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1、第十五周 长方体和正方体（三）专题简析：解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。例题 1 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2 厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？分析 把棱长为 6 厘米的正方体锯成棱长为 2 厘米的正方体，可以按下图中的线共锯 6 次，每锯一次就增加两个 66=36 平方厘米的面，锯 6 次共增加 3626=432 平方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加 432
2、平方厘米。练习一 1，把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2，有一个棱长是 1 米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8 个小正方体，表面积增加多少平方米？3，把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成 4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是 60 平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？方向切割成两部分新增加的表面积等于切面面积的两倍例题一个棱长为厘米的正方体木块如果把它锯成棱长为厘米的每锯一次就增加两个平方厘米的面锯次共增加平方厘米的面积因此锯好后表面积增加平方厘米练习一把块棱长是厘米棱长
3、是米的正方体木块如果把它锯成体积相等的个小正方体表面积增加多少平方米把一个正方体的六个面都涂上红色例题 2 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了 24 平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是 242=12 平方厘米，而正方体有 6 个这样的面。所以原正方体的表面积是 126=72 平方厘米。练习二 1，把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？2，有一个正方体木块，长 4 分米、宽 3 分米、高 6 分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？3，有三
4、块完全一样的长方体积木，它们的长是 8 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？方向切割成两部分新增加的表面积等于切面面积的两倍例题一个棱长为厘米的正方体木块如果把它锯成棱长为厘米的每锯一次就增加两个平方厘米的面锯次共增加平方厘米的面积因此锯好后表面积增加平方厘米练习一把块棱长是厘米棱长是米的正方体木块如果把它锯成体积相等的个小正方体表面积增加多少平方米把一个正方体的六个面都涂上红色例题 3 有一个正方体，棱长是 3 分米。如果按下图把它切成棱长是 1 分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？想一想：在切的过程中，每切一切
5、，就会增加两个 33 平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？练习三 1，用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是 6 厘米的正方体，需要多少个小正方体？2，有一个长方体，长 10 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米，如果把它锯成棱长是 1 厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？3，把 24 个棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？方向切割成两部分新增加的表面积等于切面面积的两倍例题一个棱长为厘米的正方体木块如果把它锯成棱长为厘米的每锯一次就增加两个平方厘米的面锯次共增
6、加平方厘米的面积因此锯好后表面积增加平方厘米练习一把块棱长是厘米棱长是米的正方体木块如果把它锯成体积相等的个小正方体表面积增加多少平方米把一个正方体的六个面都涂上红色例题 4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有 333=27 个。（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8个；（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有 112=12 个；（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六
7、个面上，共有16=6 个；（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有 27（8126）=1 个。练习四 1，把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1 立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2，把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有 24个，那么，这些小正方体一共有多少个？3，把 1 立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成 1 立方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？方向切割成两部分新增加的表面积等于切面面
8、积的两倍例题一个棱长为厘米的正方体木块如果把它锯成棱长为厘米的每锯一次就增加两个平方厘米的面锯次共增加平方厘米的面积因此锯好后表面积增加平方厘米练习一把块棱长是厘米棱长是米的正方体木块如果把它锯成体积相等的个小正方体表面积增加多少平方米把一个正方体的六个面都涂上红色例题 5 一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？分析 这个长方体原来的表面积是（656454）2=148平方厘米，每切割一刀，增加 2 个面。切成三个体积相等的小长方体要切 2 刀，一共增加 22=4 个面。要求表面积和最大，应该
9、增加 4个 65=30 平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是 148654=268 平方厘米。练习五 1，有三块完全一样的长方体木块，每块长 8 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米。要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2，把 8 个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是 72 平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？3，把一个长、宽、高分别为 7 厘米、6 厘米、5 厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米？方向切割成两部分新增加的表面积等于切面面积的两倍例题一个棱长为厘米的正方体木块如果把它锯成棱长为厘米的每锯一次就增加两个平方厘米的面锯次共增加平方厘米的面积因此锯好后表面积增加平方厘米练习一把块棱长是厘米棱长是米的正方体木块如果把它锯成体积相等的个小正方体表面积增加多少平方米把一个正方体的六个面都涂上红色