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1、【精选+详解】高三数学名校试题汇编（第 3 期）专题 导数与应用 理 一基础题 1.【2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设函数()(1)(1)f xxx x，则满足0()afx dx0 的实数 a 的有（）A.3个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 2.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】由曲线yx，直线 y=x-2，及 y 轴所围成的图形的面积为（）A.103 B.4 C.163 D.6【答案】C【解析】4016(2)3Sxxdx 4.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】已知函数()f x=2xexa有零点，则a的取值范围是 .【答案】a2ln 22.【解析】
2、()fx=2xe,当xln2时，()fx0，()f x在（-，ln 2）是减函数，当xln 2时，()fx0，()f x在(ln 2,+)上是增函数，()f x的最小值为(ln 2)f=22ln 2a，22ln2a0，a2ln 22.5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 20122013 学年第一学期统一检测题】函数321()2323f xxxx在区间0,2上最大值为 【答案】23 【解析】2()4301,3fxxxxx ，24(0)2,(1),(2)33fff 6.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】若直线2yxm是曲线lnyxx的切线，则实数m的值为 .二能力题 1.【2012
3、-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数 f（x）=lnx+ax存在与直线 2xy=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（）A（，2 B（，2）C 0，+）D（2，+）【答案】B【解析】函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2xy=0 平行的切线，即 f（x）=2 在（0，+）上有解，而 f（x）=+a，即+a=2 在（0，+）上有解，a=2，因为 x0，所以 2 2，所以 a 的取值范围是（，2）故选 B 2.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】已知二次函数()f x=2axbxc的导数为()fx，(0)f 0，对任意实数x都有()f x0，则(1
4、)(0)ff 的最小值为 A.4 B.3 C.8 D.2【答案】D【解析】()fx=2axb，(0)f=b0，对任意实数x都有()f x0，2040abac，即24acb，c0，(1)(0)ff=abcb=1acb21acb2241bb=2，当且仅当ac取等号，故选D.3.【2012-2013 学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】若曲线 f（x）=acosx 与曲线 g（x）=x2+bx+1 在交点（0，m）处有公切线，则 a+b=（）A 1 B 0 C 1 D 2 4.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】已知函数，则使函数有零点的实数 m的取值范围是 A.B.C D.
5、5.【安 徽 省 皖 南 八 校2013届 高 三 第 二 次 联 考】已 知 函 数2342013()12342013xxxxf xx L，设()(4)F xf x，且函数()F x的零点均在区间,(,)a bab a bZ内，圆22xyba 的面积的最小值是（）A.B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】232012()1fxxxxx L，当1x 或1x 时，20121()01xfxx成立，且(1)20130f 232012()10fxxxxx L对xR恒成立，函数2342013()12342013xxxxf xx L在 R上单调递增，又(0)10f，1111(1)(1 1)()()02
6、320122013f L函数()f x的唯一零点在-1,0内，函数()(4)F xf x的唯一零点在-5，-4内，由题意可知：b-a 的最小值为 1，圆22xyba 的面积的最小值为 6.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】已知函数()f x=321132axxaxa，xR，其中a0，若函数()f x在区间（-2,0）内恰有两个零点，则a的取值范围为 A.（0，13）B.（0,1）C.（13，1）D.（1，+）7.【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】定义域R的奇函数()f x，当(,0)x 时()()0f xxfx恒成立，若 3(3)af，(log 3)
7、(log 3)bf，()cf，则 Aacb Bcba Ccab D abc 8.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f x的定义域为 1,5，部分对应值如下表，f x的导函数 yfx的图像如图所示 若函数 yf xa有 4 个零点，则a的取值范围为_.9.【2012-2013 学年河南省中原名校高三（上）第三次联考】函数 f（x）=x3x2+x+1 在点（1，2）处的切线与函数 g（x）=x2围成的图形的面积等于 【答案】【解析】（1，2）为曲线 f（x）=x3x2+x+1 上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为 k，则 k=f（1）=（3x22x+1）|x=1=2，过
8、点（1，2）处的切线方程为：y2=2（x1），即 y=2x y=2x 与函数 g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点 A（2，4），又 SAOB=24=4，g（x）=x2围与直线 x=2，x 轴围成的区域的面积S=x2dx=，y=2x 与函数 g（x）=x2围成的图形的面积为：S=SAOBS=4=故答案为：三拔高题 1.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共 13 分）已知aR，函数()ln1af xxx （）当1a 时，求曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程；（）求()f x在区间0,e上的最小值（）因为()ln1af xxx，所以22
9、1()axafxxxx 2.2012-2013 学年河南省中原名校高三（上）第三次联考（12 分）已知函数 f（x）=（x23x+3）ex，x 2，t（t 2）（1）当 t l 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）比较 f（2）与 f（t）的大小，并加以证明；（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设 g（x）=f（x）+（x2）ex，试问函数 g（x）在（1，+）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由 解：（）f（x）=（x23x+3）ex，x 2，t（t 2），f（x）=（2x3）ex+ex（x23x+3）=e
10、xx（x1）当2t0 时，x（2，t），f（x）0，f（x）单调递增 当 0t 1 时，x（2，0），f（x）0，f（x）单调递增 x（0，t），f（x）0，f（x）单调递减 综上所述，当2t0 时，y=f（x）单调递增区间为（2，t）；当 0t 1 时，y=f（x）单调递增区间为（2，0），减区间为（0，t）（）f（t）f（2）证明：令 m=f（2），n=f（t），则 m=13e2，n=（t23t+3）et，设 h（t）=nm=（t23t+3）et13e2，h（t）=（2t 3）et+et（t23t+3）=ett（t 1），（t 2）h（t），h（t）随 t 变化如下表：由上表知 h（t）的
11、极小值为 h（1）=e=0 又 h（2）=0，当 t 2 时，h（t）h（2）0，即 h（t）0 因此，nm 0，即 nm，所以 f（t）f（2）（x），（x）随 x 的变化如下表：由上表知，（x0）（1）=10，（2）=e220，故 y=（x）的大致图象如图，因此（x）在（1，+）只能有一个零点，这与（x）=0有两个大于 1 的不等根矛盾，故不存在区间a，b 满足题意，即函数 g（x）不存在保值区间 3【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分 14 分）已知函数 23f2.xxxaxa eaR 1讨论 f x的单调性；2设 2250,4xg xaea若存在 120,0,4
12、ax x使得 12f1xg x成立，求 a 的取值范围.存在 4,0,21xx使得 121 xgxf成立，只须1)()(maxminxfxg 2321164252aaa，又0a a的取值范围为23,0.14 分 4.【惠 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试】（本 小 题 满 分 14 分）已 知 函 数32()ln 2123xf xaxxax a R（1）若2x 为)(xf的极值点，求实数a的值；（2）若)(xfy 在3，上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当12a 时，方程 311+3xbfxx有实根，求实数b的最大值。（2）因为 f x在区间3,上为增函数，所以 2
13、221442021xaxa xafxax 在区间3,上恒成立5分 当0a时，()(2)0fxx x 在3,)上恒成立，所以()3)f x 在，上为增函数，故0a符合题意6分 当0a 时，由函数 f x的定义域可知，必须有10ax 2对3x 恒成立，故只能0a，所以222(14)(42)03)axa xax 对，上恒成立 7分 令22()2(14)(42)g xaxa xa，其对称轴为114xa，8分（3）若12a 时，方程3(1)(1)+3xbfxx可化为，xbxxx)1()1(ln2 问题转化为223ln(1)(1)lnbxxxxxxxxxx在0 ，上有解，即求函数32ln)(xxxxxg的
14、值域 11分 以下给出两种求函数 g x值域的方法：方法1：因为 2lng xxxxx，令2()ln(0)h xxxxx，则xxxxxxh)1)(12(211)(，12分 所以当01,()0 xh x 时，从而()(0 1)h x 在，上为增函数，当1()0 xh x时，从而),1()(在xh上为减函数，13分 因此()(1)0h xh 而0 x，故()0bx h x，因此当1x 时，b取得最大值0 14分 00()0 xxgx 当时，所以0()0g xx在，上单调递减；当01()0 xxg x 时，所以 0(),1g xx在上单调递增；当1()0()1xg xg x 时，所以在，上单调递减；
15、又因为)41(ln)(lnln)(232xxxxxxxxxxxg，当10ln04xx 时，则()0g x，又(1)0g 因此当1x 时，b取得最大值0 14分 5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】已知函数.(I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间；(II)若对一切正数 x，都有恒成立，求 a 的取值集合.（）11fxax，曲线 yf x在点 1,1f处的切线斜率为 111kfa，依题意110a，故1a，lnf xxx，11fxx，当01x 时，0fx，函数 f x单调递增；当1x 时，0fx，函数 f x 单调递减；所以函数
16、f x的单调增区间为0,1，减区间为1,；6 分 6.【2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分 13 分）已知函数 f(x)lnx mx十 m,mR.（I）求 f(x)的单调区间；（II）若 f(x)0。在 x(0，00)上恒成立，求实数 m的取值范围 （III）在（II）的条件下，任意的 0ab，证明：11f bf abaa 当 m0 时，由（）得max1()ln10f xfmmm ，令ln1g mmm，111mgmmm，所 以 0,1m，0gm，1,m，0gm，min(1)0g mg，所以 m=1.综上，m的取值范围是 m=1.8 分（）lnlnln1111bf bf ab
17、aabbabaaa ，因为0ba，所以1ba，由（）得，1,x时，ln 1x x，令bta，则ln 1t t，又1t，所以ln11tt，因为10a，所以 11111 0 xfx，解得1x；()ee 0,即()0fx，4 分 当3,0 xx 时,g(x)1a，则()f x无零点；若()f x有零点，则1a 10 分 若=1a，()=ln+1=0f xxax，由（）知()f x有且仅有一个零点=1x.18.【北 京 市 顺 义 区2013届 高 三 上 学 期 期 末 理】设 函 数 12,03123bbxxgaaxxxf.(I)若曲线 xfy 与曲线 xgy 在它们的交点c,1处具有公共切线,求
18、ba,的值;(II)当ba21时,若函数 xgxf在区间 0,2内恰有两个零点,求a的取值范围;(III)当121ba时,求函数 xgxf在区间3,tt上的最大值 解:(I)bxxgaxxf2,2.因为曲线 xfy 与曲线 xgy 在它们的交点c,1处具有公共切线,所以 11gf,且 11gf,即1231bba,且ba21,解得31,31ba.3 分(II)记 xgxfxh,当ba21时,aaxxaxxh232131,axxaxaxxh112,令 0 xh,得0,121axx.当x变化时,xhxh,的变化情况如下表:x 1,1 a,1 a ,a xh 0 0 xh 极大值 极小值 所 以 函
19、数 xh的 单 调 递 增 区 间 为 ,1,a;单 调 递 减 区 间 为 a,1,6 分 当13t时,即4t时,xh在区间3,tt上单调递增,所以 xh在区间3,tt上的最大值为 58331133313233tttttth;当1t且131t,即24t时,xh在区间1,t上单调递增,在区间3,1 t上单调递减,所以 xh在区间3,tt上的最大值为311h；当1t且13t,即12t时，t+32 且 h(2)=h(-1)，所以 xh在区间3,tt上的最大值为311h；19.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 13 分）已知函数 322,.f xxaxbxaa bR（）若函
20、数 f x在1x 处有极值为 10，求b的值；（）若对于任意的4,a ，f x在 0,2x上单调递增，求b的最小值【答案】（）232fxxaxb，1 分 于是，根据题设有 213201110fabfaba 解得411ab 或 33ab 3 分 当411ab 时，23811fxxx，64 1320，所以函数有极值点；4 分 当33ab 时，2310fxx，所以函数无极值点5 分 所以 11b 6 分 （）法一：2320fxxaxb 对任意4,a，0,2x都成立，7 分 所以 2230F axaxb 对任意4,a，0,2x都成立8 分 因为 0 x,所以 F a在4,a 上为单调递增函数或为常数函
21、数，9 分 所以 2min4830F aFxxb 对任意 0,2x都成立 10 分 即 2max38bxx.11 分 又2241616383333xxx，所以 当43x 时，2max16383xx，12 分 所以 163b，所以 b的最小值为163 13 分 20.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】已知函数2()xf xxb，其中bR （）求)(xf的单调区间；（）设0b 若1 3,4 4x，使()1f x，求b的取值范围【答案】（）解：当0b 时，1()f xx 故()f x的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间 1 分 当0b 时，222()()bxfxxb 3 分 令
22、()0fx，得1xb，2xb ()f x和()fx的情况如下：x(,)b b(,)bb b(,)b ()fx 0 0 ()f x 故()f x的单调减区间为(,)b，(,)b；单调增区间为(,)bb 5 分 当0b 时，()f x的定义域为|Dxxb R 因为222()0()bxfxxb 在D上恒成立，21.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 13 分）已知函数()f x的定义域为(0,)，若()f xyx在(0,)上为增函数，则称()f x为“一阶比增函数”；若2()f xyx在(0,)上为增函数，则称()f x为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合
23、记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2.()已知函数32()2f xxhxhx，若1(),f x 且2()f x，求实数h的取值范围；()已知0abc ，1()f x 且()f x的部分函数值由下表给出，x a b c abc ()f x d d 4 求证：(24)0ddt ；()定义集合2()|(),(0,)(),f xf xkxf xk且存在常数 使得任取,请问：是否存在常数M，使得()f x，(0,)x，有()f xM成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.三式相加得4()()()()24,abcf af bf cdtabc 所以240dt 6 分 因为,ddab所以()
24、0,badab 而0ab，所以0d 所以(24)0ddt 8 分()因为集合2()|(),(0,)(),f xf xkxf xk且存在常数 使得任取,下面我们证明()0f x 在(0,)上无解 假设存在20 x，使得2()0f x，则因为()f x是二阶增函数，即2()f xx是增函数 一定存在320 xx，322232()()0f xf xxx，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x 在(0,)上无解 综上，我们得到()f x，()0f x 对(0,)x成立 所以存在常数0M，使得()f x，(0,)x，有()f xM成立 又令1()(0)f xxx，则()0f x 对(0,)x成立，又有
25、23()1f xxx在(0,)上是增函数，所以()f x，而任取常数0k，总可以找到一个00 x，使得0 xx时，有()f xk 所以M的最小值 为 0 13 分 22.【河北省唐山市 2012201 3 学年度高三年级期末考试】已知函数2()ln.f xaxx （I）讨论函数 f（x）单调性；（）当1,028at 时，证明：曲线()yf x与其在点(,()P t f t处的切线至少有两个不同的公共点 解：（）f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax 1 x（1）若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)是减函数；2 分（2）若a0，则当x(0，2a2a)时，f(x)0，f(x)在(0，2a2
26、a)是减函数；当x(2a2a，)时，f(x)0，f(x)在(2a2a，)是增函数 4 分 23【湖北武汉武昌 2013 届高三期末调研考试】已知函数 f（x）=lnx+11x （）求函数 f（x）的单调区间；（）设 mR，对任意的 a（-l，1），总存在 xo1，e，使得不等式 ma (xo)4*3(1)(2,)4nnnNnN*）（本题满分 14 分）解:（）22111,0 xfxxxxx.令 0fx，得1x，因此函数 xf的单调递增区间是1,.令 0fx，得01x，因此函数 xf的单调递减区间是0,1.（4分）（）依题意，maxmaf x.由（）知，f x在1,xe上是增函数，max11ln
27、1fxf eeee .ema1，即01ema对于任意的 1,1a恒成立.01)1(,011emem解得eme11.所以，m的取值范围是1,1ee.（8 分）nnn2)1(ln2ln1ln2.由柯西不等式，2222222)ln2ln1(ln)111)(ln2ln1(lnnn.3422224)1()ln2ln1(ln1ln2ln1lnnnnnn.342224)1(ln2ln1lnnnn.（14 分）24.【2013 年南昌一中、南昌十中第四次联考】（本小题满分 14 分）已知函数2()(0)f xxax a，()lng xx，()f x图象与x轴异于原点的交点 M处的切线为1l，(1)g x与x轴
28、的交点 N处的切线为2l，并且1l与2l平行.（1）求(2)f的值；（2）已知实数 tR，求ln,1,uxx xe的取值范围及函数()+,1,yf xg xt xe的最小值；（3）令()()()F xg xg x，给定1212,(1,),xxxx，对于两个大于 1 的正数,，存 在 实 数m满 足：21)1(xmmx，21)1(mxxm，并 且 使 得 不 等 式12|()()|()()|FFF xF x恒成立，求实数m的取值范围.1(3)()()()lnF xg xg xxx,22111()0 xFxxxx 1x 得 所以()F x在区间(1,)上单调递增 9 分 1x 当时，FFx（）（1
29、）0 当(0,1)m时，有12111(1)(1)mxm xmxm xx ，12222(1)(1)mxm xmxm xx ，得12(,)x x，同理12(,)x x，分 由)(xf的单调性知 01()()F xF、2()()FF x 从而有12|()()|()()|FFF xF x，符合题设.11 分 当0m 时，12222(1)(1)mxm xmxm xx ，12111(1)(1)m xmxm xmxx ，由)(xf的单调性知 012()()()()FF xF xF，12|()()|()()|FFF xF x，与题设不符 12 分 当1m 时，同理可得12,xx，得12|()()|()()|FFF xF x，与题设不符.13 分 综合、得(0,1)m 14 分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.