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1、20212021 年高考数学真题试卷（新高考年高考数学真题试卷（新高考卷）卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。1.设集合 A=x|-2x4.B=2,3,4,5,则 AB=（）A.2 B.2,3 C.3,4,D.2,3,4【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知AB 是求集合 A 与集合 B 的公共元素，即2,3，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知 z=2-i，则(z(+)=（）A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复
2、数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：(+)=(2 )(2+2)=4+4 2 22=6+2故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2 2C.4D.42【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为 r，则有2r=180360 2l，解得=2=22故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数 f(x)=7sin(x6)单调递增的区间是（）A.(0
3、,2)B.(2,)C.(,【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由+2 x+2k得+2 x 2+2k，kZ，当 k=0262333)D.(232,2)时，323是函数的一个增区间，显然(0，2)，323，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知 F1,F2是椭圆 C：29+24|MF2|的最大值为（）=1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF1|MF
4、2|1|2|(|1|+|2|)=9，22当且仅当|MF1|=|MF2|=3 时，等号成立.故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.6.若 tan=-2,则6sin(1+sin2)sin+cos2=（）26A.5 B.5 C.5 D.5【答案】C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：原式=sin2+sincossin2+cos2sin(sin2+2sincos+cos2)sin+cos2=sin(sin+cos)2sin+cos=sin(sin+cos)=tan2+tantan2+1=5故答案为：C【分析】根据同角三
5、角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.7.若过点（a,b)可以作曲线 y=ex的两条切线，则（）A.eba B.eab C.0aeb D.0bea【答案】D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-时，切线为 x=0，当 x 趋近于+时，切线为 y=+，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事
6、件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则()=()=6，()=66=36，()=66=6，15561对于 A，P(AC)=0；对于 B，()=66=36；对于 C，()=66=36；对于 D，P(CD)=0.若两事件 X,Y 相互独立，则 P(XY)=P(X)P(Y),故 B 正确.故答案为：B【分析】根据
7、古典概型，以及独立事件的概率求解即可1111二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题。每小题小题。每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。9.有一组样本数据 x1，x2,xn,由这组数据得到新样本数据y1，y2,yn,其中 yi=xi+c(i=1,2,n),c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相
8、同 D.两组样本数据的样本极差相同【答案】C,D【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于 A，=所以 ，故 A 错误；对于 B，若 x1,x2,xn的中位数为 xk，因为 yi=xi+c，因为 c0，所以 y1,y2,yn的中位数为yk=xk+cxk，故 B 错误；对于 C，y1,y2,yn的标准差为=(1)2(2)2()2=1112，=12=12=，因为 c0，(1)()2(2)()2()()21=(1)2(2)2()2=，故 C 正确；对于 D，设样本数据 x1,x2,xn中的最大为 xn，最小为 x1,因为 yi=xi+c，所以 y1,y2,yn中的最大为
9、yn，最小为 y1,极差为 yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1，故 D 正确.故答案为：CD【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.10.已知 O 为坐标原点，点 P1(cos,sin),P2(cos，-sin),P3(cos(+),sin(+)，A(1，0),则（）A.|OP1|=|OP1|=|AP2|2|B.|AP C.OA OP3=OP1OP2D.OAOP1=OP2OP3【答案】A,C【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式【解析】【解答】解：|1|=cos2+sin2=1，|2|=cos2+s
10、in2=1，故 A 正确；因为|1|=(cos 1)2+sin2=2 2cos，|2|=(cos 1)2+sin2=2 2cos，故B 错误；因为 3=1 cos(+)+0 sin(+)=cos(+)，1 2=coscos sinsin=cos(+)，所以 3=1 2故 C 正确；因为 1=1 cos+0 sin=cos，2 3=(cos，sin)(cos(+)，sin(+)=cos cos(+)+(sin)sin(+)=cos(+2)，所以 D 错误故答案为：AC.【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.11.已知点 P 在圆(5)2+(5)2=16 上，点 A（4,0），B（0
11、,2），则（）A.点 P 到直线 AB 的距离小于 10B.点 P 到直线 AB 的距离大于 2C.当 PBA 最小时，|PB|=3 2 D.当 PBA 最大时，|PB|=32【答案】A,C,D【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：直线 AB 为：4+2=1，即 x+2y-4=0，设点 P（5+4cos，5+4sin），则点 P 到直线 AB 的距离为=11+455|5+4cos+2(5+4sin)4|12+22=11+45sin(+)5，则 10，=11455 0）的焦点为 F,P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且
12、PQOP,若|FQ|=6，则 C 的准线方程为_【答案】=2【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义【解析】【解答】解：由题意可设(2,)，则=2,=2,因此直线 PQ 的方程为：=()22令 y=0，得=2因此|=2 2=2=6则 p=3因此抛物线 C 的准线方程为：=2=2【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.15.函数 f(x)=|2x-l|-2lnx 的最小值为_【答案】1355113【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用【解析】【解答】解：当 2时，f（x）=2x-1-2lnx，则()=2=当 x1 时，f(x)0，当2 1
13、时，f(x)0，所以 f（x）min=f（1）=1；当0 2时，f（x）=1-2x-2lnx，则()=2=1122(1)11122(1)，1，2综上，f（x）min=1故答案为：1【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm12dm的长方形纸.对折 1 次共可以得到 10dm2dm、20dm6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240dm2，对折 2 次共可以得 5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2。以
14、此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折 n 次，那么=1=_dm.32【答案】5；720 240【考点】数列的求和，类比推理【解析】【解答】解：对折 3 次有 2.512，65，310，201.5 共 4 种，面积和为 S3=430=120dm2;对折 4 次有 1.2512,2.56,35,1.510,200.75 共 5 种，面积和为 S4=515=75dm2;对折 n 次有 n+1 中类型，=232402(1),)，2=240(222321)，=1111331231因此=240(2122=11=1121上式相减，得2=240(12223221)=240(221)
15、则=240(3=132)=720 2403232故答案为：5，720 240【分析】根据类比推理可求对折4 次及对折 n 次的图形种数，运用错位相减法可求.=1四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。分。1，为奇数17.已知数列 满足 1=1，1=anan2，为偶数（1）记=2，写出 1，2，并求数列 的通项公式；（2）求 的前 20 项和【答案】（1）2 为偶数，则 21=22，22=211，22=23，即 1=3，且 1=2=11=2，是以 2 为首项，3 为公差的等差数列，1=2，2=5，=3 1（2）当 为奇数时，=1 1，的前 20 项和为122
16、0=(1319)(2420)=(2 1)(4 1)(20 1)(2420)=2(2420)10 由（1）可知，2420=1210=2 10 的前 20 项和为 2 155 10=300【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.18.某学校组织一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题
17、回答正确得20 分，否则得 0分：B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8,能正确回答 B 类问題的概率为 0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求X 的分布列：（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。【答案】（1）的取值可能为 0，20，100，(=0)=1 0.8=0.2，(=20)=0.8 (1 0.6)=0.32，(=100)=0.8 0.6=0.48，的分布列为XP（2）假设先答 类题，得分为 ，则 可能为 0，80，100
18、，(=0)=1 0.6=0.4，(=80)=0.6 (1 0.8)=0.12，00.2200.321000.481092 3=155(=100)=0.6 0.8=0.48，的分布列为YP00.4800.121000.48()=0 0.4+80 0.12+100 0.48=57.6，由（1）可知()=0 0.2+20 0.32+100 0.48=54.4，()()，应先答 B 类题【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X 的分布列即可；（2）根据独立事件的概率，并列出Y 的分布列，根据期望公式求得E
19、(X),E(Y)并比较即可判断.19.记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，b.，c,已知 2=ac,点 D 在边 AC 上，BDsin ABC=asinC.（1）证明：BD=b：（2）若 AD=2DC.求 cos ABC.【答案】（1）在 中，sin=sin，sin=sin，sin=sin，联立得=2=，=，即 =，（2）若 =2，中，cos=中，cos=，(2+22)=32+(3)22，整理得 2+22=32+22113232+2223，2+()222332，2+2=0，2=，62 11+32=0，即 =3或 =2，若 =3时，2=则 cos=32+222233，22+293
20、223=3=729223=6（舍），7若 =2，2=22，则 cos=2+222=923+2 24223=72432=12.7【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.20.如图，在三棱锥 A-BCD 中.平面 ABD 丄平面 BCD，AB=AD.O 为 BD 的中点.（1）证明：OACD：（2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形.点 E 在 棱 AD 上.DE=2EA.且二面角 E-BC-D 的大小为 45，求三棱锥 A-BCD 的体积.【答案】（1）=，为 中点，面 ，面 面 且面 面 =，
21、面 ，（2）以 为坐标原点，为 轴，为 轴，垂直 且过 的直线为 轴，设(,0)，(0,1,0)，(0,1,0)，(0,0,)，(0,3,3),223 11 2(0，4,2)，=(3,3,0)，=3322 设1=(1,1,1)为面 法向量，42 1=3131=0，33 1=21+21=021+1=0，1+31=0令 1=1，1=，1=3，1=(3，1，)，面 法向量为=(0,0,)，cos,1=|=1，=2 =2 2 1=1，=3|=1361124+4222|=22，解得 =1，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】
22、【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=1，再根据棱锥的体积公式直接求解即可.21.在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 1(-1 7,0)，2(1 7,0),点 M 满足|MFt|-|MF2|=2.记 M 的轨迹为 C.（1）求 C 的方程;|TB|=|TP|TQ|,（2）设点T在直线 =2上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和【答案】（1）|1|2|=2，轨迹 为双曲线右半支，2=17，2=2，2=1，2=16，216=1(0)（2）设(2,)，设
23、：=1(2)，1121 =1(2)，联立 22=1161(16 12)2+(1 1+2=1+2=1122 12162 21)4112 2+1 16=0，1412+2+1611216|=1+1|=1+12(12(2)，2)，2211|=(1+1)(12)(22)=111(2+12)(1+112162)，设 ：=2(2)，同理|=(2+12)(1+222162)，|=|，1+1122216=1+222216，1+2171216=1+2172216，1 16=2 16，即 1=22，1 2，1+2=0.【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据双曲
24、线的定义直接求解即可；（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.22.已知函数 f(x)=x（1-lnx)（1）讨论 f(x)的单调性（2）设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna-alnb=a-b 证明:2+0,()(1,+),()1先证 2 2 1即证(2)=(1)0恒成立，()()(1)=0(1)(2 1)2 1+2得证同理，要证 1+2 即证(2)=(1)0,()(0,1),()0，()0，且()=0故 0，(0)0，(1)=(1)(1)0()0 恒成立 1+2 得证 2+【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解；（2）根据化归转化思想，将不等式问题等价转化为函数h(x)=f(x)-f(2-x)与()=()()的最值问题，利用 h(x)与()研究函数函数 h(x)与()的单调性及最值即可.1111