简单数列小攻略(草稿VI).pdf

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1、简单数列小攻略林间花编2021.08.26i0放在前面ii0放在前面这是一个面对高中水平的小攻略，意在告诉大家如何初步地鉴别网络上流传的数列题难易程度，本文以介绍概念，常见题型，课后习题循序渐进的方式进行编写，不能保证详略得当、完美无瑕，其中出现的错误还望读者指出。本文完成后将于 微信公众号:CLARSZIND 工作室 发布,请大家多多关注。ii文章导航文章导航iii文章导航0放在前面ii1准备工作11.1什么是差分方程.11.2习题.32常系数线性齐次差分方程42.1什么是常系数线性齐次差分方程.42.2对一般的常系数线性齐次差分方程的求解.42.3特征根为复数的情形.52.4带有重根的情形

2、.62.5习题.73非齐次方程83.1常见的非齐次方程.83.2特解+通解方法.83.3差分方法.93.4习题.114非线性与非常系数方程124.1前置内容.124.2xn=f(n)xn1+g(n)型.124.3an+1=f(an)型.144.4习题.175差分方程组195.1什么是差分方程组.195.2常见的差分方程组.195.3习题.226求和求积236.1常见的求和求积.236.2习题.277零散的差分方程287.1an+1=aa2n+ban+c(a=0)类型.287.2根式递推类型.307.3三角换元类型.317.4习题.32iii文章导航文章导航iv8常见差分方程的高考方法338.1

3、差分方程的初等通法.338.2习题.339差分方程与幂级数349.1什么是幂级数.349.2利用幂级数解差分方程.349.3习题.3410 差分方程的其他运用3510.1 近似计算.3510.2 概率计算.3510.3 极限运算.3510.4 与数论的联系.3510.5 习题.35iv1准备工作11准备工作1.1什么是差分方程我们先了解一些有关数列的定义定义 1.1一般地,设 an 是一个数列(或者说是一个整变量函数),我们把关系式an=F(an1,an2,ank,n)叫做一个差分方程,其中 F 是一个 k 元函数(k 是一个固定的正整数).也因此我们从数列的角度看,差分方程也就是数列的递推关

4、系式.另外我们也把上式的差分方程叫做k 阶的,即这个是k 阶差分方程.命题 1.1说出下列差分方程是几阶的an+1=an+1anan=2an1+nan3第一个数列是一阶的,第二个是三阶的.定义 1.2我们把差分方程an=c1an1+c2an2+ckank+c叫做线性差分方程,其中 c1,c2,ck,c 都是 n 的已知函数,当 c=0 时,又叫做线性齐次差分方程.如果 c1,c2,ck,都是常数则又叫做常系数线性差分方程.我们都知道著名的斐波那契数列Fn+1=Fn+Fn1F1=F2=1它的通项公式是Fn=15 1+52!n+1 1 52!n+1如果我们稍作更改,把前两项变成F1=F2=2那么通

5、项公式就会变成Fn=25 1+52!n+1 1 52!n+111.1什么是差分方程1准备工作2可以见得 F1,F2的值对这个差分方程的解有着重要影响，我们把这些项的值称为方程的初始条件.那么我们不难理解在合理的初始条件下,我们能够根据差分方程计算出这个数列的每一项,也就是说这个数列的每一项都唯一确定了,进而我们说这个数列唯一确定.那么就会有如下一个很重要的定理:定理 1.1:数列唯一确定定理若有两个整变量函数都满足差分方程an=F(an1,an2,ank,n)以及初始条件a1=F(1),a2=F(2),ak=F(k)则这两个函数相等下面来道例题命题 1.2证明 an=(1)n(n1)2是差分方

6、程 an=an4在初始条件 a1=1,a2=1,a3=1,a4=1 下的解.不难验证 an=(1)n(n1)2满足初始条件的四个等式.另外有an4=(1)(n4)(n41)2=(1)n(n1)2(1)2(2n5)=(1)n(n1)2=an这表明 an=(1)n(n1)2也满足方程 an=an4.因此 an=(1)n(n1)2是是差分方程 an=an4在初始条件a1=1,a2=1,a3=1,a4=1 下的解.另外,在后面我们会知道 an=cosn2+sinn2=2cos?n214?,根据上面数列唯一确定定理,我们还可以得到(1)n(n1)2=cosn2+sinn2=2cos?n214?也就是说,

7、一个确定的数列,它的函数关系式是唯一的,只存在形式上的差别.另外我们反过来思考还能得到唯一性与之对应的存在性定理 1.2:数列存在定理若差分方程an=F(an1,an2,ank,n)右边的函数 F 对所有变量的所有可能取值都有定义,那么对任意的初始条件a1=F(1),a2=F(2),ak=F(k)都会存在一个 an满足这个差分方程和初始条件.我们把这两个定理合成为常差分方程解的存在唯一性.另外我们还把差分方程的解进行一些分类21.2习题1准备工作3定义 1.3如果差分方程在没有给出初始条件的情况下,就能够写出解的所有形式,只不过这种解会带有若干个待定的常数,而这些常数能够根据给出的初始条件所确

8、定的,那么我们把这样的解叫做差分方程的通解.与之相对的,如果要在给出初始条件的情况下才能够完全确定的解则叫做特解.1.2习题习题 1.1请说出下列差分方程都是几阶的1.an=an1+2an+12.an=pan1+43.an=ank+ank+1(k是正整数)4.an+1=a2n+2an+15.an+1=nan+(n 1)an1习题 1.2请说出第 1 题中的方程都具有以下的哪些性质:1.线性齐次2.常系数线性差分方程3.常系数线性齐次差分方程4.非线性的习题 1.3试判断以下哪些方程的解具有唯一性1.an+1=an+1an 3n,a1=22.an+3=an+1,a1=13.等比数列 an 中,a

9、1=1,a3=44.等比数列 an 中,a2=3,a5=8132常系数线性齐次差分方程42常系数线性齐次差分方程2.1什么是常系数线性齐次差分方程根据上一节的描述,我们总是可以把一个 k 阶常系数线性齐次差分方程写成如下形式an+p1an1+p2an2+pkank=0这里,p1,p2,pk都是常数且 pk=0我们根据这个引出关于常系数线性齐次差分方程的一些定义定义 2.1在一个常系数线性齐次差分方程中,我们令 an=xn并两边消去 xnk得到这么一个式子xk+p1xk1+pk=0我们把这个式子的左边xk+p1xk1+pk叫做这个方程的特征多项式,并且把这个特征多项式的根叫做这个方程的特征根.我

10、们不加推理(因为要用到线性代数相关的内容)地给出一般性的结论定理 2.1:简单的小定理差分方程xk+p1xk1+p2xk2+pk=0pk=0(1)在任意给定的初始条件a1=f(1),a2=f(2),ak=f(k)下,都有形如an=f(n)=Xojki1cijnjni(2)其中 1,2,r是所有互不相同的特征根,i的重数是 ki,cij是由初始条件确定的常数(i=1,2,r;j=0,1,ki 1).反之,形如(2)式右端的函数 f(n)一定满足一个形如(1)式的方程.注释 2.1：习惯二重求和符的,也能将式(2)记为f(n)=rXi=1 niki1Xj=0cijnj!.2.2对一般的常系数线性齐

11、次差分方程的求解我们或许对定理内的公式不敏感,不过没有关系,我们可以通过下面几题体会一下比较套路的解法.42.3特征根为复数的情形2常系数线性齐次差分方程5命题 2.1已知差分方程an=3an1+4an21.写出方程的特征多项式和特征根2.写出方程的通解3.写出满足初始条件 a1=0,a2=2 的特解.解:1.由题不难得出 an3an14an2=0,其特征多项式为 x23x4=(x4)(x+1),其特征根为 4 和 1.2.方程的通解为an=c14n+c2(1)n(c1,c2是两个常数)3.要求满足初始条件 a1=0,a2=2 的特解,可以通过一个二元一次方程组来确定4c1 c2=a1=0,1

12、6c1+c2=a2=2.解得c1=110,c2=25.故an=110 4n+25(1)n2.3特征根为复数的情形命题 2.2求解差分方程an+an3=0,a1=1,a2=2,a3=0解:我们不难写出方程的特征多项式 x3+1,求出特征根为 1,1 3i2=cos3 isin3.设an=c1(1)n+c2 1+3i2!2+c3 1 3i2!n=c1(1)n+c2?cos3+isin3?n+c3?cos3 isin3?n根据棣莫弗定理以及诱导公式,得到an=c1(1)n+c2?cosn3+isinn3?+c3?cosn3 isinn3?=c1(1)n+(c2+c3)cosn3+i(c2 c3)si

13、nn3.52.4带有重根的情形2常系数线性齐次差分方程6根据初始条件可以列出一个三元一次方程组c1+12(c2+c3)+32i(c2 c3)=1,c112(c2+c3)+32i(c2 c3)=2,c1+c2+c3=0,解得:c1=1,c2+c3=1,c2 c3=13i.故an=(1)n+1+cosn313sinn3.2.4带有重根的情形命题 2.3求解差分方程an+2an1 2an3 an4=0,a0=a1=0,a2=6,a3=10解:我们依旧写出这个方程的特征多项式 x4+2x3 2x 1=(x+1)3(x 1),不难知道这个特征多项式有三重根1 和单根 1.那么我们根据简单的小定理可以设a

14、n=1n c0+(1)n(c1+c2n+c3n2)再根据初始条件列出一个四元一次方程组c0+c1=0,c0 c1 c2 c2=0,c0+c1+2c2+4c3=6,c0 c1 3c2 9c3=10.不难解出c0=1,c1=1,c2=1,c+3=1.62.5习题2常系数线性齐次差分方程7故an=(1)n(n2+n 1)+1.在看完三道例题后,如果你对求和符号比较熟悉的话,不妨再回去看看简单的小定理,并思考下得到了什么新的感悟.2.5习题习题 2.1根据下列差分方程写出它们的特征多项式,特征根,并求出方程的解1.an+2=an+1+6an,a0=0,a1=1.2.an+1=2an 2an1,a0=1

15、,a1=2.3.an=2an2 an4,a1=a2=1,a3=a4=2习题 2.2(广东省 2008 年高考题)设 p,q 为实数,是方程 x2 px+q=0 的两个实数根,xn 满足x1=p,x2=p2 q,xn=pxn1 qxn2(n=3,4,)1.求数列 xn 的通项公式.2.设 p=1,q=14,求 xn 的前 n 项和 Sn.习题 2.3已知 an 满足特征多项式为 f(x)的常系数线性齐次差分方程.1.证明:an也满足以(x )f(x)(为非零常数)为特征多项式的常系数线性齐次差分方程;2.若 g(x)为多项式,且 g(0)=0,那么 an是否满足以 g(x)f(x)为特征多项式的

16、常系数线性齐次差分方程?若满足请证明之,若不满足请说明理由.73非齐次方程83非齐次方程3.1常见的非齐次方程根据第一节的描述,我们总是可以把一个 k 阶常系数线性齐次差分方程写成如下形式an+p1an1+p2an2+pkank=0(1)这里,p1,p2,pk都是常数且 pk=0我们根据这个引出关于非齐次差分方程的一些定义定义 3.1我们总可以把任意一个 k 阶常系数线性非齐次差分方程表示成an+p1an1+p2an2+pkank=G(n)(2)其中,p1,p2,pk是常数,pk=0,G(n)是 n 的一个不恒等于零的已知函数.同时我们把式(1)称作式(2)所对应的齐次方程.3.2特解+通解方

17、法我们给出一个用于求解非齐次差分方程的小定理定理 3.1:简单的小定理 2若 g0(n)是差分方程(2)的一个特解.那么对方程(2)的任何一个解 g(n),f(n)=g(n)g0(n)都是它所对应的齐次方程的解;反之,若 f(n)是方程(2)的齐次方程的解,则g(n)=f(n)+g0(n)也就是方程(2)的解.如果给定方程(2)的初始条件 a1,a2,ak的值,只要方程对应的齐次方程的解 f(n)满足 f(1)=a1 g0(1),f(2)=a2 g0(2),f(k)=ak g0(k),则 g(n)=f(n)+g0(n)就是方程(2)在给定初始条件 a1,a2,ak值下的解.证明留作习题.简单的

18、小定理 2给出了一个解常系数线性非齐次差分方程的方法.下面来一道例题辅以了解.命题 3.1求如下差分方程的解an 3an1+an2=(n 1)!(n 1)2,a1=5,a2=13解:首先寻找这个差分方程的特解.我们忽略初始条件,不难发现 an=(n+1)!是方程的一个解,这是因为83.3差分方法3非齐次方程9an 3an1+an2=(n+1)!3 n!+(n 1)!=(n+1)n 3n+1(n 1)!=(n 1)2(n 1)!故 an=(n+1)!是方程的一个特解.然后根据简单的小定理 2,我们只需要求出原方程所对应的齐次方程an 3an1+an2=0在初始条件a1=5 (1+1)!=3a2=

19、13 (2+1)!=7的解,即可.我们根据第二节的知识不难求出该齐次方程的解为 3+52!n+3 52!n因此原方程的解为an=(n+1)+3+52!n+3 52!n.注释 3.1：通过上题我们知道,如果要求方程的解首先要求特解,然而实际上求特解并没有什么特定的方法,只能靠经验积累才能够”不难发现”.3.3差分方法我们通过上一题知道没有一般的方法求出特解,但对于一些比较特殊的非齐次方程我们可以转化为齐次方程求解,而齐次方程是我们已经学过的内容,从而对方程的求解更近了一步,在此之前我们先引入一个定义.定义 3.2设 f(n)是一个整变量函数,称 f(n+1)f(n)为 f(n)的(一阶)差分,并

20、记作 f(n)同时我们还规定f(n)=f(n+1)f(n)=f(n+2)2f(n+1)+f(n)为 f(n)的二阶差分并记为 2f(n),类似的我们定义 3f(n),4f(n),.下面我们来一道例题感受一下差分法是如何转化为齐次方程的.命题 3.2:有内涵的一题解差分方程xn=2xn1+3xn2+4n 16,x0=4,x1=393.3差分方法3非齐次方程10解:xn+1 xn=2xn+3xn1 2xn1 3xn2+4(n+1)16 4n+16即xn+1=3xn+xn1 3xn2+4.又xn+1 xn=3xn+xn1 3xn1(3xn1+xn2 3xn3)即xn+1 4xn+2xn1+4xn2

21、3xn3=0这是一个四阶常系数线性齐次差分方程.它的特征多项式为x4 4x3+2x2+4x 3=(x 1)2(x+1)(x 3)特征根为-1,3,1,1我们由 x0=4,x1=3,根据原方程推算得到 x2=10,x3=25因此我们得到一个初始条件适合的四阶常系数线性齐次差分方程,根据第二节的内容不难解得方程的解xn=3n+(1)n+2 n命题 3.3解差分方程an+1=an 4n 3n+2,a1=2解:对方程两边求一阶差分得到an+2=an 3n(8n+12)此时消除了常数项 2,但如果继续差分就会发现 3n这一项并不能消除,但是我们可以如下处理an+2 3an+1=an 3n(8n+12)3

22、an1+3n8(n 1)+12即an+2=3an+an 3an1 8 3n再重复一遍上述过程即可得到an+2=6an+1 8an 6an1+9an2再将 a1代入原方程逐步求出 a2=12,a3=58,a4=264,求解这个方程是第二节的内容,下面略过过程直接给出答案an=1 74(1)n+3n?34 n?.注释 3.1：通过上面两题,我们不禁发出疑问,是不是所有的方程都能转化为一个齐次方程求解呢?很遗憾,这是办不到的,但式(2)右边的 G(n)如果是多项式函数的话,则总可以用上述的方法转化为齐次方程来求解.103.4习题3非齐次方程113.4习题习题 3.1请证明:简单的小定理 2习题 3.

23、2设 f(n)=2n(n+2).1.计算 f(n)和 2f(n);2.证明:mf(n)=2n(n+2m+2)习题 3.3证明:mf(n)=mXi=0(1)iCimf(n+m 1).习题 3.4设 f(n)=sinnx1.证明:2f(n)=4sin2x2sin(n+1)x;2.求出?2k1f(n)?和?2kf(n)?,并使用数学归纳法证明.习题 3.5求解下列的差分方程:1.an an2=4n2 4,a1=0,a2=1.2.an=12xn1+sinn+cosn,(是常量),x0=0.3.an+1+2an+an1=sinna?a为常量,cosa2=0?,a0=1,a1=12tana2.4.an+1

24、+an=cosna(a为常量,a0=0).习题 3.6在有内涵的一题中求出的四阶齐次方程,与 xn=2xn1+3xn2相比,特征根正好多出一个二重根 1,请说明这是为什么?并对一般情况进行研究.114非线性与非常系数方程124非线性与非常系数方程4.1前置内容我们略去证明,给出两个不难想到的结论.结论 4.1:等效求和结论求和Sn=nXk=1ak=a1+a2+an与解差分方程Sn=Sn1+an,S0=0是等效的.类比求和我们还可以得到结论 4.2:等效求积结论求积Tn=nYk=1ak=a1a2an与解差分方程Tn=anTn1,T0=1是等效的.4.2xn=f(n)xn1+g(n)型xn=f(n

25、)xn1+g(n)型的方程虽然不是我们所熟知的常系数方程,但却应该是我们所熟悉的非常系数方程,因为这在众多非常系数方程中实在是太常见了,我们先来看一道常见的例题体会一下.命题 4.1解下列差分方程xn=?nn 1?2xn1+nn+1,x1=1我们不难想到,将原方程的两边同时除以 n2,得到xnn2=xn1(n 1)2=1n(n+1).再换元,令 yn=xnn2,原方程便成了yn=yn1+1n(n+1),y1=x1=1.124.2xn=f(n)xn1+g(n)型4非线性与非常系数方程13由等效求和结论,可知yn=nXk=21k(k+1)+y1=321n 1.这样,我们由xnn2=321n+1得到

26、xn=32n2n2n+1.看完这道题,你也许会想,这个题只是恰巧容易看出如何换元.但是如果遇到了 f(n)复杂的时候,我们难以观察出如何换元,这个时候又该怎么办呢?下面我们对一般情况进行考察:我们仔细观察这个式子xn=f(n)xn1+g(n)如果我们把 g(n)换成 0,就变成了等效求积结论中的方程形式.如果我们把 f(n)换成 1,就变成了等效求和结论中的方程形式.那么我们不难想到,如果能把解这个方程转化为解这两个方程,那么我们将会如鱼得水,因为这两种形式我们都很熟悉!我们先试着解方程xn=f(n)xn1我们利用等效求积结论解出方程的一个解 Xn,我们就进行换元 xn=Xnyn,于是原方程就

27、变成了Xnyn=f(n)Xn1yn1+g(n)我们又知道 f(n)Xn1=Xn,于是有yn=yn1+g(n)Xn我们可以发现这个就是等效求和结论的形式.我们求出 yn也就能求出 xn了!注释 4.1：值得注意的是,在方程 xn=f(n)xn1中,我们可以随意地设置初始条件(除了 0 以外).但在方程 yn=yn1+g(n)Xn中,初始条件就必须为 y1=x1X1!下面我们运用这种换元的方法尝试做道例题吧!命题 4.2解差分方程xn=n+mnxn1+Amn+m,x0=1解:先解方程an=n+mnan1(a0=x0=1).不难解出 an=Cmn+m,于是我们令 xn=Cmn+myn,即得yn=yn

28、1Amn+mCmn+m=yn1+m!(y0=x0Cmm=1)134.3an+1=f(an)型4非线性与非常系数方程14进一步得到yn=n m!+1故xn=n m!Cmn+m+Cmn+m=nAmn+m+Cmn+m.4.3an+1=f(an)型其实这类方程的一般解法及其简单an=fn(a0)即可.但这类解法往往不能令人满意,因此,我们不妨把目光放在一些特殊的解法上,我们看如下一个例子.命题 4.3解差分方程an+1=7an+3an+5,a0=1.解:我们用换元法来解这个方程.为此,设 x 是一个待定的常数,我们有an+1 x=7an+3an+5 x=(7 x)an+(3 5x)an+5.我们令7

29、x1=3 5xx,可以解出 x=1 或 x=3.我们任取其中一个解,比如取 x=1,则有an+1+1=8(an+1)an+5.再令 an+1=1bn,得到1bn+1=81+4bn,即bn+1=12bn+18,b0=1a0+1=12.不难解出 bn=14+?12?n+2,故an=1bn 1=3 2n 12n+1.可以见得这类差分方程我们是有一般的解法的,因此我们给出定义定义 4.1类似于xn+1=axn+bcxn+d,其中 a,b,c,d 为四个常数,且 c=0,ad=bc.的差分方程我们成为分式线性差分方程.144.3an+1=f(an)型4非线性与非常系数方程15下面我们对这类分式线性差分方

30、程进行求解类似于上一题,我们设 为一个常数,有xn+1 =(a c)xn+(b d)cxn+d.令a c1=b d,即得c2+(d a)b=0.任取方程的一根 1,有xn+1 1=(a c1)(xn 1)cxn+d.最后我们如上题换元即可得出结果.或者我们用如下的方法也能求出设 1,2为方程的两个互不相同的根,则有xn+1 1xn+1 2=(a c1)(xn 1)(a c2)(xn 2)=a c1a c2xn 1xn 2.令xn 1xn 2=yn,即可得到yn+1=a c1a c2yn.故yn=?a c1a c2?n y0即xn 1xn 2=?a c1a c2?nx0 1x0 2.最后使用分比

31、定理,即可解出 xn.命题 4.4已知 a 是一个非零的常数.求差分方程xn+1=x2n+a2xn的通解解:设 是 a 的一个平方根.显然,xn=是方程的一个解.一下设 x0=.我们可以将方程变形为xn+1=x2n+a2xn.由合分比定理,得xn+1+xn+1=x2n+2xn+ax2n 2xn+a=(xn+)2(xn)2=?xn+xn?2.令 yn=xn+xn,则有 yn+1=y2n,于是yn=y2n1=(yn2)2=y2n0,154.3an+1=f(an)型4非线性与非常系数方程16即yn=?x0+x0?2n.另一方面,对 yn=xn+xn 使用合分比定理,有yn+1yn 1=xn,所以xn

32、=?x0+x0?2n+1?x0+x0?2n 1=(x0+)2n+(x0)2n(x0+)2n(x0)2n.因此通解为xn=(x0+)2n+(x0)2n(x0+)2n(x0)2n.注释 4.1：不要忘记了 xn=也是上述解的特殊形式.命题 4.5解差分方程an+1=2+an,a1=2.解:用数学归纳法不难证明,1 an 2 对 n=1,2,均成立.于是可以设 an=cosn?0 n2?,原方程转化为2cosnn+1=p2+2cosn=r4cos2n2=2cosn2.由于余弦函数在区间?0,2?上是一一对应的函数,所以应有 n+1=n2.而 a1=cos1=2,则 1=4,因此 n=2n+1,即 a

33、n=2cos2n+1.注释 4.2：上一题从另一个角度也说明了r2+q2+2|zn重根号=2cos2n+1.也就是说如果我们遇到连根式,可以尝试构造数列并且往三角函数这个方向去思考.命题 4.6解差分方程an=a2n1 2,a0=4.解:令 an=xn+1xn,则原方程化为xn+1xn=x2n1+1x2n1.164.4习题4非线性与非常系数方程17为了从中求出 xn与 xn1的关系,我们可以研究 x+1x=a 的根.不难发现这个方程的两个根为x1,2=a a2 42观察可知这两个根互为倒数.因此方程又可以表示成xn=x2n1+1x2n1?x2n11x2n1?2.即xn=x2n1或xn=1x2n

34、1.实际上我们无论取哪一个根都可以求出方程的解.比如我们取 xn=x2n1,类似前两题我们可以得到 x0=x2n0.再由x0=1x0=a0=4,解得 x0=2 3,由于这两根互为倒数,因此在前面我们无论取哪个都可求出这个结果出来.故方程的解为an=(2+3)2n+(2 3)2n.4.4习题习题 4.1解下列差分方程组1.xn=32n1xn1+3(n+1)2,x0=1.2.an=n 1nan1+2n1,a1=2.3.an+1=(cot+cotn)an+sin(n+1),a1=0(为常数,=k2,k 是整数).4.an=(n+m+1)an1+An1n+m1,a0=1.5.an+1=1+an12 a

35、n1,a0=12.6.an+1=3an 4an 7,a1=0.7.an=3a3n1,a0.8.an=2an11 a2n1,a1=3.9.an=q2a2n1+1,a1=0.10.an=a3n1 3an1,a0=6.11.an=2a2n1 1,a0=2.12.an=ran1+12,a0=a(|a|1).13.an=(n 1)(an1+an2),a1=2,a2=3.14.an+2=2na2n+1an,a1=1,a2=1.15.an+1=2an1an1an2an,a1=2,a2=1,a3=2.16.an=?2 2n?an1?1 2n?an2,a1=0,a2=12.174.4习题4非线性与非常系数方程1

36、817.an+1=2an+1,bn=?an+2an 1?,a1=2 求 bn.18.设 d 为实数.对每个非负整数 m,定义一个序列 am(j)(i=0,1,2,),有am(0)=d2m,am(j+1)=am(j)2+2am(j)(j 0)求 an(j).习题 4.2已知数列 an 中,a1=2an+1=(2 1)(an+2)(n=1,2,3,).1.求 an 的通项公式;2.若数列 bn 中,b1=2,bn+1=3bn+42bn+3(n=1,2,3,),证明2 1.故an=2acos?2n1arccos?a2a1+b4?b2a,?a2a1+b4?1,2acosh?2n1cosh1?a2a1+

37、b4?b2a,?a2a1+b4?1.命题 7.1求数列通项an+1=3a2n+2an23,a1=43.解:注意到an+1=3a2n+2an2332an+1+12=2?32an+12?2 1而32a1+12=52 1,以及双曲余弦的二倍角公式cosh2x=2cosh2x 1.287.1an+1=aa2n+ban+c(a=0)类型7零散的差分方程29故an=23cosh?2n1cosh1?52?13.注释 7.1：另一方面我们注意到cosh?cosh1?52?=ex+ex2=52 ex=5+212.因此有cosh?2n1cosh1?52?=?ecosh152?2n1+?ecosh152?2n12=

38、12 5+212!2n1+5+212!2n1.所以 an还可以这么表示an=13 5+212!2n1+5+212!2n113.命题 7.2求下面数列通项an+1=an(a2n1 2)25,a0=2,a1=52.解:注意到存在 a2n1 2,因此进行倒代换,但由于不是标准形式,猜测 an在倒代换中受到某个函数 f(n)影响,故假设 an=tkf(n)+tkf(n),代回递推式,有tkf(n+1)+tkf(n+1)=?tkf(n)+tkf(n)?t2kf(n1)+t2kf(n1)?52.即tkf(n+1)+tkf(n+1)=tkf(n)+2f(n1)+tkf(n)+2f(n1)+tkf(n)2f(

39、n1)+tkf(n)2f(n1)52.若等式成立,则有tkf(n)+2f(n1)+tkf(n)+2f(n1)=52或tkf(n)2f(n1)+tkf(n)2f(n1).注意到52=2+12,故猜测 t=2 以及 kf(n)2f(n 1)=1,故有 f(n)+2f(n 1)=f(n+1),不难解出f(n)=2n+(1)n.代回得到 k=13,因而通项公式为an=2132n(1)n+2132n(1)n.297.2根式递推类型7零散的差分方程307.2根式递推类型结论 7.1根式递推类型有以下两种：1.an+1=14a(b2+aan+bp6aan+b2),a,b 0 类型直接令 xn=p6aan+b

40、2,得到 4x2n+1=(xn+3b)2.2.an+1=pan=p(p2 1)a2n+q,q 0,|p|1 类型若|p|1,则变为二阶线性递推:(an+1 pan)2=(p2 1)a2n+q (an+2 pan+1)2=(p2 1)a2n+1+q(an+2 pan+1)2(an+1 pan)2=(p2 1)a2n+1(p2 1)a2n an+2=2pan+1 an.或用双曲余弦代换.命题 7.3求下面数列通项16an+1=1+4an+24an+1,a1=1.命题 7.4:求面数列通项4an+1=5an+9an+15,a1=1.307.3三角换元类型7零散的差分方程317.3三角换元类型结论 7

41、.2如果能注意到数列在一定变形后能具有如下形式,则考虑三角换元二倍角:sin2x1 x2sinh2x1+x2cos2x2 1cosh2x2 1tan2x1 x2tanh2x1+x2cotx2 12xcothx2+12xsecx22 x2sechx22 x2cscx22x2 1cschx22x2+1三倍角:sin3x 4x3sinh3x+4x3cos4x3 3xcosh4x3 3xtanx3 3x3x2 1tanhx3+3x3x2+1cotx3 3x3x2 1cothx3+3x3x2+1secx34 3x2sechx34 3x2cscx33x2 4cschx33x2+4半角:sins1 1 x2

42、2sinhs1+x2 12cosr1+x2coshr1+x2tan1+x2 1xtanh1 1 x2xsecr2x1+xsechr2x1+xcscq2x+2xx2 1cschq2x+2xx2+1317.4习题7零散的差分方程32命题 7.5求下面数列通项2an+1=q2 2p1 a2n,a0=22.命题 7.6求下面数列通项an+1an=pa2n+1 1,a0=1.7.4习题328常见差分方程的高考方法338常见差分方程的高考方法8.1差分方程的初等通法8.2习题339差分方程与幂级数349差分方程与幂级数9.1什么是幂级数9.2利用幂级数解差分方程9.3习题3410差分方程的其他运用3510差分方程的其他运用10.1近似计算10.2概率计算10.3极限运算10.4与数论的联系10.5习题35