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1、专题 42 等腰三角形 聚焦考点温习理解 一、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1
2、80 2B，B=C=2180A 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.等边三角形 1.定义 三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 3.判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.三
3、.线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛典例分类 考点典例一、等腰三角形的性质【例 1】(2015.陕西省，第 6 题，3 分)如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，若在边 AB上截取 BE=BC，连接 DE,则图中等腰三角形共有（）A.2 个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D【解析】试题分析：在ABC中，A=36，AB=AC，求得ABC=C=72，且ABC是等腰三角形.因为 BD
4、是ABC的角平分线 所以ABD=DBC=36 所以ABD是等腰三角形.在BDC中有三角形的内角和求出BDC=72 所以BDC是等腰三角形.所以 BD=BC=BE 所以BDE是等腰三角形.所以BDE=72,所以ADE=36,所以ADE是等腰三角形.共5 个.故选 D.边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直考点：角平分线的定义，三角形
5、内角和、外角和，平角的定义.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 【举一反三】（2014眉山）如图，ABC中，C=70，B=30，将ABC绕点A顺时针旋转后，得到ABC，且C在边BC上，则BCB的度数为（）A30 B40 C46 D60 ABCBC【答案】C 考点：1.旋转的性质 2.等腰三角形的性质 考点典例二、等腰三角形的多解问题【例 2】【答案】D【解析】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，可以分情况讨论其边长为 5，5，6 或者 5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为 5+
6、5+6=16或 5+6+6=17.故选项 D正确.考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】(2015湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的
7、两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A8或10 B8 C10 D6或12【答案】C 考点：1等腰三角形的性质；2三角形三边关系；3分类讨论 考点典例三、等边三角形的性质与判定【例 3】如图，直线 ab，ABC是等边三角形，点 A在直线 a 上，边 BC在直线 b 上，把ABC沿 BC方向平移 BC的一半得到ABC（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100 个图形中等边三角形的个数是 【答案】400.【解析】试题分析：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个，据此求出第 100 个图
8、形中等边三角形的个数 试题解析：如图 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直 ABC是等边三角形，AB=BC=AC，ABAB，BB=BC=12BC，BO=12AB，CO=12AC，BOC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形 又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个，第 2 个图形中大等边
9、三角形有 4 个，小等边三角形有 4 个，第 3 个图形中大等边三角形有 6 个，小等边三角形有 6 个，依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个 故第 100 个图形中等边三角形的个数是：2100+2100=400 故答案为：400 考点：等边三角形的判定与性质；平移的性质【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】(2015湖北荆门，12题，3分)如图，点A，B，C在一条直线上，ABD，BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：ABED
10、BC；DMA=60；BPQ为等边三角形；MB平分AMC，其中结论正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】D【解析】考点：1全等三角形的判定与性质；2等边三角形的判定与性质 考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2015遂宁）如图，在ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分
11、线交AC于点N，BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A1cm B2cm C3cm D4cm【答案】C【解析】试题分析：MN是线段AB的垂直平分线，AN=BN，BCN的周长是7cm，BN+NC+BC=7（cm），AN+NC+BC=7（cm），AN+NC=AC，AC+BC=7（cm），又AC=4cm，BC=74=3（cm）故选C 考点：线段垂直平分线的性质【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定
12、等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【举一反三】（2015湖北黄冈，6 题，3 分）如图，在ABC 中，C=Rt，B=30，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD=3，则BC 的长为（）A6 B36 C9 D33 【答案】C 考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质 课时作业能力提升 一、选择题 1.（2014江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为 40，则它的底角度数为（）A 40 B 50 C 60 D 70 【答案】D.【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，
13、又因为顶角是 40，所以其底角为180402 =70 故选 D 考点：等腰三角形的性质 2.（2015 眉山）如图，在RtABC中，B=900，A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=l，则AC的长是（）A32 B2 C34 D4 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】A 考点：1含 30
14、度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质；3勾股定理 3.（2015内江）如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若E=35，则BAC的度数为（）A40 B45 C60 D70【答案】A【解析】试题分析：AEBD，CBD=E=35，BD平分ABC，CBA=70，AB=AC，C=CBA=70，BAC=180702=40故选A 考点：1等腰三角形的性质；2平行线的性质 4.（2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100 xx的两根，则该等腰三角形的周长是（）A12 B9 C13 D12或9 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都
15、相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】A【解析】试题分析：27100 xx，(2)(5)0 xx，12x，25x，等腰三角形的三边是2，2，5，2+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12故选A 考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系；
16、3等腰三角形的性质 5.(2015湖北襄阳,7题)如图，在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分ACB若BE=2，则AE的长为（）A3 B1 C2 D2【答案】B 考点：1含 30 度角的直角三角形；2角平分线的性质；3线段垂直平分线的性质 6（2015泸州）在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（3 2，3 2），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角
17、形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直试题分析：如图，AB所在的直线是yx，设AB的中垂线所在的直线是yxb ，点A（2，2），B（3 2，3 2），AB的中点坐标是（2 2，2 2），把x=2 2，y=2 2代入yxb ，解得b=4 2，AB的中垂线所在的直线是4 2yx ，1C（4 2，0）；以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点2C、3C；AB=22(3 22)(3 22)=4，3 24，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点综
18、上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3故选B 考点：1等腰三角形的判定；2坐标与图形性质；3分类讨论；4综合题；5压轴题 二、填空题 7.（2015 广元）一个等腰三角形两边的长分别为 2m、5cm则它的周长为_cm【答案】12 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直考点：1等腰三角形的性质；2三角
19、形三边关系 8.（2015 眉山）如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD、ABE、BCF，则下列结论：EBFDFC；四边形AEFD为平行四边形；当AB=AC，BAC=1200时，四边形AEFD是正方形其中正确的结论是_ （请写出正确结论的番号）【答案】【解析】试题分析：ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60，ABEABF=FBCABF，即CBA=FBE，在ABC和EBF中，AB=EB，CBA=FBE，BC=BF，ABCEBF（SAS），选项正确；EF=AC，又ADC为等边三角形，CD=AD=AC，EF=AD，同理可 得AE=DF，四边形AEFD是
20、平行四边形，选项正确；若AB=AC，BAC=120，则有AE=AD，EAD=120，此时AEFD为菱形，选项错误，故答案为：考点：1全等三角形的判定与性质；2等边三角形的性质；3平行四边形的判定；4正方形的判定；5综合题 9.（2015 成都）如图，直线mn，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，则1=_度 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等
21、边三角形推论在直【答案】45【解析】试题分析：ABC为等腰直角三角形，ABC=45，又mn，1=ABC=45故答案为：45 考点：1等腰三角形的性质；2平行线的性质 10.（2015 成都）如图，在半径为 5 的O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C当PAB是等腰三角形时，线段BC的长为_ 【答案】8BC 或5615或8 53【解析】试题分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OHAB于点H，延长AO交PB于点G；AB=AP，APAB，AO过圆心，AGPB，PG=BG，OAH=PAG，OHAB，AOH=BOH，AH=BH=4，AOB=2P
22、，AOH=P，OA=5，AH=4，OH=3，OAH=PAG，sinOAH=sinPAG，358PG，PG=245，AOH=P，cosAOH=cosP，APOHPCAO，54033PCAP，BC=PC2PG=4048563515；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，APC=AOK，PB=PA=22AKPK=4 5，APC=AOK，cosAPC=cosAOK，边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三
23、角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直APOKPCAO，520 533PCAP，BC=PCPB=8 53；（3）当BA=BP时，如图（3），BA=BP，P=BAP，P+C=90，CAB+BAP=90，C=CAB，BC=AB=8 故答案为：8BC 或5615或8 53 考点：1等腰三角形的性质；2解直角三角形；3分类讨论；4压轴题 11.如图，在ABC中，C=40，CA=CB，则ABC的外角ABD=【答案】110.考点：等腰三角形的性质.12.（2015甘孜州）边长为2的正三角形的面积是 边上的中线底边上的高重合推论
24、等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】3【解析】试题分析：过A作ADBC，AB=AB=BC=2，BD=CD=12BC=1，在RtABD中，根据勾股定理得：AD=22ABBD=3，则SABC=12BCAD=3，故答案为：3 考点：等边三角形的性质 13.54（2015乐山）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知ADE=40，则D
25、BC=【答案】15【解析】试题分析：DE垂直平分AB，AD=BD，AED=90，A=ABD，ADE=40，A=9040=50，ABD=A=50，AB=AC，ABC=C=12（180A）=65，DBC=ABCABD=6550=15，故答案为：15 考点：1线段垂直平分线的性质；2等腰三角形的性质 14.（2015攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点若POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰
26、长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）【解析】试题分析：四边形OABC是矩形，OCB=90，OC=4，BC=OA=10，D为OA的中点，OD=AD=5，当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，点P的坐标为：（2.5，4）；当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC=2254=3，点P的坐标为：（3，4）；当DP=DO时，作PEOA于E，则PED=90，DE=2254=3；
27、分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=53=2，点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）考点：1矩形的性质；2坐标与图形性质；3等腰三角形的判定；4勾股定理；5分类讨论；6综合题；7压轴题 15.（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 【答案】7【解析】试题分析：作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此时
28、BE+ED=BE+ED=BD，根据两点之间线段最短可知BD就是BE+ED的最小值，B、B关于AC的对称，AC、BB边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，ADBC，AD=3，BD=CD=1，BB=2AD=2 3，作BGBC的延长线于G，BG=AD=3，
29、在RtBBG中，BG=22BBB G=22(2 3)(3)=3，DG=BGBD=31=2，在RtBDG中，BD=22DGB G=222(3)=7故BE+ED的最小值为7 考点：1轴对称-最短路线问题；2等边三角形的性质；3最值问题；4综合题 三、解答题 16.（2015南充）（8分）如图，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE 求证：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD 【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析 边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为
30、底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰三角形的性质 17.(2015.陕西省，第 19 题，7 分)（本题满分 7 分）如图，在ABC中，AB=AC，作 AD AB交 BC的延长线于点 D，作 AE BD、CE AC，且 AE、CE相交于点 E，求证 AD=CE.【答案】考点：平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定.18.(2015.北京市，第 20 题，5 分)如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CB
31、E=BAD.边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直【答案】见试题分析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得出ABC C，根据等腰三角形三线合一得出 AD BC，又因为 BE AC，根据直角三角形的两锐角和为 90，等量代换即可得出结论.试题解析：证：AB AC，ABC C，又AD是 BD边上的中线，AD BC，BAD ABC 9
32、0.BE AC.，CBE C90 CBE BAD.考点：等腰三角形的性质，三角形的内角和 19.（2015.山东淄博，第19题）如图，在ABC中，AB=4cm，AC=6cm（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求ABD的周长 【答案】(1)作图见解析；（2）10cm【解析】试题分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图;（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解 试题解析：（1）如图1，边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每
33、个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直（2）如图2，DE是BC边的垂直平分线，BD=DC，AB=4cm，AC=6cm ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm 考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.边上的中线底边上的高重合推论等边三角形的各个角都相等并且每个角都等于等腰三角形的其他性质等腰直角三角形关系设腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为顶角为底角为则等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及一个三角形中的边相等推论三个角都相等的三角形是等边三角形推论有一个角是的等腰三角形是等边三角形推论在直