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1、晨鸟教育 Earlybird 专题限时集训(九)三角函数与解三角形 1(2019 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C 解(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.因为 0 A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120 C，由题设及正弦定理得 2sin Asin(120 C)2sin C，即6232cos C12sin C2sin C，可得 cos(
2、C60)22.由于 0 C120，所以 sin(C60)22，故 sin Csin(C60 60)sin(C60)cos 60 cos(C60)sin 60 6 24.2(2016 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长 解(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C 可得 cos C12，所以 C3.晨鸟教育 Early
3、bird(2)由已知得12absin C3 32.又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得 a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225，所以 ab5(负值舍去)所以ABC 的周长为 5 7.3(2020 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos22Acos A54.(1)求 A；(2)若 bc33a，证明：ABC 是直角三角形 解(1)由已知得 sin2Acos A54，即 cos2Acos A140.所以cos A1220，cos A12.由于 0A，故 A3.(2)由正弦定理及已知条件可得 sin Bsin C33sin A 由(1
4、)知 BC23，所以 sin Bsin23B 33sin 3.即12sin B32cos B12，sinB312.由于 0B23，故 B2.从而ABC 是直角三角形 4(2015 全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC(1)求sin Bsin C；(2)若BAC60，求B 解(1)由正弦定理，得 周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周由知所以故即由于从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟
5、在中为边上一点求求的面积解因为所以在晨鸟教育 Earlybird ADsin BBDsinBAD，ADsin CDCsinCAD.因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sin Bsin CDCBD12.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB)32cos B12sin B 由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B33，所以B30.1(2020 安庆二模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且bcacsin Asin Bsin C.(1)求角 B 的大小；(2)若ABC 的周长等于 15，面积等于15 34，求 a，b，c
6、的值 解(1)由bcacsin Asin Bsin C，根据正弦定理得 bcacabcb2c2a2aca2c2b2ac，根据余弦定理得 cos Ba2c2b22ac12，由 0B0，所以 3sin Bcos B2.所以 2sinB62，B(0，)所以 B62，所以 B23.(2)依题意得3ac4 3，所以 ac4.所以 ac2 ac4，当且仅当 ac2 时取等号 又由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12.b2 3，当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 42 3.2结构不良试题已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：A3；a13；c15；sin
7、C13.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积 解(1)ABC 同时满足.理由：若ABC 同时满足，因为是锐角三角形，所以 sin C1312sin 6，C2.周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周由知所以故即由于从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在晨鸟教育 Earlybird 与题设矛盾故ABC 同时满足不成立 所以ABC 同时满足.因为 ca，所以 CA若满
8、足，则 AC2，与题设矛盾，故此时不满足.ABC 同时满足.(2)因为 a2b2c22bccosA，所以 132b21522b1512.解得 b8 或 7.当 b7 时，cos C7213215227130，C 为钝角，与题设矛盾 所以 b8，SABC12bcsin A30 3.3.如图，在ABC 中，C4，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 tanCBD12.(1)求 sin A；(2)若CA CB28，求 AB的长 解(1)设CBD，因为 tan 12，又 0，2，故 sin 55，cos 2 55.则 sinABCsin 2 2sin cos 2552 5545，cosABC
9、cos 2 2cos2 1245135，故 sin Asin 42 sin42 22(sin 2 cos 2)2245357 210.周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周由知所以故即由于从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在晨鸟教育 Earlybird(2)由正弦定理BCsin AACsinABC，即BC7 210AC45，所以 BC7 28AC 又CA CB22|CA|CB|28
10、，所以|CA|CB|28 2，所以 AC4 2，又由ABsin CACsinABC，得AB22AC45，所以 AB5.4已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asin Bbcos A 3.(1)若 a2 5，b2，求 c 的大小；(2)若 b2，且 C 是钝角，求ABC 面积的取值范围 解(1)在ABC 中，asin Bbcos A 3，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A 0B，sin B0，sin A 3cos A，tan Asin Acos A 3.又0A，A3.在ABC 中，由余弦定理，得 a2b2c22bccos A，即 204c24
11、c12，解得 c1 17(舍去)，c1 17.c1 17.(2)由(1)知 A3，SABC12bcsin A32c.由正弦定理，得csin Cbsin B，周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周由知所以故即由于从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在晨鸟教育 Earlybird cbsin Csin B2sin 23Bsin B3tan B1.A3，C 为钝角，0B6，0tan B4，SABC2 3.即ABC 面积的取值范围是(2 3，)周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周由知所以故即由于从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在