复变函数习题答案.pdf

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1、习 题 一 1,用 复 数 的 代 数 形 式 a+法 表 示 下 列 复 数 产;芸（2+3）；%备 解：eT=cos i sin 川 考+=31ji=(3+5i)(l-7i)=_16+13.7i+l(l+7i)(l-7i)25 25 解：(2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i公 械 1 3.3(l-i)3 5.i 1+i 2 2 22.求 下 列 各 复 数 的 实 部 和 虚 部 Q=x+iy)解：:设 z=x+iy则 za.=(x+i)-a=(x_a)+iy(x+a)f z+a(x+iy)+(x+a)+iy(x+)2+y2(Z一 吟 x2-a2-y2(z-a 2xy,匕

2、 m=(x+4+.，1 m+产-解：设 z=x+(y*.*z3=(x+iy)3=(x+iy)2(x+iy)=x2-y2+2xji)(x+iy)=x2 _2)_2肛 2+y 卜 2 _),2)+2的 小=x3-3xy2+(3x2y-y3)iRe(z3)=x3-3xy2,Im(z3)=3x2y-y3.解：v 上 丁)=|-l-3-(-l)-()2+3-(-l)2-V3-(V3)3=1(8+0i)=l-1+时 2-l+i 62 解:f-i+iVsY(-1)-3.1).卜+3.(-i p.可 i=(8+0i)=l.D-1+i宕.T+n Re-=1,Im-=0 2 2/7.当”=2火 时，R e(r)=

3、(-1)*,Im(i)=O；当=2/+l 时，Re(i)=O,Im(in)=(-1/.3.求 下 列 复 数 的 模 和 共 粗 复 数-2+z；-3；(2+1)(3+2?);(解：卜 2+i|=7 T=石.-2+i=-2-i 解：卜 3|=3 W=-3 解：|(2+i)(3+2i)|=|2+i|3+2i|=75-V 13=V 65.(2+i)(3+2i)=(2+i)-(3+2i)=(2-i)-(3-2 i)=4-7 i 解:怜 卜 学 考 p+(l+i)1-iJ 2 T4、证 明：当 且 仅 当 z=Z 时，Z才 是 实 数.证 明：若 z=z，设 2=丫+1 丫，则 有 x+iy=x-i

4、y,从 而 有(2y)i=0,即 y=0 z=x为 实 数.若 Z=x,，贝 lJz=X=X；z=z 命 题 成 立.5、设 Z,w W,证 明：|z+w|w|z|+|M证 明：V z+W:=(z+卬).(z+w)=(z+w)(z+w)=z z+w+w z+w w=|z|2+zw+(z w)+|w=|z|2+|w|2+2Re(z.vv)w 忖 2+|w+2|z|-|vv|=zf+w+2z-w=(|z|+|w|f,卜+M|z|+M.6、设 z,w,证 明 下 列 不 等 式.|z+w|2=|z+2Re(z,w)+M 上 一 卬 二 上 2R e(z,卬)+卜”-|z+w|2+|z-w|2=2|z

5、|2+|w|2 j并 给 出 最 后 一 个 等 式 的 几 何 解 释.证 明：|z+M2=，+2R e(z可+M 在 上 面 第 五 题 的 证 明 已 经 证 明 了.下 面 证=,-2R e(z 卬)+时.V|z-w|2=(z-w)(w)=(z-w)(z-w)=|z|2-z-w-w-z+w=|z|2-2R e(z-v v)+|wF.从 而 得 证.*.|z+w|2+上 一 卬=2(忖 2+|w|2 j几 何 意 义：平 行 四 边 形 两 对 角 线 平 方 的 和 等 于 各 边 的 平 方 的 和.7.将 下 列 复 数 表 示 为 指 数 形 式 或 三 角 形 式3+5i.c

6、9 厂.-7；z；兀 Q I；3-+V I7z+l2兀 2兀.cos-hzsin93 解：怒=_38-16i l9-8i Vi7 50-25 解：i=S。其 中。=巴.2.ni=e5 解：l=ei i 解：卜 8兀（卜 6，-8兀（+方）=16 解：（cos?isin-J解：V fcos?isin 1=1.i-e9一 二；ti3其 中 0-icafctan1927r27c.cos+isin 9 9=l e98.计 算：（l）i的 三 次 根；（2）-1的 三 次 根；（3）6+后 的 平 方 根.（Di的 三 次 根.I _._ 兀 兀./2长 2R k 4解：y/i=cos z sin=co

7、s-+isin.-I 2 2）3 3伏=0,2）7nd.3 V.=cos+1 sin=+i3 3 2 2z2=COS7ti 矩 M lZ3=cos 氯 丽-3 3 3 2 2 6+百 i 的 平 方 根.解：6+后=后 性+制=戊 2J 百+后=(振-e4 J=64 2k2 17c Z+cos+isin 厂，(攵=0,1)=6(co s+isin=64-e8,I 8 8；=64 xbri加 6+e I 8 8.2T C9.设 z=e w,?2.证 明：l+z+,+z i=0证 明：V z=e”zM=l,即 z”-l=0.:(z 1)(1+z H-F zT)=0又,.2 2 zWl从 而 1+z

8、+z+zT=011.设，是 圆 周 z：|z。|=厂/0,。=。+4 上 令 Lp=,其 中 b=e*.求 出 4 在 a 切 于 圆 周 r 的 关 于?的 充 分 必 要 条 件.因 为 4=z：Im(甯 卜 0表 示 通 过 点 a 且 方 向 与 b 同 向 的 直 线，要 使 得 直 线 在 a 处 与 圆 相 切，则。过 C 作 直 线 平 行 L”，则 有/8C=,ZACB=90故 a/=90所 以 4 在 a 处 切 于 圆 周 T 的 关 于 p 的 充 要 条 件 是 a/=90。.12.指 出 下 列 各 式 中 点 z 所 确 定 的 平 面 图 形，并 作 出 草 图

9、.(l)arg2j;=(2)|%一 1|=kl；(3)l|z+/l Imz;(5)Imzll.|z|2.解：(1)、argz=n.表 示 负 实 轴.y、llz+il2解：表 示 以-i为 圆 心，以 1和 2 为 半 径 的 周 圆 所 组 成 的 圆 环 域。解：表 示 直 线），=X的 右 下 半 平 面 解：表 示 圆 盘 内 的 一 弓 形 域。所 以 当）一 0 0时 有 Icoszi 0 0.习 题 二 1.求 映 射 w=z+1 下 圆 周 lz l=2的 像.Z解：设 z=1+iy,w=+iu 贝 ll.1.x-iy x.z y、w+iv=x+ly+=x+iy+=兀+r+Ky

10、-r)x+iy x+y；r+y x+y因 为/+2=4,所 以+jy=2 x+3yj4 4”所 以 u=x,v=+y4 4-U Vx=7=74 42 2所 以 一=2 B P-r 4-r-=1,表 示 椭 圆.(i)(i)(i)2(i)22.在 映 射 w=z?下，下 列 z 平 面 上 的 图 形 映 射 为 w 平 面 上 的 什 么 图 形，设 卬=或 卬=+iy(1)0r=-;(2)0 r 2,0-；4 4(3)x=a,y=b.(af 方 为 实 数)解：设 卬=u+iu=(x+iy)2=J+2xyj所 以 二 9-y2,y=2xy.(1)记 卬=p e%则 0 r 2,e=四 映 射

11、 成 卬 平 面 内 虚 轴 上 从。到 4 i的 一 段，即 4八,兀 0 p4,?=.r4iO(2)记 卬=内 9，则 0 8；,0/*2映 成 了 卬 平 面 上 扇 形 域，即 0/?4,0 e.映 成/u=a2 y2,v=2ay.即/=4 4/初 是 以 原 点 为 焦 点，张 口 向 左 的 抛 物 线 将 y=6映 成 了 u=x2-b2,v=2xb.即 v2=4/(/+)是 以 原 点 为 焦 点，张 口 向 右 抛 物 线 如 图 所 示.3.求 下 列 极 限.(1)lim解：令 z=:,则 z-8,f-0.t1，于 是 lim-=lim-=0.ZT8 1+Z 1。1+tc

12、 Re(z)(2)h m-;ZTO Z解：设 z=x+yi,则 且 也=-有 z x+iyrRe.x 1lim-=lim-=-go 乙 X：。x+ikx l+ik显 然 当 取 不 同 的 值 时 z)的 极 限 不 同 所 以 极 限 不 存 在.解：lim-=lim-=lim-I z(l+z-)i z(i+z)(z i)z-w z(i+z)2.zz+2z-z-2(4)h m-e Z2-解：因 为 zz+2z-z-2 _(z+2)(z-1)z?1(z+l)(z 1)z+2z+1所 以 产 十=l i m Zfl z+l324.讨 论 下 列 函 数 的 连 续 性:孙(1).f(z)=-x2

13、+y20,z w 0,z=0;解：因 为 lim/(z)=lim/0,Z T O(x,y)-(0.0)x+y/若 令 y=fcv,贝!lim 2 2=J，“.zoa x2+y2+k2因 为 当 取 不 同 值 时，Az)的 取 值 不 同，所 以 犬 z)在 z=0处 极 限 不 存 在.从 而 Az)在 z=0处 不 连 续，除 z=0外 连 续./=#+4,0,z#0,z=0.解：因 为 0 4 声 4 转|=耳，|/+y2 1 2 k 2忸 2所 以 lim-V VT=0=/(O)(x.y)-(O.O)式+y，所 以 人 力 在 整 个 z平 面 连 续.5.下 列 函 数 在 何 处

14、求 导？并 求 其 导 数.(1)f(z)=(z-l)i(为 正 整 数)：解：因 为“为 正 整 数，所 以/U)在 整 个 Z平 面 上 可 导.尸(z)=(z-l严.(2)/(z)=(z+:l):(z：.+1)解：因 为 ZU)为 有 理 函 数,所 以 收)在 仁+1)3+1)=0 处 不 可 导.从 而/)除 z=-l,z=i外 可 导.，(z+2)*(z+1)(Z*+1)(z+l)(z+l)(z-+1)1,J(Z)=，,、，,2(z+l)-(z2+l)-=-2 Z3+5 Z2+4 Z+3一(z+l)2(z2+l)2/=1 5z-77解：犬 z)除 z=:外 处 处 可 导，且 r(

15、z)=3(5z-7)-(3z+8)5(5z-7)261(5z-7)2./八/、x+y./一(4)/:2 2+2 2.x+y x+y解：因 为/(z)=x+y+-y)_ x-iy+i(x-iy)_(x-iy)(l+i)_(1+i)_ 1+i2 2x+y x 2+y2x 2+y2甲 丁 所 以 式 z)除 z=0外 处 处 可 导，且,(z)=-Dz6.试 判 断 下 列 函 数 的 可 导 性 与 解 析 性.(1)f(z)=xy2+ix2y;解：(x,y)=孙 力*,)=/y 在 全 平 面 上 可 微.dy=V2,5w=_2 xy,dv=_2 xy,dv=xdx dy dx dy所 以 要

16、使 得 包=包，包=-包，dx dy dy dx只 有 当 z=0时，从 而/(z)在 z=0处 可 导，在 全 平 面 上 不 解 析./=x?+iy2.解：u(x,y)=x2,u(x,y)=2在 全 平 面 上 可 微.du _ du 八 5v.=2x,=0,=0,=2ydx dy dx dy只 有 当 z=0时，即(0,0)处 有 包=竺 包=-竺 dx dy dy dy所 以 人 z)在 z=0处 可 导，在 全 平 面 上 不 解 析.(3)/(z)=2?+3i/;解：w(x,y)=2xv(x,y)=3/在 全 平 面 上 可 微.包=6 包=0,包=9y2,包=odx dy dx

17、dy所 以 只 有 当 JIr=6.y时，才 满 足 C-R方 程.从 而 _/(z)在 土 百 y=0处 可 导，在 全 平 面 不 解 析.(4)/(z)=?z2.解：z=x+iy,则/=(x_iy(x+iy)2=x，+盯 2+i(y3+/y)u(x,y)=x3+xy2,v(x,y)=+jcydu=3.x 2+y 2,&，=2cx y,=2_x y,6v=3_j 2+x2ox ay ox oy所 以 只 有 当 j=0时 才 满 足 C-R方 程.从 而 大 Z)在 Z=0处 可 导，处 处 不 解 析.7.证 明 区 域。内 满 足 下 列 条 件 之 一 的 解 析 函 数 必 为 常

18、 数.(1)/=0;证 明：因 为 尸(z)=0,所 以 包=包=0,变=2=0.dx dy dx dy所 以“W 为 常 数，于 是 Az)为 常 数.曳 包 加 瓦(2)而 解 析.证 明：设/(2)=-2在。内 解 析，则 _ 5(-v)du _ dvdy dx dy-6(-v)dv=-=H-dx dydv 8u _ dvBy dy dx而 Az)为 解 析 函 数，所 以 曳=包，dx dy dy dx所 以 型=_ 包，包=_丝 即 包=包=包=包=0dx dx dy dy dx dy dx dy从 而 v 为 常 数，为 常 数，即/(z)为 常 数.(3)R软 z)=常 数.证

19、明：因 为 RMz)为 常 数，即=G,=0dx dy因 为 八 力 解 析，C-R 条 件 成 立。故 包=o 即=C2dx dy从 而/U)为 常 数.(4)I丽 z)=常 数.证 明：与（3）类 似，由 y=G得 上=4=0dx dy因 为 f（z）解 析，由 C-R方 程 得 电=曳=0,即 M=C2dx dy所 以 Az）为 常 数.5.贝 z）l=常 数.证 明：因 为 叭 z）l=C,对 C进 行 讨 论.若 C=0,贝 ij“=0,v=0孤 z）=0为 常 数.若 c 二 0,则 加）去 0,但 y（z）.7（z j=c2,即 u2+v2=c2则 两 边 对 分 别 求 偏 导

20、 数，有 du A dv 入 3 八 讥，八 2M-F 2v=0,2M-F 2v 0dx dx dy dy利 用 C-R条 件，由 于 大 z）在。内 解 析，有 du _dv du _ dvdx dy dy 6x=0 a 不 所 以 电=0,=o八 dx dx=0即“=G=C2,于 是 危）为 常 数.av&av&VM+-包 ar包 小 wIV.以 所（6）arg/（z）二 吊 数.证 明：arg/（z）=常 数，即 arctan（上）=C,小.（生 曳）“2（“包 一 驾 心 1+0/）2 U2（U2+V2）U2（U2+V2）oO=5W-&泳 VVav-ax0ayw C-R条 件 oo=V

21、V一 十 5V&史 ar M解 噫 啜 塔 塔=即 为 常 数 于 是 侬 为 常 数.8.设 加）=叼 3+T+3+由 2）在 z 平 面 上 解 析，求 叭，/的 值.解：因 为 4 z）解 析，从 而 满 足 C R 条 件.du=-2nxy,d u=.3 my2+nx2dx dydv o 7 dv=3x+ly=2Zydx cydu dv.=n=ldx dydu dv c=-=-3,1=-3mdy dx所 以=-3,1=3,m=1.9.试 证 下 列 函 数 在 z平 面 上 解 析，并 求 其 导 数.(l)jz)=x3+3x2yi-3xy2-y证 明：u(xfy)=x3-3xy2,v

22、(x,y)=3x2y-j3 在 全 平 面 可 微，且-=3x2-3y2,=-6xy,=6xy,-=3x2-3y2ox dy ox oy所 以/(z)在 全 平 面 上 满 足 C-R方 程，处 处 可 导，处 处 解 析.fXz)=+i=3x2-3y2+6xyi=3(x2-y2+2xyi)=3z2.dx dx(2)f(z)=e(xcosy-ysin y)+ieA(ycosy+xsiny).证 明：u(x,y)=eA(xcos y-ysin y),u(x,y)=e(ycosy+xsiny)处 处 可 微，且 包&=e”(xcos y-ysin y)+eA(cos y)=er(xcos y-y

23、sin y+cos y)avax=e(ycosy+xsiny)+e(siny)=e(ycos y+sin y 4-sin y)=ev(cos y+y(-sin y)+xcos y)=eA(cos y-y sin y+xcos y)Bymi”Su dv du dvdx dy dy dx所 以,/U)处 处 可 导，处 处 解 析.=+i=er(xcos y-ysiny+cos y)+i(eA(y cos y+xsin y+sin y)dx dx=ex cos y+ier sin y+x(ev cos y+ieA sin y)+iy(ev cos y+ieA sin y)=ez+xez+yez=e

24、=(l+z)工(一+力 010.设/(z)=,x2+y20.z=0.求 证：(l)/(z)在 z=0处 连 续.(2yu)在 z=o处 满 足 柯 西 一 黎 曼 方 程.(3/(0)不 存 在.证 明.:lim/(z)=lim w(x,y)+iv(x,y):T O(x.y)-(0.0)而 in lri m u(/x.x3-y39y)=lim：(x，)4o,o)(x,v)-(o,o)x 4-y237，7r+yOw|k-y|3 3r 大 一)lim r(.r.y)-(O,O)x2+y2二 03x+y同 理 lim(x j)r(0.0)+y,3T=0lim(x,y)-(0.0)/(z)=0=/(O

25、).加)在 z=0处 连 续.(2)考 察 极 限 lim/(-/(0)一 z当 Z沿 虚 轴 趋 向 于 零 时，Z=iy,有 lim F/(iy)-/=lim-=1+i.10 iy L J J 2()口 y2当 Z沿 实 轴 趋 向 于 零 时，ZK，有 八 n一 斗，8.dv dv.du匕 们 分 别 为 一+1-,1 dx dx dy dy,du _dv du _ dvdx dy,dy dx 满 足 C R 条 件.当 z 沿 y=x趋 向 于 零 时，有 im/(.r+iA)-/(0,0)x=y f 0 X+LT.x3(1+i)x3(1 i)_ i)/2x3(l+i)1+i/.lim

26、 不 存 在.即 Az)在 z=0处 不 可 导.3 To Az1 1.设 区 域 D 位 于 上 半 平 面，D i是 D 关 于 x 轴 的 对 称 区 域，若 f(z)在 区 域 D 内 解 析，求 证 尸(z)=/G)在 区 域 D i内 解 析.证 明：设 危)=(犬,)+1心,)，因 为/U)在 区 域。内 解 析.所 以(x,y),心,y)在 D 内 可 微 且 满 足 C-R方 程，即 包=2，.ox dy oy ox/(z)=(x,-y)-iv(x,-y)=(x,y)+i(x,y),得d(p _ dux,-y)d(p _ du(xy-y)_ 5w(x,-y)dx dx dy

27、dy dydi/_-3v(x,-y)di/_ 5v(x,-y)_ 6v(x,-y)dx dx dy dy dy故 9(x,y)(x,y)在 外 内 可 微 且 满 足 C-R条 件 竺=级，酶=包 dx dy dy dx从 而/G)在 功 内 解 析 1 3.计 算 下 列 各 值(1)e2+l=e2-e=e2-(cos 1+i sin 1)(4)|eT，+叫=别.上+叫 14.设 z沿 通 过 原 点 的 放 射 线 趋 于 8 点，试 讨 论/(z)=z+ez的 极 限.解：令 z=ree,对 于 VO,z f 8 时，r-oo.故 lim(/+e*)=lim(+十)=0 0,r-cc r

28、-x所 以 lim/(z)=oo.15.计 算 下 列 各 值.(1)ln(-2+3i)=lnV13 3i)=lnV13+i(2)ln(3-73i)=ln2V3+iarg(3-V3i)=ln 2 0+i(3)ln(e,)=lnl+iarg(e,)=ln l+i=iI)=ln 2百 i6 6(4)ln(ie)=lne+i arg(ie)=1+i1 6.试 讨 论 函 数/(z)=lzl+lnz的 连 续 性 与 可 导 性.解：显 然 g(z)=lzl在 复 平 面 上 连 续，Inz除 负 实 轴 及 原 点 外 处 处 连 续.设 2=工+4，g(z)=lzl=yjx2+y2=(x,y)+i

29、v(x,y)w(x,y)=yx2+y2,v(x,y)=0 在 复 平 面 内 可 微.Su 1/2,2T c x du y=-lx+y)2-2x=.-&2、7+7 8 4+7=0 变=0dx 8y故 g(z)=lzl在 复 平 面 上 处 处 不 可 导.从 而/U)=lzl+lnz在:复 平 面 上 处 处 不 可 导./(z)在 复 平 面 除 原 点 及 负 实 轴 外 处 处 连 续.1 7.计 算 下 列 各 值.(1)(l+i)i=e-=e D)=n6+n-如 6+244 4_ e 杼(lnB我 i+k 戊 嗯 咯+k=e/5ln3(a6s(26iftnil 71+(k+)/)=3

30、7 5-(cotfl(2ZisiiiH2 Vl+(k+)J-)j-i _ glnF*=-id n l+i O+2*)_ i,(叙 it)_ 2 k-C-C1 8.计 算 下 列 各 值(1)cos5i+)=-i-ft-5-ib-n-5-)-s-5 C-X k)e+e2 2-e 5+e5(-l)-e-5-e5 e5+e 5 一=-=-=-=-ch 52 2 2pi0-5 i)_ N+5 _ _-i-5 s in(l-5 i)=-=e e2i 2ie5(cos 1+isin 1)-e(cos 1-is in l)(3)tan(3-i)=sin(3-i)c o s(3-i)/(3-i)d-i(3-i

31、)e e2iei(3-i)+e-i(3-i)2isin 6-isin 22(ch*2l-s i n23)2ie5 4-e-5.e5+e-5-sinl-i-cos 12 2(4)|sin z 二 2 ev-n)=|sin x ch y+i cos x sh y|2=sin2 x-ch2 y+cos2x-sh2 y=sin2 x-(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2 x)-sh2 y=sin2x+sh2 y arcsini=-iln(i+J l-i?)=-i ln(l V2)=卜 4(倔+1*2门-i ln(缶 l)+i(+k)(6)arctan(1+2i)=-I n!+=-i-

32、i n f-+2 l-i(l+2i)2 I 5 5 J,1 日,L=KTratetan 2-tn-5-2 41 9.求 解 下 列 方 程(1)sinz=2.解：z=arcsin2=-ln(2i V3i)=-l n(2 V 3)ii=-i ln(2;it 百)+(2k+：)=(2如 暇 3,(+向 l,k=e;-l-i=O解：ec=1+/3i 即 z=ln(l+百 In 2+i工+2左 3=始 2五(2+；)T T(3)In z=i2解：In z=i 即 1=丁=i2(4)z-ln(l+i)=0解：z-In(1+i)4tin 12k=+|k+2 0.若 z=x+iy,求 证(1)sinz=si

33、nxchy+icosx shy_ei(x+iy)-e-(xn，iH-2 i 2i证 明：sin z=-2i=sin x ch y+i cos x.sh y(2)cosz=cosx-chy-isiavshy证 明：cosz=e1-+e U=i-(ei(I+i)+e+明 2 2=_ L(e*+e，f)2=(e-y(cosx4-isinx)+ey.(co sx-isin x)=cos x.c h y-i sin x.sh y(3)lsin4l2=sin2x+sh2y证 明：sin z=(ey+xl-ey-n)=sin x ch y+i cos x sh y|sinz=sin2 xch2 y+cos2

34、 x sh2 y=sin2 x(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2 x)sh2 y=sin2 x+sh2 y(4)lcoszl2=cos2x+sh2y证 明：cos z=cos xch y-i sin/sh y|cos=cos2 x.ch2 y+sin2 x.sh2 y=cos2x(ch2 y-sh2 y)+(cos2 x+sin2 x).sh2 y=cos2x+sh2 y2 1.证 明 当 y f 8 时，|sin(x+iy)l和 lcos(x+iy)l都 趋 于 无 穷 大.证 明：sinz=(eu-e-i:)=-(e-v+ri-ev-vi)2i 2i/.|sinzl=-

35、k-+xi-e-ri|2|e F=e 少 而 Isin d&-(|e-v+xi|-Iev-Ji I)=工(e-e，)2 2当 y f+8 时，e”-0,e)f+8 有 kinzlf 8.当 yf-8 时，ev-*+,e3-0 有 Isinzl 8.同 理 得|cos(x+iy)|=-|e-，+xi+el-(e-e)所 以 当 yf 8 时 有 icoszlf 8.习 题 三 1.计 算 积 分 J(x-y+i)d z,其 中 C 为 从 原 点 到 点 1+i的 直 线 段.C解 设 直 线 段 的 方 程 为 丁=心 则=%+%.0 x l-y+zx2)cZz=x-y+ix2y/(x+ix)

36、故,=j p(i+i)d K+i).汩;=?+i)=q2.计 算 积 分 J(1-彳)d z,其 中 积 分 路 径 C为 c(1)从 点 o 到 点 1+i的 直 线 段；(2)沿 抛 物 线 y a?,从 点 0 到 点 1+i的 弧 段.解(1)设 1=彳+比.()%1(2)设 z=x+ix?.0 X 1=(l-x+/x2)j(x+zx2)=r 33.计 算 积 分 Jlzldz，其 中 积 分 路 径 C 为 c(1)从 点-i到 点 i 的 直 线 段；(2)沿 单 位 圆 周 lzl=l的 左 半 圆 周，从 点 4 到 点 i;(3)沿 单 位 圆 周 E=1的 右 半 圆 周，

37、从 点-i到 点 i.解(1)设=iy.-1 y 0.解(忖%足 2比=j z/z-sinzdze s i n z在 口=所 围 的 区 域 内 解 析/.J,e：,sin zdz=0从 而(|z|-e-s i n z)jz=J/也 z=/adael故，s i n z,=。7.计 算 积 分 f v 故,其 中 积 分 路 径 c 为 k Z（Z2+1）(1)c,：|z|=y(2)C2：ki=I(3)C3：|z+i|=q(4)C4:z-i=23解（1）在 卜|=；所 围 的 区 域 内，一!一 只 有 一 个 奇 点 z=（）.2z（z2+l）f L L)Jz=2万 i 0 0=2万 iJ G

38、 Z 2 z-i 2 z+i（2）在 c2所 围 的 区 域 内 包 含 三 个 奇 点 z=0,z=i.故 G Z1L 一 Mz=2 兀 i 7d 7ri=。2 z-i 2 z+i（3）在 所 围 的 区 域 内 包 含 一 个 奇 点 z=-。故-L)J z=0-。-疝 2 z-i 2 z+i-7ti（4）在 6 所 围 的 区 域 内 包 含 两 个 奇 点 z=o,z=i,故 7 dzlc z(z2+l)-)dz=2 m-m=m2 z-i 2 z+i10.利 用 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 计 算 下 列 积 分.(1)c o sd z(2)：广&(3)j(2+iz)2dzI*ln

39、(z+1),ri.,r 1+tan z,(4)I z(5)z sin zdz(6)I dz)z+1 4)Jl cos2z解 cosJz=-sin-1|o+2/=2c/?l/一 立=-幻=一 2(3)(2+iz)2dz=；(2+iz)2(2+iz)=；(2+iz)31；=日+：(4)Jln(1)Jz=Jln(z+1)Jln(z+1)=|I n2(z+1)|；=今+311/2)(5)z-sin zdz=一 工 zdcosz=-z c o s z”)+cos zdz=sin 1-cos 1(6)r 1+tan z,r 2 7 P 2,i/l 2 az=I sec zdz+I sec z tan zd

40、z=tanz+tarrJ COSN J 4 1 2=-ta n 1+-tan2 l+-t/22l+/ln.计 算 积 分(.另/z,其 中 c 为 zi=1(2)M=1(3)H=2解 L T7d z=L 十 z=2疝 J c Z+1 J c(z+l)(z-l)f-dz=f-dz=17li-Z+1 Jc(z+j)Q _ j)z-z(3)-dz=-dz+f-dz=Tre-7re=Irei sin 13 c z2+J c z2+l J c2 z2+l1 6.求 下 列 积 分 的 值,其 中 积 分 路 径 C均 为 lzl=l.Ztan Jc(Z-Z o 1 01 2兀 i12 2疝/x(2)I.

41、=-(c o s z)z=o=-m tanf-rdz=2z(tan z)，c(Z-Z0)=7fi sec2-z=s 21 7.计 算 积 分 1(Z l)3(Z+l)3dz,其 中 积 分 路 径 c 为 中 心 位 于 点.I,半 径 为 R2的 正 向 圆 周(2)中 心 位 于 点：=一 1,半 径 为 R 2的 正 向 圆 周(-祖 丁(1 1)3(2+1)33疝 V。内 包 含 了 奇 点 z=T,f-3-独 JC(Z-1)3(Z+1)3网.(_1_)(2)|2!1)3 g3疝 T1 9.验 证 下 列 函 数 为 调 和 函 数.(1)69=x3-6 x2y-3 x y2+2 y3

42、;(2)G=er cos y+1+i(e sin y+1).解(1)设 H-=4+2,u=x-6x2y-3xy2+2 J U=0.=3%2-1 2 x y-3 y2=-6 x2-6xy-6y2dx dyd2u/52w/I。-=6 x-l2 y=-6 x+12ydx dy从 而 有 e q+e?=o,满 足 拉 普 拉 斯 方 程，从 而 是 调 和 函 数.dx2 dy2(2)设 卬=+cosy+l u=e-siny+ldu v=e-cosydxdu x.=-e-sin y办-d2u-=e x-cosy&2 7d2u x 7=-e-cos y办 2从 而 有 独+电=0 Udx2 dy2,满

43、足 拉 普 拉 斯 方 程,从 而 是 调 和 函 数.du.du x=e-sin y=e-cosydx dy82v xd2u 2与 2 a 2名+穹=0,。满 足 拉 普 拉 斯 方 程，从 而 是 调 和 函 数.dx2 dy220.证 明 涵 数 u=x2-y2,u=都 是 调 和 函 数，但/(z)=u+2 不 是 解 析 函 数 厂+y证,T明 NR：一 0M=2x=d u-2y d2u7=2-d2u 7=-2dx dy 8x2 dy2分 2 分 2空+芸=0,从 而 是 调 和 函 数.&2 2du y2-x2 du _-2xyax(%2+r)2 力(x2+y2)2d2v-6xy2

44、+2x3 d2u _ 6xy2-2x3dx2(x2+y2)3dy2(x2+y2)3分 2 o2+空=0,从 而。是 调 和 函 数.dx2 dy2.r i.du do du dodx dy dy dx不 满 足 C-R方 程,从 而 f(z)=u+iv不 是 解 析 函 数.22.由 下 列 各 已 知 调 和 函 数，求 解 析 函 数/(z)=11+iv=。&力,Bu c du du du解(1)因 为 一=2x+y=一=-2y+x=-dx dy dy dx所 以 嘘 冷 翱+%+。2 2=-5+5+2孙+C(2y-x)dx+(2x+y)dy+C=-xd x+g(2x+yMy+C/(z)=

45、x2-y2+xy+i(-y+-y+2xy+C)令 y=0,上 式 变 为 2 X2/(X)=X2-i(y+C)从 而 2f(z)=z2-i-+i Cdu _ 2xy du _ x2-y2dx(x2+y2)2 dy(x2+y2)2用 线 积 分 法，取(Xo,y。)为(1,0),有 du.du.x _一 瓦-瓦+=申 产+c1.x=-7x 元+y力=T+Cu r+y-/(z)=2 y2x+yx+i(-T T+C)x+y由/=0,，得 c=o/(z)-1)23.设 p(z)=(-4。-，-6，其 中,(/=1,2,)各 不 相 同，闭 路 C 不 通 过 a”。2,4,证 明 积 分 等 于 位

46、于 C 内 的 p(z)的 零 点 的 个 数.证 明：不 妨 设 闭 路 C 内 P 的 零 点 的 个 数 为 k,其 零 点 分 别 为 6,%,如 1(7-4)+(7-)”(7-%)+.仁-。|)(a,-)-dz 3-2 攵()(E K q za2 z-an-dz2 m 与 汽 z)24.试 证 明 下 述 定 理(无 界 区 域 的 柯 西 积 分 公 式)：设/(z)在 闭 路 C 及 其 外 部 区 域 O 内 解 析，且 lim/(z)=A。8,贝！Jz 00婚=一/(z)+A,A,zeD,z eG.其 中 G 为 C 所 围 内 部 区 域.证 明：在 D 内 任 取 一 点

47、 Z,并 取 充 分 大 的 R,作 圆 CR：|z|=R，将 c 与 z包 含 在 内 则 f(z)在 以 c 及 g 为 边 界 的 区 域 内 解 析，依 柯 西 积 分 公 式，有/(Z)因 为/?；）在 卜|R 上 解 析，且 h m?/-），八 1 r 一、,=h m/（）-=h m/（，）=lJ 8 C-Z Z J 8 1所 以，当 Z 在 C 外 部 时，有/（z）=4-上 27n*即 止 1c4+A27n J。一 z设 Z 在 C 内，贝 Ijf=0，即 习 题 四 复 级 数 4 与 f 都 发 散，则 级 数 f（。“）和 发 散.这 个 命 题 是 否 成 立?为 n=

48、n-n=l M=1什 么？答.不 一 定.反 例：S 0+i 4 发 散/:=!n=l=1=1 但（a“+a）=i,与 收 敛 n=l?i=l 00 CO r小,-娟？产00 00 1En=A=EH 2n=l+!力 收 敛.n2.下 列 复 数 项 级 数 是 否 收 敛,是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛?00d)En=ll+i2,+lq l+5i z(-=1 乙 m A nz-=I nn 8(4)自 嬴 cosi n L-n=0 乙 00解(1)z”=1l+i2n+l ooEn=l”=1 n n1+-in nl+i2，+l因 为 Z 一 发 散,所 以 工-发 散=i=i noo(

49、2)Xn=Il+5i2发 散 n=Z又 因 为 理(等)=!吧(；+、8 1 I 5；所 以 发 散 M=1 Z元】in 自 片=2 发 散，又 因 为 自 了 2M=1兀 兀.cos+isin oo-=V(cos+i sin-)收 nn=i n n n敛，所 以 不 绝 对 收 敛.(4)据 白 1 1因 为 一 7Inn n-l所 以 级 数 不 绝 对 收 敛.0c(1)%又 因 为 当 n=2k时，级 数 化 为 Z 武 7 收 敛 77 In 2k00(T)A当 n=2k+i时，级 数 化 为 Z u r r _ n 也 收 敛 y ln(2fc+1)所 以 原 级 数 条 件 收

50、敛 1T2C叁 1-2/V+e-2(依 1-2=+e-2IF-。一.S5)8 e K 1其 中 Z(R 发 散,Z q-)收 敛=o/=o 乙 e所 以 原 级 数 发 散.8 8 83.证 明:若 Re)2 0,且、和 Z%收 敛,则 级 数，：绝 对 收 敛.n=l n=l n=l证 明:设%=xn+iyn,a=（怎+i A=x：-y：+2xnyni00 00因 为、和 Z 为 2收 敛 w=l n=l00 00 8 00所 以 Ex E 为，2(七，一 先 产 七 先 收 敛 n=n=l n=n=又 因 为 Re(a“)N0,所 以 2 0 且 处 产=|吧 看=02当 n充 分 大 时