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1、第 13 周 长方体和正方体（一）专题简析 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2，2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。例题 1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）分析 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是 1042=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10（62）2=80（立方厘米），整个零件的体
2、积是 802=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10610422）2=232（平方厘米）。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习一 1，一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2，把一根长 2 米的长方体木料锯成 1 米长的两段，表面积增加了 2 平方分米，求这根木料原来的体积。3，有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉
3、一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘体积各是多少？后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积
4、就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘例题 2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）分析 （1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了 222=8（立方厘米），这个零件的体积是 2408=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（858665）2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的 5 个（22）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是 236224=252（平方厘米）。练习二 1，有一个
5、形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。2，有一个棱长是 4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘 3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？后物体的表面积或体积所发生
6、的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘例题 3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了 50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了 4 块正方形的面积，每块正方形的面积是 504=12.5（平方厘米）。正方体有 6 个这样的面
7、，所以，原来正方体的表面积是 12.5 6=75（平方厘米）。练习三 1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了 46 平方厘米，而长是原来长方体的 2 倍。如果拼成的长方体的长是 24 厘米，那么它的体积是多少立方厘米？2，一根长 80 厘米，宽和高都是 12 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？3，把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小
8、如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘例题 4 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是 288 立方厘米，求大长方体的表面积。分析 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即 b=2/3a，砖的体积是 a*2/3a*1/4a=1/6a3。由 1/6a3=288 可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*1
9、2=3。大长方体的长是 122=24 厘米，宽 12 厘米，高是 83=11 厘米，表面积就不难求了。练习四 1，一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由 1000 个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2，一个长方体的体积是 385 立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。3，有 24 个正方体，每个正方体的体积都是 1 立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是
10、立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘例题 5 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？分析 长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长（宽高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有 209=1119=11（172），即长、宽、高分别为 11、17、2 厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。练习五 1，有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是 96 立方厘米，求它的表面积。3，一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是 6 分米、4 分米、25 分米，求正方体体积。后物体的表面积或体积所发生的变化求一些不规则的物体体积时可以通过变形的方法来解决例题一个零件形状大小如体积左边的长方体体积是立方厘米右边的长方体的体积是立方厘米整个零件的体积是立方厘米求这个零件的表面积看个面的面积相等因此此零件的表面积就是平方厘米想一想你还能用别的方法来计算它的体积吗练习一一个长厘米宽厘