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1、 第一讲检测(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 如图,已知AABBCC,AB BC=13,则下列等式成立的是()A.AB=2AB B.3AB=BC C.BC=BC D.AB=AB 解析AABBCC,=13.3AB=BC.答案 B 2 如图,已知=45,DEBC,若DE=3,则BC等于()A.125 B.154 C.184 D.274 解析=45,=49.又DEBC,=49.BC=94DE=943=274.答案 D 3 下面图形一定相似的是()A.两个等腰三角形 B.各有一个
2、角是 40的两个等腰三角形 C.两条边之比都是 23 的两个直角三角形 D.各有一个角是 100的两个等腰三角形 解析 A中两个等腰三角形不一定相似;B 中若 40的角在一个三角形中为顶角,在另一个三角形中为底角,则这两个等腰三角形不相似;C 中两边之比为 23,不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边,故不一定相似;D 正确.答案 D 4 如果两条直角边在斜边上的射影分别是 4 和 16,则此直角三角形的面积是()A.80 B.70 C.64 D.32 解析由题意知,直角三角形的斜边长为 4+16=20,斜边上的高为 4 16=8,则此直角三角形的面积为12820=80.答案 A 5
3、如图,在ABC中,DEBC,DE分别交AB,AC于D,E两点,若SADE=2SDCE,则=()A.14 B.12 C.23 D.49 解析设D到AC的距离为h,则SADE=12AEh,SDCE=12ECh.又SADE=2SDCE,12AEh=2(12).=2,=23.又DEBC,ADEABC.=()2=49.答案 D 6 如图,已知在ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于F,则DF FE等于()各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一
4、定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 A.52 B.21 C.31 D.41 解析过点D作DGAC,交BC于点G,如图,则DG=DB=3CE,即CE DG=13.又DF FE=DG CE,所以DF FE=31.答案 C 7 如图,已知在 RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,E是AC上一点,CFBE于点F,则下列与BFD相似的三角形是()A.ABC B.BEC C.BAE D.BCF 解析ACCB,CFBE,BC2=BFBE.又ACCB,CDAB,BC2=BDAB.BFBE=
5、BDAB,=.又FBD=ABE,BFDBAE.答案 C 各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 8 如图,铁道口的栏杆短臂长 1 m,长臂长 16 m,当短臂端点下降 0.5 m 时,长臂端点升高()A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 解析本题可抽象为如下的数学问题:如图,等腰三角形AOC等腰三角形B
6、OD,OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA OB=CE DF,即 116=0.5DF,解得DF=8m.答案 C 9 如图,在梯形ABCD中,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,ADBC,若EFBC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为()A.457 B.335 C.395 D.152 解析过点A作AGDC,交EF于点H,交BC于点G.设AE=x,DF=y,由AB=BG=6,可得AE=EH=x.由题意,知x6=y4,所以 2x=3y.又梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,所以 3+x+3+x+y=6-x+9+4-y+3+x,即x+
7、y=8.由,解得x=245,所以EF=245+3=395.答案 C 各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 10 某社区计划在一块上、下底边长分别是 10 米,20 米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在AMD和BMC地带种植单价为 10 元/平方米的太阳花,当AMD地带种满花后,已经花了 500 元,请你预算一下,若继续在
8、BMC地带种植同样的太阳花,还需资金()元.A.500 B.1 500 C.1 800 D.2 000 解析在梯形ABCD中,ADBC,AMDCMB.又AD=10 米,BC=20 米,=(1020)2=14.SAMD=50010=50(平方米),SBMC=200 平方米.则还需要资金 20010=2000(元).答案 D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 已知直角三角形斜边上的高把斜边分成 32 两段,且斜边上的高为 2 6 cm,则斜边长为 .解析设斜边长为 5acm,则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为 3acm,2acm,则由射影
9、定理得 3a2a=(2 6)2,解得a=2,则斜边长为 5a=52=10(cm).答案 10 cm 12 如图,已知ABCD,=23,且CB=7,则OC=.解析ABCD,=23.各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 又CB=OB+OC=7,7-=23,解得OC=215.答案215 13 如图,已知在ABD中,C为AD上一点,且C
10、BD=A,BD=3,AD=4,AB=2,则BC=.解析CBD=A,D=D,DBCDAB,=.BC=3 24=32.答案32 14 如图,已知点D为ABC中AC边的中点,AEBC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F,若=3,BC=8,则AE的长为 .解析D为AC边的中点,AEBF,AEDCFD.AE=CF.AE BF=AG BG=13,AE(8+AE)=13,AE=4.答案 4 15 如图,已知B=D,AEBC,ACD=90,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=.各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角
11、边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 解析B=D,AEB=ACD=90,AEBACD.=,BE=DC=612122-42=4 2.答案 4 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8 分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,CE=CF,EMAF,CNAF,求证:MN=NB.证明如图,延长AC到D,使CD=CF,连接DB.在 RtACF与 RtBCD中,CD=CF,AC=BC,RtACF
12、RtBCD.CAF=CBD.ACB=90,CNAF,NCF=CAF=CBD.DBCN.EMAF,CNAF,EMCN.EMCNDB.又CD=CF=CE,MN=NB.各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 17(8 分)如图,AD平分BAC,DEAC,EFBC,AB=15 cm,AF=4 cm,求BE和DE的长.解DEAC,3=2.又
13、AD平分BAC,1=2.1=3,即AE=ED.DEAC,EFBC,四边形EDCF是平行四边形.ED=FC,AE=ED=FC.设AE=DE=FC=xcm.由EFBC,得=,即15-=4,解之得x=6 或x=-10(舍去).所以DE=6cm,BE=15-6=9(cm).18(9 分)如图,在ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于点F.(1)求的值;(2)若BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1S2的值.分析(1)由于D和E都是中点,联想三角形的中位线,取AF的中点,利用三角形中位线的性质来解;(2)先求出,再转化为求-即可.各有一个角是的两个等腰三角形两条边
14、之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 解(1)如图,取AF的中点G,连接DG,则DGFC,且DG=12FC.E是BD的中点,BE=DE.又EBF=EDG,BEF=DEG,BEFDEG,则BF=DG.BF FC=DG FC.又DG FC=12,则BF FC=12;即=12.(2)由(1)知=12,则=13,设BEF的边BF上的高为h1,BDC的边BC上的高为h2,
15、则12=12,所以=121122=12=1312=16,即SBDC=6SBEF,故12=-=6-=15,即S1S2=15.19(10 分)如图,点E是四边形ABCD的对角线上一点,且BAC=BDC=DAE.(1)求证:BEAD=CDAE;(2)根据图形的特点,猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)?并证明你的猜想.(1)证明BAC=DAE,BAE=DAC.DAE=BDC,AEB=ADC.ABEACD.各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边
16、在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于=,即BEAD=CDAE.(2)解=().证明:ABEACD,=.又BAC=EAD,BACEAD.=().20(10 分)如图,某市经济开发区建有B,C,D三个食品加工厂,这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且AB=CD=900 米,AD=BC=1 700 米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,B,C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处,EC=500 米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建,每米造价 800 元
17、.(1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计?并在图中画出该路线;(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元?分析(1)转化为解决直线外一点与该直线的距离问题;(2)利用三角形相似,求出各自的最小距离.解(1)如图,过点B,C,D分别作AN的垂线BH,CF,DG,垂足分别为H,F,G,BH,CF,DG即为所求的造价最低的管道路线.(2)在 RtABE中,AB=900 米,BE=1700-500=1200(米),AE=12002+9002=1500(米),由ABECFE,得到=,即900=5001500,解得CF=300 米.各有一个角是的两个等腰三角形
18、两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于 由BHECFE,得=,即300=1200500,解得BH=720 米.由ABEDGA,得=,即900=15001700,解得DG=1020 米.所以,B,C,D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800=576000(元),300800=240000(元),1020800=816000(元).各有一个角是的两个等腰三角形两条边之比都是的两个直角三角形各有一个角是的两个等腰三角形解析中两个等腰三为不能确定两边都为直角边还是一条直角边与一条斜边故不一定相似正确答案如果两条直角边在斜边上的射影分别是在中分别交于两点若则解析设到的距离为则又又答案如图已知在中点在上点在的延长线上交于则等于解析过点作交于