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1、精品文档 精品文档 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 参考公式：圆柱的侧面积公式：clS圆柱侧，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式：ShV圆柱,其中S是圆柱的底面积,h为高.一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合 A=4,3,1,2，3,2,1B，则BA .2.已知复数2)i 25(z(i 为虚数单位),则z的实部为 .3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是 .4.从1,2,3,6 这4 个数中一次随机地取2 个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 .5.已知函数xycos与)2sin(x
2、y(0),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是 .6.设抽测的树木的底部周长均在区间80,130 上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm.7.在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列na中,12a4682aaa,则6a的值是 .8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若它们的侧面积相等，且4921SS，则21VV的值是 .9.在平面直角坐标系xOy中,直线032 yx被圆4)1()2(22yx截得的弦长为 .10.已知函数,1)(2mxxxf若对于任意 1,mmx,都有0)(xf成立,则实数m的取值范围
3、是 .11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b 为常数)过点)5,2(P，且该曲线在点 P 处的切线与直线0327 yx平行，则ba 的值是 .12.如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，PDCP3，2 BPAP，则ADAB的值是 .开始 0n 1nn 202 n 输出 n 结束（第 3 题）N Y 组距频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6 题）精品文档 精品文档 13.已知)(xf是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当)3,0 x时,|212|)(2xxxf.若函数a
4、xfy)(在区间 4,3上有 10 个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 .14.若ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是 .二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 14 分)已知),2(,55sin.(1)求)4sin(的值；(2)求)265cos(的值.16.(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥ABCP 中，D，E，F分别为棱ABACPC,的中点.已知ACPA,6PA.5,8 DFBC 求证:(1)直线/PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.17.(本小题满分
5、14 分)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中,21,FF分 别 是 椭 圆)0(12322babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点 A，过点 A 作x轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结CF1.(1)若点 C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程；(2)若,1ABCF求椭圆离心率 e 的值.（第16题）PDCEFBAF1 F2 O x y B C A(第 17 题)精品文档 精品文档 18.(本小题满分 16 分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC与河岸 AB垂直;保护区的边界为
6、圆心 M 在线段 OA上并与 BC相切的圆.且古桥两端 O 和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量，点 A位于点 O 正北方向 60m处,点 C位于点 O 正东方向 170m 处(OC为河岸),34tan BCO.(1)求新桥 BC的长；(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分 16 分)已知函数xxxfee)(,其中 e 是自然对数的底数.(1)证明:)(xf是 R上的偶函数；(2)若关于x的不等式)(xmf1emx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在),1 0 x，使得)3()(0300 xxaxf成立.试比较1ea与1e
7、a的大小，并证明你的结论.170 60 东 北 O A B M C（第 18 题）精品文档 精品文档 20.(本小题满分 16 分)设数列na的前n项和为nS.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称na是“H数列”.(1)若数列na的前 n 项和nnS2(nN),证明:na是“H数列”;(2)设na 是等差数列,其首项11a,公差0d.若na 是“H数列”,求d的值；(3)证明：对任意的等差数列na，总存在两个“H数列”nb和nc，使得nnncba(nN)成立.精品文档 精品文档 数学（附加题）21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内
8、作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，AB是圆 O 的直径，C，D是圆 O 上位于 AB异侧的两点 证明：OCB=D B选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 1 21 1,1 x2 -1AB，向量 2ay，x，y 为实数 若 Aa=Ba，求 x+y的值 C选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为 212222xtyt （t 为参数），直线l与抛物线 24yx相交于 A，B两点，求线段 AB的长 D选修 4-5：不
9、等式选讲（本小题满分 10 分）已知 x0，y0，证明：22(1)(1)9xyxyxy 精品文档 精品文档【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同 (l)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；(2)从盒中一次随机取出 4 个球其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123,x x x，随机 变量 X表示123,x x x中的最大数，求 X的概率分布和数学期望 E
10、(X)23（本小题满分 10 分）已知函数 0sin()(0)xfxxx，设()nfx为 1()nfx的导数，nN (1)求 122222ff 的值；(2)证明：对任意的 nN，等式 124442nnnff 都成立 精品文档 精品文档 2014 年江苏高考数学试题参考答案 数学试题 一、填空题 1、1 3，2、21 3、5 4、13 5、6 6、24 7、4 8、32 9、2 555 10、202，11、3 12、22 13、102，14、624 二、解答题 15.本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力.满分 14 分.（1）5sin25，22 5co
11、s1sin5 210sinsincoscossin(cossin)444210；（2）2243sin 22sincoscos 2cossin55，33143 34cos2coscos2sinsin2666252510 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.（1）D E，为PCAC，中点 DEPA PA 平面 DEF，DE平面 DEF PA平面 DEF （2）D E，为PCAC，中点 132DEPA E F，为ACAB，中点 142EFBC 222DEEFDF 90DEF，DEEF /DE PA PAAC，DEAC A
12、CEFEI DE平面 ABC DE平面 BDE，平面 BDE 平面 ABC 17.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.满分 14 分.（1）4 133C，22161999ab 22222BFbca，22(2)2a，21b 椭圆方程为2212xy（2）设焦点12(0)(0)()FcF cC x y，A C，关于 x 轴对称，()A xy，精品文档 精品文档 2B FA，三点共线，bybcx，即0bxcybc 1FCAB，1ybxcc，即20 xcbyc 联立方程组，解得2222222caxbcbcybc 2222222a cbcCbcbc，C
13、在椭圆上，222222222221a cbcbcbcab，化简得225ca，55ca,故离心率为55 18.本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 16 分.解法一：(1)如图，以 O 为坐标原点，OC所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0,60)，C(170,0)，直线 BC的斜率 k BC=tanBCO=43.又因为 ABBC，所以直线 AB的斜率 k AB=34.设点 B的坐标为(a,b)，则 k BC=04,1703ba k AB=603,04ba 解得 a=80，b=120.所以
14、 BC=22(17080)(0120)150.因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60).由条件知，直线 BC的方程为4(170)3yx，即436800 xy 由于圆 M 与直线 BC相切，故点 M(0，d)到直线 BC的距离是 r，即|3680|680355ddr.因为 O 和 A到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d 故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当 OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大.精品文档 精
15、品文档 解法二:(1)如图，延长 OA,CB交于点 F.因为 tanBCO=43.所以 sinFCO=45，cosFCO=35.因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO=6803.CF=850cos3OCFCO,从而5003AFOFOA.因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO=45，又因为 ABBC，所以 BF=AF cosAFB=4003，从而 BC=CFBF=150.因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与 BC的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半 径，并设 MD=r m，OM=d m(0d60).因为 O
16、AOC，所以 sinCFO=cosFCO，故由(1)知，sinCFO=3,68053MDMDrMFOFOMd所以68035dr.因为 O 和 A到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d 故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当 OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大.19.本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分.（1）x R，()ee()xxfxf x，()f x是R上的偶函数（2）由题意，(ee)e
17、1xxxmm，即(ee1)e1xxxm(0)x，ee10 xx，即e1ee1xxxm对(0)x，恒成立 令e(1)xtt，则211tmtt 对任意(1)t，恒成立 2211111(1)(1)113111tttttttt ，当且仅当2t 时等号成立 13m（3）()eexxfx，当1x 时()0fx，()f x在(1)，上单调增 精品文档 精品文档 令3()(3)h xaxx ，()3(1)h xax x 01ax，()0h x，即()h x在(1)x，上单调减 存在01)x ，使得3000()(3)f xaxx，1(1)e2efa ，即11e2ea e-1e 111lnlnlne(e1)ln1
18、eaaaaaa 设()(e1)ln1m aaa ，则e1e111()1e2eam aaaa ，当11ee12ea 时，()0m a，()m a单调增；当e1a 时，()0m a，()m a单调减 因此()m a至多有两个零点，而(1)(e)0mm 当ea 时，()0m a，e 11eaa；当11ee2ea 时，()0m a，e 11eaa；当ea 时，()0m a，e 11eaa 20.本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力,满分 16 分.（1）当2n时，111222nnnnnnaSS 当1n 时，112aS 1n 时，11Sa，当2n时，1nnSa na是
19、“H数列”（2）1(1)(1)22nn nn nSnadnd 对n N，m N使nmSa，即(1)1(1)2n nndmd 取2n 得1(1)dmd，12md 0d，2m，又mN，1m，1d （3）设na的公差为 d 令111(1)(2)nbanan a ，对n N，11nnbba 1(1)()ncnad，对n N，11nnccad 则1(1)nnnbcanda ，且 nnbc，为等差数列 nb的前 n 项和11(1)()2nn nTnaa，令1(2)nTm a，则(3)22n nm 当1n 时1m；当2n 时1m；当3n时，由于 n 与3n奇偶性不同，即(3)n n 非负偶数，mN 因此对n
20、，都可找到mN，使nmTb成立，即nb为“H数列”精品文档 精品文档 nc的前项和1(1)()2nn nRad，令1(1)()nmcmadR，则(1)12n nm 对n N，(1)n n是非负偶数，mN 即对n N，都可找到mN，使得nmRc成立，即nc为“H数列”因此命题得证.数学(附加题)参考答案 21.【选做题】A.【选修 4-1:几何证明选讲】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.证明：B,C是圆 O 上的两点，OB=OC.故OCB=B.又C,D是圆 O 上位于 AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，B=D.OCB=D.B.【选修 4-2:矩阵与变换】
21、本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.222yxyA，24yyB，由A=B得22224yyxyy ，解得142xy，C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】满分 10 分.本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.直线 l：3xy 代入抛物线方程24yx并整理得21090 xx 交点(1 2)A，(96)B，故|8 2AB D.【选修 4-5:不等式选讲】本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 x0,y0,所以 1+x+y22330 xy，1+x2+y2330 x y，所以(1+x+y2)
22、(1+x2+y)223333xyx y=9xy.22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.（1）一次取 2 个球有29C36种可能情况，2 个球颜色相同共有222432CCC10种可能情况 精品文档 精品文档 取出的 2 个球颜色相同的概率1053618P （2）X的所有可能取值为4 3 2，则 4449C1(4)C126P X 3131453639C CC C13(3)C63P X 11(2)1(3)(4)14P XP XP X X的概率分布列为 X 2 3 4 P 1114 1363 1126 故 X的数学期望1113120
23、()23414631269E X 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分 10 分.(1)解：由已知，得102sincossin()(),xxxf xfxxxx 于是21223cossinsin2cos2sin()(),xxxxxfxf xxxxxx 所以12234216(),(),22ff 故122()()1.222ff (2)证明：由已知，得0()sin,xfxx等式两边分别对 x 求导，得00()()cosf xxfxx，即01()()cossin()2fxxf xxx，类 似 可 得 122()()sinsin()f xxfx
24、xx，2333()()cossin()2fxxf xxx，344()()sinsin(2)f xxfxxx.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立.(i)当 n=1 时，由上可知等式成立.(ii)假设当 n=k时等式成立,即1()()sin()2kkkkfxxfxx.因为111()()()()()(1)()(),kkkkkkkkfxxfxkfxfxxfxkfxfx 精品文档 精品文档(1)sin()cos()()sin2222kkkkxxxx，所以1(1)()()kkkfxfx(1)sin2kx.所以当 n=k+1 时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立.令4x，可得1()()sin()44442nnnnff(n*N).所以12()()4442nnnff(n*N).