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1、小升初六年级奥数十四、穷举法与树形图（一）母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一个共有个合计个分别与的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是答案1.15.取一枚的,有 4 种方法;取二枚的,有 6 种方法;取三枚的有 4 种方法;取四枚的,有 1 种方法.每种取法币值都不同,故共有 4+6+4+1=15(种)不同币值.2.10.放一本,有 4 种不同放法,放 2 本,有 6 种不同放法.共
2、有 4+6=10(种)不同放法.3.10.最简分数的分母比分子大,分母为 31 的,有 4 种最简分数;分母为 29 的,有 3个最简分数,分母为 17 的,有 2 个最简分数;分母为 13 的,有 1 个最简分数,故一共有 4+3+2+1=10 个最简分数.4.6,10.三角形有 6 个:ABC、ACD、ADE、ABD、ACE、ABE.线段有 10条:BC、CD、DE、BD、CE、BE、AB、AC、AD、AE.5.30条.在每一条长线段上有4 个点,它们可以连成 6 条线段,五条长线段共可连成65=30 条线段.6.18.以 BD、DE、EC、BE、DC、BC 为底的梯形各有2 个,共 12
3、 个;以DB、ED、CE、EB、CD、CB为底的梯形各有一个,共有 6 个,合计 18 个.7.16.9 分别与 2、3、4、5、6、7、8 的和大于 10;8分别与 3、4、5、6、7 的和大于 10;7 分别与 4、5、6 的和大于 10;6 与 5 的和大于 10.所以共有 7+5+3+1=16种不同取法.8.20.先考虑甲胜第一局的情况,列树形图如下:1 2 3 4 5 CBA E D C B ED甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙甲乙甲甲乙甲乙母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一个共有个合计个分别与
4、的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是一共有 10 种情况,同理,乙胜第一局也有10 种情况,合计有 20 种情况.9.6.列树形图如下,共有 6 种路线.10.2种.设三人为 A、B、C,他们的帽子为 a,b,c,则有如下二种换法:A B C b c a c a b 11.因为 0 和 9 是 3 的倍数,而 1,4,7三数被 3 除都余 1.故满足条件的四位数中应含有 1,4,7三个数字,第四个数是0 或 9.将它由小到大排列是1047,1074,1407,第三个是 1407.
5、12.将五个靶子标上字母如图:若第一次击碎A,第二次击碎B,有如下 3 种次序:同理,第二次击碎C 也有 3 种次序,故第一次击中A 有 6 种次序.若第一次击碎B,第二次击碎A,有如下 3 种次序:若第一次击碎B,第二次击碎D,有如下 3 种次序:A C A B A A C B A B A B C A C A B A C A E C D B C D E C B A E D E D C D E C A B D E D E A C E C D B E C E A 母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一
6、个共有个合计个分别与的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是若第一次击碎 B,第二次击碎 C,则有 6 种次序.故第一次击碎 B,共有 3+3+6=12(种)次序.同理,第一次击碎 C 也有 12 种次序,于是总共有 6+12+12=30(种)不同次序.13.以长方形的长为底的三角形有24=8 个,以长方形的宽为底的三角形有2个,共有 8+2=10 个.14.除原题中的四种外,还有如右图所示三种.十六加法原理(2)年级班姓名得分一、填空题1.从 1 写到 100,一共用了个“5”这个
7、数字.2.从 19,20,21,，92,93,94这 76 个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是 .3.用一个 5 分币、四个 2 分币，八个 1分币买一张蛇年 8 分邮票，共有种付币方式.4.用 0,1,2,3这四个数字,可以组成一位数,两位数,三位数,四位数,这样的很多自然数(在一个数里,每个数字只用 1 次),其中是 3 的倍数的自然数共有个.5.在所有四位数中,各位上的数之和等于34 的数有种.6.从数字 0、1、2、3、4、5 中任意挑选出五个数字组成能被5 整除而各个数位上数字不同的五位数，共有个.7.至少有一个数字是1,并且能被 4 整除的四位数共有个.8.在 1,
8、2,3,4,50 这 50 个数中取出不同的两个数,要使取出的两个数相加的结果是 3 的倍数,有种不同的取法.9.小明全家五口人到郊外春游,由其中一人轮换给其他人拍照.如果单人照各一张,每两个人合影各一张,第三个人合影各一张,每四个人合影各一张,用 36张的彩色胶卷拍照最后还剩张.10.光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会,共演出 14 个节目.如果每个班至少演出3 个节目,那么,这三个班演出节目数的不同情况共有种.二、填空题11.14名乒乓球运动员进行男子单打比赛,先是进行淘汰赛,获胜的运动员进行循环赛,每两人都要赛一场,决出冠、亚军.整个比赛(包括淘汰赛和循环赛)共要进行多少场
9、?12.用 1 9 9 5 四个数字卡片,可以组成多少个不同的四位数?(其中 9 可以母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一个共有个合计个分别与的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是倒过来当 6 用).13.数 1447、1005、1231 有一些共同特征,每个数都是以1 开头的四位数,且每个数中恰好有两个数字相同,这样的数共有多少个?14.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角 A 处
10、走到对角线 DB 处,共有多少种不同的走法?答案 1.20 在十 位上,5出 现了 10 次;在 个 位 上,5也出 现了 10 次,共 出 现 了10+10=20(次).2.1236 在这 76 个自然数中,奇数和偶数各有38 个.选出两数都是奇数的方法有23738种,选 出 的 两 数 都 是 偶 数 的 方 法 也 有23738种,共 有23738+23738=38 37=1236(种).3.7种只用一种币值的方法有2 种(都用 1 分或都用 2 分);只用 1 分和 2 分两种币值的方法有 3 种;只用 1 分和 5 分两种币值方法有1 种;三种币值都用上的有1种.共有 2+3+1+1
11、=7(种).4.33 在一位数中,有两个 3 的倍数:0 和 3;在二位数中,数字和是 3 的倍数的有 3个:12、21 和 30;在三位数中,三个数字可以是0,1,2或 1,2,3,前者可组成 4 个三 位 数,后 者 可 组 成 6 个 三 位 数.共 可 组 成 10 个 三 位 数;四 位 数 中 有3(32 1)=18(个)三的倍数.故一共有 2+3+10+18=33(个)3 的倍数.5.10 当四位数码为 9,9,8,8时,有 3 2=6(种),当四位数码为 7,9,9,9时,有 4(种),故共有 6+4=10(种).6.216 若五位数末位为0,共有5 4 3 2=120(个);
12、若五位数的末位为5,共有4 4 3 2=96(个).故一共有 120+96=216(个).7.594 后两位数是 4 的倍数时,其中含有 1 的只有 12 和 16,此时前两位数有90 种可能,共有 2 90=180(个).后两位数是 4 的倍数且不含有 1 的,有 23 种可能,前两位含 1 的有 18 种,共有 23 8=414(个).所以一共有 180+414=549(个).A B C D 母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一个共有个合计个分别与的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于
13、所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是8.409 在 150 这五十个自然数中,被 3 整除的数有 16 个,被 3 除余 1 的和被 3 除余2 的数各有 17 个.当两个加数均为 3 的倍数时,有12021516(种)取法;当两个加数中一个被3 除余 1,另一个被 3 除余 2 时,有 17 17=289(种)取法,共有 120+289=409(种)不同取法.9.6 单人照有 5 张;两人合影有101245(张),三人合影有10321345(张),四人照有 5 张.故还剩下 36-(5+10+10+5)=6(张).10.2
14、1 将 14 分成三个数之和,共有 5 组:(3、3、8),(4、4、6),(4、4、5),(3、4、7),(3、5、6).其中前 3 组,每组的三个数有 3 种排列方法;后 2 组,每组的三个数有 6 种排列方法.共有不同的排列方法3 3+6 2=21(种).每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况,故一共有 21 种不同情况.11.解答:在淘汰赛时,14 名运动员比赛 7 场后就有 7 人被淘汰,另 7 人进入循环赛.在 7 人进行的循环赛中要比赛7 6 2=21(场).所以整个比赛一共进行7+21=28(场).12.(1)当两张 9 都作 9 用时,可以分成三种类型:首位为 1 的,有
15、 3 个;首位为 5 的,有 3 个;首位为 9 的,有 3 2 1=6(个).共计 3+3+6=12(个).(2)当两张 9 都作 6 用时,同理也有 12 个.(3)当两张 9 一个作 9 用,一个作 6 用时,有 4 3 2 1=24(个)所以,可以组成 12+12+24=48(个)不同的四位数.13.这样的数可以分成两大类:第一类,相同的数字是1,在后三位中,数字1 可以有三种位置,另外两个是不同数字,这类数有 3 9 8=216(个).第二类相同的数字不是1,此时相同的数字有 9 种情况,剩下的数有 8 种情况,注意到剩下的数有 3 种位置,故这类数有 3 9 8=216(个)根据加
16、法原理,这样的数共有 216+216=432(个).14.用标数法计算对对角线 BD 上的每一个交叉点的走法总数,如图依次是1,8,28,56,70,56,28,8,1.由加法原理知,一共有 1+8+28+56+70+56+28+8+1=256(种)不同的走法.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 6 10 15 21 28 10 20 35 56 15 35 70 21 56 28 A B C D 母比分子大分母为的有种最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数分母为的有个最简分数故一共有个最梯形各有个共个以为底的梯形各有一个共有个合计个分别与的和大于分别与的和大于分别与的和大于与的和大于所以理乙胜第一局也有种情况合计有种情况列树形图如下共有种路线种设三人为他们的帽子为则有如下二种换法因为和是