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1、 晨鸟教育 专题限时集训(九)三角函数与解三角形 1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin B sin C)2sin2A sin B sin C(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C 解(1)由已知得 sin2B sin2Csin2A sin B sin C，故由正弦定理得 b2c2 a2bc.b2c2a2 1 由余弦定理得 cos A .2bc 2 因为 0A 180，所以 A 60.(2)由(1)知 B 120C，由题设及正弦定理得 2sin A sin(120C)2sin C，6 3 1 2 即 cos C sin C2sin C，
2、可得 cos(C60).2 2 2 2 2 由于 0C120，所以 sin(C60)，2 故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 2 .4 2(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B bcos A)c.(1)求 C；3 3(2)若 c 7，ABC 的面积为，求ABC 的周长 2 解(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin A cos B sin B cos A)sin C，即 2cos Csin(A B)sin C，故 2sin Ccos Csin C 1 可得 cos
3、 C，所以 C.2 3 Earlybird周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 晨鸟教育 1 3 3(2)由已知得 ab sin C.2 2 又 C，所以 ab 6.3 由已知及余弦定理得 a2b22ab cos C7，故 a2b213，从而(ab)225，所以 ab5(负值舍去)所以ABC 的周长为 5 7.3(2020全国卷
4、)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2 5(A)2 4 cos A .(1)求 A；3(2)若 bc a，证明：ABC 是直角三角形 3 5 1 1 2 解(1)由已知得 sin2A cos A ，即 cos2A cos A 0.所以 2)4(cos A 4 1 0，cos A .2 由于 0 A，故 A .3 3(2)由正弦定理及已知条件可得 sin B sin C sin A 3 2 2 3 由(1)知 BC 3，所以 sin Bsin(B)sin.3 3 3 1 3 1 1 周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而
5、所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 即 sin B cos B2，sin(B3).2 2 2 2 由于 0 B ，故 B .3 2 从而ABC 是直角三角形 4(2015全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD 2DC sin B(1)求；sin C(2)若BAC 60，求B 解(1)由正弦定理，得 Earlybird周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及
6、余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 晨鸟教育 AD BD AD DC ，.sin B sin BAD sin C sin CAD 因为 AD 平分BAC，BD 2DC，sin B DC 1 所以 .sin C BD 2(2)因为C180(BAC B)，BAC 60，3 1 所以 sin Csin(BAC B)cos B sin B 2 2 3 由(1)知 2sin B sin C，所以 ta
7、n B ，3 所以B 30.bc 1(2020安庆二模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ac sin A .sin B sin C(1)求角 B 的大小；15 3(2)若ABC 的周长等于 15，面积等于，求 a，b，c 的值 4 bc sin A 解(1)由 ，ac sin B sin C 根据正弦定理得 bc a b2c2a2ac a2c2b2ac，周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得
8、由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 ac bc a2c2b2 1 根据余弦定理得 cos B ，2ac 2 2 由 0 B 0，所以 3sin B cos B 2.所以 2sin(B 6)2，B(0，)2 所以 B ，所以 B.6 2 3 3ac (2)依题意得 3，所以 ac 4.4 所以 ac2 ac 4，当且仅当 ac2 时取等号 又由余弦定理得 b2a2c22ac cos B a2c2ac 3ac 12.周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直
9、角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 b2 3，当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 42 3.2结构不良试题已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：1 A ；a13；c15；sin C.3 3(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积 解(1)ABC 同时满足.Earlybird周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形
10、全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 晨鸟教育 理由：若ABC 同时满足，1 1 因为是锐角三角形，所以 sin C sin，C.3 2 6 6 3 2 与题设矛盾故ABC 同时满足不成立 所以ABC 同时满足.因为 ca，所以 CA若满足，则 A C，与题设矛盾，故此时不 6 2 满足.ABC 同时满足.(2)因为 a2b2c22bc cos A，1 所以 132b21522b15 .2 解得 b8 或 7.72132152 当 b7 时，cos C 0，C
11、 为钝角，与题设矛盾所以 b8，SABC 2 7 13 1 bc sin A 30 3.2 3.如图，在ABC 中，C，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 tan CBD 4 1 .2(1)求 sin A；(2)若 CA CB 28，求 AB 的长 1 5 解(1)设CBD，因为 tan 2，又(0，2)，故 sin ，cos 周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟
12、教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 5 2 5.5 5 2 5 4 则 sin ABC sin 2 2sin cos 2 ，5 5 5 Earlybird周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 晨鸟教育 4 3 cos ABC cos 2 2cos212 1，5 5 故 sin Asin(2)sin(2)4 4 2
13、2 4 3 7 2 (sin 2 cos 2)5).2(2 5 10 BC AC BC AC(2)由正弦定理 ，即 ，sin A sin ABC 7 2 4 10 5 7 2 所以 BC AC 8 2 又 CA CB|CA|CB|28，2 所以|CA|CB|28 2，AB AC AB AC 所以 AC 4 2，又由 ，得 ，sin C sin ABC 2 4 2 5 所以 AB 5.asin B 4已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3.bcos A (1)若 a2 5，b2，求 c 的大小；(2)若 b2，且 C 是钝角，求ABC 面积的取值范围 asin B
14、周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 解(1)在ABC 中，3，bcos A 由正弦定理，得 sin A sin B 3sin B cos A 0 B，sin B 0，sin A 3cos A，sin A tan A 3.cos A 又0 A，A .3 在ABC 中，由余弦定理，得 1 a2b2c22bc cos A，即 20
15、4c24c，2 解得 c1 17(舍去)，c1 17.Earlybird周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 晨鸟教育 c1 17.(2)由(1)知 A ，3 1 3 SABC bc sin A c.2 2 c b 由正弦定理，得 ，sin C sin B 2 2sin(B)bsin C 3 3 c 1.sin B sin B
16、tan B A ，C 为钝角，0 B ，3 6 3 0tan B 4，3 SABC2 3.即ABC 面积的取值范围是(2 3，)周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在 Earlybird 周长解由已知及正弦定理得即故可得所以晨鸟教育由已知得又所以由已知及余弦定理得故从而所以负值舍去所以的周所以知由即由于故从而是直角三角形全国卷中是上的点平分求若求解由正弦定理得晨鸟教育因为平分所以因为所以由余弦定理得由所以由得又由知所以所以解得或者所以或者晨鸟教育昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以在