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1、 第一章检测(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆内接四边形的 4 个角中,如果没有直角,那么一定有()A.2 个锐角和 2 个钝角 B.1 个锐角和 3 个钝角 C.1 个钝角和 3 个锐角 D.都是锐角或都是钝角 解析:由于圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的 4 个角中若没有直角,则必有 2 个锐角和2 个钝角.答案:A 2.如图,A,B 是 O上的两点,AC是 O的切线,B=65,则 BAC 等于()A.25 B.35 C.50 D.65 解析:在 OAB 中,O
2、A=OB,O=180-2 B=50.BAC=12 O=25.答案:A 3.如图,已知圆心角 AOB 的度数为 100,则圆周角 ACB 的度数是()A.80 B.100 C.120 D.130 解析:AOB=100,的度数为 100.ACB=360-1002=130.答案:D 4.如图,A,B,C,D把 OE五等分,且 AA BB CC DD EE,如果 OE=20 cm,那么 BD 等于()A.12 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm 解析:A,B,C,D把 OE五等分,AA BB CC DD,OA=AB=BC=CD=DE.又 OE=20,OA=AB=BC=CD=DE=4.BD
3、=BC+CD=8(cm).答案:D 5.若两条直角边在斜边上的射影分别是 4 和 16,则此直角三角形的面积是()A.80 B.70 C.64 D.32 解析:由题意知,直角三角形的斜边长为 4+16=20,斜边上的高为 4 16=8,则此直角三角形的面积为12 8 20=80.答案:A 6.如图,圆 O的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆 O的切线 l,过点 A作 l 的垂线 AD,垂足为点 D,则 DAC 等于()A.15 B.30 C.45 D.60 解析:AB是直径,AC CB.cos B=12.B=60.由弦切角定理,得 DCA=B=60,都是钝角解析由于圆内接
4、四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形 又 AD l,故 DAC=30.答案:B 7.如图,点 D,E 在以 AB为直径的半圆 O上,点 F,C在 AB上,四边形 CDEF 为正方形,若正方形的边长为 1,AC=a,BC=b,则 a-b=()A.5 B.5 C.2 D.1 解析:OF=OC=12,圆的半径为+2,而 AC=OA+OC,即 a=+2+
5、12,整理得 a-b=1.答案:D 8.某铁道口的栏杆短臂长为 1 m,长臂长为 16 m,当短臂端点下降 0.5 m时,长臂端点升高()A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 解析:本题是一个实际问题,可抽象为相似三角形问题.由题意可知相似比为 1 16,利用相似三角形中对应高的比等于相似比可知答案为 C.答案:C 9.如图,在梯形 ABCD 中,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,AD BC,若 EF BC,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF的长为()A.457 B.335 C.395 D.152 解析:过点 A作 AG DC,交 EF于
6、点 H,交 BC于点 G.都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形 设 AE=x,DF=y,由 AB=BG=6,可得 AE=EH=x.由题意,知 x 6=y 4,所以 2x=3y.又梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,所以 3+x+3+x+y=6-x+9+4-y+3+x,即 x+y=8.由,解得 x=245,所以 EF
7、=245+3=395.答案:C 10.某社区计划在一块上、下底边长分别是 10 m,20 m 的梯形空地上种植花木(如图),他们想在 AMD 和 BMC 地带种植单价为 100 元/m2的太阳花,当 AMD 地带种满花后,已经花了 5 000元,请你预算一下,若继续在 BMC 地带种植同样的太阳花,还需资金()元.A.5 000 B.15 000 C.18 000 D.20 000 解析:在梯形 ABCD 中,AD BC,AMD CMB.又 AD=10m,BC=20m,=(1020)2=14.S AMD=5000 100=50(m2),S BMC=200m2.故还需要资金 200 100=20
8、000(元).答案:D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.如图,CD是 O的直径,BE切 O于点 B,DC的延长线交 BE于点 A,A=20,则DBE=.都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形 解析:OB AB,在 Rt OBA 中,A=20,AOB=70,BOD=18
9、0-AOB=110.又 DBE=12 BOD,DBE=55.答案:55 12.如图,AB,CD是半径为 a 的圆 O的两条弦,它们相交于 AB的中点 P,CP=98a,AOP=60,则PD=.解析:因为 P 是 AB的中点,所以 OP AB.又 AOP=60,OA=a,所以 AP=32a.所以 BP=AP=32a.又 AP PB=CP PD,所以 32a 32a=98aPD,解得 PD=23a.答案:23a 13.如图,在 ABD 中,C为 AD 上一点,且 CBD=A,BD=3,AD=4,AB=2,则 BC=.解析:CBD=A,D=D,DBC DAB.=.都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互
10、补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形 BC=3 24=32.答案:32 14.如图,已知点 D为 ABC 的边 AC的中点,AE BC,ED交 AB于点 G,交 BC的延长线于点 F,若=3,BC=8,则 AE的长为.解析:D为 AC边的中点,AE BF,AED CFD.AE=CF.AE BF=AG BG=1 3,AE(8+AE)=1 3.AE=4.答案:4
11、15.如图,BC是半径为 2 的圆 O的直径,点 P 在 BC的延长线上,PA是圆 O的切线,点 A在直径 BC上的射影是 OC的中点,则 ABP=,PB PC=.解析:如图,设 OC的中点为 E,连接 AC,则有 BAC=OAP=90.在 Rt ABC 中,AE BC,BE=BO+OE=BO+12OC=3,EC=12OC=1,所以 AE2=BE EC=3 1=3,即 AE=3.在 Rt ABE 中,tan ABE=33.所以 ABP=ABE=30,都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边
12、在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形 则 AOP=2 ABE=60.在 Rt OAP 中,OA=2,AOP=60,则 PA=OA tan AOP=2tan60=2 3,又易知 PAC PBA,故 PB PC=PA2=(2 3)2=12.答案:30 12 三、解答题(本大题共 3 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(15 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB DC,AD=BC,以 AD 为直径的 O交 AB 于点 E,O的切线 EF交
13、BC于点 F,求证:EF BC.证明 AD 是直径,AED=90.DEF+BEF=90.EF切 O于点 E,DE是弦,DEF=A.A+BEF=90.AD=BC,AB DC,B=A.B+BEF=90.BFE=90.EF BC.17.(15 分)如图,在 ABC 中,D是 AC的中点,E是 BD的中点,AE的延长线交 BC于点 F.(1)求的值;(2)若 BEF 的面积为 S1,四边形 CDEF 的面积为 S2,求 S1 S2的值.分析(1)由于 D和 E都是中点,联想三角形的中位线,取 AF的中点,利用三角形中位线的性质来解;都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则
14、必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形(2)先求出,再转化为求-即可.解:(1)如图,取 AF的中点 G,连接 DG,则 DG FC,且 DG=12FC.E 是 BD的中点,BE=DE.又 EBF=EDG,BEF=DEG,BEF DEG,则 BF=DG.BF FC=DG FC.又 DG FC=1 2,则 BF FC=1 2,即=12.(2)由(1)知=12,则=13,设 BEF 的边 BF上的高
15、为 h1,BDC 的边 BC上的高为 h2,则12=12,所以=12 112 2=12=1312=16,即 S BDC=6S BEF,故12=-=6-=15,即 S1 S2=1 5.18.(15 分)如图,P 是 O外一点,PA是切线,A为切点,割线 PBC 与 O相交于点 B,C,PC=2PA,D为 PC的中点,AD 的延长线交 O于点 E.证明:(1)BE=EC;都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析
16、是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形(2)AD DE=2PB2.分析(1)欲证 BE=EC,由于在圆 O中,可证=,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证 DAC=BAD,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现 AD DE,而 D是 AE 与 BC两弦的交点,联想到相交弦定理可得 AD DE=BD DC.从而使问题转化为证明 2PB2=BD DC,而 P,B,D,C在一条直线上,且 D又是 PC的中点,而 PA=PD,PA是切线,又联想到切割线定理得 PA2=PB P
17、C,充分利用关系转化可得答案.解:(1)连接 AB,AC,如图.由题设知 PA=PD,故 PAD=PDA.因为 PDA=DAC+DCA,PAD=BAD+PAB,DCA=PAB,所以 DAC=BAD,从而=.因此 BE=EC.(2)由切割线定理得 PA2=PB PC.因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得 AD DE=BD DC,所以 AD DE=2PB2.都是钝角解析由于圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的个角中若没有直角则必有个锐角和个钝角答案如图是上的 如果那么等于解析把五等分又答案若两条直角边在斜边上的射影分别是和则此直角三角形的面积是解析由题意知直角 垂线垂足为点则等于解析是直径由弦切角定理得又故答案如图点在以为直径的半圆上点在上四边形为正方形若正方形