b2)5 e*sin(bx+0)对 e N 成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.2 2.(1)0一:(2)工，=2 +|-24 =2【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握.(1)设等比数列值力的公比为q,则q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求a产aiqn“=2n”，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和T,C l,1 4 Z 1 C l,1解：产 4=2 =21=n-l+(n-l)-2+(n-2)-22+.-+2-2,-2+l-2n-127；,=n-2+(n-l)-22+(n-2)-23+.-+2-2w-,+l-2n两式相减：Tn=2n+-n-2